Cẩm nang ôn luyện thi đại học, cao đẳng môn toán tập 3, lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (21.84 MB, 59 trang )
Đ Ạ I H Ọ C KINH T Ế Q U Ố C DÁN
BỘ MÔN ĐIỂU KHIỂN KINH TẾ
GS Trần Túc
BÀI TẬP
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
T á i bàn
•
Tóm tát lý thuyết
•
Các thí dụ điển hình
•
Các bài tộp tổng hợp kèm
hưdng dễn, idi giải
NHÀ XUẢT BẢN KHOA H 0 ( VẢ KỶ THUẬT
H à Nòi - 2004
Lời nói đẩu
Cuốn sách bài íẠp này được hiên soạn iươTíQ líntỉ với Giáo trình Quy hoạch
tuyên ỉính eiảng ciạy (V mrCmii Đại học Kinh íế quốc dân. Nhằm mục đích giúp
người học c ù n u cô nhữĩiiỉ k iế n ihức lý th u y cí và làm q u e n V('fi viộc vận ciựíìi! ciic
kiên ihức iíy tro n u n h iê u lìn h h u ố n e k h á c Iilìau, các hài lập dược c h ia Ihành 3
nhỏnì;
♦
Bùi (ập iý ihuyếi với m ục tiêu giúp người học nấni vĩme các khái niệiiì,
bièt vận d ụ n e l ố n s hi.tp v à p h á i triển đỏi c h ú t c á c kiến thức lý Ihuyêì đ ã học trong
G\ắo trình.
♦
Bài tậ p khai th á c và ph ố i h(ĩp các phiRTníi phá p , phiưi lích sâu các đặc thù
c ù a các thuật to á n , eiui c ấ c hài to á n c ỏ líiứỉ c h á t lổ n e h(Tp. N h ỏ m này đ ỏ n g vai irò
ư ọ n g tâni.
♦
Bài tập rèn lu vện kỹ náne lính toán.
Các bài lập chia Iheii các chưttng của G iáo trình. Ticp sau cỏ phần bài tập
lổ n g h ợ p c á c k iè n thứ c ở c h ư t tn e 1 và II vcTi c á c hài giãi iiKTng ứne. M ọi bài lập đõtí
có đáp số, các bài lập khó cố ÍZỢÌ ý, hưc^m dẫn cách giải.
Đ ế e iú p n s ư ờ i h o c h ệ i h ố n e lại k ié n th ứ c irưóc khi giai các hìii lập, ớ mỗi
chintníi đéu có phán ỉổnì (ắt nliững khái niỏm ctt bản và ohữne kèì liiẠn quan irọniỉ.
ei(Vị ih iệu chi liõì các th u ậ t t o á n với đ ấ y đủ c á c Ihí dụ m in h hoạ.
Q iố n sách này có thc sẽ râì bổ ích cho sinh vicn các tarcĩng đại học kinh lê,
k ỹ ỉ h u ậ t , h ( K v i è n CíU> h(K', n i i h i ê n c ứ u s i i i h v à lấ l c ả n h ữ i i g ai l ì ì i i ổ n n á m v f m g c á c
p h u e t n g p h a p g u i í c h e n h i n h m o i s o Ur[) b a i l o a n q u y h o ạ c h U iy c n u n h q u e n I h u ọ c .
cũng như muốn thử kha niìng lập tnn h cho những ihuật Uìán lưíTng límg.
Mạc dù điì có kinh nuhiệm giảne dạy nhiéu nãm và đà bỏ nhiéu cồng sức lập
h(,tp, lựa chon, phàn UrẶì cắc hài tập nhimg chắc chán không thc tránh khói nhữììg
ilìiốii sót vc nôi tlu a u và c á u trúc c ù a c u ô n s á c h , lác g ia in o n u n h ậ n được nhưng ý
kiến đó n ti g ó p q u ý b á u đ c hiùin Ihiộn c u ồ n s á c h n h á m đ á p ứng lôì h(m yêu Ciui cua
mọi b ạ n đọc.
Tác già xin chân thành cảm im các hạn đổng nghiẹp ớ Bộ m òn Điêu khicn
kinh lố về uhữ iìe ý k iê n tra o đổi x iin e q u a n h các ý liả m g xây d im g c á c hài lập
im nu cỊLỉá iriiih c ù n e u iã n u cìạy nliictỉ náin, cũnii nỉiư việc k h ích lộ.
hicn
scụn CUÔII s á c h này.
I á c ĩtVả
Chương I
BÀI TOÂN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
PHươNG PHÁP DƠN HlNH
I- C Á C
KHÁI NIỆM, TÍNH C H Ấ T CH UNG C Ủ A BÀI TO ÁN Q U Y HOẠCH
TU Y ẾN TÍNH
P'!-
1- Đài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát
Tim cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) cùa một hàm tuvến tính xác định trên tập
hợp nghiệm cùa mộỉ hệ thống hỏn hợp các phưcmg trình và bất phương trình tuyến
tính. Bài toán được mồ lả áưới dạns toán học như sau;
n
z
s
Ế
a.jXj= b. (i e l i )
J.1
^
(m ax)
J=1
X
a.jX^ > ( < ) b , (i e l , ) ;
írong đổ t'(x) gọi là hàm mục tiêu, mỗi phưcmg trìrứi hoăc bál phương trình luyến
tính gọi là một ràng buộc.
2- Phương án
Vectơ X thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là môt phương án.
- Phương án X thoả mản rìmg buộc i với dấu " = ", nghĩa là : ^
= b, thi
J-1
ràng buộc i gọi là "chạt” đối với phưorng án X, hoặc phương án X thoả mãn chật
rìưia buộc i.
- Phưcme án X thoả mãn ràng buộc i với dấu bất đảnẹ thức thực sự, nghĩa là:
^
J3i
a,j Xj > ( < ) b, thì ràne buộc i gọi là "lỏng" đối VÍTÌ phirơne án X, hoặc phưcTng
án X Ihoả mãn lỏng ràng buộc i.
Bái tậ p quy ho ạch tuyên tinh
3- P hư ơng a n cực b ièn
Mội phưtmg an \hoà niíìn chậl n rũna buộc đòc lậỊ) luvên ĩính uụi la phtnnìiĩ
án cưc hiòn. Mộỉ phư(mc án cực hiên ihoâ mãn chặl đúnti n rànu huộc tiụi 1.1
Ị>hưtmii án cực bicn kỉiỏ /ìii SI(\' hiên, llìoả màn chạt hem n ninu biu">c Goi là phiníiìi:
án cực biên suy hiếỉỉ.
4- Phương án tối ưu
Một phưttne án mà lại đố hàm mục tiêu đạl Irị số cực ticu (cực đạị) gọi la
phưưnu án tối im (tốt nhất).
5- Bài toán gỉảì được và khòng giải được
Bài loán CIÌ lì nhfú mộl phưítnu án lối im gọi là bài toán giải được. Bài loán
không cỏ phưctne án hoầc cỏ phưưng án nhưng tri số hàm mục liêu không bị chận
dưới (ưẽn) - cũntỉ có neliĩa là eiảm (trưiíi) võ hạn - Irên tập phưitng án gọi là không
giải đưiỊC,
6- Bài toán dạng chính tắc
Bài loán dạng đặc hiệỉ cỏ mộl hộ phiretng trình ràng buộc và mọi biến sô cleu
không âm như sau :
Ị(x) = y
J
Cj Xj => min (max)
'
y
a,j
= b, ( i = !^m )
J'1
X, ^ 0
Ký hiệu
(J = \ -11).
A = la j,„ „ - tiọi là ma trận điéu kiện cùa hài toán;
Aj - vcckT CÔI j cùa ma trận A - gọi là vcclơ điều kiện;
h - vcctit vê phải cùa hệ phưiniii trình ràng bu
Bài toán chính lác còn ci') ihc viõl dirứi dạng:
t(x) =
^
c, X, =5- min (m a x )
)I
Ì
x ,A , = b
rI
X, > 0 {J =
hoặc;
Kx) = ( c , X) => min (max)
Ax = b
x > ().
Bải to á n quy h o ạ c h tuyén tính. Phương p h áp đon hlnh
-
Mọi bài toán quy hoạch Uiyến tính đéii có thể quy vể bìù toán dạng chính
tắc tưưng đương theo nghĩa trị tối iru cùa hàm mục tiêu trone hai bài toán lù trùne
nhau và từ phương án tối ưii cùa bài loán này suy ra phưcĩng án tối ưu cQa bài toán
kia.
7- C ách đua rtiột bài toán vế dạng chính tắc
^ 1)
- Nếu rìưig buộc i có diing : X
cách cộ ng vào v ế trái một biến phụ
z
I
^
-
t*.
đưa về phưcme trình bằng
X,’’ > 0. nghĩa là Ihay bất phương trình bằng :
Hệ số cùa biến x|’ trong hàm mục tiêu bằng 0, tức
I
là f(x) khône đổi .
- Nếu ràng buộc i có dụng : ^ a^Xj > b, thì thay bàng: X
J=|
J=i
- v''=
x" > 0 .
- Nếu Xj không C(3 ràng bu()c dấu thì đẠl Xj = x ’j - x ” j , Viíi x ’j , x ” j > 0.
- Nếu Xj < 0 thi đổi hiến x ’j = - Xj > 0.
Thí dụ: Đưa bài tòán sau vồ dạng chính tác:
f(x ) =
- 2x,
+ X, + 3Xj + 5 X4
X| - 3x- + 5 x ,
2X|
- Xj
<
X4
>
X4
=
- X, - 2 x , +
4x, + 3x.
X, , X, >
+
X.,
=>
2
+
m in
1(S
-4
9
0, X , < 0 .
Các biến phụ sẽ đưiíc đánh sỏ liếp là X5 ,
. Đạt x ’3 = - X, > 0,
Xj = x ’4 - x ” 4 ; x ’4 , x ” 4 > 0 ta điR;»c bài toán chính tắc iưiíng đương sau;
f(x) =
-2X |
X|
2x,
+ X;
- 3 x ’, +
- 3 x . - 5 x ’,
-X ;
4X| + ?Xị
5
-
x ’4 x ’4
x”
4
+ x”
4
5
+ 2 x ’j + 2 x ’4 - 2 x ' \
- x ’,
+ \\
X, , X, , x ’, , x ’j , x ” 4 , X , ,
=> min
+ X,
=
16
- Xfi = - 4
- x”^
=9
> 0
8- Đặc điểm của phuttng án cực biên của bài toán chính tắc
Phương án X của hài toán (Jạri2 chính u k là cực biên khi và chỉ khi hệ thống
các vcctơ |A | : Xj > OỊ đ(K' lập tuyến lính. Vứi eiả thièi hạnti |A | = m ihi mọi
phưimg án cực hiốn không suy bicn có đúna m thành phan dưitng, suy biến có ÍI
h(7n m thành phán dirttng.
Bải tệ p quy ho ạch tuyên tinh
9- Cơ sỏ c ủ a p h ư ơ n g á n cự c b iẻ n
Gọi m vcctíí ỊA|Ị clôc lâp luycn tính bao hàm hộ Ihóníi các vocl(í lưiừi^
i'me V(ti các Ihành phiin dưíTne cùa phưtmg án cực hièn là cơ sở cùa phưttĩig
án cực hiên ấy. Ký hiệu móí cách quy ước cơ sở là J. Các đậc tnmii cùa lìiội cơ
sớ J : 1J I = m, irona đỏ 1.11là số phán lử cùa J ; (Aj : J e J Ị độc lập tuyên lính ;
lA ^ : j e ỉ ]
|Aj : Xj > OỊ.
- Phưc^ie án cực biên khône suy biến chỉ cỏ niộl cơ sở duy nhât, đố U\ cíic
veclơ tương ứng với các llìành phần áiíơng.
- PhưOTe án cực biên suy biến cỏ nlứcu C0 sử khác nhiui, phần chiinc cua
chúng là các vectơ tương ĩmg với các thành phấn dương.
Xj (j e J ) gọi là thành phrìiì cơ sở ;
Xk (k ể J) gọi lù thíưili phấn phi cơ sở, chúng luôn bàng 0.
Thành phẩn cơ sỏ của phươns án cực hiên chính là hệ số phân lích VCCUÍ b
qua cơ sở của phiRTnc án cực hiên iy , xác định brjfi Xj = Ay*!**.
10- Bài toán dạng chuẩn
Bài loán dụng chính ú c đậc biệt thể hiện ớ : b, > 0 (i
mỗi phưtmg
trình có một biến với hệ sỏ hằn^ 1 và khôna có mặt ở các phương trình khác. Có
ihc mổ tả áướị dạna:
ti
í'(x) =
y
i=>
'ì
Xj
==> min (max)
X,
^íii+1
x„.„, + a,
+
^ni "t"
^ni+: ..............^In
x„,^: + ..............+ a,„ x„-'= h:
^nitl
..............®nin
“ ^in
x , > 0 (J= l - n ) ,
trone đó b, > 0 (i =l-^m).
Dẻ thấy bài toán diỊiig chuẩn cho ngay một phiRTng án cực bicn V(ti Cir
sở là cư sở đơn vỊ, cụ thể ở đây là
= ( b| ,b. , .... b„, , 0, 0, ...... 0 ), với cơ sơ
là I A, , A ; ............ A„,Ị = E.
11- S ự tồ n tại phưững án cực biên
-
Nếu bìii toán cỏ phiriTiis án và hạne cùa ma trận hô ràng buộc bàng n Ihì
bài toán có phương án cực biên.
Bàí to á n quy h o ạ c h tuyến tinh. Phương ph áp đdn hinh
- Nếu bài loấn dạng chính lác cổ phương án !hì chác chẮn có phương án cực
hiên Vi hạng của m a trận hộ rìưie buộc luôn
hiư\z n.
12- S ự tổ n tại phương án tối ưu
- Nếu bài tcián cỏ phiUTna án và trị số hàm mục liêu bị chặn dưới (trên) trên
lập hiTp phirưne án ihì bài loán cỏ phưcmg ấn tối lai (giải được).
- Nếu bùi toán cổ phiRimg án cực biên và giải đưíic Ihì phải cỏ phươna án
cực biên lối ưii. Do đó nếu bài toán dạng chính tác giải điĩợc thì plìải có phưiTng án
cực biên tối ưii.
- Nếu hài toán cố h m mộl phưưnu áỉi lối lai Ihi sẽ có vỏ số phươne án tối
UII, ch^ms h ạ n x" và X* là 2 phif(7ng á n lối im Ihì rnọi veclơ X c ó (.iiUìc:
X = a
-I- (1 - a )
vơi
đéu là phươnc án tối mi. Tổng quát
k
ihì X = ^ a , x' vứi a, > í), Vi và
1=1
(ì < a
<1
lìcm nếu x' (i = 1h- k) là các phưcmg án lối ini
k
X
l, cũng là phương án lối mi.
1=1
13- Tinh hữu hạn của sò' phương án cực biên
- Số phirema án cực hiên của mọi bài loán quy hoạch luyến tính đều hiìii
hạn.
14- C ác bài tập
1.1- Cho bài toán :
+ X4 + 8X5 - 4x,,
t(x) = 3 x - 4 x , + 3 x ,
2X| + X,
+
X,
- X3
X, - 2 x ,
2
=> m in
X5 - 3x„ =
2
+ X4 - , 2 X5 + X,, = - 2
+ 3x^ + 5x,
- X,, =
5
a) Xác định tủp phương án và chứng lỏ bài toán không giải được.
toán
b) Khi
hàm mục tiêu có dạng ;
f(x) =
3xi - 4X; + 3x , + Xj + 1 lXj -
6
Xft =>
Đậc điểm của tập phương án ?
Đ S : a) Tập phương àn : X, -
í - x< - X5 + X|5
X; = - 2 + X4 + 2 X5
X3 — 2x< + Xg
min c ó kết
luận gì vồ hài
10
Bải tậ p quy ho ạch tuyến tính
Vòi m ọi phương án
f(x) = n
- 3 X5 + 2x« nên f(x) giảm vô hạn trên tập
phương àn, b à i toàn không g iả i được.
b) V ó i m ọi phương án f(x) = 11 nén m ọi phương án đều tối ưu
1.2- Chứng tỏ bài toán sau giải được:
f(x) =
-X |
+ X,
-
X3
2 x, - 4x, +
X3
-3 x , + 5xj Xi
=>
min
> -20
X3 >
20
+ 2xj <
20
<
18
2
3x,
-
X3
X. + X,
> -12
1.3- Cho bài toán :
í'(x) = - 4x, + 6 x, - 3 X3
2x, - 4x, +
X3
=>
>
min
-1
-3 x , + 5x, - 2 X3 >
1
+ 2 X3 <
1
X,
3X; - X,
X3
+ X,
<
>
4
- 2
Chứng tỏ ràng x” = ( - 1 , 0 , 1) là phương án cực biên tối ưu
1.4- Cho
bài
toán :
l(x) =
2
X,
- X; - 2 \ ị +
x,
+ x.
X,
+
X|
- X;
- 2X|
X,
-
X,
0 X4
+ X,
- 4-
max
=
9
>
13
+ 3x,
= - 3
+ Xj - 5 x ,
< -15
X, - 2x,
=
7
Hãy chỉ ra m ột phương án cực biên và tính chát cùa nó. Chứng tỏ bài toán
không giải được. Tim lỄri giải của bài toán khi
ĐS:
i'(x) => min.
X á c định tập phương àn củ a bài toán, từ đó su y ra b à i toàn không giải
được và x° = ( -3 , 15, 4, 5 ) là phương àn cự c biên duy nhất, su y biến, đó củng là
Ptíi/ơng án tối uu khi f(x) => min.
1.5- Chứng tỏ bài toán sau giải được:
Bài toán q uy h o ạ c h tuyến tinh. PhUdng p h áp don hlnh_____________
f(x) = - 3 x , - 3 x , + Xj
=>
min
X| - 2X; +
- 3X|
1
+ X. - 4Xj = - 1 2
X,
4X|
>
-(-5xj <
16
2X; - 9xj <
3
- Xị + 3xj >
7
H D: C h ọn tổ hợp tuyến tinh củ a cá c ràng buộc đ ể f(x) > - 3 0
1.6- Chứng lỏ bài toán sau giải đưíỊíc;
f(x )
=
X|
2Xi
+ x , +■
2x ,
+
=>m ax
- X, + 4 x , -
- X,
X4
5
- 2x , + X4
4x,
- X,
+
<
10
>
-13
X4
3
<
+ X, - 5 X4
- 2x,
> - 5
+ 2 x, - 2 xj +■ X4
“ 3X|
8
0
=
< 3 0 = 1 -4)
1.7- Chd bài toán :
f(x) =
- X, + 5 x , - 2xj
+ X4
X|
- X, + X, +
- ?x,
+ X, + 2 x , -
-
X4 >
2
X4 <
1
3x, + X3 + 2 X4 <
l
- 2x,
- Xj +
3
X4 >
2
+ x.^ <
2x, +
Chứng tó x" = ( 1,0. - 1 ,
2
=> min
1 ) là phưiTngán cực biên tối iru.
HD: C họn tồ hợp tuyến tinh củ a cá c ràng buộc đ ể có f(x) > 2.
1.8- Chứng tỏ bìú toán sau giải đưtK:;
f(x) =
X, + ?x ,
+ 4 xj +
X, - 4x_,
+ X,
?x,
- X,
2X|
- 2x,
8 X4
=>
min
> - 3
- 5x,
<
0
5X; + 2 x , + X4 =
X
+
6
x, -
+ 7xi
2
X4 <
4
>
6
H D: C họn tổ hạp tuyến tinh củ a các ràng buộc đ ể có f(x) > 7.
11
j_2________________________________________ __ _______ Bài tậ p quy ho ạch tuyên tinh
1.9- Chu hai loán :
l(x) = - SX|
+ 3x , + 2 . \ , - 1 lXj =5-
2X|
- X, + x_,+ 2 X4 > -
- 3x,
+ X, +
4
X3
Xi
m ax
2
- X4 <
+
6 X4
- 5xj
4x, + 7 x ,
4
>
5
>
3
<
10
Chứng tỏ x" = ( - 1, 2,0, I ) là phiriTng án cực biên tối ini.
HD: C họn tổ
hợp tuyến tính của c á c ràng b u ộ c đ ể có f(x)
< 3 .
1.10- Cho bíii toán :
+ X3 + 5 X4 =>
f(x) = - 2x, + X,
X,
min
5
=
3x, - 2 X ;
X3
-
X, + 5 x ,
>
9
>
8
= -13
Hãy chỉ ra một phương án cực biên. Chứng tỏ bìii toán không giải được. Néu
c, = - 4 hãy chi ra phưc»ng án tối ini.
Đ S : X* = (5. 3,
l.l
8, - 1)
1- Chirna tỏ bùi toán sau giải đưíX' :
l(X )
=
\|
+ ?>x. +
X|
+
3X|
7\ ,
X, + 3x,
rn in
>
- 2x, - X,
X| - 4x , - 5 x ,
4x,
3
= - 8
<
24
+ Xj
<
10
X; + 2x,
>
4
HD: C họn tổ hợp tuyến tinh của c à c ràng b u ộ c đ ể có f(x) > - 29
1.12-
Chứna tỏ bài toán :
t\x) = ( c, X ) => max (min)
X
< b, ( i = 1- m )
J= 1
> 0 ( j = 1 -ỉ-n )
eiải được nếu h, > 0 ( Vi ) và tồn tiỊÚ một chì số i sao cho a,j > 0 ( V j ).
Bài to á n quy h o ạ c h tuyến tinh. Phưong pháp dơn hình__________________________ 13
HD: D ễ thấy bài toàn có phương àn. X é t cá c thành phần củ a một phương án
bất kỳ, ch ún g đều b ị chặn, su y ra trị s ố f(x) bị chận trén tập phương án.
1.13- V iết bài toán dạng chính tác nhận veclư 0 là phưtTng án. Chứng tỏ răng
nếu bài toán giải được thì vectơ 0 là phương án tối lai.
HD: V ớ i phương án X bất kỳ, vectơ ẢX củng là phương án VẢ > 0, suy ra f(x)
bị chặn bởi
0.
1.14- Chu bài loán dạng chính tắc, chiímg m inh rằng nếu bài toán có một
phưcTng án cực biôn với mọi thành phấn đéii dương thì nó luôn giải được.
HD: S ử dụng đặc điểm củ a phương án cự c biên của b ài toán dạng chinh tắc
su y ra hệ phương trình ràng b u ộ c là hệ Cram er, b ài toàn có một phương àn duy
nhất.
1.15- Cho bài toán d;mg chính tắc, nghiên cứii tính chất cực biên của một
p h ư (7 n 2 á n X c h ỉ c ó m ộ t t h à n h p h ầ n d u c tn g .
HD: L à phương án cự c biên không su y biến h oặc su y biến phụ thuộc vào s ố
phương trình ràng buộc.
1.16- Chứng tỏ bài toán sau giải được :
f(x) = 3x, + 2 X3 +X 4 + 6 X5
Xi + 2x,
- 4xị + 2x,
X, -
2
=> min
+ 3 X4
> -12
+ X4
<
X4 -
3
Xj
>
7
X5 > - 2 1
0
( j =
2-^5
)
Hãy chỉ ra m ột phương án cực biên tối ưu và mổt phương án tối ưu không
cực biên.
1.17- C ho biết bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án, chứng tỏ ràng
luôn có thể tìm đư(Ịc vectơ c đê bài toán giài được.
HD: C ó th ể chọn c là m ột tổ hợp tuyến tinh nào đó của một s ố ràng buộc
thích hợp.
1.18- Chứng tỏ bài toán sau giải điRTC :
f(x) =
3xi +
+ 2Xi + 5Xft
4X|
- 2 x , + 5Xj + 3Xft
X,
2x ,
m in
+ X,
2
X4 + 3xj -
- 3 X4
X, ,X, , X j ,
Hãy chi ra một phirưng án
>
14
4x^< - 1 8
+ 2x^
>0.
cực biên vàtính chất của nó.
=
5
14
Bài tậ p quy hoạch tuyến tính
II - PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
1- Nội dung của phutrng pháp
Xiiàì phát lừ mỏl phơ
khác tỡt han. Vì số phưcmg án cực hiên là hCai hạn nên sau môt số hữiỉ hạn bước
híìậc sẽ kct luận hài loán không giải được vì trị số hiVn mục liêu không bị chặn (rcn
lập phưímc án hoặc sẽ lìm đưttc phưtíne án cực hiòn tối im.
2- ư ớc lượng của các biến
Ch(Ị X là phưtme án cực bión, cơ sở .f. Gọi
xác định Iheo công thức: At, =
veclơ hệ số phíìn tích cứa A^; qua cơ
= A j‘
là
= ( Cj, x^) “
sờ J, nghĩa là
. C hú ý rằ n e ư t \ ' [ưítng c ù a các biòn ctT s ơ
ư
Ak = X
, do đó
= (ì ( V j e J ).
3- Dấu hiệu tòi ưu
Nếu đối \ớ i phưcTne án cực hiên x", cơ sờ
í'(x) => m in ( m a x ) m à
£ (>) (K V k
“ Trirìíne hợp nẽne: ncii Aị^ <
cỏa hùi toán dạng chính tác cn
ihì x" là p h in m g án
lõi lai.
(>) 0, Vk ể .1, Ilì! x" là phưíTngán lỏi mi
duy nhái.
-
N èu đỏi V('n phưtTne a n cực b icn X .
sỡ J,, ih(M niiui đáií hiẹii U"íi ưu UUI
tỏn tại mộl Av = 0 với k Ể-I,, lh'i bài loán có ihc có nhiéu phưtmg án íói mi ngoài
4- Định lý cơ bản (định lý về sự cải tién phương án)
Nếu đối Vtíi phiKtiìg án cực biên x" , cơ sở .1,, cúa hài u>án dạng chính lũc nià
3
> (<) (ì thì có Ihô cái licVi phư(tiìíi án, hoặc t‘im dược iTìỏt tỉây phưttng án trên
đó irỊ sỏ' hàm miic liêu eiàm (liìnu) vò hạn - bài ttxín khỏne giải được - hoãc
chiiycn sanc mòi phưíTng án cực biên mơi x ‘ lư(mg đỏi tòt hi'ĩu x‘' : í(x‘) < {>) t(\
TnrCTng hi,tp bài loán khònc suy bicn (moi phirtmg án cựL' hièn đéii không suy bièn)
ihi phươ ng án cực biôn x' thực s ự tnt h
Cho X là phưiTnc ấn cực biên, cơ sớ .1. Ta thành lập môi hảng ghi các hộ sò
15
Bàí to á n quy h o ạ c h tuyẻn tinh. Phường p háp dơn hinh
phim lích của vectít h và các voctơđiều kiện
(k = l-rn) qua cơ sớ
theo mảu quy
định á\ỊỚi đAy. Bảng này gọi là bâng đttn hình i'mg với phưcms án cực bién x" ht)i>c
cơ sở Jo-
H ê SỐ
Cơ sở
Phương
Ci C2
á n ; X,
Xi
-
c,
. . c, .
. c,
X, . .
, . X, . . . .x^ - - ■ ■ X,
0 , . - ■0
. . X,, , ,
c,
J
Ci
Xi
1
0 . . .
Cĩ
^2
0
1 . , . . 0 . , --0
, , X2, .
. , X,, . . ■ [X.]
Cr
Xr
0
0 . . . . 1 . . ■ ■0
Cm
Xm
0
0 . . .
0 , .
0
0 . .
0 . .
f(x°)
f(x)
1
- . 0
Hàng cuối của hảng gdi là hòne Vĩớc iirtTnu
. V ,
. , ,
A,.
■
■ c.
■ ^1n
- X2, . .
■ ■
■
.
. . .
■
■ X2,
. ■ X,,
. .
n
A,.
.
6- Công thức đổi cơ sở
G iả sử Jj là cơ sở của phương án cực biên X* ihu đưực từ cơ sở Jo của phưcmg
án cực biên x^’ bàng cách đưa veclơ A, vào cơ sở thay cho vectơ Ar, nghĩa là:
[J(, \ (rị I
=
| s | . Khi đỏ quíui hệ giữa các hệ số phàn lích của cùng m ôl vectơ Ai,
qua cơ sở Jo và Jj được biểu hiện Ihòng qua cổng Ihức đổi cư sỏ lổng quát sau:
X',. = —
trong đó
VÌI
Ci = íỉ).
tưímg Tmg là các hệ số phân tích của
-qua J ị và J„. Hẹ sỏ phàn
lích Xp, gọi lù phán lử tnic cúa phcp biến đổi cơ stV.
7- Thuật toán của phuong pháp đơn hình
G iả sứ đã biếl phirtTng án cực biên x", cơ sở J„ . Lập bảng đ(tn hình Iưitnu
img. Thuật toán đinx: thực hiện \hcn cấc bước sau:
/ ) Kicnỉ írtỉ íliíii hitfn íóì irif.
Nêu At, s (>) 0 ,Vk Ể.Í.,
chuyến sane 2 ).
thi
x" là phintrig án lui mi. Ncu 3 \
>{<)
0.
16
Bải tậ p quy ho ạch tuyến tỉnh
2 ị K ỉẽ m ira íí/iỉi kỉỉôỉiíi iỊiái dưỢi i iiíỉ hài íoáỉì,
Nèu 3 Av; > (<) 0 nìà
< 0 . Vj e.ỉ„ Ihì bài t(ìán khôn^ ciải dưưc \i In sỏ
> (<) 0 đêu
h im muc tiêu không bị chiìn Irẽn lập phirơniỉ án. Nếu mỗi
ứng ít n h ít một
cổ Iirtmií
> 0 , chuyển síUìg 3),
3 ) C h ọ n v e c t ơ đ ư a v à o c ơ s à , x ú c dịỉìlì
v e c t ơ l o ụ i k h ỏ i C(7 sở.
Giả sử : maxA^; ( minAk) = A , , vectơ A, đirợc đưa vào cư sớ, tính
■\ > r)
<0
00 =
m in
, v e c t ơ A , b ị l o ạ i k h ỏ i c a sử.
i x*’j / X jJ , g i ả s ử 0 0 =
>0
Như Vày Ji - [Jf,\ ( r | | ^
ị s Ị , phần từ trục của phép biến đổi cơ sở là x^,
trong bảng đcm hình nổ nằm (rên hàng vectơ loại ra (Xr) và cột vectơ đưa vào (x,),
đổng thời được ghi trong diíu [x„]. Thành lộp mẫu bảng
đơn
hình mới, thay X,, Cr
tưcmg ứng bằng X, , c, và chuyển sang 4).
4) Biến đổi hản^.
Áp dụng công thức đổi C0 sở tổng quát cho toàn bộ bảng. Có thể m ô tả còna
thức này bàng hai m ệnh để sau:
- Để tính hàng vectơ đưa vào (x,) ở bảng mới ta lấy hàng vectơ loại ra (x/) ở
bảng cũ chia cho phần tử Irục (Xrs).
- Dùng hàng vectơ đưa vào ĨTKTÌ tính được ( x j lìưn chuẩn Ihực hiện phép
biến đổi sơ cấp thứ ba trên các hàrm của bảne đ(7n hình biến đổi sao cho mọi phần
từ con iại irèn CỌI veciư dua vuu (X,) đỏu u ỡ iViliiili bunu ().
Kết quả ta thu được bủna
hình lìmg với phưiTne án cực biỏn mới x ‘, đối
với x ‘ quay trở lại bước I) và quá trình ỉăp lại sau một số hữii hạn bước hoảc sõ kct
l u ậ n b à i t o á n k h ô n g g i ả i đ ư ợ c v ì trị s ố h à m
m ục
tiêu k h ổ n g
bị ch ạ n
h o i Ị i c s ẽ Ỉ1IT1
được phương án cực biên tối ưii.
8- C á c chú ý khi thực hiện thuật toán
- Đối với bài toán có l'(x) => max có thể giải trực tiếp bằng thuật toán tiKnìs
ứng, đổng thời cũng có thể chuyển thành bài toán vái
nhưng cần lưu ý là
=
-
g(x) = - f(x)
==> min,
g „„„.
- v ể nguyên tắc có thể đưa bất kỳ vectơ nào ứng với
> 0 (Ai; < 0) vào cơ
sở cũng đều cải tiến được phirưng án.
- Trường hợp bùi toán suv biến thì 00 có thể bàng 0. Khi 00 bàng 0 vẫn thực
Bảl to á n quy h o ạ c h tuyến tinh. Phưong pháp đqn hỉnh__________________
17
hiộn thuật toán m ội cách bình thường, nghĩa là vectơ íma với 00vẫn bịloại khỏi
cư
sở. Tuy nhiên kết quả tính toán trong tntờng hợp này chi cho ta bảng đơn hinh ứng
với một cơ sở khác của cùng một phương án cực biên suy biến. Dấu hiệu xuất hiện
phương án cực biên suy biến là 00 đạt tại nhiều chỉ số. Khi đó sẽ chọn vectơ loại
khỏi cơ sở trong sô' các vectơ ứng với 00 iheo quy tắc neảu nhiên.
9- Tim phương án cực biên
T ừ bài toán dạng chính tắc có b, > 0 xay dimg biũ toán phụ p bằng cách cộng
vào vế trái phương trình ràng buộc i một biến già X*. > 0 (i = l^ m ) với hàm mục
tiêu
P(x,x*) = ^
X*, => min. F là bài toán dạng chuẩn và luôn giải được. Giải
i=l
bài tõán bầng phương pháp đơn hình, sau m ột sổ' hữu hạn bước tìm được phuơng án
cực biên tCTi ưu ( X , X * ), ký hiệu P( X , X*), = p„„„.
- Nếu
> 0 thì bài toán đã cho không có phương án.
- Nếu p„„„ = 0 thì X là phương án cực biên cùa bài toán đã cho.
a) Trong cơ sở cùa phươne án cực biên tối uu ( x , x ‘), không có các vectơ
ứng vói các biến giả X*. thì đó cũng là cơ sỏ cùa phưctng án cực biên X . Để có bảng
đcm hình tương ứng chi cần tính lại các ước lượng \
Iheo hàiĩi f.
b) Trong cơ sở của phương án cực biẻn tíS ưu ( X, X * ) có ít nhát một vectơ
ứng với biến giả X*,. Tm ờng hợp này để tiếp tục thuật toán, trước hết loạicác
ứns với Afc(P) < 0, sau đó tính lại các ước lượna \
cột
theo hàm f.
10- C á c chú ỷ khi giải bài toán p
- Khi xây dựng bài toán p chi cộng biến giả vào những phương
trình cần
thiết (rứiàm để m a trận điều kiện của bài toán p có đủ m vectơ đơn vỊ).
- Một biến giả đã bị loại khỏi C0 sở thì cột tương ứng khồng cần ưnh ở các
bước tiếp sau.
11- C á c thí dụ
*
Bài toán dạng chính tắc, biết phưcmg án cực bién x”, cơ sở Jn = E. Khi đổ
ma trận hệ số phan tích Irìine vóri ma triỊin điéu kiện của bài toán, vì thế iập ngay
được bàna đơn hình và áp dụng Ihuạt toán. Bài toán dạng chuàn thoả mãn điều
kiện này.
■,
2-BTQH
HC)<- Q U O C GIA HA NOl
I ÍRUNÍ>IAM
'
IX
Bải tậ p quy h o ạ c h tuyến tinh
T h i ilụ I : Giải b ã n a phư(Tn 2 p h á p đơn hình:
r{x) = 5x, + 4x, + 5x-, -I- 2x^ + Xj 4- 3x^ => min
2x, + 4x, + 3xj
+
=
4Xi + 2x, + 3xj
3x,
+ \ị
46
= 38
+ X.,
+x^
=
21
Xj> ( ) ( J = 1^ 6 ).
Bài toán trẻn có dạna chuán, phươnẹ án cực biên tương ứng:
x'’ = ( 0 ,0 , 0,
, 38, 21) , c a sở {A , , A 3 , A , } = E.
Lập bảng đơn hình.
B ả n g 1.1
4
2
0
5
X3
3
3
1
2
X4
1
0
0
1
X5
0
1
0
3
Xe
0
0
1
6
7
0
0
0
0
0
1
4
[2]
0
7/3
5/3
1/3
1
0
0
0
1
0
-2/3
- 4 /3
1/3
109
0
6
9/3
0
0
-4
12
5
7
0
0
1
4
1
0
-1
5/6
1/3
1
0
0
-2
1/2
0
[2]
-2 /3
1/3
79
0
0
-2
0
- 3
0
4
X2
193
5
Xi
2
4
[3]
12
X4
Xs
Xi
32
10
7
f(x)
X*
Cj
J
Xj
2
1
3
X*
X5
^6
f(x)
46
38
21
2
1
5
2
4
Xi
f(x)
ị
i
Từ bước cuối ta được phưcme án cực biên tối ưii X* = ( 7, 5, 0, 12, 0, 0) và
f* = 7 9 . Tuy nhiên
= 0 nên
X*.
không phải là phương án tối ưu duy nhất. Đira
A,, vào cơ sờ sẽ được bảng đcfn hình (bàne 1.2) ứng với phươn? án cực biên tối mi
khác ,x* = ( 5, 9, 0, 0, 0, 6 ). TẠp hợp phươna án tối ưu của bài toán có dạng ;
a X* + (1 - a ) x^, 0 < a < 1. VỚI 0 < a < 1
thì
X
=
X là các phương án tối ưu khỏno
cực biên.
B ả n g 1.2
3
4’
5
1
3
Xe
1
1/2
1/2
1/3
X5
-1
- 1/6
0
0
1/2
- 1/6
1/3
0
0
-2
J
5
4
Xô
Xl
0
>^2
0
X3
- 1/2
0
1
1
0
X2
Xi
6
9
5
f(x)
79
5
2
0
-3
ũ
19
Bải to á n quy h o ạ c h tuyên tinh. Phưong pháp đơn hình
77// (iụ 2: Giải báng phưitng pháp đưn hình;
l'(x) = X| - 4X; - 3 x ,
=> m in
2X|
+ X; - 2x, <
16
-4 x ,
+ 2 x, <
28
X,
+
2x, -
12
<
Xj> ( ) ( j = 1-3 )
Đưa ve d;mg chính tác, đó cũng là bài toán dạng chiián:
l'(x) = Xi - 4x, - 3xj
min
2 x, + X, - 2 X3 +
+ 2 x,
-4 x
+ 2X;
X,
- X3
+
=
16
=
8
=
12
Xj> ( ) ( j = 1^6 )
B ả n g 1.3
1
.1
-4
-3
0
0
0
X*
X5
Xe
Xi
X2
X3
0
X*
16
2
1
- 2
1
0
0
0
X5
8
-4
0
2
0
1
0
0
Xe
12
1
[2]
- 1
0
0
1
f(x)
0
- 1
4
3
0
0
0
0
X*
10
3/2
0
-3/2
1
0
- 1/2
0
X5
8
- 4
0
[2]
0
1
0
- 4
X2
6
1/2
1
- 1/2
0
0
1/2
f(x)
-24
- 3
0
5
0
0
- 2
16
-3/2
0
0
1
3/4
- 1/2
0
- 3
X3
4
- 2
0
1
0
1/2
0
- 4
X2
8
-1/2
1
0
0
1/4
1/2
f(x)
-44
7
0
0
0
- 5 /2
- 2
Bước cuối của bóng 1.3 có A| > 0, đồng Ihừi Xji < 0, Vj e J , nén hài luáii
khồng giúi được vi Irị sô hìun mục tiẽii giám vô hạn tròn lập phưttng án.
T lìí dụ 3: Giải bõne phinnig pháp đ(tn hình:
20
Bải tậ p quy h o ạ c h tuyên tính
líx) -
4\ị +
+ X, -Ỷ- 3 X4 “
-i- Xì
= \(^
+ X4
4X:
Xi
ni i n
+ 2x .
+ X;
+
2
X4 +
X,
s
8
=
2
( ) ( J = 1^5 )
Đưa về ciạng chínli lác, đỏ cũng là ciạng chuẩn, lập dược bảne đưn hình sau:
B ầ n g 1,4
1
3
^2
X3
X4
X5
2
1
1
0
0
0
4
0
0
2
1
1
1
0
0
1
0
1
-1/2
2
0
0
0
1
1/2
0
1
0
Xj
1
X3
16
0
0
Xe
8
4
Xi
2
f(x)
Xe
24
15
8
0
-1/2
0
X4
1
1/2
f(x)
18
1
0
3
X3
0
1
4
J
Cj
0
w
1/2
0
[2]
6
0
0
1
- 3
2
0
0
5
3/2
4
X3
12
-1/2
0
1
0
-5/4
- 3/8
1
>^2
2
0
1
0
0
1/2
1/4
3
X*
0
1/2
0
0
1
[1/4]
-1 /8
f(x)
14
0
0
0
1
- 3
0
- 1/2
Trong hước 2 bi\n 2 1.4, đưa X: vào Qơ sở, 60 = 2, xác định không duy nhất,
ứng \ớ\ X4 và
cỏ the loại mỏt trung hai biên này ra khỏi cơ sở. ớ đây la Uyậi X,,
iiOm pìúìii l ù U ụ c lìi Ị 4 ] , Siui hxCíu đ o i đvKx: phvK^G. á n c ự c h i ê n s u y h i ế n lÁi
vni X* =
( (I 2, 12, 0, 0, 0 ) vứi cơ sở là I A ,, A , , A 4 Ị. Mặc dù có A5 = 0 nhưng phưtnie
án tối ưu cùa bài toán vẫn duy n h ít vì khi đưa
X5
vào cơ sở thì 00 = 0. Thực hiện
phép bicn đổi cơ sở được b;ìng 1.5 tưcmg ứng với một cơ sở khác - {Aj, A, , A 5Ị c ù a X*.
B á n g 1.5
Cj
4
.1
1
1
X2
0
X5
f(x)
.
1
1
3
0
0
>^2
^3
X4
X5
Xe
- 1
12
2
0
1
5
0
2
- 1
1
0
- 2
0
1/2
0
2
0
0
4
1
- 1/2
14
- 3
0
0
0
0
- 1/2
Bài to á n quy h o ạ c h tuyến tỉnh. Phơ 0 ng p h á p đ dn hỉnh
c ơ s ở .lo ^ E. Đè lập
** Bài Uìán d ạ n g c h ín h lác, hiếl phưíTne á n cực b iê n
đirtK' bảng đ(tn hình cẩn biết ma trận hệ sỏ' phân lích. Đe tím m a trận hộ số phùn
tích irước hết ta vijt m a trận điéu kiện m ở rộng A = ỊA| b] , sau đó Ihực hiện các
phép biến đổi sit Citp trẻn các hàng của ma trận A biến đổi sao cho các vcctd cơ sở
trở thành các vectcí á im vị khác nhau, khi đó A sẽ trớ thành m a trận hệ số phân
tích.
T h i (lụ 4: Cho bài toán:
t(x) = - 2x, - X. + 3x-, + X4 Xị
-
X:
4
+ 4X3
X5
-
3Xj + 2X:
- X.,
5Xi + 3x,
+ X.,
min
2X5
>
-
4
+ < 2 4
- X5 = 46
4- 2Xj
Xj> ()( j =
1-5 ) ,
a) ChiìTìe tỏ x" - (0, 2, 0, 20, í)) là p h in tn g á n cực b iê n , h.ti d ụ n g x" giải hài
lí>ổn hằng phư(tng pháp đ(tn hình.
b) Dựa vào kêì quả lính toán tim lập phiUíng án tối lai của bài toán khi hàm
mục tiêu có diine h(x) = 5xj + 2X: + 4X-, + 4 X4 - 2 X5 => min.
G iíỉi: a) x‘‘ e
, thoà mãn mọi ràng buộc, thoả m àn chạt các ràng buộc 2, 3
và 3 ràng buộc dấu: x'\ = x^3 = x '*5 = 0. Hộ 5 rỉmg biiục chạt này độc lập tuyến
nên
là phif(tng án cực
lính
hiên. Để giải hằne phiĩitng pháp đ(7n hình, trước hết đưa
bài toán vé dạne chính tác;
Ị ( x ) — - 2 x , ~ X. +
Xj
-X .
4-
X4
^
min
- 2 X5 ~
+ 4x-ị
3Xj -f-2x.
- X3 + X4
5Xị + 3x_.
+ Xi +
2
X4
= - 4
+X7 =
- X5
24
=
46
> 0 ( j = 1-7 ) .
Từ phưtme iín circ hiôn x" cùa hài ti)án đã cho suy ni phiriTnu án cực biên
x”
= (H. 2, {), 20. (K 2, 0) ciia hài t(ìán chính lác vơi
sở i A, , A j ,
uận hệ só pháĩì ỉ ích:
1
I
-1
4
2
-I
0
-2
|-i|
n
-4
24
í)
()
46
Tim
ma
■)1
Bài tà p quy hoạch tuyến tính
1
-4
0
2
1
0
2
-1
1
0
0
1
[-1]
3
-1
0
_7
-1
'- 2
1
1
0
0
-1
0
0
5
1 -2
ì
0
-*
1
—
1
1
4 'ì
i
1
24
?
—
1 -2
2
0
-3
20
0
2
2
Lập hàng đơn hình ứna V(M x" và áp dụng thuật t(ján. Toàn bộ quá trình tính
cho ở hàne 1.6 .
B ả n g 1.6
h
5
2
4
4
- 2
0
0
- 2
- 1
3
1
- 4
0
0
Xi
^2
X3
X*
X5
Xg
^7
2
- 2
0
- 1
0
1
1
- 2
20
1
0
[5]
1
- 2
0
- 3
2
1
1
- 3
0
1-
0
2
18
2
0
5
0
1
0
- 5
6
-9/5
0
0
1/5
[3/5]
1
- 13/5
Cj
0
Xe
1
-1
f(x)
0
3
><3
4
1/5
0
1
1/5
- 2/5
0
- 3/5
-1
X2
14
8/5
1
0
3/b
- 1/5
0
1/5
f(x)
-2
1
0
0
3
0
- 2
- 4
X5
10
- 3
0
0
1/3
1
5/3
-13/3
3
><3
8
- 1
0
1
1/3
0
2/3
-7/3
16
1
1
0
2/3
0
1/3
- 2/3
f(x)
-3 2
10
0
0
- 2
0'
- 5
11
h(x)
44
0
0
-2
0
0
- 2
- 1
- 1
_ 1
Từ bước 3 của báng 1.6 la có A7 > {) và x ,7 < 0, Vj e J , hài toán khổns eiiii
được vì t(x) giáni vô h:ưi.
b)
Để thuận tiện chd tính toán trên hìina đáu tiên cìia bảng 1.6 ghi các hộ SŨ
cùa hàm h(x). Cuối bưi
cỏ
p h ư t m g á n t ố i ưu:
X* = ( 0 ,
1 6, 8 ,
{), 10, 0, 0).
h*
= 44.
= 0,
/'
là
23
Bài to án qu y hoạch tuyến tinh. Phưdng pháp đơn hinh
phưctnutối ưu và hCai hạn vớì 0 , = 6 nêii làp phưttne án tối mi có dạne:
x ( 0 ) = X*+ 0
0 <
0
<
6, tro n e đó:
7 /’ = ( ( ) . - Ị / 3 , - 2 / ? , 0 , - 5 / 3 , ỉ ) .
*** Bài toán dạng cỉiính lác, khôna biết thông tin về phương án cực biên. Để
tìm phươne án cực biên phải giải bài toán p.
T lĩí d ụ 5 : G iải b à n g p hư ơ ng pháp đơn hình;
í(x )
= 2xi + 3X: “
-4x,
-
X:
+
2
niíix
X3
> 12
- 2Xj + l/2x, + X3
<
+ 3/2X: -f X3
*- 2x,
-
H
20
Xj> ()(J=: i - 3 )
Sau khi đưa bài io á n vé dạnu chính lác, xủy dimg được bài [oÁn P:
min
P(x,x^) =
-4 x ,
-X :
-f 2 X3 - X4
- 2 xi + l / 2 x.
+ X3
-2 x i+ 3 /2 x >
+X3
+
=
12
= 8
+ x-s
+xS
=
20
Xj> 0 ( j = 1-5 ) , X® > 0
Lập bàng giải bùi toán F:
B ả n g 1.7
Cj
1
J
Xi
X2
X3
X s/
1
0
1
0
0
0
0
0
1
3
-1
0
0
0
-1/2
1
- 1/2
0
0
0
[1]
0
1/2
1
0
14
0
2
0
1/2
0
1
p
14
0
2
0
1/2
0
0
0
^3
7
- 2
0
1
»1/4
1/2
0
0
^2
2
0
1
0
1/2
1
0
10
0
0
0
-1/2
-2
1
10
0
0
0
- 1/2
- 2
0
1
X^1
12
- 4
0
Xs
8
- 2
1/2
1
0
20
-2
3/2
1
p
32
- 6
1/2
0
X3
6
- 2
0
X5
2
1
^3
1
1
p
-1
[2]
-1
0
Bài tậ p quy h o ạ c h tuyên tinh
Khi íiiai hai luán F, irẽn hànc I cùa bànu 1.7 chưa cắn đưa hệ sô cúa các
lncn Irnní; hàm Í(X) vud, còn đôi với hàm p a íc liệ sO này bilne 0. Q uá trình giái kéi
thúc ớ hưiíc 3, phtnmg án lũ'i ưu ciia bài loán p có F„„„ = 10 > 0. Bài loáĩi dã ch('
khỏim C('> phưcmc án.
r i i i (in ổ: Giải bàng phiRmg pháp đim hinli:
l'(x) = - X| -
2X; - 3x, +
X,
+ 2X; + ?x,
=
22
2X|
+ X, + 5xj
=
25
Xị
+ 2x-. + Xj
+ X4 =
2U
Xj>
=> min
()(J = I M )
Bài toán dạng chính tấc nhimg không chuẩn. Xây dựng bài toán F:
P(x, X*) = X*, +
X,
=> min
=
22
+ x^ =
25
=
20
+ 2x, + 3X3 + x ‘
2X|
+ X; + 5 x ,
X, +
X,
2x,
+ X, + Xj
> 0 ( J = l+4),xS>0
Q uá trình giải cho trong bảng 1.8
B à n g 1.8
Cj
J
- 1
Xi
- 2
- 3
^
22
1
1
20
0
1
0
20
1
3
0
1
0
0
0
1
2
[^1
1
0
0
3
3
8
1
0
0
-1/5
2/5
3/5
[7/5]
1/5
9/5
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
x^
0
X3
0
X4
p
7
-1/5
7/5
0
0
X.
5
4
1
0
0
0
1
0
X4
f{x)
6
-1/7
3/7
[6 / 7 ]
0
0
1
-1 6
6/7
0
0
0
X2
6
0
0
1
1/6
>Í3
0
0
1
1
1
7
0
0
-1/2
7/6
-22
0
0
0
- 1
1
- 2
- 3
- 1
X3
X,
f(x)
1
X 2
47
7
5
15
- 2
- 3
/ 1
Xo
1
p
/
.
Bải toán quy h o ạ c h tuyến tinh. Phưong ph áp đon hlnh
25
Cũng như thí dụ trên, khi giải bài toán p chưa cán ghi hộ số cùa các biến
trong hàm l'(x). ở bước 3 mọi biến giả dểii bị loại khỏi cơ sở, ta được phương án
cực biôn cỉia hòi toán đã cho, lúc này mới đira các hộ sô’ trong f(x) vào bảng và tính
các ước lượng
theo hàm t'(x), sau đó tiếp lục Ihuật toán ta được |)hirưng án cực
biỏn tới ưu ở bước cuổi: X* = ( 7, 6, 1, 0 ) , r* = - 22.
T h i d ụ 7. Giải
bằng
phương
f(x) = 2 X |
+
pháp
đơn hình:
4x, + l/2x,
2x, + 2X; + 3xj +
4X| +
8 X;
-
3
min
3X4
X4 ^ 50
+ 2Xj + ?>x^ = 80
4 X | + 4 X ; + Xj + 2xj = 40
X j> ( ) ( j = 1 -4).
Bìii toán p tirơng img :
P(x, X*) = X®: + X*, => m in
2X| + 2x, + 3x, + 3Xj + X,
4X| +
8 x,
+ 2Xj + 3Xj
4xi + 4 xj + Xj +
2
= 50
+x*,
= 80
= 40
X4
>
0 ( j = 1^5 ) , X* > 0
Q uá tn n h giài trong bảng 1.9.
B ả n g 1.9
Cj
0
1
1
0 .0
1.0
0 4
1/2
J
X5
x=3
p
50
80
40
2
Xl
2
4
4
4
X2
2
8
1/2
X3
3
2
1
8
12
0
0
1
3
[5/2]
0
1/4
-3
X*
3
3
2
5
X2
120
30
0
10
0
-4
1
p
0
~4
0
0
f(x)
40
\
0
1/2
^3
12
0
1
0
\
\
1
0
\
\
7
\
0
0
\
34
\
0
0
\
X5
0
4
X.Í
><2
f(x)
2
- 1
1/2
- 1
\
1
/1
^5 /
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
2/5
0
0
- 1/10
1
0
- 1/5
0
0
0
1
0
26________ __________________________________________ Bài t ậ p quy ho ạch tuyến tinh
BiíiK 2 c u a h;mu 1.9 ch(i p h ư ( ^ iỉ án lỏi im cứa hai lo á n F
còn b i ế n già
= 0, nhiniu
V('ri
sở ; Ai(F), ầ Ặ V ) < u, luại CỘI ỉ và cột 4, lính A^,(0 và vlét
trong
thèm hàng này vào dưới
Aj,(P). Tiếp lục Ihuậl toán giải bài toán xưal phát ùr
hane
bước 2. Bước 3 cho phirt^e án lỏi ini X* = ( 0, 7. 12, (1 (») và p = 34.
12. C á c bài tặp
1.19- Cho bìii toán :
t(x) = y
CjXj = > m i n
pĩ
X
‘%jXj > b, ( ị = ỉ^ m ),
J= I
> 0 (j = l-n),
trong đổ b, > 0 { Vi ). Chứng tò ràne cỏ thể biến đổihệ ràng buộc để khi áp dụns
thuật toán đơn hình chỉ cán dùng m ột biến giả. M ô tả qua m ột thí dụ bàng số.
1.20- Phân tích tập hiỵp phưt:me án lối ini của bài toán dạng chính tác khi có
phương án
cực
biên x‘\ cơ sở Jn thí)à mãn đien kiện \
< 0, Vk Ễ Jo và tổn tại một
= 0 . Viết biếu thức mổ tả tập phưcíne án lối ini Ironc tímg irườiìíì hựp.
HD: X é t hai trường hợp rièng rẽ khi phương án cực b iên
su y biến,
không su y biến và
là phương hữu hạn h oặc vô hạn. N ó i chung lờ i g iả i của b ài toán không
duy nhất, nhưng với x° su y biến thì có th ể nó vẫn là phương àn tối ưv duy nhất.
1.21- Chim^ m inh rán^ ủi.- < í), Vk
cực biên
, lù điéu ỉciện cắn và đủ đe phưi^ng án
không suy biến là tòi ini duv nhài. Cho một ihí ilii m inh hoạ về sự cấn
thiếi của GÌã thiẽì khỏne suy biến.
HD: D ùng phản chứng. X à y dựng thi dụ phương àn cự c biên su y biến, tối ưu
duy nhất nhưng vẫn có m ột \
1. 22 -
Xâv
d im e
bmn
=
0
đ ttn h ìn h
biến lối lai nhima vẫn cổ mội
c ỡ ( 3x
6)
im g
V(TÌ p h ư i T n g á n
cực
b iê n
suy
> 0 , dùnií Ihuật toán để tìm cơ sở cùa phươne án
cực biên ấy thỏa m ãn dấu hiệu tối ini.
HD: B ảng p h ả i có cấu trúc sa o cho khi đưa
m ột bưòc biến đổi thì
vào c ơ sỏ thì Oo = 0 và qua
<0, ^ k iĩJ.
1.23- Xảy dimg bàng đ(Tn h\nh cờ (3x6) m ô tả trườne hợp bài toán khôns
giải được vì irị số hàiTi niục tiêu khỏng bị chậíì trên tập phưưng án. Viết biểu thức
biểu diễn dãy phirctns án Irèn đó f(\) => - co. Từ bảne đả xáy dựng có thể tìm được
