Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Số 24 (49) - Tháng 01/2017

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu
kiểu Chatterjea suy rộng trong khơng gian mêtric
About the existence of fixed point results for generalized Chatterjea-type Cyclic
weakly contractive mappings in metric spaces
PGS.TS. Đinh Huy Hồng, Trường Đại học Vinh
Dinh Huy Hoang, Assoc.Prof., Ph.D., Vinh University
ThS. Đậu Hồng Qn, Trường Đại học Vinh
Dau Hong Quan, Vinh University
Nguyễn Hồi Phương, Trường Đại học Vinh
Nguyen Hoai Phuong, Vinh University
Tóm tắt
Trong bài báo này chúng tơi đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu
kiểu Chatterjea suy rộng trong khơng gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một
số kết quả trong các tài liệu [1], [2], [4], [6].
Từ khóa: điểm bất động, ánh xạ cyclic co yếu, khơng gian mêtric.
Abstract
In this paper, we obtain fixed-point results for generalized Chatterjea-type cyclic weakly contractive
mappings in complete metric spaces. Our results extend and generalize well-known comparable results
in [1], [2], [4], [6].
Keywords: fixed point, cyclic weakly contractive maps, metric space.

những hướng mở rộng đó là thay đổi các
điều kiện co. Năm 1972, Chatterjea [1] đã
đưa ra định nghĩa sau.
1.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử ( X , d )
là khơng gian mêtric và f : X  X . Ánh
xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu

1. Mở đầu
Ngun lý Banach về sự tồn tại duy
nhất điểm bất động của ánh xạ co trong
khơng gian mêtric đầy đủ là một trong
những kết quả quan trọng đầu tiên của lý
thuyết điểm bất động. Nó có nhiều ứng
dụng quan trọng trong tốn học và các
ngành kỹ thuật khác. Do đó, việc mở rộng
ngun lý Banach đã thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà tốn học. Người ta đã
mở rộng ngun lý Banach cho nhiều loại
ánh xạ và nhiều loại khơng gian. Một trong

 1
tồn tại   0;  sao cho
 2
d ( fx, fy)    d ( x, fy)  d ( y, fx) x, y  X .

Trong [1], Chatterjea đã chứng minh
được rằng, mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea
22


trong không gian mêtric đầy đủ có duy
nhất một điểm bất động. Sau đó,
Choudhury [2] đưa ra khái niệm ánh xạ co
yếu kiểu Chatterjea như sau.
1.2. Định nghĩa ([2]). Giả sử ( X , d )
là không gian mêtric và f : X  X . Ánh xạ

f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea nếu

m
i 1



Ta kí hiệu F1   : 0,    0,   

i 1

Ai 

i 1

và
F2   : 0,    0,    nửa liên
4

tục dưới và  ( x, y, t, u)  0  x  y  t  u  0 .
1.5. Định nghĩa ([4]). Giả sử (X, d) là
không gian mêtric, A1, A2,…, Am là các tập
con khác rỗng của X và f :
m
m
A  i 1 Ai .
i 1 i
1) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu
kiểu Chatterjea nếu f là cyclic và tồn tại
 1

  F1 ,    0,  sao cho
 2

d ( fx, fy)    d ( x, fy)  d ( y, fx)   (d ( x, fy), d ( y, fx))

với mọi x  A i , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m , trong

Ai . Ánh

đó Am1  A1.

xạ f được gọi là m-cyclic (nói gọn là
cyclic) nếu

2) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu
kiểu Chatterjea suy rộng nếu f là cyclic và
 1
tồn tại   F2 ,    0,  sao cho
 4

f ( Ai )  Ai 1 với mọi i = 1,

2,…, m; trong đó Am+1 = A1. Khi đó, tập
Y

m
i 1

2

nửa liên tục dưới và  (t , u)  0  t  u  0

trong đó : [0, +)2  [0, +) là
hàm liên tục và  (u, t )  0 khi và chỉ khi
u  t  0.
Trong [2], Choudhury đã chứng minh
được rằng, mọi ánh xạ co yếu kiểu
Chatterjea trong không gian mêtric đầy đủ
có duy nhất một điểm bất động. Vào năm
2003, Kirk và các cộng sự [5] đã đưa ra
khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu sự
tồn tại điểm bất động của nó trong không
gian mêtric.
1.3. Định nghĩa ([5]). Giả sử A1 ,…,
Am là các tập con khác rỗng của không gian
mêtric (X, d) và f :

Ai được gọi là cyclic  - co

 Ai, yAi+1, i=1,…,m, trong đó Am+1 = A1.

x, y  X ,

m

m
i 1

yếu nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại ánh xạ
: [0, +)  [0, +) liên tục, tăng và

(t) = 0 khi và chỉ t = 0 sao cho
d ( fx, fy)  d ( x, y)   (d ( x, y)) , với mọi x

1
d ( fx, fy)   d ( x, fy )  d ( y, fx)   (d ( x, fy ), d ( y, fx))
2

m

Ai 

Ai được gọi là biểu diễn cyclic

của Y tương ứng với f.
Sau đó, vào năm 2011 và 2012,
Karapinar và các cộng sự trong ([3], [4]) đã
giới thiệu các khái niệm ánh xạ cyclic  co yếu, co yếu kiểu Chatterjea, co yếu kiểu
Chatterjea suy rộng và chứng minh một số
định lý về sự tồn tại điểm bất động của các
lớp ánh xạ này trong không gian mêtric.
1.4. Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, d) là
không gian mêtric, A1,…,An là các tập con
khác rỗng của X. Ánh xạ f :

d ( fx, fy)    d ( x, fx)  d ( y, fy)  d ( x, fy)  d ( y,, fx)

 (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx))

với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m , trong đó

Am1  A1.
Trong [3], [4] Karapinar cùng các
cộng sự đã đưa ra các định lý khẳng định
rằng, trong không gian mêtric đầy đủ các
ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy
rộng có suy nhất một điểm bất động trong
m
i 1

23

Ai .


3d ( xn1 , xn1 )   4 d ( xn , xn )  5d ( xn , xn1 )
 (d ( xn1 , xn ), d ( xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ), 0)

Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra
một định lý và một số hệ quả của nó về sự
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong
không gian mêtric. Các kết quả này là sự
mở rộng của một số kết quả chính trong
[1], [2], [4], [6].
2. Các kết quả chính
Ta kí hiệu
4
F3   : 0,    0,    ( x, y, u, v)  0  x  y  u  v  0
và

 (1   2 )d ( xn1 , xn )  3 d ( xn1, xn )  d ( xn , xn1 )  5d ( xn , xn1 )

 (d ( xn1 , xn ), d ( xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ),0) . (4)

Do đó, với mọi n = 1, 2, … ta có
d ( xn , xn1 ) 

Điều này chứng tỏ d ( xn , xn1 ) là dãy
các số không âm và giảm. Do đó, tồn tại
lim d ( xn , xn1)    0. Từ (4) và tính chất
n 

liminf  ( xn , yn , un , vn )   (liminf xn ,liminf yn ,liminf un ,liminf v )}.
n

n

n

n

n

của ánh xạ  suy ra

n

2.1. Định lí. Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ, A1, A2,.., An là các tập
con đóng khác rỗng của X và f :

m
i 1

Ai 

m
i 1

  (1   2  23  5 )   ( ,liminf d ( xn1, xn1 ),  ,0).
n

Vì 1   2  23  5  1 nên từ bất đẳng

Ai là ánh xạ cyclic. Khi đó,

thức này suy ra  ( ,liminf d ( xn1, xn1 ),  ,0)  0.
n

nếu tồn tại F3 và các số không âm
1 ,  2 ,..., 5 thỏa mãn

1   2  23  5  1,

(1)

1  3   4  1

(2)

Do đó từ tính chất của  suy ra = 0,

tức là
lim d ( xn , xn1 )  0 .
(5)
n 

Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi
  0 tồn tại số tự nhiên n sao cho với

và

mọi r,q  N mà r – q = 1(mod m),
r  n , q  n thì d (x r , x q )   . Giả sử điều

d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2d ( x, fx)  3d ( x, fy)   4d ( y, fx)

5d ( y, fy)   (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx))

(3)

với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m ,

này không đúng. Khi đó,tồn tại   0 sao
cho với mỗi n  N tồn tại các số tự nhiên
rn, qn sao cho rn > qn ≥ n, rn – qn =1(mod
m) và
d ( xrn , xq )   .
(6)

trong đó Am1  A1 thì f có điểm bất động
duy nhất z 

m
i 1

Ai .

Chứng minh. Lấy x0 

m
i 1

Ai và xác

n

định dãy  xn  bởi xn  fxn1 , n  1, 2,...
Nếu tồn tại n0 

1   2   3
d ( xn1 , xn )  d ( xn1 , xn ).
1  3  5

Lấy n > 2m. Khi đó, với qn ≥ n ta có
thể chọn rn sao cho rn là số tự nhiên nhỏ
nhất mà rn > qn, rn – qn = 1(mod m) và
d ( xrn , xq )   . Do đó, d ( xqn , xr m )   . Từ

sao cho xn0  xn0 1

thì fxn0  xn0 1  xn0 . Như vậy xn0 là điểm

n

n

bất động của f . Giả sử xn  xn1 với mọi

đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có

n=0,1,… Khi đó, với mọi n=0,1… ắt tồn
tại i 1, 2,..., m sao cho xn  Ai . Do

m

m

  d ( xq , xrn )  d ( xqn , xr m )   d ( xr i , xrn i1 )     d ( xr i , xrn i1 )
n

i 1

n

n

i 1

n

Cho n   trong bất đẳng thức trên và sử

dụng (5) ta có
(7)
lim d ( xq , xr )   .

đó xn1  fxn  Ai 1 . Từ đó, sử dụng điều
kiện (3), với mọi n = 1, 2,… ta có

n 

d ( xn , xn1 )  d ( fxn1 , fxn )  1d ( xn1 , xn )  2d ( xn1 , xn )

24

n

n


Ta có

  d ( xq , xr )  d ( xq , xq 1 )  d ( xq 1 , xr 1 )  d ( xr 1 , xr )
n

n

n

 d ( xqn , xq

n

1

 2d ( xqn , xq

n

)  d ( xq

1

n

1

n

n

n

cho

tồn

tại

xr n  Ai

và

d ( xn , xn1 ) 

xqn  Ai 1 hoặc xq n  Ai và xrn  Ai 1 .Nếu

3d ( xrn , xqn 1 )   4 d ( xqn , xrn 1 )  5d ( xqn , xqn 1 )
 (d ( xrn , xrn 1 ), d ( xrn , xqn 1 ), d ( xqn , xqn 1 ), d ( xqn , xrn 1 ))

 4 d ( xrn , xqn )  d ( xrn , xrn 1 )   5d ( xqn , xqn 1 )

Cho n   , sử dụng (5),(7),(8) và tính
chất của  ta được
n

n

n

...  d ( xn p 1 , xn  p )  (k  1)

n

n

Do đó lim inf d ( xq , xr 1 )  0. Mặt khác, ta
n

có   d ( xr , xq )  d ( xr , xq 1 )  d ( xq 1, xq ).
n

n

n

Do đó   liminf d ( xrn , xq
n

n

1
n

n

n





Do đó  xn  là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên

mâu thuẫn với   0.

tồn tại z  X sao cho xn  z . Từ cách xây

Nếu xqn  Ai và xrn  Ai 1 thì chứng

dựng dãy  xn  và f là ánh xạ cyclic suy ra

minh tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn.

 xn 

(11)

d ( xn , xn p )  d ( xn , xn pk 1 )  d ( xn pk 1, xn p )  

)  0. Điều này

Bây giờ, ta chứng minh

.

 . (12)
2m 2
Từ (11) và (12) suy ra rằng, với mọi
n  n0 và mọi p=0,1,...ta có

 (0,lim inf d ( xr , xq 1 ),0,lim inf d ( xq , xr 1 ))  0.
n

2

d ( xn pk 1, xn p )  d ( xn pk 1, xn pk 2 )  d ( xn pk 2 , xn pk 3 )

n

n



ra

Vì 1  3   4  1 nên

n

(10)

Từ bất đẳng thức tam giác và (10) suy

  (1  3   4 )   (0,lim inf d ( xr , xq 1 ),0,lim inf d ( xq , xr 1 ))

n 

n  n2 .

d ( xn , xn  p k 1 ) 

 (d ( xrn , xrn 1 ), d ( xrn , xqn 1 ), d ( xqn , xqn 1 ), d ( xqn , xrn 1 )).

n

,

(n  p  k  1)  n  1(mod m) Do đó, theo
(9) ta có

 1d ( xrn , xqn )   2 d ( xrn , xrn 1 )  3 d ( xrn , xqn )  d ( xqn , xqn 1 ) 

n

2m

p= 0,1,..., giả sử p – k = 0(mod m ),
k 1, 2,..., m , k  p .
Khi
đó,

d ( xqn 1 , xrn 1 )  d ( fxrn , fxqn )  1d ( xrn , xqn )  2d ( xrn , xrn 1 )

n



Với mọi n  n0  max n1 , n2  , với mọi

xr n  Ai và xqn  Ai 1 thì

n



.
(9)
2
Mặt khác, từ (5) ta suy ra tồn tại
n2  N * sao cho

(8)

rn  qn  1(mod m) nên

n

n

d ( xr , xq ) 

n 

sao

n

)  d ( xrn , xq )  2d ( xrn , xr 1 ).

lim d ( xqn 1 , xrn 1 )   .
i 1, 2,..., m

n

n

, xqn )  d ( xqn , xr )  d ( xrn , xr 1 )  d ( xr 1 , xrn )

Cho n   ta được

Vì

n

n

rằng, với mỗi i = 1, 2, …, m, tồn tại dãy

là dãy

x 

 

cho xin  Ai . Vì

con

mọi r  n1 và q  n1 mà r  q  1(mod m) thì

2,…, m nên z  Ai với mỗi i = 1, 2, .., m

in

của

 xn  sao

Cauchy. Giả sử   0 . Khi đó, theo chứng
minh trên ắt tồn tại n1  N * sao cho với

Ai đóng trong X và xin  z với mỗi i = 1,

25


tức là z 

m
i 1

yếu kiểu Chatterjea nên tồn tại

Ai .

 1
  F1 ,    0, 
 2

Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất
động của f. Vì z  Ai với mỗi i=1,2,…, m

thỏa mãn Định nghĩa 1.5.1).Ta xác định
hàm 1 : 0,  4  0,   bởi

nên áp dụng điều kiện (3), với mọi
n=1,2,… ta có

1 (a, b, c, d )   (b, d )   (a, c), (a, b, c, d )  0,  

d ( xn1, fz)  d ( fxn , fz)  1d ( xn , z)  2d ( xn , xn1 )

Vì

Mặt khác, từ tính nửa liên tục dưới của 
suy ra

Vì xn  z khi n   nên từ bất đẳng
thức này suy ra

liminf 1 (an , bn , cn , dn )  liminf  (bn , dn )   (an , cn 

d (z, fz)  (3  5 )d ( z, fz )   (0, d ( z, fz ), d ( z, fz ),0).

với

3  5  1

suy

2

ta có 1 (a, b, c, d )  0  a  b  c  d  0.

 (d ( xn , xn1 ), d ( xn , fz), d ( z, fz), d ( z, xn1 ))

hợp

  F1   : 0,    0,    nửa

liên tục dưới và  ( x, y)  0  x  y nên

3d ( xn , fz )   4 d ( z, xn1 )  5d ( z, fz )

Kết



4

n

n

 liminf  (bn , dn )  liminf  (an , cn )

ra

n

n

 (0, d ( z, fz), d ( z, fz),0)  0 . Do đó d(z, fz)

  (liminf bn , liminf dn )   (liminf an , lim inf cn )

= 0 tức là fz = z. Vậy z là điểm bất động
của f.

 1 (liminf an , liminf bn , liminf cn , liminf dn )

n 

n

n

n 

n

n

n 

n

Như vậy 1  F3 .

Giả sử u  X cũng là điểm bất động
của f. Khi đó, vì f là ánh xạ cyclic suy ra u
 Ai với mọi i = 1, 2, …, m. Do đó, theo
điều kiện (3) ta có

Bây giờ, dễ dàng kiểm tra các điều
kiện của Định lí 2.1 được thỏa mãn với
1  2  5  0,3  4   và 1 được

d (u, z)  d ( fu, fz)  1d (u, z)  2d (u, u)  3d (u, z)  4d ( z, u)  5d ( z, z)

xác định như trên. Do đó, từ Định lí 2.1 ta

có điều phải chứng minh.

 (1  3  4 )d (u, z)   (0, d (u, z),0, d (u, z)).

2.3. Hệ quả. ([4] Theorem 2.9) Cho
(X,d) là không gian mêtric đầy đủ
A1 , A2 ,..., Am là các tập con đóng khác

 (0, d (u, z),0, d (u, z))

Từ 1  3   4  1 và tính chất của 
suy ra d(u, z) = 0, tức là u = z. Vậy điểm
bất động của f là duy nhất.

rỗng của X, và X 

2.2. Hệ quả. ([4] Theorem 2.9). Cho
(X, d) là không gian mêtric đầy đủ
A1 , A2 ,..., Am là các tập con đóng khác
rỗng của X, và X 

i 1

một điểm bất động z 

bất động z 

i 1

Ai . Giả sử rằng f:

m
i 1

Ai .

Chứng minh. Vì F2  F3 nên từ Định
nghĩa 1.5. 2) dễ dàng kiểm tra được các
điều kiện của Định lý 1.2 được thỏa mản

Ai . Giả sử rằng

f: X  X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea. Khi đó, f có duy nhất một điểm
m

i 1

X  X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea suy rộng. Khi đó, f có duy nhất

Sau đây là các hệ quả của Định lý 2.1

m

m

với 1  0,  2  3   4  5     0, 1 


Ai .

4

và

  F2 . Do đó kết quả cần chứng minh
được suy ra từ Định lí 1.2.

Chứng minh. Vì f là ánh xạ cyclic co
26


1  3  4  1

Trong Định lý 2.1, lấy A1  A2  ...  An  X
ta nhận được hệ quả sau.

và

2.4. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ và f: X  X là ánh xạ
cyclic sao cho tồn tại   F3 và các số

d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2 d ( x, fx)  3 ( x, fy)

với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m,
trong đó Am1  A1 thì f có điểm bất động

1   2  2 3   5  1

1   3   4  1

và

 5d ( y, fy)   (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx))

với mọi x, y  X. Khi đó, f có điểm bất
động duy nhất z  X.

i 1

Ai .

Chứng minh. Từ (13) và (14) suy ra
tồn tại các hằng số không âm 1 ,  2 ,..., 5
sao cho các điều kiện (1) và (2) trong Định
lý 2.1 được thỏa mản và i  i với
i=1,2,…,5.

2.5. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ A1 , A2 ,... Am , là các tập

Ta

xác

định

hàm

 : 0,    0,   bởi công thức
4

con đóng, khác rỗng của X và f:

 (a, b, c, d )  (2  2 )a  (3  3 )b  (4   4 )d  (5  5 )c

m

A là ánh xạ cyclic. Khi đó,
i 1 i

với mọi (a, b, c, d )   0,   . Khi đó, 
4

nếu tồn tại các hằng số không âm
1 , 2 ,..., 5 sao cho

1  2  23  5  1,

m

duy nhất trong

d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2 d ( x, fx)  3d ( x, fy)   4 d ( y, fx)

A
i 1 i

(15)

 4 d ( y, fx)  5d ( y, fy)

không âm 1 ,  2 ,..., 5 thỏa mãn

m

(14)

liên tục và từ i  i với mọi i = 1, 2, .., 5
suy ra rằng, nếu (a, b, c, d) = 0 thì a =b =
c = d =0. Do đó,   F3 . Từ (15) suy ra

(13)

d ( fx, fy )  1d ( x, y )   2 d ( x, fx)   3d ( x, fy )   4d ( y, fx)
  5 d ( y, fy )   (d ( x, fx ), d ( x, fy ), d ( y, fy ), d ( y, fx))
 1d ( x, y )   2 d ( x, fx )   3d ( x, fy )   4d ( y , fx )
  5 d ( y, fy )   (d ( x, fx), d ( x, fy ), d ( y, fy ), d ( y, fx))
với mọi

và

x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m

d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2 d ( x, fx)  3d ( x, fy)

.Như vậy các điều kiện của Định lý 2.1
được thỏa mãn. Do đó f có một điểm bất
động duy nhất trong

  4d ( y, fx)  5d ( y, fy )

với mọi x, y  X thì f có duy nhất một
điểm bất động trong X.
Chứng minh. Theo điều kiện (17) ta có

m

A.
i 1 i

2.6. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ, f: X  X. Khi đó, nếu
tồn tại các hằng số không âm 1 ,  2 ,..., 5

d ( fy, fx)  1d ( x, y)  2d ( y, fy)  3d ( y, fx)  4d ( x, fy)  5d ( x, fx)

x, y  X

(18)

Từ (17) và (18) suy ra

sao cho

1   2  3   4  5  1

(17)

d ( fx, fy )  1d ( x, y ) 

(16)



27

 4  3
2

 2  5
2

d ( y , fx ) 

d ( x, fx) 

5   2
2

 3 4
2

d ( x, fy )

d ( y, fy )

x, y  X

(19)


Đặt 1  1 , 2  5   2  5 , 3   4  3   4 .
2

f 1  2, f 2  f 3  f 4  4.

2

Trên X ta xét mêtric d được cho bởi
i) d ( x, y)  0  x  y

Khi đó, từ (16) suy ra 1  2  23  5  1
và 1  3  4  1.

ii) d ( x, y)  d ( y, x), x, y  X

Mặt khác, nếu lấy A1  A2  ...  Am  X
thì từ (19) suy ra f thỏa mãn (15). Như vậy
các điều kiện trong Hệ quả 2.5 được thỏa
mãn. Do đó f có một điểm bất động duy
nhất trong X.
2.7. Hệ quả ([6] Theorem 3.1). Giả sử
A1 , A2 ,..., Am là các tập con đóng khác
rỗng của không không gian mêtric đầy đủ
(X, d) và f: im1 Ai  im1 Ai là ánh xạ
cyclic.
Khi
đó,

nếu
tồn
tại
 1
 1
a  (0,1), b   0,  , c   0, 
 2
 2

3
2
iv) d (2,3)  d (2, 4)  d (3, 4)  1.

iii) d (1, 2)  d (1,3)  d (1, 4) 

Khi đó, (X, d) là không gian mêtric
đầy đủ, A1 , A2 là các tập con đóng, khác
rỗng của X và f là ánh xạ cyclic.
ta
0,   0,  bởi
Bây giờ,

0

 (a, b, c, d )   1
 3

sao cho mỗi

cặp (x, y)  Ai x Ai 1 , i  1, 2,..., m, Am1  A1

một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn
1) d ( fx, fy)  ad ( x, y);

thì f có duy nhất điểm bất động
m

Ai .

Chứng minh. Hệ quả này được suy ra
trực tiếp từ Hệ quả 2.5 bằng việc lấy
1) 1  a, 2  3  4  5  0;

:

nếu a = b = c = d = 0
nếu xảy ra các trường hợp
còn lại

2

2) 1  0, 2  5  b, 3  4  0;

4

Từ đó suy ra f không là ánh xạ cyclic
co yếu kiểu Chatterjea. Do đó Định lý 2.2
trong [4] không áp dụng được cho f.
Mặt khác

3) 1  2  3  0, 3  4  c.

Hệ quả 2.2 và Hệ quả 2.3 đã chỉ ra
rằng Định lý 2.1 là mở rộng của hai Định
lý 2.2 và 2.9 trong [4]. Ví dụ sau đây cho
thấy Định lý 2.1 thực sự mạnh hơn hai
Định lý 2.2 và 2.9 trong [4].

d ( f 1, f 2)  1 

1
 d (1, f 1)  d (1, f 2)  d (2, f 1)  d (2, f 2)
4
3 3
3 3
  ( , , 0,1)  1   ( , , 0,1).
2 2
2 2

với mọi   F2 . Điều này chứng tỏ f
không là ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea suy rộng. Do đó Định lí 2.2
trong [4] không áp dụng được cho f.

2.8. Ví dụ
Giả sử X  1, 2,3, 4 , A1  1, 4 , A2  2,3, 4
và f : X  X

hàm

Đặt 1  1;2  3   4  5  0. Khi đó, ta
dễ dàng kiểm tra được hàm f thỏa mãn tất

cả các điều kiện của Định lý 2.1. Do đó
Định lý 2.1 áp dụng được cho f.
Tiếp theo, ta chứng minh Định lý 2.2
và Định lý 2.9 trong [4] không áp dụng
được cho f.
Ta có d ( f 1, f 2)  d (2, 4)  1  1 d (1, f 2)  d (2, f 1)  3 .

3) d ( fx, fy)  c  d ( x, fy)  d ( y, fx)

i 1

định

nếu a = b = c = d = 0 nếu xảy ra các
trường hợp còn lại
Ta thấy   F3 .

2) d ( fx, fy)  b  d ( x, fx)  d ( y, fy);

z

xác

4

là hàm được cho bởi
28


point theorem for cyclic Chatterjea type

contraction, Journal of Applied Mathematics,
Volune 2012, Article ID 165698, 15 pages,
doi: 10.1155/2012/165698.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. S.K. Chatterjea (1972), Fixed-point theorems.
Acad Bulgare Sci, vol. 25, pp 727-730.
2. B.S. Choudhury (2009), Unique fixed point
theorem for weak C - contractive mappings,
Kathmandu University Journal of Science,
Engineering and Technology, vol.4, no.1, pp 6-13.

5. W.A.Kirk, P.S. Srinivasan, and P.Veeramani
(2003), Fixed point for mappings satisfying
cyclic contractive conditions, Fixed point
Theory, vol. 4, no. 1, pp 79-89.

3. E. Karapinar (2011), Fixed point theory for
cyclic weak  - contraction, Applied
Mathematics Letters, vol. 24, no.6, pp 822-825.

6. M.Petric, Bzalatanov (2010), Fixed point
theorems of Kannan type for cyclical
contractive
conditions,
Anniversary
International Conference REMIA.

4. E. Karapinar and H.K. Nashine (2012), Fixed

Ngày nhận bài: 22/12/2016

Biên tập xong: 15/01/2017

29

Duyệt đăng: 20/01/2017