3 thi online bài toán về mặt cầu có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE - BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 . Tính bán kính R của mặt
cầu (S).
A. R  3

B. R  9

C. R  3

D. R  3 3

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu
( x  1)2  ( y  2)2  ( z  4)2  20 .

A. I  1, 2, 4  và R  5 2

B. I  1, 2, 4  và R  2 5

C. I 1, 2, 4  và R  20

D. I 1, 2, 4  và R  2 5

Câu 3. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau: x 2  y 2  z 2  8 x  2 y  1  0
A. Mặt cầu có tâm I  4, 1, 0  và bán kính R  4 .

C. Mặt cầu có tâm I  4,1, 0  và bán kính R  16 .

B. Mặt cầu có tâm I  4, 1, 0  và bán kính R  16 .

D. Mặt cầu có tâm I  4,1, 0  và bán kính R  4 .

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là
phương trình của mặt cầu?
A. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  8  0.

C. 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  2 y  2 z  16  0

B. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  1)2  9.

D. 3x 2  3 y 2  3z 2  6 x  12 y  24 z  16  0

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tập tất cả giá trị của tham số m để mặt cầu  S  có phương
trình x 2  y 2  z 2  2 x  2my  4 z  m  5  0 đi qua điểm A 1;1;1 .

 2
B.   
 3

A. 

C. {0}

1 
D.  
2

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  m  0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m  6

B. m  6

C. m  6

D. m  6

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 2  y 2  z 2  2mx  2(m  2) y  2(m  3) z  8m  37  0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m  2 hay m  4 .

B. m  4 hay m  2 .

C. m  2 hay m  4 .

D. m  4 hay m  2 .

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  có tâm I 1, 2, 3 và đi qua điểm A 1, 0, 4  có
phương trình là
A. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  53.

B. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  53.

C. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  53.

D. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  53.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên
trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm I, bán kính IM?
A. ( x 1)2  y 2  z 2  13

B. ( x  1)2  y 2  z 2  13

C. ( x  1) 2  y 2  z 2  17

D. ( x  1)2  y 2  z 2  13

x y 1 z  1
và điểm A  5, 4, 2  .


1
2
1
Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) là
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

A. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  z 2  65.

B. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  z 2  9.

C. ( S ) : ( x  1)2  ( y  2)2  z 2  64.

D. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  2) 2  65.

Câu 11. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  3,1, 2  , B 1, 1, 0  . Phương trình mặt cầu nhận AB làm
đường kính có tọa độ tâm là:

A. (2, 0, 2)

B. (1,0,1)

C. (1, 0,1)

D. (1,0, 1)

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai điểm E  2,1,1 , F  0,3, 1 . Mặt cầu  S 
đường kính EF có phương trình là:
A. ( x  1)2  ( y  2) 2  z 2  3.

B. ( x  1)2  ( y  2) 2  z 2  9.

C. ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  1)2  9.

D. ( x  1)2  y 2  z 2  9.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1, 2, 4  ; B 1, 3,1 và C  2, 2,3 . Mặt cầu
(S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy) có bán kính là :
A.

34

B.

26

C.34

D.26

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba
điểm M  2;3;3 , N  2; 1; 1 , P  2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2 x  3 y  z  2  0 .
A. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  10  0

B. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0

C. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0

D. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  2  0

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2, 0,1 , B 1, 0, 0  và C 1,1,1 và mặt phẳng

P :

x  y  z  2  0 . Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng  P  là

A. x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  1  0.

B. x 2  y 2  z 2  x  2 y  1  0.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0.

D. x 2  y 2  z 2  x  2 z  1  0.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  2, 4, 1 , B  0, 2,1 và đường thẳng d có

 x  1  2t

phương trình  y  2  t
z  1 t


. Gọi  S  là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d . Đường kính mặt

cầu  S  là
A. 2 19.

B. 2 17.

C. 19.

D. 17.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  2,1, 1 và B 1, 0,1 . Mặt cầu đi qua hai điểm
A, B và có tâm thuộc trục Oy có đường kính là

B. 2 2.

A. 2 6.

C. 4 2.

D.

6.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh là

A 1,1,1 , B 1, 2,1 , C 1,1, 2  và D  2, 2,1 . Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là
A. x 2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  6  0.

B. x 2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  6  0.

C. x 2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  6  0.

D. x 2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  12  0.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1, 0, 0  , B  0,1, 0 , C  0, 0,1 và O  0, 0, 0  .
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là
A. x 2  y 2  z 2  x  y  z  0.

B. x 2  y 2  z 2  x  y  z  0.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  0.

D. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  0.

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  có phương trình
x 2  y 2  z 2  4mx  4 y  2mz  m2  4m  0 có bán kính nhỏ nhất khi m bằng

A.

1
2

B.

1
3

C.

3
2

D. 0

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
1A
6D
11B
16A

2D
7C
12A
17A

3A
8D
13B

18B

4C
9B
14B
19B

5B
10A
15A
20A

Câu 1.
Phương trình có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  1, b  2, c  1, d  3 .
Ta có công thức R  a 2  b2  c 2  d  12   2    1  (3)  3
2

2

Chọn A
Câu 2.
Phương trình có dạng  x  a    y  b    z  c   R 2 với a  1, b  2, c  4 và R  2 5 có tâm I 1; 2; 4  .
2

2

2

Chọn D
Câu 3.

Phương trình có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  4, b  1, c  0, d  1 có tâm
I  a, b, c    4, 1, 0  và bán kính R  a 2  b2  c 2  d  42   1  02  1  4
2

Chọn A
Câu 4.
Phương trình đáp án B có dạng  x  a    y  b    z  c   R 2 với a  1, b  2, c  1 và R  3 là phương
2

2

2

trình mặt cầu.
Phương trình đáp án A có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  1, b  1, c  1, d  8 có

R  a 2  b 2  c 2  d  11 là một phương trình mặt cầu.
Xét phương án C có : 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  2 y  2 z  16  0  x 2  y 2  z 2  2 x  y  z  8  0 .

1
1
Phương trình có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  1, b   , c   , d  8 có
2
2
1 1
a 2  b2  c2  d  1    8  0.
4 4
Không phải là phương trình mặt cầu.
Chọn C
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Câu 5.
(S) có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  1, b  m, c  2 và d  m  5 .
m  1
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có a 2  b 2  c 2  d  0  5  m 2  (m  5)  0  m 2  m  0  
m  0

Điểm A 1,1,1 thuộc phương trình mặt cầu (S) x 2  y 2  z 2  2 x  2my  4 z  m  5  0 thì ta có

12  12  12  2.1  2m.1  4.1  m  5  0  2  3m  0  m  

2
(thỏa mãn)
3

Chọn B
Câu 6.
(S) có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  1, b  1, c  2 và d  m .
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có a 2  b2  c 2  d  0  6  m  0  m  6
Chọn D
Câu 7.
(S) có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a  m, b    m  2  , c  m  3 và d  8m  37 .
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có
m  4
2
2
a 2  b 2  c 2  d  0  m 2   m  2    m  3   8m  37   0  3m 2  6m  24  0  
 m  2

Chọn C.
Câu 8.
Mặt cầu  S  có tâm I 1, 2, 3 và đi qua điểm A 1, 0, 4  có bán kính
R  IA  (1  1) 2  (0  2) 2  (4  3) 2  53

Phương trình mặt cầu qua I  a, b, c  và bán kính R có dạng ( x  a)2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2
Chọn D
Câu 9.
I là hình chiếu vuông góc của M 1, 2,3  trên trục Ox . Suy ra I 1, 0, 0  .
Ta có IM  (0, 2,3) . Có IM  22  32  13 .
Chọn B
Câu 10.
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giả sử M là giao điểm của d với mặt phẳng  Oxy  .

x  t

Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số  y  1  2t
 z  1  t

Ta có M thuộc d nên M  t, 2t  1,  t  1 . Vì M thuộc  Oxy  : z  0 nên có t  1  0 hay t  1 . Với t  1 ,
suy ra M  1, 1, 0  .
Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm M  1, 1, 0  , bán kính MA  (5  1) 2  (4  1) 2  (2  0) 2  65
Chọn A
Câu 11.
Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm I là trung điểm của AB . Suy ra ta có
x A  xB


x

I

2
 xI  1

y


A  yB
  yI  0
 yI 
2


 zI  1
z

zB

A
 zI  2

Chọn B
Câu 12.
Ta có EF  (2  0) 2  (1  3) 2  (1  1) 2  2 3 .
Mặt cầu (S) đường kính EF nhận trung điểm I của EF là tâm, có I 1, 2, 0  và bán kính R 

1

EF  3 .
2

Chọn A
Câu 13.
Tâm I thuộc mặt phẳng  xOy  : z  0 nên ta có z  0 . Suy ra, giả sử I  x, y, 0  .
Mặt cầu  S  qua A, B, C nên ta có IA  IB  IC  R
Ta có
 IA2  IB 2
 2
2
 IB  IC

( x  1) 2  ( y  2) 2  (4) 2  ( x  1) 2  ( y  3) 2  (1) 2

2
2
2
2
2
2
( x  1)  ( y  3)  ( 1)  ( x  2)  ( y  2)  (3)

4 y  4  16  6 y  9  1

2 x  1  6 y  9  1  4 x  4  4 y  4  9

10 y  10

2 x  10 y  6

y 1

 x  2

.

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Vậy I  2,1, 0  .
Có IA  26  R
Chọn B
Câu 14.
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm I A (1, 1,1) và RA  13
+ B cho mặt cầu tâm I B (2, 1,3) và RB  4
+ C cho mặt cầu tâm I C (2,1, 3) và RC  2 3
+ D cho mặt cầu tâm I D (1, 1,1) và RD  5
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng ( ) hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy I A  I D  I (1, 1,1) , nên ta tính bán kính R  IM rồi so sánh với RA , RD .
Có IM  12  42  22  21 . Ta thấy IM  RA  RD . Loại A và D
Chọn B
Câu 15.
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm I A (1, 0,1) và RA  1

1
1
+ B cho mặt cầu tâm I B ( ,1,0) và RB 

2
2
+ C cho mặt cầu tâm I C (1, 1, 0) và RC  1

1
1
+ D cho mặt cầu tâm I D ( ,0, 1) và RD 
2
2
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng (P) hay không.
Ta thấy I A thuộc (P) còn I B , I C , I D không thuộc (P).
Chọn A.
Câu 16.
Giả sử tâm I của mặt cầu  S  thuộc d, ta có I 1  2t, 2  t,1  t  . Vì mặt cầu  S  qua A và B nên ta có

IA  IB  R .
Từ giả thiết IA  IB ta có IA2  IB 2
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 (2t  1) 2  (t  2) 2  (2  t ) 2  (1  2t ) 2  (4  t ) 2  t 2
 4t  4t  4  4t  4  4t  8t  16  8t  8  t  1

Suy ra I  3,1, 2  . Do đó R  IA  9  9  1  19
Do đó, đường kính mặt cầu là 2 R  2 19
Chọn A
Câu 17.
Giả sử tâm I của mặt cầu (S) thuộc Oy, ta có I  0, t, 0  . Vì mặt cầu (S) qua A và B nên ta có IA  IB  R .
Từ giả thiết IA  IB ta có IA2  IB 2
 22  (t  1)2  (1)2  12  t 2  12  2t  4  0  t  2

Suy ra I  0, 2, 0  . Do đó R  IA  6
Do đó, đường kính mặt cầu là 2 R  2 6
Chọn A
Câu 18.
- Thử từng tọa độ các điểm A, B, C, D vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D
+ Thay A 1,1,1 vào phương trình cho ở đáp án A có
12  12  12  3  3  3  6  0

Loại A
Thay A 1,1,1 vào phương trình cho ở đáp án B có : 12  12  12  3  3  3  6  0
Thay B 1, 2,1 vào phương trình cho ở đáp án B có : 12  22  12  3  6  3  6  0
Thay C 1,1, 2  vào phương trình cho ở đáp án B có : 12  12  22  3  3  6  6  0
Thay D  2, 2,1 vào phương trình cho ở đáp án B có : 22  22  12  6  6  3  6  0
Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.
Chọn B
Câu 19.
Nhận xét:
+ Điểm O  0, 0, 0  thỏa mãn 4 phương trình đã cho.
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+Các phương trình mặt cầu đã cho là biểu thức đối xứng đối với ba ẩn  x, y, z  . Tọa độ các đỉnh A, B, C là
hoán vị của bộ ba số  0, 0,1 .
Do đó, nếu A thuộc phương trình mặt cầu cho ở đáp án nào thì B,C cũng thuộc phương trình mặt cầu cho ở đáp
án đó và ngược lại.
+ Thay A 1, 0, 0  vào phương trình cho ở đáp án A có
12  02  02  1  0  0  0

Loại A

Thay A 1, 0, 0  vào phương trình cho ở đáp án B có : 12  02  02  1  0  0  0
Vậy A,B,C thuộc phương trình mặt cầu cho ở đáp án B.
Chọn B
Câu 20.
(S) có tâm I  2m, 2, m  .
Bán kính R  4m 2  4  m 2  m 2  4m  4m 2  4m  4  (2m  1) 2  3  3
Dấu = xảy ra khi 2m  1  0  m 

1
2

Chọn A

9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!