tài liệu ôn tập hình học GÓC và KHOẢNG CÁCH

BÀI TẬP
GÓC – KHOẢNG CÁCH

LỚP 11
ĐÁP ÁN CHI TIẾT


ĐỀ BÀI
Câu 1.

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M ; N lần lượt là trung
điểm của BC và CD . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SD .
A. 45 .

Câu 2.

B. 135 .

C. 60 .

D. 90 .

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a ; BC  2a và
SA   ABCD  ; SA  2a . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC .

A. 45 .
Câu 3.

B. 135 .

C. 60

D. 90 .

Cho hình chóp đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng SA và
BC là

A. 45 .
Câu 4.

B. 60 .

C. 90 .

D. 30 .

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  60 , SA  a và
SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của SB . Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM .

A. 45 .
Câu 5.

B. 60 .

C. 90 .

D. 30 .

Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . AA  AB  a .
Tính góc giữa đường thẳng AB và BC .
A. 450 .

Câu 6.

B. 600 .

C. 300 .

D. 900 .

Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AA  AB  a ,
AD  2a . Tính tang của góc giữa đường thẳng AB và BC  .

A.
Câu 7.

1
.
5

B.

5
.
5

C.

4
.
5

D. 3 .

Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABCD có ABCD là hình thoi với AB  BD  AA  a . Tính
cosin góc giữa hai đường thẳng AC  và BC .
A.

Câu 8.

1
.
5

B.

3
.
5

C.

1
.
4

D.

3
.
4

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng a và B ' BA

B ' BC

600 .

Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
A. 60 .
Câu 9.

B. 30 .

C. 90 .

D. 45 .

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a ,
AD  a 3 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AC và BD .

A. 60 .

B. 30 .

C. 45 .

D. 90 .


Câu 10. Cho hình hộp ABCD. ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD , DAA ,

A ' AB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA, CD . Gọi  là góc tạo bởi

hai đường thẳng MN và BC , giá trị của cos  bằng
A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.

3
.
5

D.

3 5
.
10

Câu 11. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng AB và
AC  bằng

A. 45 .

B. 60 .

C. 30 .

D. 90 .

Câu 12. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , gọi O là tâm đáy và SO 

a 3
.
3

Gọi I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách từ O đến SA .
A.

a 5
.
5

B.

a 3
.
3

C.

a 2

.
3

D.

a 6
.
6

Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi O là tâm đáy và M
là trung điểm CD . Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SM .
A.

a
.
6

B.

a
.
2

C.

a
.
3

D.

a
.
2

Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA  2a . Gọi H là hình chiếu của A lên BD . Tính khoảng cách d từ
điểm A đến đường thẳng SH
A. d 

2a 57
.
19

B. d 

2a
.
5

C. d 

a 5
.
2

D.

a 57
19

Câu 15. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình thoi, BAD  60 , cạnh đáy bằng a thể tích
a3 2
bằng
. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm
4
H của hai đường chéo của hình thoi. Gọi K là điểm trên cạnh AB sao cho  SHK    SAB 

. Khoảng cách từ H đến đường thẳng SK bằng
A.

a
.
4

B.

a 6
.
6

C.

a
.
3

D.

a 6

.
2

Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng
A.

a 2
.
2

B. a 2 .

C.

a
.
2

D. a .


Câu 17. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ABC  60 , BAC  90 ,
SB   ABCD  , SB  a , AB  a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC . Tính

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  BHK  theo a .
A.

a
.

5

B.

4a
.
5

C.

a 5
.
3

D.

2a
.
5

Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , AA '  2a
. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  .
A.

2a 3
.
5

B.

a 3
.
3

C.

a 5
.
3

D.

2a 5
.
5

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ điểm D đến
mặt phẳng  ABC  .
A.

a 3
.
3

B.

a 2
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 3
.
2

Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung điểm của AB ,
tam giác ACM cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối
lăng trụ bằng
A.

a3 3
. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABBA  .
4

2a 57
.
5

B.

2a 57
.
19

C.

2a 39
.
13

D.

2a 39
.
3

Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E thuộc đoạn
BC sao cho BC  3EC . Biết hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy trùng với trung điểm
H của AB , cạnh bên AA  2a và tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ điểm B đến

mặt phẳng  A ' HE  là
A.

4a
.
5

B.

3a
.
4

C.

3a
.
5

D.

a 39
.
3

Câu 22. Cho lăng trụ ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AD  a 3 . Hình chiếu
vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC và BD . Khoảng
cách từ điểm B  đến mặt phẳng  ABD  theo a bằng:
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
4

C.

a 3

.
2

D.

a 3
.
6

Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng 1 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

 ABD 
A.

2
.
2

bằng bao nhiêu?
B. 3 .

C.

3
.
3

D.

3.

Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Biết AB  CD
 AN  BN  CM  DM  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là

A.

a 3
.
6

B.

a 3
.
3

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
2

Câu 25. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD  2a . Trên đường thẳng vuông góc với

 ABCD 

tại D lấy điểm S với SD  a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DC và

SA .

A. a 2 .

B.

a 3
.
3

C.

a
.
2

D.

2a
.
3

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA và BC  là:
A.

a 3
.
4

B.

a
.
2

C.

a 3
.
2

D.

a
.
3

Câu 27. Cho lăng trụ tứ giác ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAC

60 . Biết

AA  AB  A D và cạnh bên AA hợp với mặt phẳng đáy góc 60 . Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng CC  và BD .

A.

3a
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 6
.
8

Câu 28. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB
góc với mặt phẳng ABCD và SA

D.
3a , AD

a 6
.
12

a . Biết SA vuông

2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

.
A.

a 13
.
6

B. a 13 .

C.

a 13
.
13

D.

6a 13
.
13

HƯỚNG DẪN
Câu 1.

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M ; N lần lượt là trung
điểm của BC và CD . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SD .
A. 45 .

B. 135 .

C. 60 .
Hướng dẫn

Chọn A

D. 90 .


S

I
A

D
N

O
B

C

M



 



Gọi I là trung điểm của SC ta có NI / / SD nên suy ra MN ; SD  MN ; NI .
Ta có MI ; MN ; IN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác
SCB ; BCD ;  SCD  MI  NI 

Xét MIN ta có



a
a 2
.
; MN 
2
2

a2 a2 a2
   MN 2  MI 2  NI 2  MIN vuông cân tại I .
2
4 4

 



Vậy góc MN ; SD  MN ; NI  MNI  45o .
Câu 2.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a ; BC  2a và
SA   ABCD  ; SA  2a . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC .

A. 45 .

B. 135 .

C. 60

D. 90 .

Hướng dẫn
Chọn A
S

A

D

O
B



C

 



Ta có AD // BC  SD ; BC  SD ; AD .
Xét SAD vuông tại A có SA  AD  SAD vuông cân tại A .



 



Suy ra SD ; BC  SD ; AD  SDA  45.


Câu 3.

Cho hình chóp đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng SA và
BC là

A. 45 .

B. 60 .

C. 90 .

D. 30 .

Hướng dẫn
Chọn B
S

A

D

O
B

C

Do BC // AD nên  SA, BC    SA, AD  . Mà tam giác SAD đều nên  SA, AD   60 .
Vậy  SA, BC   60 .
Câu 4.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  60 , SA  a và
SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của SB . Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM .

A. 45 .

B. 60 .

C. 90 .

D. 30 .

Hướng dẫn
Chọn B
S

M
A

D

H
B

C

Gọi H là trung điểm của AB , suy ra MH // SA , do đó  SA, CM    MH , CM  .
a 3
1
a
Ta có MH  SA  , tam giác ABC đều cạnh a nên CH 
.
2
2
2

a 3
CH
 2  3  HMC  60 .
Xét tam giác MHC vuông tại H có tan HMC 
a
MH
2


Vậy  MH , CM   60 hay  SA, CM   60 .
Câu 5.

Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . AA  AB  a .
Tính góc giữa đường thẳng AB và BC .
A. 450 .

D. 900 .

C. 300 .

B. 600 .

Hướng dẫn
Chọn D

Có BC // BC   AB, BC    AB, BC 
BC   AB, AA   A BC   ( tính chất lăng trụ đứng)  AA  BC .

 BC    AABB   BC   AB   AB, BC   90 .

Câu 6.

Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AA  AB  a ,
AD  2a . Tính tang của góc giữa đường thẳng AB và BC  .

1
5

A. .

B.

5
.
5

C.

4
.
5

D. 3 .

Hướng dẫn
Chọn D
A'

C'

B'

C

A

B

Đặt  AB, BC    


Có AB // DC   AB, BC    BC, DC   BCD  
BC  5a; DC  2a; BD  5a
 cos BC D 
tan  

Câu 7.

BC 2  DC 2  BD 2
1

0
2.BC .DC 
10

1
1  3 .
cos 2 

Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABCD có ABCD là hình thoi với AB  BD  AA  a . Tính
cosin góc giữa hai đường thẳng AC  và BC .
1
A. .
5

B.

1
C. .
4

3
.
5

D.

3
.
4

Hướng dẫn
Chọn D
A

D

C

B

A'

B'



 

D'

C'

.



BC //BC  AC, BC  AC, BC .

ABCD là hình thoi với AB  BD  AA  a  AC  2.
AC  

AA2  AC 2  2a , AB  a 2 .

cos  AC, BC   cos ACB 

Câu 8.

3
aa 3,
2

AC 2  BC 2  AB2 3
 .
2. AC .BC 
4

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng a và B ' BA
Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
A. 60 .

B. 30 .

C. 90 .
Hướng dẫn

Chọn C

D. 45 .

B ' BC

600 .


Ta có: cos BA , B ' C

BA. BC

BA.B 'C
BA.B ' C

a.a.cos 60

BB

BA.BC BA.BB '
AB.B ' C

BA.B ' C
a.a.cos 60
a.a

0

Suy ra góc giữa AB và BC bằng 90 .
Câu 9.

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a ,
AD  a 3 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AC và BD .

A. 60 .

B. 30 .

C. 45 .

D. 90 .

Hướng dẫn
Chọn A

Gọi O  AC  BD



 



Ta có AC, BD  AC, BD .
Ta đi tính góc AOD
Xét tam giác ABD vuông tại A , ta có:
tan BDA 



AB
3

 BDA  30  OAD (do tam giác AOD cân tại O )  AOD  120
AD
3



Vậy AC , BD  180 120   60  .


Câu 10. Cho hình hộp ABCD. ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD , DAA ,
A ' AB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA, CD . Gọi  là góc tạo bởi

hai đường thẳng MN và BC , giá trị của cos  bằng
A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.

3
.
5

D.

3 5
.
10

Hướng dẫn
Chọn D

Gọi P là trung điểm DC
 BC // AD
Ta có 
. Suy ra cos MN , BC  cos AP, AD  cos DAP
 MN // AP









Do BAD  DAA  A ' AB  60 và các cạnh hình hộp bằng a .

1
a 3
Do đó AD  a, C D  C A  a 3, DP  DC  
2
2

Xét tam giác ACD với AP là đường trung tuyến, nên ta có:
AP 
2

2  AD 2  C A2   C D 2
4

 AP 

5
a
2

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ADP , ta có:
cos DAP 

AD 2  AP 2  DP 2 3 5

2. AD. AP
10









Như vậy cos MN , BC  cos AP, AD  cos DAP 

3 5
.
10

Câu 11. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng AB và
AC  bằng

A. 45 .

B. 60 .

C. 30 .
Hướng dẫn

Chọn D

D. 90 .


Ta có:
AB  AB 
  AB   ABC    AB  AC  .
BC   AB 

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC  bằng 90 .
Câu 12. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , gọi O là tâm đáy và SO 
Gọi I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách từ O đến SA .
A.

a 5
.
5

B.

a 3
.
3

C.

a 2
.
3

Hướng dẫn
Chọn D

Dựng OH  SA ( H  SA )  d  O , SA  OH .
Ta có: OA 
 OH 

2

2 a 3 a 3
AI  .

 SO  SOA vuông cân tại O
3
3 2
3

1
1
1 a 3
a 6
SA  .SO. 2  .
. 2
.
2
2
2 3
6

Vậy d  O , SA  

a 6
.
6

D.

a 6
.

6

a 3
.
3


Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi O là tâm đáy và M
là trung điểm CD . Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SM .
A.

a
.
6

B.

a
.
2

C.

a
.
3

D.

a

.
2

Hướng dẫn
Chọn A
S

H
D

A
M

O
B

C

Kẻ OH  SM , suy ra d  O, SM   OH .
2

a 2
a 2
Ta có SO  SC  OC  a  
.
 
2
 2 
2

2

2

Trong SOM vuông tại O , ta có:
1
1
1
1
1
6
a
a




 2  OH 
.
 d  O, SM   OH 
2
2
2
2
2
OH
OM
OS
a
6

6
a a 2
  
 2   2 

Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA  2a . Gọi H là hình chiếu của A lên BD . Tính khoảng cách d từ
điểm A đến đường thẳng SH
A. d 

2a 57
.
19

B. d 

2a
.
5

C. d 

a 5
.
2

D.

Lời giải
Chọn A

S

K
D

A
I
H
B

Kẻ AK  SH , suy ra d  A, SH   AK .

C

a 57
19


Tam giác ABD vuông tại A có AH  BD


1
1
1
1
1


 2
2

2
2
AH
AB
AD
a
a 3



 AH 2 



2

a 3
3a 2
 AH 
2
4

Tam giác SAH vuông tại A có AK  SH


1
1
1
1
1

19
 2



2
2
2
2
AK
SA
AH
 2a   a 3  12a 2


 2 

 AK 2 

12a 2
2a 57
.
 AK 
19
19

Câu 15. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình thoi, BAD  60 , cạnh đáy bằng a thể tích
bằng

a3 2

. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm
4

H của hai đường chéo của hình thoi. Gọi K là điểm trên cạnh AB sao cho  SHK    SAB 

. Khoảng cách từ H đến đường thẳng SK bằng
A.

a
.
4

B.

a 6
.
6

C.

a
.
3

D.

Hướng dẫn
Chọn B

S ABCD  2.S ABD  AB. AD.sin A 

Độ dài đường cao : SH 

a2 3
2

3.VSABCD
S ABCD

a3 2
a 6
 24 
2
a 3
2
3.

Gọi M là trung điểm của AB , K ' là trung điểm của BM
Ta có DM  AB  DM 

a 3
DM a 3

, DM // HK  và HK  
.
2
2
4

Ta có AB   SHK '   SAB    SHK ' mà  SAB    SHK   K  K ' .

a 6
.
2


Vẽ HN  SK tại N  d  H ,  SK    HN .
Suy ra HN 

HK . HS
HK  HS
2

2



a 6
.
6

Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng
A.

a 2
.
2

B. a 2 .

C.

a
.
2

D. a .

Hướng dẫn
Chọn A

Ta có AB // CD  AB //  SCD  , suy ra d  B ,  SCD    d  A ,  SCD   .
Ta thấy: CD   SAD  Vì CD  AD; CD  SA .
Trong mặt phẳng  SAD  , kẻ AE  SD tại E  AE   SCD   d  A,  SCD    AE .
Ta có:

1
1
1
1 1
2
a 2
.


 2  2  2  AE 
2
2
2

2 .
AE
AD
AS
a a
a

Vậy d  B,  SCD   

a 2
.
2

Câu 17. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ABC  60 , BAC  90 ,
SB   ABCD  , SB  a , AB  a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC . Tính

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  BHK  theo a .
A.

a
.
5

B.

4a
.
5

C.

a 5
.
3

Hướng dẫn
Chọn B

D.

2a
.
5


S

H
a
D

A

K
a
O
B

C

Trước hết ta chứng minh SC   BHK  :
CA  AB ( vì BAC  90 ).
CA  SB vì SB   ABCD   AC   SAB  .

Mà BH   SAB   BH  AC .
Mặt khác: BH  SA nên BH   SAC 
 BH  SC 1 .

Mà BK  SC  2  .
Từ 1 và  2   SC   BHK  .
Khi đó d  C ,  BHK    CK .
Ta có AC  AB.tan 60  a 3 ; BC  AB 2  AC 2  a 2  3a 2  2a ;
SC  SB 2  BC 2  a 2  4a 2  a 5 .

CB 2 4a 2 4a
Trong SBC ta có CK .CS  CB  CK 
.


CS a 5
5
2

Vậy, d  C ,  BHK   

4a
.
5

Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a ,

AA '  2a . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  .

A.

2a 3
.
5

B.

a 3
.
3

C.

a 5
.
3

Hướng dẫn
Chọn D

D.

2a 5
.
5

Kẻ AH  AB tại H 1 .
 BC  AB
 BC   ABBA   BC  AB  2  .
Ta có 
 BC  AA

Từ 1 và  2  suy ra AH   ABC 
 d  A,  ABC    AH 

Vậy d  A,  ABC   

AA. AB
AA2  AB 2



2a.a
4a 2  a 2



2 5a
.
5

2 5a
.
5

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ điểm D đến

mặt phẳng  ABC  .
A.

a 3
.
3

B.

a 2
.
2

C.

a 2
.
3

D.

Hướng dẫn
Chọn B
A'

D'

B'

C'

H

D

A
B

C

 BC  AB
 BC   ABBA    ABC    ABBA  .
Ta có 
 BC  AA

a 3
.
2


Trong mặt phẳng  ABBA  , kẻ AH  AB tại H , ta có AH   ABC   AH  d  A,  ABC  
.
Tam giác ABA vuông cân tại A nên AH 

AB a 2
.

2
2

Ta có AD //  ABC  nên d  D,  ABC    d  A,  ABC    AH 

a 2
.
2

Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung điểm của AB ,
tam giác ACM cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối
a3 3
lăng trụ bằng
. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABBA  .
4

A.

2a 57
.
5

B.

2a 57
.
19

C.

2a 39
.
13

D.

2a 39
.
3

Hướng dẫn
Chọn B
A'

C'

B'

K
A

C
H

M
B

Ta có

 AMC    ABC  .

Gọi H là trung điểm của CM , ta có AH  CM suy ra

AH   ABC  .

 AB  CM
 AB   ACM    ABBA    ACM  .
Ta có 
 AB  AH

Trong mặt phẳng  ACM  , kẻ CK  AM , ta có CK   ABBA   CK  d  C ,  ABBA   .
Hai tam giác CKM và AHM đồng dạng nên ta có

Ta có AH 

VABC . ABC 
S ABC

CK AH
CM  AH
.

 CK 
CM AM
AM

a3 3
3a 2 a 19

.
 24  a ; AM  AH 2  MH 2  a 2 
16
4
a 3
4

a 3
a
2a 57
Vậy CK  2
.

19
a 19
4

Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E thuộc đoạn
BC sao cho BC  3EC . Biết hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy trùng với trung điểm
H của AB , cạnh bên AA  2a và tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ điểm B đến

mặt phẳng  A ' HE  là
A.

4a
.
5

B.

3a
.
4

C.

3a
.
5

D.

a 39
.
3

Hướng dẫn
Chọn A

Ta có AA ' tạo với đáy một góc 60° nên A ' AH  60 .
Khi đó AH  A ' A.cos60  a  AB  BC  2a .
Do vậy BH  a; BE 

4a
.
3

Dựng BK  HE , lại có BK  A ' H  BK   A ' HE  .
Do đó d  B,  A ' HE    BK 

BH .BE
BH 2  BE 2



4a
.
5

Câu 22. Cho lăng trụ ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AD  a 3 . Hình chiếu
vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC và BD . Khoảng
cách từ điểm B  đến mặt phẳng  ABD  theo a bằng:
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
4

C.

a 3
.
2

Hướng dẫn

D.

a 3

.
6


Chọn C

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng  ABCD  .
Ta có AB và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên

d  B,  ABD  
d  A,  ABD  



BO
1.
AO

Do đó d  B,  ABD    d  A,  ABD   .
Kẻ AK  BD .
Mặt khác AK  AH nên AK   ABD  .
Vậy d  B,  ABD    d  A,  ABD    AK .
Xét tam giác ABD vuông tại A và AK  BD nên
Vậy d  B,  ABD   

1
1
1
a 3



 AK 
.
2
2
2
AK
AB
AD
2

a 3
.
2

Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng 1 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

 ABD 
A.

2
.
2

bằng bao nhiêu?
B. 3 .

C.

3

.
3

D.

3.

Hướng dẫn
Chọn C
A'

D'
C'

B'
H
A

D
O

B

C

Kẻ AH  AO , khi đó do  AAO    ABD  nên AH   ABD  . Do đó d  A,  ABD    AH .


Ta có AO 

AC
2
.

2
2

Xét tam giác AAO vuông tại A có AH là đường cao:
Do đó AH 

1
1
1


 2 1  3 .
2
2
AH
AO
AA2

3
.
3

Cách 2:
Áp dụng công thức tam diện vuông:
1
1

1
1
3



 3  d  A,  A ' BD   
2
2
2
AD
AA '
3
d  A,  A ' BD   AB
2

Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Biết AB  CD
 AN  BN  CM  DM  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là

A.

a 3
.
6

B.

a 3
.
3

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
2

Hướng dẫn
Chọn D
A

M

D

B

N

C

Theo bài ra: DM  CM nên tam giác MCD cân tại M , do đó  MN  CD .
Tương tự AN  BN  MN  AB . Do đó MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
AB và CD .

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là MN .
Xét tam giác AMN vuông tại M : MN  AN 2  AM 2 

a 3
.
2

Câu 25. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD  2a . Trên đường thẳng vuông góc với

 ABCD 
SA .

tại D lấy điểm S với SD  a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DC và


A. a 2 .

B.

a 3
.
3

C.

a
.
2

D.

2a
.
3

Hướng dẫn
Chọn D
S

K

D

C

2a
A

B

CD  AD
 CD  SA .
Ta có 
CD  SD

Dựng DK  SA  K  SA , khi đó DK là đoạn vuông góc chung của SA, CD .
Do đó d  DC , SA  DK . Xét tam giác SAD vuông tại D có DK là đường cao:
2a
1

1
1
1
1
3
.


 2  2  2  DK 
2
2
2
DK
SD
AD
2a 4a
4a
3

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA và BC  là:
A.

a 3
.
4

B.

a

.
2

C.

a 3
.
2

D.

Hướng dẫn
Chọn C

Gọi H là trung điểm BC  . Do tam giác ABC đều nên AH  BC .
Mặt khác AA   ABC    AA  AH .
Vậy AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA và BC  .
Khi đó d  AA, BC    AH 

a 3
.
2

a
.
3


Câu 27. Cho lăng trụ tứ giác ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAC

60 .

Biết AA  AB  AD và cạnh bên AA hợp với mặt phẳng đáy góc 60 . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng CC  và BD .
A.

3a
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 6
.
8

D.

a 6
.
12

Hướng dẫn
Chọn A

Ta có:

ABD cân tại A và BAC

60

ABD đều  AO  OC 

a 3
.
2

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABD . Do AA  AB  AD  AG   ABCD  .
Khi đó góc hợp bởi AA với mặt đáy là A AG

60 .

Ta có:
 BD  AC
 BD   AACC    BD  CC  .

 BD  AG

Gọi O

AC BD . Từ O kẻ OK  CC   K  CC   . Khi đó OK là đoạn vuông góc chung

của hai đường thẳng BD, CC   OK  d  BD, CC   .
Xét hình bình hành AA C C , ta có: AAG  ACK  60 .

sin ACK 

OK
a 3 3 3a
.
 OK  OC.sin 60 
.

OC
2
2
4

Câu 28. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB
góc với mặt phẳng ABCD và SA

3a , AD

a . Biết SA vuông

2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

.
A.

a 13
.
6

B. a 13 .

C.

a 13
.
13

D.

6a 13
.
13

Hướng dẫn
Chọn D

Do AD // BC
Lại có:

BC
BC

Ta có SB
Kẻ AH

d AD, SC

AD // SBC

AB
SA
SAB

SB H

BC

SAB

d AD, SBC

SBC

d A, SBC .

SAB .

SBC .

SB

AH

SBC

AH

d A, SBC .

Xét tam giác SAB vuông tại A có AH là đường cao:
1
AH 2

1
SA2

1
AB 2

13
36a 2

AH

6a 13
.
13

Câu 29. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với mặt đáy.
Góc tạo bởi mặt phẳng  SBC  và mặt đáy bằng 30 . Thể tích của khối chóp S . ABC là
A.

a3 3
.
8

B.

a3 3
.
24

C.

a3
.
4

Hướng dẫn
Chọn B

D.

a3
.
12


S

A

C

30
M
B

Gọi M là trung điểm BC , ta có AM  BC và SM  BC
Suy ra

 SBC  ,  ABC   SMA và SMA  30 .

SA  AM .tan SMA 

S ABC 

a 3
a
.tan 30  .
2
2

1
a2 3
.
AB. AC.sin BAC 
2
4

Vậy VS . ABC

1
1 a a 2 3 a3 3
.
 SA.S ABC   

3

3 2 4
24