Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu dạng phân thức tuyến tính

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Số 23 (48) - Tháng 12/2016

Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu
dạng phân thức tuyến tính
A note on duality in linear fractional programming
ThS. Huỳnh Khoa
Trường THPT Nguyễn Thị Diệu
Huynh Khoa, M.Sc.
Nguyen Thi Dieu High School
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tơi quan tâm đến một lược đồ đối ngẫu của bài tốn tối ưu dạng phân thức
tuyến tính do Seshan [12] đề xuất. Điểm đặc biệt của lược đồ đối ngẫu này là bài tốn gốc và bài tốn
đối ngẫu có cùng hàm mục tiêu. Mặc dù lược đồ này đã thu hút sự quan tâm và được khảo cứu lại trong
các tài liệu, nhưng các bước để dẫn đến sự hình thành lược đồ dường như chưa được làm rõ. Mục đích
của bài báo này là chỉ rõ rằng, lược đồ đối ngẫu ấy có thể nhận được từ các phép biến đổi CharnesCooper và phép biến đổi của Dinkelbach. Ví dụ minh họa được giới thiệu.
Từ khóa: đối ngẫu Seshan, phương pháp Charnes - Cooper, phương pháp Dinkelbach.
Abstract
We are interested in the duality scheme of a linear fractional programming problem proposed by
Seshan. The specification of the duality scheme is that the dual problem and the primal problem have
the same objective functions. Despite having academic attentions and having been studied in literature,
the motivation for the scheme is not clear. The aim of this paper is to show that the duality scheme can
be obtained based on the Charnes-Cooper and Dinkelbach transformations. An example is given.
Keywords: Seshan’s duality, Charnes – Cooper method, Dinkelbach method.

 c1 
 d1 
 
 
c2 

d

trong đó c 
, d   2  là các
 
 
 
 
 cn 
 dn 

1. Phần giới thiệu
Bài tốn tối ưu dạng phân thức tuyến
tính được nhiều nhà tốn học quan tâm từ
rất sớm [14], [8], [7], [5]. Như là một sự
mở rộng tự nhiên của bài tốn tối ưu dạng
tuyến tính, người ta quan tâm dạng bài tốn
tối ưu phân thức tuyến tính sau đây
cT x  c0
(P)Max F ( x)  T
(1.1)
d x  d0
Đ.k. Ax  b,
x  0,

 b1 
 
b
vectơ cột gồm n thành phần; b   2  là
 

 
 bm 
vectơ cột gồm m thành phần; c0 , d0 là

(1.2)

những hằng số, A là ma trận cấp m  n

(1.3)

155


( m  n , hạng của A bằng m). Từ bài toán
(P), nếu mẫu thức là hằng số, ta có bài toán
quy hoạch tuyến tính thông thường. Tuy
nhiên nếu mẫu thức không là hàm số thì
hàm mục tiêu thường là không là lồi. Điều
đó có nghĩa, bài toán tối ưu dạng phân thức
tuyến tính là bài toán tối ưu không lồi. Có
nhiều phương pháp giải bài toán này đã
được tổng hợp và giới thiệu trong tài liệu
[3], [11]. Hơn thế nữa nhiều lược đồ đối
ngẫu cho bài toán tối ưu dạng phân thức
tuyến tính đã được thiết lập [1], [13], [6],
[7], [2], [12].
Chúng ta đã biết rõ rằng: trong tối ưu
tuyến tính, đối ngẫu của bài toán tối ưu
tuyến tính cũng có dạng bài toán tối ưu
tuyến tính. Câu hỏi này được đặt ra cho bài

toán (P) nêu trên: Có hay không một lược
đồ đối ngẫu của bài toán tối ưu dạng phân
thức tuyến tính mà bài toán đối ngẫu cũng
là dạng phân thức tuyến tính?
Theo sự hiểu biết của chúng tôi, trong
tất cả các lược đồ đối ngẫu áp dụng cho bài
toán phân thức tuyến tính, chỉ có lược đồ
đối ngẫu Seshan [12] đưa ra vào năm 1980
là trả lời được câu hỏi nêu trên.
Từ bài toán (P), trong bài báo [12],
năm 1980, Seshan đã giới thiệu một bài
toán đối ngẫu của (P) như sau:
cT u  c0
(D) Min I (u, v)  T
(1.4)
d u  d0

qua một lược đồ đối ngẫu cải biên, các
định lí về đối ngẫu yếu và đối ngẫu mạnh
được thiết lập. Hơn thế nữa, đặc trưng tập
nghiệm của (P) đã được giới thiệu. Lược
đồ đối ngẫu nói trên đã được tổng hợp và
giới thiệu trong tài liệu [3]. Mặc dù lược
đồ đối ngẫu Seshan thu hút được quan tâm,
nhưng các bước tiến hành xây dựng bài
toán đối ngẫu Seshan dường như vẫn chưa
được làm rõ và câu hỏi về cơ sở để hình
thành được bài toán đối ngẫu Seshan vẫn
còn bỏ ngỏ trong nhiều năm. Năm 2010,
trong bài báo số [4], các tác giả đã làm rõ

một số lược đồ đối ngẫu tương đương của
bài toán (P). Đặc biệt tác giả chỉ ra lược đồ
đối ngẫu của (P) do Gol'stein đề nghị trong
bài báo số [9] có thể dẫn tới đối ngẫu
Seshan thông qua một hàm Lagrange thích
hợp dạng phân thức và phép biến đổi của
Charnes-Coopper.
Mục đích của nghiên cứu này là đưa
ra lời giải thích về sự hình thành bài toán
đối ngẫu mà Seshan đã giới thiệu trong
[12]. Bằng cách tiếp cận bài toán đối ngẫu
theo kiểu biến đổi của Charnes - Cooper
[10] và theo kiểu biến đổi Dinkelbach [3],
chúng tôi đã đưa ra được các giải thích
hợp lý cho việc hình thành lược đồ đối
ngẫu của Seshan. Chú ý rằng, mặc dù sử
dụng biến đổi Charnes-Cooper để đi đến
lược đồ đối ngẫu Seshan, nhưng cách tiếp
cận của chúng tôi là không trùng lặp với
hướng tiếp cận của Gol'strein mà bài báo
[4] đã bình luận.
Trong các phần còn lại của bài báo
này, phần tiếp theo được dành cho một số
kết quả cơ bản đã biết để phục vụ cho các
chứng minh trong bài báo. Trong phần
cuối cùng, cũng là phần chính của bài
báo, chúng tôi nêu ra hai cách tiếp cận để
giải thích sự hình thành bài toán đối ngẫu
đã giới thiệu trong [12]. Một ví dụ cũng

Đ.k. c  d T u   d  cT u   AT v  c0 d  d0 c, (1.5)
c0 d T u  d0 cT u  bT v  0,

(1.6)

u  0, v  0.

(1.7)

Với bài toán này, các định lý đối ngẫu
yếu và đối ngẫu mạnh cho bài toán (P) đã
được thiết lập. Năm 2006, T.Q. Sơn trong
bài báo [2] đã quan tâm đến lược đồ này.
Bằng cách điều chỉnh miền chấp nhận được
của bài toán (P) một cách thích hợp, thông
156


z  0  zn1  0  .

được giới thiệu để minh họa cho kết quả
nghiên cứu.
2. Các kí hiệu và kiến thức cơ bản



Kí hiệu X  x 

n

Theo quy tắc đối ngẫu của bài toán
quy hoạch tuyến tính thông thường, ta thu
được bài toán đối ngẫu của (L1) có dạng:
(DL1)
Min H     T g



Ax  b, x  0 là

tập chấp nhận được của bài toán (P). Giả
sử d T x  d0  0 với mọi x  X , tập X là

Đ. k. i  0, i  1, m ,

m1  ,

bị chặn và hàm mục tiêu F của bài toán
(P) không phải là hàm hằng trên X . Kí
hiệu Y là tập chấp nhận được của bài toán
(D) và giả sử d T u  d0  0 với mọi

 T B  hT ,
 1 


,
trong đó   
 m 



  m 1 

 u, v   Y .
Từ bài toán (P), bằng cách sử dụng
phép đổi biến của Charnes – Cooper [3],
1
đặt t  T
và y  tx ta thu được bài
d x  d0
toán quy hoạch tuyến tính có dạng
(L1) Max G  y, t   cT y  c0 t
(2.8)
Đ. k. Ay  bt  0,

(2.10)

y  0, t  0.

(2.11)

có

 A b 
thành phần, B   T
 là ma
d d0 
trận cấp  m  1   n  1 .

 m  1

Với bài toán phân thức tuyến tính
(P), giả sử d T x  d0  0 với mọi x  X .

(2.9)

d T y  d0 t  1 ,

0
 
g  
0
 
1

Đặt f  x   cT x  c0 , g  x   d T x  d0 .
Chúng tôi quan tâm bổ đề sau đây :
Bổ đề 2.1
Hàm E     max  f  x    g  x  ,  

Kí hiệu F1 là tập chấp nhận được của
(L1).

xX

 c1 
 y1 
 
 



Bằng cách đặt h 
, z   ,
 cn 
 yn 
 
 
 t 
 c0 

là hàm giảm.
Chứng minh. Lấy 1 , 2 sao cho

2  1 . Ta có
E  2   max  f  x   2 g  x  
xX

 d1 
 
k    , A  [ A  b] là ma trận cấp
 dn 
 
 d0 

 f  x2   2 g  x2 
 f  x2   1 g  x2 
 max  f  x   1 g  x    E  1 
xX

m   n  1 với cột thứ  n  1 là b , bài

Vậy E    là hàm giảm.

toán (L1) được viết gọn lại như sau :
Max hT z

Định lí sau đây thiết lập sự mối liên
hệ giữa bài toán phân thức tuyến tính và
bài toán quy hoạch tuyến tính tham số.
Định lí 2.1 ([3], trang 88) Với

Đ. k. Az  0,

kT z  1 ,
157


f  x   cT x  c0 , g  x   d T x  d0 , giả sử

E  1   E  0   max  x1  x2  .
xX

X   và g  x   0 với mọi x  X . Khi

Khi đó E  1   1. Đặt 2 

đó x0  X là nghiệm tối ưu của (P) nếu và
max  f  x   0 g  x   E  0   0,

trong đó 0 

f  x0 

g  x0 

.

Do E    là hàm giảm, áp dụng định lí

Do đó 2 

2.1 nghiệm tối ưu của (P) tìm được dựa
vào thuật toán sau đây (xem [3], trang 88):
Bước 1: Với   1  0 , tìm x1 là

1
2

xX

f  x1 

g  x1 

.

Bước 2: Tìm x2 là nghiệm của bài
toán E  2   max  f  x   2 g  x  . Đặt
xX

f  x2 

g  x2 

x  X . Khi đó, bài toán (P) có nghiệm khi
và chỉ khi bài toán (L1) có nghiệm và
chúng có chung giá trị tối ưu.
Chứng minh. Lấy x* là nghiệm của
1
(P). Đặt t *  T *
và y*  t * x* . Khi
d x  d0

.

Bước 3: Tương tự như Bước 2 và tiếp
tục. Dừng lại nếu E  k   0 . Khi đó ta tìm
được xk 1 là nghiệm của (P) và k là giá trị
tối ưu của (P).
Ví dụ 2.1 Xét bài toán
Max F ( x) 

(P1)

đó  y* , t *   F1 . Thật vậy

x1  x2
x1  x2  1

Ay*  bt *  t * Ax*  bt *  t *  Ax*  b   0,

d T y*  d0 t *  d T t * x*  d0 t *  t *  d T x*  d0   1,

Đ.k. x1  x2  1,

y*  0, t *  0 .
Ta có

x1 , x2  0.
Kí hiệu X là tập chấp nhận được của (P1).

*
T *
cT y*  c0 t * cT t * x*  c0 t * t  c x  c0 
.(3.12)
 T *
 T *
d T x*  d 0
d x  d0
d x  d0

E     max  x1  x2    x1  x2  1
xX

1:

1
là giá trị tối ưu của (P1) và
2

0

X 1    là nghiệm của (P1).
1 
3. Nội dung chính
3.1. Đối ngẫu Seshan nhận được từ
biến đổi của Charnes – Cooper
Theo phương pháp đổi biến của
Charnes – Cooper, bài toán (P) và (L1) là
tương đương.
Bổ đề 3.1 Giả sử d T x  d0  0 với mọi

nghiệm của bài toán E  1   max f  x  .

Bước



1
1


E  2   E    max  x1  x2   x1  x2  1 
xX
2
2
 


1
1
 max   x1  x2   

xX
2
2
 0.

xX

3 

g  X1 

Bước 2 :

chỉ nếu

Đặt 2 

f  X1 

  1  0 , chọn được

Vì x* là nghiệm tối ưu của (P) nên

0
X 1    là một nghiệm của bài toán
1 

cT x*  c0
cT x  c0
với mọi x  X . (3.13)


d T x*  d 0 d T x  d 0

158


 y, t   F1

Với mọi

 

thì t  0 (do

Như vậy nếu y, t là nghiệm của (L1)

d x  d0  0 với mọi x  X ).
T

y
là nghiệm của (P) và
t

thì x 

y
. Khi đó x  X . Thật vậy,
t
do  y, t   F1 nên
Đặt x 



F x 

cT x  c0
d T x  d0

 

 cT t x  c0 t  cT y  c0 t  G y, t .

Chú ý rằng với quy tắc đối ngẫu của
y
 b  0  Ax  b
bài
toán quy hoạch tuyến tính thông
t
thường, ta thu được bài toán đối ngẫu của
và x  0 . Từ (3.12), (3.13), ta có
(L1) như sau:
cT y*  c0 t *
*
T

t
c
y

c

t
,

y
,
t

F
  1

0 
(DL1)
Min H     T g
d T x*  d 0
Đ. k. i  0, i  1, m ,
hay
T *
*
T
c y  c0t  c y  c0t ,   y, t   F1 .
m1  ,
Ay  bt  0  A

 y ,t 
*

Suy ra

*

 T B  hT ,

là nghiệm tối ưu của

 1 


,
trong đó   
 m 


  m 1 

(L1) và
cT x *  c
G  y* , t *   cT y*  c0 t *  cT t * x*  c0 t *  T * 0  F  x*  .
d x  d0

Ngược lại, lấy

 y, t 

là nghiệm của

(L1), tức là

 A b 
thành phần, B   T
 là ma

d d0 
trận cấp  m  1   n  1 .

T

y
không là nghiệm của
t
(P). Khi đó tồn tại x0  X sao cho

Giả sử x 

Từ bài toán (DL1), gọi ai là vectơ

 1 
 
cột thứ i của ma trận A, 1, n . Đặt    
 
 m
và   m1 . Khi đó:

cT x0  c0
cT x  c0

.
d T x0  d0 d T x  d 0

cT x  c0

Do

Nên

d x  d0
T

 cT y  c0 t ,

Như vậy
 B  hT  AT    d  c và bT    d0  c0 .
T

1
và y0  t0 x0 . Khi đó
d x0  d 0

Mặt khác,  T g  m1   . Bài toán

T

cT x0  c0
 cT y0  c0 t0 ,
T
d x0  d0

Do đó

 T B   a1T    d1 ,..., anT    dn , bT    d0  .

cT x0  c0
 cT y  c0 t .

T
d x0  d 0

Đặt t0 

có

 m  1

c y  d0 t  c y  d0 t ,   y, t   F1 .
T

0
 
g  
0
 
1

(DL1) chính là bài toán sau đây:
( Q )
Min 

 y0 , t0   F1 .

cT y0  c0 t0  cT y  c0 t

 

(mâu thuẩn vì y, t là nghiệm của (L1) ).

159

(3.14)

Đ. k. AT   c   d ,

(3.15)

bT   c0   d0  0,

(3.16)


  0,  

m

.

của bài toán quy hoạch tuyến tính.
3.2. Đối ngẫu Seshan nhận được từ
biến đổi Dinkelbach
Dựa vào định lí 2.1, bài toán (P) tương
đương với bài toán
(L2)
Max cT x  c0    d T x  d0 

(3.17)

Ta sẽ chỉ ra rằng, bài toán ( Q ) có thể

biến đổi thành bài toán đối ngẫu Seshan.
Thật vậy, với d T u  d0  0 với mọi u  0
và đặt  

cT u  c0
, v  (d T u  d0 ) .
d T u  d0

Đ. k. Ax  b ,
x  0.

Ta có :
AT   c   d

trong đó  là giá trị tối ưu của (P) và
giá trị tối ưu của (L2) bằng 0. Chú ý rằng
nếu sắp xếp lại hàm mục tiêu của bài toán
thì (L2) viết lại như sau:

  AT    d  c
  A v    d  c   d u  d0 
T

T

  d T u  c   cT u  d  AT v   d T u  c   cT u  d   c   d   d T u  d 0 
  d T u  c   cT u  d  AT v   d T u  c   cT u  d   d T u  c  d 0 c   cT u  c0  d
  d T u  c   cT u  d  AT v  c0 d  d 0 c .

Max {(c-d )T x  c0  d0 }

Nhận xét 3.1: Ràng buộc (1.5) là
tương đương ràng buộc (3.15)
Hơn thế nữa, ta cũng có

Đ.k. Ax  b,
x  0.
Giả sử x là nghiệm tối ưu của (L2).
Bài toán (L2) là bài toán dạng quy
hoạch tuyến tính. Theo quy tắc đối ngẫu
của bài toán quy hoạch tuyến tính, ta xác
định được bài toán đối ngẫu của (L2) có
dạng:

bT   c0   d0  0

  d T u  d0  bT   c0  d T u  d0   d0  cT u  c0   0
 bT v  c0 d T u  d 0 cT u  0

Nhận xét 3.2: Ràng buộc (1.6) là
tương đương ràng buộc (3.16)
Nhận xét 3.3: Ngoài ra, do cách đặt
 1 
   
 
 m

(DL2)

nên   0 và do v  (d u  d0 )

T



Min bT   c0  d0



Đ.k. AT   c  d ,

  0,  

nên v  0 .
Nhận xét 3.4: Do các Nhận xét 3.1,

m

.

Giả sử rằng v là nghiệm tối ưu của
(DL2). Kí hiệu F2 là tập chấp nhận được

T
3.2, 3.3 và với cách đặt   cT u  c0 , bài

d u  d0

của (DL2).
Bổ đề 3.2: Hàm số
R( ) = Min bT   c0   d0 | AT   c   d ,   0,  

toán ( Q ) là tương đương với bài toán
(D).
Tóm lại, từ Bổ đề 3.1, kết hợp với các
nhận xét 3.1, 3.2 và 3.3 và với cách đặt
cT u  c0
 T
, ta thấy rằng bài toán đối
d u  d0
ngẫu Seshan là tương đương với một bài
toán mà bài toán ấy lại có thể nhận được từ
bài toán (P) bằng cách kết hợp phép đổi
biến Charnes-Cooper với phép lấy đối ngẫu

m



m



là một hàm giảm.
Chứng minh. Giả sử 2  1. . Ta có:
R( 2 ) = Min bT   c0  2 d0 | AT   c  2 d ,   0,  
= bT v  c0  2 d0 .
Khi đó, theo quy tắc đối ngẫu giữa
(L2) và (DL2) ta cũng có:
R(2 )  Max{(c  2 d )T x  c0  2 d0 | Ax  b, x  0}
160

= (c  2 d )T x  c0  2 d0

đương với bài toán ( Q )

 (c  1d )T x  c0  1d0

Tóm lại: từ Bổ đề 3.3, kết hợp với các
Nhận xét 3.4 và 3.5 ta thấy rằng bài toán
đối ngẫu Seshan có thể nhận được từ bài
toán (P) bằng cách kết hợp phép đổi biến
Dinkelbach với phép lấy đối ngẫu của bài
toán quy hoạch tuyến tính.
Ví dụ 3.1. Xét bài toán
x  x2
(P1) Max F(x)= 1
x1  x2  1

 Max{(c  1d )T x  c0  1d0 | Ax  b, x  0}

 Min bT   c0  1d0 | AT   c  1d ,   0,  

m



= R(1 ) .
Do đó R( ) là hàm giảm.
Bổ đề 3.3: Giả sử  là giá trị tối ưu

của (P). Khi đó v là nghiệm của (DL2) nếu
và chỉ nếu ( v ,  ) là nghiệm của ( Q ).

Đ.k. x1  x2  1 ,

x1 , x2  0.

Chứng minh. Lấy v là nghiệm của
(DL2). Khi đó:

Ký hiệu X   x   x1  | x1  x2  1, x1 , x2  0
x

b v  c0  d0  0 ,
T



A v  c  d và v  0.
Do đó
R( )  0 và (v,  )  F2 .

Với mọi ,    F2 thì
R( )  0

 R( )  R( )

   .
Vậy  là giá trị tối ưu của ( Q ), tức là
( v ,  ) là nghiệm của ( Q ).



u1 , u2 , v  0.
Ký hiệu
Y = (u, v) |  u1  u2  v  0, v  1, u  (u1 , u2 )  0, v 

AT v  c  d và v  0.
Vì  là giá trị tối ưu của (P) nên





u1  u2  v  0,

bT v  c0  d0  0,



là tập chấp nhận được của (D1). Giá trị
1
tối ưu của (D1) là và
2
Sol (D1) = (u,1) | u  (u1 , u2 )  0, u1  u2  1.



min b   co  d0  0.
F2

2

Đ.k. v  1,

Ngược lại, lấy ( v ,  ) là nghiệm của
( Q ), ta có:

T



là tập chấp nhận được của (P1). Giá trị
1
tối ưu của (P1) là
và
2


 x1 

Sol (P1)    | x1  x2  1, x1 , x2  0  .


 x2 

Bài toán đối ngẫu Seshan của (P1) có
dạng:
u  u2
(D1)

Min I (u, v)  1
u1  u2  1

T

Mặt khác, bT v  c0  d0  min bT   co  d0   0.
F2

Do đó

Theo hướng tiếp cận Charnes –
Cooper, (P1) được đưa về dạng bài toán
quy hoạch tuyến tính thông thường như
sau, ký hiệu (L3):

bT v  c0  d0  0.
Như vậy v là nghiệm tối ưu của (DL2).
Nhận xét 3.5: Bài toán (DL2) là tương
161


Max G( y, t )  y1  y2

(L4)

Đ.k. y1  y2  t  0,

x1 , x2  0 .

y1 , y2 , t  0.

trong đó  là giá trị tối ưu của (P1).
Ta tìm được giá trị tối ưu của (P1) là
1
  (xem ví dụ 2.1)
2
nên
1
1
(L4) Max  ( x1  x2 )  
2
2

Sol (L3) = ( y1 , y2 , 1 ) | y1  y2  1 , y1 , y2  0.
2



2

Theo quy tắc đối ngẫu thông thường,
ta xác định được bài toán đối ngẫu của
(L3), ký hiệu (DL3):
Min H (l )  l T g  l2
Đ.k. l1  0,

Đ.k. x1  x2  1;

l1  l2  0,

x1 , x2  0 .

l1  l2  1.

Bài toán đối ngẫu của (L4) có dạng:
1

(DL4) Min   
2

1
Đ.k.   ,
2
 .
Giá trị tối ưu của (DL4) là 0 và
1 
Sol(DL4)=   .
2
Theo bổ đề 3.3, (DL4) đưa về dạng bài
toán tham số
 K  Min 

 l1 
0
trong đó l    , g    .
1 
 l2 
Bằng cách đặt   l2 và   l1 , ta thấy
(DL3) có dạng bài toán tham số
(K  ) Min 

Đ.k.



Đ.k. x1  x2  1;

y1  y2  t  1,





Max x1  x2   ( x1  x2  1)

    0,
  1  ,
  0.

Giá trị tối ưu của (K  ) là 1 và
2

 1 1  
Sol (K  ) =  ,   .
 2 2  
u  u2
Đặt   1
với u1 , u2  0. và
u1  u2  1

Đ.k.

v  (u1  u2  1) . Khi đó

    0,
  1  ,
  0.

Giá trị tối ưu của

    0  u1  u2  v  0;
  1    v  1;
  0  v  0.

 K 

là

1
2

và

Sol  K   =  1 ; 1   .
 2 2  

Bằng cách đặt   u1  u2

u1  u2  1

Do đó (K  ) được viết lại giống bài

với

u1 , u2  0. và v  (u1  u2  1)  , thì  K  

toán đối ngẫu (D1).
Theo hướng tiếp cận Dinkelbach, (P1)
được đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính
tham số

được viết lại giống bài toán đối ngẫu (D1).
Để kết thúc bài báo này chúng tôi giới
thiệu sơ đồ hình thành lược đồ đối ngẫu Seshan.
162


Hình 1: Lược đồ thiết lập bài toán đối ngẫu Seshan
programs, Oper. Research, 24, 675-699.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

8. E. G. Gol'stein (1967), Dual problems of
convex and fractionally-convex programming
in functional spaces, Soviet Math. Dokl, 8,
212-216.

1. B. D. Craven, B. Mond (1973), The dual of a
fractional linear program, Journal of
mathematical analysis and appications, 42,
507-512.

2. Ta Quang Son (2006), On a duality scheme in
linear fractional programming, Nonlinear
analysis forum, 42, 137-145.
3. I. M. Stancu - Minasian (1997), Fractional
Programming, Kluwer Academic Publishers,
U.S.A.
4. S. Jahan and M.A. Islam (2010), Equivalence
of duals in linear fractional programming,
Dhaka Univ. Journal of Sciences, 58, 73-78.
5. K. Swarup (1965), Linear fractional
functionals programming, Oper. Research, 13,
1029 - 1036.
6. S.F. Tantawy (2008), A new procedure for
solving linear fractional programming
problems, Mathematical and computer
modelling, 48, 969-973.
7. G. R. Bitran, T. L. Magnanti (1976), Duality
and sensitivity analysis for fractional

Ngày nhận bài: 05/10/2016

9. E. G. Gol'stein (1971), Duality Theory in
Mathematical Programming, Nauka, Mosow.
10. A. Chanes and W.W. Cooper (1962),
Programming with Linear Fractional
Functionals, Naval Research Quarterly, 8,
181-186.
11. S. Schaible (1976), Fractional programming.
I, Duality, Management Science, 22, 858-867.
12. C. R. Seshan (1980), On duality in linear

fractional programming, Proc. Indian Acad.
Sci. (Math. Sci.), 89, 35-42.
13. K. Swarup (1965), Linear fractional
functionals programming, per.Research, 13,
1029-1036.
14. T.
Weir
(1991),
Symmetric
dual
multiobective
fractional
programming,
J. Austral. Math. Soc. (Series A), 50, 67-74.

Biên tập xong: 15/12/2016

163

Duyệt đăng: 20/12/2016