Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2019-2020 môn Toán có đáp án - Sở GD&ĐT Bình Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
----------------ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 06/06/2019
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát ñề)
-------------------------ðỀ BÀI

1. Giải phương trình:

3( x − 1) = 5 x + 2 .

2. Cho biểu thức: A = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 với x ≥ 1
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 5 .
b) Rút gọn biểu thức A khi 1 ≤ x ≤ 2 .
1. Cho phương trình: x 2 − (m − 1) x − m = 0 . Tìm m ñể phương trình trên có một nghiệm
bằng 2 . Tính nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ba ñường thẳng
d1 : y = 2 x − 1; d 2 : y = x; d3 : y = −3x + 2.
Tìm hàm số có ñồ thị là ñường thẳng d song song với ñường thẳng d 3 ñồng thời ñi qua giao ñiểm của hai
ñường thẳng d1 và d 2 .
2
công việc. Nếu làm riêng thì thời gian
3
hoàn thành công việc ñội thứ hai ít hơn ñội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công
việc của mỗi ñội là bao nhiêu?

Hai ñội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành ñược

Cho ñường tròn tâm O , bán kính R và một ñường thẳng d không cắt ñường tròn (O ) . Dựng ñường thẳng

OH vuông góc với ñường thẳng d tại ñiểm H . Trên ñường thẳng d lấy ñiểm K (khác ñiểm H ), qua K
vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với ñường tròn (O ) , ( A và B là các tiếp ñiểm) sao cho A và H nằm về hai
phía của ñường thẳng OK .
a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp ñược trong ñường tròn.
b) ðường thẳng AB cắt ñường thẳng OH tại ñiểm I . Chứng minh rằng IA ⋅ IB = IH ⋅ IO và I là ñiểm cố
ñịnh khi ñiểm K chạy trên ñường thẳng d cố ñịnh.
c) Khi OK = 2 R, OH = R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R .
x > y
x2 + y 2
.
Cho x, y là hai số thực thỏa 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x− y
 xy = 1


LỜI GIẢI ðỀ TUYỂN SINH VÀO 10 BÌNH ðỊNH NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1.
1. Giải phương trình:

3( x − 1) = 5 x + 2 .

2. Cho biểu thức: A = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 với x ≥ 1
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 5 .
b) Rút gọn biểu thức A khi 1 ≤ x ≤ 2 .
Lời giải
1. Ta có

5
3( x − 1) = 5 x + 2 ⇔ 3 x − 3 = 5 x + 2 ⇔ 2 x = −5 ⇔ x = − .
2
5
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là x = − .
2
2.
a) Khi x = 5 , ta có
A = 5 + 2 5 −1 + 5 − 2 5 −1

= 5 + 2 4 + 5 − 2 4 = 5 + 2 ⋅ 2 + 5 − 2 ⋅ 2 = 9 + 1 = 3 +1 = 4 .
Vậy khi x = 5 thì A = 4 .
b) Với 1 ≤ x ≤ 2 , ta có
A = x + 2 x −1 + x − 2 x −1
= x −1+ 2 x −1 +1 + x −1 − 2 x −1 +1

= ( x − 1 + 1) 2 + ( x − 1 − 1) 2
=| x − 1 + 1| + | x − 1 − 1|
= x −1 +1+1− x −1

(1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇒ x − 1 − 1 ≤ 0)

= 2.
Vậy khi 1 ≤ x ≤ 2 thì A = 2 .
Câu 2.
1. Cho phương trình: x 2 − (m − 1) x − m = 0 . Tìm m
nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ba ñường thẳng

ñể phương trình trên có một nghiệm bằng 2 . Tính

d1 : y = 2 x − 1; d 2 : y = x; d3 : y = −3x + 2.
Tìm hàm số có ñồ thị là ñường thẳng d song song với ñường thẳng d 3 ñồng thời ñi qua giao ñiểm của hai
ñường thẳng d1 và d 2 .
Lời giải
1.
x 2 − (m − 1) x − m = 0.

(1)

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta ñược
22 − (m −1) ⋅ 2 − m = 0 ⇔ 4 − 2m + 2 − m = 0 ⇔ 3m = 6 ⇔ m = 2.


Thay m = 2 vào phương trình (1) ta ñược
x 2 − x − 2 = 0.
Ta có các hệ số: a − b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 = −1; x2 = 2 .

Vậy với m = 2 phương trình ñã cho có một nghiệm bằng 2 , nghiệm còn lại là −1 .
2.
Phương trình ñường thẳng d : ax + b ( a, b ∈ ℝ ) .
 a = −3
d d3 ⇒ 
⇒ d : y = −3x + b, (b ≠ 2).
b ≠ 2
Tọa ñộ giao ñiểm của hai ñường thẳng d1 , d 2 là nghiệm của hệ phương trình
 y = 2 x − 1  x = 2 x − 1  x = 1
⇔
⇔
⇒ A(1;1)


y =1
y = x
 y = x
A(1;1) ∈ d : y = −3 x + b ⇒ 1 = −3 ⋅1 + b ⇔ b = 4 (TM).

Vậy phương trình ñường thẳng cần tìm là d : y = −3 x + 4 .
2
công việc. Nếu làm
3
riêng thì thời gian hoàn thành công việc ñội thứ hai ít hơn ñội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì
thời gian hoàn thành công việc của mỗi ñội là bao nhiêu?

Câu 3.

Hai ñội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành ñược

Lời giải
Gọi thời gian ñội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là x (giờ, x > 5 ).
Thời gian ñội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là y (giờ, y > 0 ).
Mỗi giờ ñội thứ nhất làm ñược

1
1
công việc, ñội thứ hai làm ñược
công việc.
x
y

Trong 4 giờ ñội thứ nhất làm ñược

4
4
công việc, ñội thứ hai làm ñược
công việc.
x
y

Theo ñề ta có hệ phương trình
4 4 2
(1)
 + =
x y 3
 x − y = 5 (2)

(2) ⇔ x = y + 5 thế vào (1) ta ñược

4
4 2
+ = ⇒ 6 y + 6( y + 5) = y ( y + 5)
y +5 y 3
 y = −3 (ktm)
⇔ y 2 − 7 y − 30 = 0 ⇔ 
 y = 10 ⇒ x = 15
Vậy nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của ñội thứ nhất là 15 giờ, ñội thứ hai là
10 giờ.
Câu 4.

Cho ñường tròn tâm O , bán kính R và một ñường thẳng d không cắt ñường tròn (O ) . Dựng

ñường thẳng OH vuông góc với ñường thẳng d tại ñiểm H . Trên ñường thẳng d lấy ñiểm K (khác
ñiểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với ñường tròn (O ) , ( A và B là các tiếp ñiểm) sao
cho A và H nằm về hai phía của ñường thẳng OK .
a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp ñược trong ñường tròn.


b) ðường thẳng AB cắt ñường thẳng OH tại ñiểm I . Chứng minh rằng IA ⋅ IB = IH ⋅ IO và I là ñiểm cố
ñịnh khi ñiểm K chạy trên ñường thẳng d cố ñịnh.
c) Khi OK = 2 R, OH = R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R .
Lời giải
a) Ta có KAO = 90° ( KA ⊥ AO) ,

KHO = 90° (OH ⊥ KH )
Xét tứ giác KAOH có KAO + KBO = 180°
nên là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có KBO + KAO = 180° nên KAOB là tứ giác nội tiếp và ñỉnh H , B, A cùng nhìn cạnh OK dưới một
góc vuông nên năm ñiểm K , A, B, O, H cùng thuộc ñường tròn ñường kính OK
Xét tam giác IAH và tam giác IOB có HIA = BIO (ñối ñỉnh) và AHI = ABO (hai góc nội tiếp cùng chắn
IA IO
cung AO ). Do ñó ∆IAH ∽ ∆IOB ( g .g ) ⇒
=
⇒ IA ⋅ IB = IH ⋅ IO .
IH IB
Xét tứ giác AOBH có OHB là góc nội tiếp chắn cung OB, OBA là góc nội tiếp chắn cung OA; Mà
OA = OB = R nên OHB = OBA .
Xét ∆OIB và ∆OBH có BOH góc chung và OHB = OBA (cmt).
OI OB
OB 2
R2
Do ñó ∆OIB ∽ ∆OBH ( g .g ) ⇒

=
⇒ OI =
=
.
OB OH
OH OH
Ta lại có ñường thẳng d cố ñịnh nên OH không ñổi ( OH ⊥ d ).
Vậy ñiểm I cố ñịnh khi K chạy trên ñường thẳng d cố ñịnh.
c) Gọi M là giao ñiểm của OK và AB
Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;
Lại có OA = OB = R nên OK là ñường trung trực của AB, suy ra AB ⊥ OK tại M và MA = MB .
R2
R2
R
=
=
.
Theo câu b) ta có OI =
OH R 3
3
Xét ∆OAK vuông tại A , có
OA2 R 2 R
OA2 = OM ⋅ OK ⇔ OM =
=
=
OK 2 R 2
R 3R
Suy ra KM = OK − OM = 2 R − =
2
2

2
R 3 R 3R
R 3
AM 2 = OM ⋅ KM = ⋅
=
⇒ AM =
2 2
4
2
Xét ∆OMI vuông tại M , có
2

2

R 3
 R  R
MI = OI − OM = 
 − 2  = 6
 3  
2

2

R 3 R 3 2R 3
+
=
2
6
3
1

1 3R 2 R 3 R 2 3
Diện tích ∆AKI là S = AI ⋅ KM = ⋅
.
⋅
=
2
2 2
3
2

Suy ra AI = AM + MI =

Câu 5.

x > y
x2 + y 2
.
Cho x, y là hai số thực thỏa 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x− y
 xy = 1
Lời giải


Với x > y , xy = 1 , ta có

P=

x 2 + y 2 ( x − y ) 2 + 2 xy
2

=
= x− y+
x− y
x− y
x− y

Vì x > y ⇒ x − y > 0;

2
> 0 và xy = 1 .
x− y

Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương x − y;
x− y+

2
, ta có
x− y

2
2( x − y )
≥2
=2 2 =2 2
x− y
x− y

Suy ra min P = 2 2 .
Dấu ñẳng thức xảy ra ⇔ x − y =

2

⇔ ( x − y)2 = 2 ⇔ x − y = 2 ⇔ x = y + 2 .
x− y


6− 2
y =
2
Mà xy = 1 ⇒ ( y + 2) y = 1 ⇔ y 2 + 2 y = 1 ⇔ y 2 + 2 y − 1 = 0 ⇔ 

− 6− 2
y =
2



2+ 6
2− 6
x =
x =


2
2
Vậy min P = 2 2 tại 
hoặc 
y = − 2 + 6
y = − 2 − 6 .


2

2