Bài tập pt tư duy 07

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
5 .Bài tập V :
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c ab bc ca a b c+ + = + + = =

Thật vậy:

( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c ab bc ca
2 a b c 2 ab bc ca 0
a b b c c a 0
a b b c c a 0
a b c
+ + = + +
+ + - + + =
- + - + - =
- = - = - =
= =
Nhận xét: Nếu thay
1 1 1
a ,b ,c
x y z
= = =

với
x,y,z 0ạ
ta có ngay một hệ
quả của bài tập V. Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 1. Chứng minh rằng

2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z 0
x y z xy yz zx
+ + = + + = = ạ
Tiếp tục khai thác bài tập V ta lại có các bài toán sau:
Bài toán 2. Tìm ba số a, b, c biết:

2 2 2
a b c 2abc
1 1 1
2
a b c
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ

H ớng dẫn :
Ta có
1 1 1
a b c 2abc 2
ab bc ca
+ + = + + =
mà
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
Nên
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c
a b c ab bc ca
+ + = + + = =
(theo bài toán 1)
Từ đó ta tính đợc
6
a b c
2
= = =
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Bài toán 3 . Cho ba só a, b, c thoả mãn
bc ca ab
a b c
a b c
+ + = + +

Tính giá trị biểu thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
A
a c b c b a c a c b a b
+ + +
= + +
+ + + + + +
H ớng dẫn:
Ta có

2 2 2
2 2 2
bc ca ab
a b c
a b c
1 1 1
abc a b c
a b c
1 1 1 1 1 1
a b c ab bc ca
+ + = + +
ổ ử
ữ
ỗ
+ + = + +
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
+ + = + +
a b c= = (theo bài toán 1)
Từ đó tính đợc
3
A
2
=
Bài toán 4. Cho ba số a, b, c thoả mãn
( )
( )
2
2 2 2
a b c 3 a b c+ + = + +
Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2
B a a 2 b c 2008= + + + +
H ớng dẫn:

( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
a b c 3 a b c
a b c ab bc ca
+ + = + +
+ + = + +

a b c = = (theo bài tập V) Suy ra
2
B 3a 4a 2008= + +
Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất của B là
6020
3
khi
2
a b c
3
= = =-
Bài toán 5. Giải hệ phơng trình

1 1 1
3
x y z
1 1 1
3
xy yz zx
ỡ
ù
ù
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ + =

ù
ù
ù
ợ
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
H ớng dẫn:
Ta có
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 9 9 2
x y z x y z x y z xy yz zx
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
x y z x y z xy yz zx
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + = + + = + + = - + +ị ị
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
+ + = + + = + +ị ị
x y z= =ị
(theo bài toán 2)
x y z 1= = =ị

thử vào hệ ta thấy đây là nghiệm duy nhất của hệ