Gíao trình Sức bền vật liệu GS TS Phan Kỳ Phùng

GS. TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG
Ths. THÁI HOÀNG PHONG

GIÁO TRÌNH

SỨC BỀN VẬT LIỆU
TẬP I

ĐÀ NẴNG 2005


LỜI NÓI ĐẦU
Sức bền vật liệu là một môn học cơ sở, nó là gạch nối giữa các môn học cơ bản đến
các môn học kỹ thuật cho các ngành cơ khí, động lực, cầu đường, xây dựng, thủy lợi,
giao thông... Để học tốt các môn chuyên môn ở các ngành học nói trên thì cần phải nắm
được các kiến thức các môn học cơ sở trong đó có môn học Sức bền vật liệu.
Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập I) nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về phương
pháp tính toán độ bền, độ cứng vững đối với những bài toán thường gặp như bài toán kéo
(nén), uốn, xoắn và tổ hợp các bài toán đó. Phần này cũng giới thiệu cách xác định và
xây dựng biểu đồ nội lực đối với các dạng bài tập. Nhờ có nó ta mới biết ở nơi nào là
chịu lực nguy hiểm nhất. Vì vậy phần này sẽ được sử dụng suốt trong giáo trình Sức bền
vật liệu và ứng dụng trong các giáo trình chuyên môn khác.
Tập 1 Sức bền vật liệu này còn trình bày cách nghiên cứu trạng thái ứng suất
trong vật thể khi chịu tác dụng ngoại lực, nó trang bị kiến thức để học môn Sức bền vật
liệu và các môn cơ học khác như lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, vật lý chất rắn.
Trong xu thế chung của giáo dục đại học, chúng tôi mong muốn sinh viên có thể tự
nghiên cứu, tự học môn Sức bền vật liệu, nên trong giáo trình này sau khi trình bày Lý
thuyết chúng tôi đã dẫn ra nhiều ví dụ để sinh viên dễ học tập.
Tác giả cũng rất cảm ơn giảng viên cao cấp Phạm Văn Song của Đại học Đà
nẵng, đã giúp tác giả sửa chữa, chỉnh lí, vi tnh vă đóng góp nhiều ý kiến để giáo trình
này hoàn chỉnh hơn.

Chắc rằng trong quá trình biên tập không khỏi còn nhiều thiếu sót, mong nhận
được sự góp ý của sinh viên và các độc giả để giáo trình ngày càng được hoàn chỉnh và
đáp ứng được yêu cầu học tập của sinh viên và các bạn.
Trân trọng cám ơn !
Tác giả
GS.TSKH. Phan Kỳ Phùng

4


5


MỤC LỤC
Trang số
Lời nói đầu
4
Mục lục
6
Chương mở đầu : NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
9
0.1. Khái quát
9
0.2. Các nguyên nhân ngoài tác dụng lên vật thể
11
0.3. Các giả thuyết cơ bản
12
0.4. Lịch sử phát triển môn học
13
Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC

16
1.1. Nội lực - phương pháp mặt cắt
16
1.2. Các thành phần nội lực
17
1.3. Bài tóan phẳng, biểu đồ nội lực
18
1.4. Liên hệ giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh thẳng 27
1.5. Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt, biểu đồ
mô men uốn trong thanh thẳng
27
1.6. Áp dụng
28
Chương 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM
33
2.1. Khái niệm
33
2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
33
2.3. Biến dạng, hệ số poisson
35
38
2.4. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu
39
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn - Ba bài toán cơ bản
42
2.7. Bài toán siêu tĩnh
45
2.8. Thế năng biến dạng đàn hồi

47
Chương 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
49
3.1. Khái niệm
49
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng
50
3.3. Trạng thái trượt thuần túy
58
3.4. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát
59
3.5. Các thuyết bền
64
Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 70
4.1. Khái niệm chung
70
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính
70
4.3. Mô men quán tính của một số hình đơn giản
74
4.4. Công thức chuyển trục của mô men quán tính
75
4.5. Hệ trục quán tính chính - công thức xoay trục của mô men quán tính
77
4.6. Vòng tròn Mohr quán tính
78
4.7. Bán kính quán tính
79
Chương 5: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG
84

5.1. Khái niệm
84
A.
Dầm chịu uốn thuần túy phẳng
85
5.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
85
89
5.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp lớn nhất
5.4. Điều kiện bền của uốn thuần túy phẳng
91
5.5. Khái niệm về hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang
93
6


B.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
C.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.

6.1.
6.2.
6.3.
truyền
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
A.
7.1.
7.2.
7.3.
B.
7.4.
7.5.
7.6.
C.
7.7.
7.8.
D.
7.9.
7.10.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.

Dầm uốn ngang phẳng
94
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng
94
Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng
95
Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng
98
Các dạng bài toán cơ bản
101
Khái niệm về dầm chống uốn đều
104
Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn
105
Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng
106
Chuyển vị của dầm chịu uốn
108
Khái niệm đường đàn hồi
108
Phương trình vi phân của đường đàn hồi
109
Thiết lập phương trình đàn hồi bằngt tích phân bất định
110
Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tải trọng giả tạo
110
Phương pháp thông số ban đầu
116
Chương 6: XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN

Khái niệm chung
122
Mô men xoắn và biểu đồ mô men xoắn
122
Liên hệ giữa mô men xoắn ngoại lực với công suất và số vòng quay của trục
123
Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn
125
Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
127
Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
128
Tính thanh tròn chịu xoắn
130
Xoắn thuần túy thanh có mặt cắt ngang không tròn
131
Nguyên tắc chung để giải bài toán siêu tĩnh
132
Tính lò xo xoắn ốc hình trụ có bước ngắn
132
Sự phá hủy của thanh tròn chịu xoắn
136
Chương 7: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
138
Thanh chịu uốn xiên
138
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
138
Điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên
142

Độ võng của dầm chịu uốn xiên
145
Thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm
147
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
148
Thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm
149
Khái niệm về lõi của mặt cắt ngang
151
Thanh chịu uốn đồng thời với xoắn
155
Thanh có mặt cắt ngang tròn
155
Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật
155
Thanh chịu lực tổng quát
160
Thanh có mặt cắt ngang tròn
160
Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật
161
Chương 8 :
KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN
164
Mở đầu
164
Những đường cong từ biến
165
Phân tích quá trình từ biến của vật liệu

166
Phương pháp mô hình hoá trong từ biến
171
7


8.5.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.

Những mô hình cơ bản
Chương 9: NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN
Khái niệm chung
Lí thuyết hoá già
Lí thuyết chảy dẻo
Lí thuyết củng cố
Lí thuyết di truyền
Sự dão ứng suất trong các bu lông,(kéo- nén đúng tâm).
Xoắn thanh tròn
Bài toán uốn
Từ biến của cánh tuốc bin
Phụ lục
Tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)

Bùi Trọng Lực, Nguyên Y Tô...
Sức bền Vật liệu (T.1, 2).
Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1964.

2)

Nguyễn Y Tô (Chủ biên) .... Sức bền vật liệu.
Nhà xuất bản Đại học và TNCN, Hà Nội 1973.

3)

Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng
Sức bền Vật liệu (T.1, 2, 3)
Nhà xuất bản Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội 1989.

4)

Nguyễn Y Tô
Sức bền Vật liệu
Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1966

5)

Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng
Sức bền Vật liệu (T.1)
8

172
176
176
176
179
180
181
182
183
184
187
189
205


Nhà xuất bản Giáo dục 1997
6)

Lê Ngọc Hồng
Sức bền Vật liệu
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật ,Hà Nội 2000

7)

Phan Kỳ Phùng, Đặng Việt Cương
Lý thuyết dẻo và Từ biến
Nhà xuất bản Giáo dục, 1997

9

10


Chương mở đầu

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
0.1.KHÁI QUÁT.
0.1.1. Nhiệm vụ của môn học.
Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức cơ bản về phương
pháp tính toán độ bền (nghĩa là các kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy dưới tác dụng
của tải trọng). Xác định độ cứng vững (nghĩa là sự thay đổi kích thước hình học của các
kết cấu, chi tiết không được vượt quá một giới hạn cho phép). Tính toán về độ ổn định
(nghĩa là tính toán sao cho các kết cấu, chi tiết có khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng
ban đầu), điều này chúng ta sẽ rõ khi gặp bài tóan ổn định.
Môn học này cũng đề cập đến một số kiến thức để tính toán cho hệ thanh, cho các
tấm, các vỏ, thanh thành mỏng... Môn học này còn đề cập đến các bài toán về ứng suất
tiếp xúc, về các ống v.v... Điều đó cũng có nghĩa là giáo trình này bao gồm những kiến
thức cơ bản của các môn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" và "lý
thuyết đàn hồi".
Ngày nay, khi mà khoa học đã phát triển thì các môn học được đan xen nhau,
không còn ranh giới rõ rệt nữa. Các môn học cơ học cũng vậy, nên những vấn đề được
trình bày dưới đây chúng tôi cũng theo xu hướng đó, nhằm cung cấp những kiến thức cơ
bản về cơ học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững và độ ổn định đã nói ở trên,
nhưng lại phải tiết kiệm nhất, có lợi nhất. Nói một cách khác là phải giải quyết vấn đề tối
ưu nhất trong sản xuất là phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu
sao cho có lợi nhất. Trong bản chất bài toán này, rõ ràng có mâu thuẫn ví như một chi tiết
càng có kích thước lớn thì có thể rất bền, rất cứng vững và rất ổn định nhưng lại không
kinh tế và cũng sẽ không thỏa mãn những yêu cầu khác. Chính vì những mâu thuẫn đó

chắc chắn nó sẽ là yếu tố thúc đẩy sự phát triển kỹ thuật tính toán, chế tạo của các vật liệu
mới... Môn sức bền vật liệu cũng phải phát triển để đưa ra các mô hình tính toán, các
phương pháp tính toán hợp lý, để thỏa mãn các điều kiện trên.
0.1.2. Đối tượng nghiên cứu của môn học.
Môn sức bền vật liệu là một môn học nằm trong ngành Cơ học vật rắn biến dạng.
Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối,
môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng.
+ Hình dạng vật thể nghiên cứu trong Sức bên vật liệu:
Vật thể thực có kích thước theo ba phương và được phân làm ba loại:
- Khối: Kích thước theo ba phương không hơn kém nhau nhiều (hình 0.1a).
- Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn hơn kich thước theo phương còn lại
rất nhiều (hình 0.1b, 0.1c).
- Thanh: Kích thước theo một phương lớn hơn kích thước theo hai phương kia
rất nhiều. Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh.
+ Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động sao cho trọng tâm O
trượt trên một đường cong (C) và thẳng góc (C), thì F sẽ quét trong không gian một hình
khối gọi là thanh có diện tích mặt cắt ngang là F.
Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang.

9


+ Các loại thanh: Thanh nếu có trục thanh (C) là thẳng thì ta gọi là thanh thẳng,
khi trục thanh (C) là cong thì ta gọi là thanh cong. Mặt cắt thanh có thể là không đổi suốt
chiều dài thanh, nhưng mặt cắt thanh cũng có thể thay đổi.
+ Khung: Hệ gồm nhiều thanh ghép lại, có hai loại: khung phẳng và khung

b)

a)

c)

d′ )

d)

e′)

e)

f)

h)

i)

VA
g)
R

k)
VA

j)
VA

MA

HA

m)

VA

HA
n)

o)

Hình 0.1: i t ng nghiên c u c a S c b n v t li u
a-Kh i; b, c-T m và v ;d- d ′ ,e- e′ -Thanh và cách bi u di n thanh trong
tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-G i di ng;m,n-Kh p c
nh;o-Ngàm
không gian.
Trong tính toán thường biểu diễn thanh bằng trục của nó (hình 0.1d', hình 0.1e').
Từ nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu nói trên ta thấy trong sức bền vật liệu có các
bài toán sau:
a) Kiểm tra các điều kiện về độ bền, độ cứng vững, độ ổn định.
b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý của công trình hay chi
tiết.
c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể.
10


0.1.3. Đặc điểm
- Môn Sức bền vật liệu khảo sát nội lực và biến dạng của vật thực, nhưng vẫn áp
dụng các kết quả của Cơ học lý thuyết (sử dụng các phương trình cân bằng).
- Môn Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm với phương pháp nghiên
cứu như sau:
+ Quan sát thực tế.

+ Đề ra các giả thuyết và tính toán.
+ Thí nghiệm kiểm tra.
0.2. Các nguyên nhân bên ngoài tác dụng lên vật thể.
0.2.1. Ngoại lực.
Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các vật
thể khác lên vật thể đang xét.
* Phân loại ngoại lực. Ngoại lực gồm:
- Tải trọng: Trị số, vị trí và tính chất của lực đã biết trước.
- Phản lực: Lực phát sinh nơi tiếp xúc giữa vật thể đang xét với vật thể khác tùy
thuộc vào tải trọng. Tải trọng bao gồm lực phân bố tác dụng liên tục trên thể tích hay bề
mặt (có cường độ bằng giá trị lực/đơn vị thể tích hay diện tích, thứ nguyên là [lực/(chiều
dài)3], [lực/(chiều dài)2] hoặc là lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài]. Ngoài ra còn
có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố.
* Tính chất tải trọng.
- Tải trọng tĩnh: Giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính.
- Tải trọng động: Giá trị của lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực quán
tính (dao động, chuyển động có gia tốc).
0.2.2. Các nguyên nhân khác.
Bao gồm sự gia tăng của nhiệt độ, sự chế tạo không chính xác các chi tiết máy hay
sự lún của các gối tựa trong công trình.
0.2.3. Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết .
a) Gối di động (khớp di động, con lăn): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh
một điểm và chuyển động tịnh tiến theo một phương nào đó. Liên kết hạn chế sự di
chuyển của thanh theo phương vuông góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo
phương này liên kết sẽ phát sinh một phản lực VA: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k).
b) Gối cố định (khớp, bản lề): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm
và hạn chế mọi chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng. Liên kết này phát sinh phản lực
theo một phương bất kỳ trong mặt phẳng. Trong tính toán ta thường phân lực này ra hai
thành phần vuông góc nhau HA và VA (xem hình 0.1m và 01 n).
c) Ngàm: Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng. Tại ngàm phát sinh

một mô men phản lực và một phản lực theo phương bất kỳ, phản lực này thường được
phân ra hai thành phần vuông góc nhau (xem hình 0.1o). Để xác định các phản lực, ta
xem thanh như vật rắn tuyệt đối và xét sự cân bằng của vật rắn đó dưới tác động của phản
lực và tải trọng.
0.3. Các giả thuyết cơ bản.
Vì đối tượng khảo sát là vật thực, cho nên nếu xét đến mọi tính chất thực thì bài
toán sẽ rất phức tạp. Do vậy để quá trình suy luận hay tính toán được đơn giản mà vẫn
đảm bảo được độ chính xác cần thiết, ta cần phải lược bỏ những tính chất không cơ bản
và chỉ giữ lại tính chất cơ bản quyết định đến phẩm chất công trình hay chi tiết. Tức là ta
đưa ra các giả thuyết. Môn Sức bền vật liệu sử dụng ba giả thuyết cơ bản sau:
11


* Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng.
- Vật liệu liên tục nghĩa là vật liệu chiếm đầy không gian vật thể.
- Vật liệu đồng nhất khi tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống
nhau.
- Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ lý xung quanh một điểm bất kỳ và
theo hướng bất kỳ như nhau.
* Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke. Dưới tác
dụng của nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu. Tuy
nhiên khi bỏ các nguyên nhân này đi thì vật thể có khuynh hướng trở về hình dạng và
kích thước ban đầu. Đó là tính đàn hồi của vật liệu và vật thể tương ứng và được gọi là
vật thể đàn hồi. Nếu vật thể có khả năng trở về nguyên hình dạng và kích thước ban đầu
ta gọi là vật thể đàn hồi tuyệt đối. Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke khi tương
quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc I.
Vật liệu thỏa mãn giả thuyết II gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính.
Đối với các loại vật liệu như thép, gang... nếu lực tác dụng nhỏ hơn một trị số giới
hạn xác định nào đó, có thể xem như thỏa mãn giả thuyết này.
* Giả thuyết III: Biến dạng của vật thể là bé.

Hệ quả của các giả thuyết: Trong quá trình tính toán ta có thể:
- Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức là có thể nghiên cứu một phân tố bé
để suy rộng ra cho cả vật thể lớn.
- Sử dụng sơ đồ không biến dạng, tức là xem điểm đặt của ngoại lực không đổi
trong khi vật thể bị biến dạng.
- Áp dụng được nguyên lý độc lập tác dụng (hay còn gọi là nguyên lý cộng tác
dụng): "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố bằng tổng tác dụng do từng yếu tố
riêng rẽ gây ra".
0.4. Lịch sử và sự phát triển của môn học.
Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, được xây dựng trên một số kết quả
và giả thuyết rút ra từ những thí nghiệm tương ứng với các bài toán cụ thể, sự lập luận
trên cơ sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập các công thức
tính toán ít phức tạp hơn về mặt toán học.
Vào thế kỷ 17 Nhà bác học Galiles đã làm thí nghiệm về sự chịu lực của một dầm
Côngxon để làm cơ sở cho các thiết kế và đóng các tàu biển phục vụ cho sự phát triển
hàng hải. Nhưng trên thực tế trong thế kỷ 17 chưa có các công trình tầm cỡ. Sự phát triển
môn học Sức bền và các môn học của cơ học thực sự phát triển từ thế kỷ 18 đến nay.
Năm 1729 Buynphighe đã đưa ra lý thuyết về quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến
dạng. Sau đó năm 1768 Hooke cho rằng ở một giai đoạn nào đó thì quan hệ ứng suất và
biến dạng là quan hệ tỷ lệ thuận. Và trong các bài toán của Sức bền vật liệu chủ yếu vật
liệu làm việc tuân theo định luật Hooke này.
Các nhà bác học như Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski... đã có nhiều đóng
góp cho sự phát triển của cơ học nói chung và cho môn học Sức bền vật liệu nói riêng.
Nhà bác học Người Pháp Navie đã cho ra đời giáo trình Sức bền vật liệu đầu tiên vào
cuối thế kỷ 18.
Sự phát triển môn học Sức bền vật liệu gắn liền với sự phát triển của lý thuyết đàn
hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến. Một số bài toán không thể chứng minh qua con
đường lập luận từ khoa học thực nghiệm mà cần phải giải bằng Lý thuyết đàn hồi. Vào
cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, Ngành cơ học biến dạng đã phát triển hết sức rộng lớn,
12

cùng với sự ra đời và phát triển của công nghệ thông tin, những thành tựu về Toán học và
Vật liệu đã yêu cầu và tạo điều kiện cho ngành cơ học vật rắn biến dạng phát triển. Người
ta ứng dụng các phương pháp sai phân, biến phân, phần tử hữu hạn... trong việc giải các
bài toán mà trước đây chưa giải được hoặc giải rất khó khăn. Cũng từ đó nhiều lý thuyết
về các vật liệu dị hướng, vật liệu có độ bền lớn, vật liệu làm việc trong điều kiện nhiệt độ
cao và trong các môi trường ăn mòn khác nhau phát triển. Trong thế kỷ 20 còn xuất hiện
lý thuyết dẻo, đàn nhớt, đàn dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến, lý thuyết phá hủy... đã giúp
chúng ta nghiên cứu sâu hơn và toàn diện hơn sự làm việc, đồ bền, độ cứng vững, độ ổn
định... của các bài toàn thực tế, do sự phát triển khoa học kỹ thuật ngày nay đòi hỏi.
Cơ học là một lĩnh vực rộng lớn, có thể là môi trường liên tục, môi trường rời rạc,
môi trường thủy, khí, môi trường nhiệt...Vì vậy những phương trình cân bằng về cơ bản
giống nhau, tùy theo môi trường cụ thể mà thay đổi một số thông số và hệ số, nhưng
những phương trình này vẫn là những phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Có thể nói điều quan tâm trước tiên của cơ học vật rắn biến dạng là quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật liệu trong quá trình tác động của tải trọng. Về
mặt toán học ứng suất là một hàm số của biến dạng:
σ = f(ε)
(0-1)
Trong đó:σ-Ứng suất; ε-Biến dạng.
- Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke thì phương trình trên tuyến tính
hay còn gọi là đàn hồi tuyến tính.
σ
B
- Nếu quan hệ đó không phải là tuyến tính
A
bậc nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện quá trình
đặt tải và cất tải là thuận nghịch. Nghĩa là khi đặt
tải, quan hệ giữa ứng suất σ và biến dạng ε là

đường cong OAB, thì khi cất tải tương quan đó
ε
cũng giảm theo đường BAO (đường không liên
O
tục BAO thực tế trùng với đường liên tục BAOtrên hình BAO được vẽ tách ra để dễ nhìn) và biến
dạng mất đi hoàn toàn khi không còn tải (xem
Hình 0.2: Quan hệ
hình 0.2).
giữa ứng suất và
Ta xem bài toán này là đàn hồi nhưng
biến dạng
không phải tuyến tính mà là đàn hồi phi tuyến và
biểu thức (0.1) vẫn phù hợp.
Chúng ta hãy xét thí nghiệm kéo một mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), thì quan
hệ giưã ứng suất và biến dạng được trình bày trên hình 0.3.
Rõ ràng giai đoạn đầu OA là đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định
luật Hooke, tức là ứng suất và biến dạng là quan hệ bậc nhất. Đến điểm B nào đó, nếu ta
cất tải thì nó không theo đường cũ mà nó đi theo đường song song với OA . Khi tải trọng
σ

B
A

C

ε
∆l

O

P

Hình 0.3: Quan hệ
giữa ứng suất và
biến dạng khi kéo

Hình 13
0.4: Hiện
tượng sau tác
dụng (dão)

Hình 0.5:
Hiện tượng
nới


không còn nữa, vật thể còn có một lượng biến dạng thể hiện bằng đoạn OC . Biến dạng
này được gọi là biến dạng dẻo (hay biến dạng dư). Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình
thành biến dạng dẻo và trạng thái ứng suất tương ứng được gọi là lý thuyết dẻo.
Chúng ta hãy lưu ý các tính chất sau đây của vật liệu:
Một thanh thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), khi đặt tải P gây nên một độ
giãn dài ∆l nào đó. Nếu để lực P không đổi này tồn tại lâu dài thì độ giãn tiếp tục tăng lên
mặc dù sự tăng này rất chậm, hiện tượng này càng rõ rệt khi vật liệu làm việc ở môi
trường nhiệt độ cao. Hiện tượng đó được gọi là hiện tượng sau tác dụng hay hiện tượng
dão.
Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép 2 tấm thép với nhau (hình 0.5) bằng một
lực nào đó, nghĩa là đã tạo cho bulông một giá trị ứng suất nhất định. Nhưng đến một thời
gian đủ dài nào đó ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa là ứng suất trong bulông giảm đi. Hiện
tượng đó gọi là hiện tượng nới.
Hiện tượng sau tác dụng và hiện tượng nới đều thể hiện một bản chất của vật liệu

đó là biến dạng tiếp tục thay đổi khi ứng suất do P sinh ra không đổi hay ứng suất giảm
(mối nối lỏng ra), khi biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu của 2 tấm thép đã
xác định) được gọi chung là hiện tượng từ biến.
Hiện tượng từ biến xuất hiện cả trong giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo. Vì
vậy lý thuyết từ biến được ứng dụng trong lý thuyết đàn hồi và cả lý thuyết dẻo.
Gần đây đã phát sinh một ngành mới là lý thuyết cảm biến. Nó nghiên cứu những
quy luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật liệu do
những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau. Lý
thuyết cảm biến giúp cho ta xác định được biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ
trong vật thể ở một thời điểm nào đó khi biết các thông số của các yếu tố tác động bên
ngoài và quá trình biến đổi các thông số đó.

CÂU HỎI TỰ HỌC :
0.1. Những nhiệm vụ chính của môn sức bền vật liệu ?
0.2. Những nhân tố nào thúc đẩy sự phát triển của môn học ?
0.3. Đối tượng nghiên cứu của môn học?
0.4. Các giả thuyết cơ bản, giải thích các giả thuyết đó.
0.5. Những nét chính của các môn học khác liên quan đến môn Sức bền vật liệu.
- - ♣♣♣♣♣- -

14


Chương 1

LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC
1.1. NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT (PPMC).
1.1.1. Định nghĩa nội lực.
Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình
dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, vật thể bị biến dạng, lực liên kết thay đổi để

chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra. Lượng thay đổi của lực liên kết gọi là nội lực.
1.1.2 Phương pháp mặt cắt (ppmc).
Để xác định nội lực trên mặt cắt ngang chứa điểm K của vật thể chịu lực như
hình1.1, ta dùng ppmc như sau: Tưởng tượng
P5
P1
dùng mặt phẳng (π) qua điểm K và thẳng góc
với trục thanh, cắt vật thể ra hai phần (A) và
P4
K
(B), (hình1.2). Xét sự cân bằng của một phần, ví P2
dụ phần (A), (hình 1.3). Phần (A) được cân
P6
P3
bằng nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên
phần (A). Nội lực này phân bố trên diện tích Hình 1.1:Một vật thể
P5
mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân chịu lực
π
bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A).
P1
Ngược lại nếu ta xét sự cân bằng của phần B, thì
P4
A
B
K
phần A cũng tác dụng lên B các nội lực tương tự P2
nhưng có chiều ngược lại.
P3
P6

1.1.3. Khái niệm về ứng suất.
Chung quanh điểm K (trên mặt cắt
Hình1.2: Phương pháp
thuộc phần A), ta lấy một phân tố điện tích vô
cùng bé ∆F, hợp lực của nội lực tác dụng lên
P1 mặt cắt

∆F là ∆P , (hình 1.4; 1.5).
A K
P2
∆P
Ta có :
// ∆P
∆F
P3
∆P
là ứng suất trung bình
Ta gọi p tb =
Hình 1.3: Sự cân bằng
∆F
lực phần A
tại K.
∆P
: ứng suất toàn phần hay là ứng suất thực (gọi tắt là ứng
p = lim p tb = lim
∆F→0
∆F→0 ∆F
suất) tại K.
⎡
læûc ⎤

Thứ nguyên của ứng suất là ⎢
, đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2
2⎥
⎣ (chiãöudaìi) ⎦
Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phầ:
- Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu σ .
- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu τ .

Như vậy P = σ 2 + τ 2 , P: Độ lớn của ứng suất tại K.

15


P1

P1

∆P
(A)

K
∆F

P2

P3 Hình 1. 4:Hợp lực

của nội
a)

τ

(A)

K

P2

P3

lực

σ>0

b)

n
τ>0

r
P
r

σ

Hình 1.5: Ứng
suất
σ<0

n

τ<0

Hình 1.6: Ứng suất, a- Ứng suất
chiều dương; b-Ứng suất chiều âm

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân
thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó.
- Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài n
của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén), (xem hình 1.6a).
- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một góc
0
90 cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( n , τ ) thì chiều của pháp tuyến đó trùng với
chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm, (xem hình 1.6 b).
1.2. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC.
Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt
ngang. Sự thu gọn đó cho ta một lực R và một mô men M. Nói chung R và M có phương,
chiều bất kỳ trong không gian. Để tính
P1
toán, ta phân R ra thành ba thành phần (ta
Mx
thường chọn Oxyz sao cho Ox, Oz nằm
z
Nz
(A) Mz O
P
trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống,
2
My
Oz trùng trục thanh), hình 1.7:
P3

- Thành phần nằm trên trục z gọi là
Qx
Qy
lực dọc và kí hiệu Nz.
x
- Thành phần nằm trên trục x, y gọi
y
là các lực cắt và kí hiệu Qx, Qy.
Ta cũng phân M ra ba thành phần:
Hình 1.7: Các thành phần của
- Các thành phần quay quanh
nội lực
trục x và y gọi là các mô men uốn và kí hiệu Mx, My.
- Thành phần quay quanh trục z gọi là mô men xoắn và kí hiệu Mz.
Nz, Qx, Qy, Mx, My, Mz là 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được
xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:
n

N z + ∑ Piz = 0
i =1

16


n

Q x + ∑ Pix = 0
i =1
n

Q y + ∑ Piy = 0
Trong đó:

∑ p iz ,

∑ p ix ,

i =1

∑ p iy là tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực thuộc
n

phần đang xét lên các trục z, x, y. M x + ∑ m x (Pi ) = 0
i =1
n

M y + ∑ m y (Pi ) = 0
i =1
n

M z + ∑ m z (Pi ) = 0
i =1

Trong đó: ∑ m x (Pi ) , ∑ m y (Pi ) , ∑ m z (Pi ) là tổng mô men của tất cả các ngoại
lực thuộc phần đang xét quay quanh các trục x, y, z.
* Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực.
Các thành phần nội lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là
σzdF, τzxdF, τzydF. Lấy tổng nội lực vi phân này trên toàn diện tích mặt cắt ngang phải
chính là các thành phần nội lực.
Do đó :

N z = ∫ σ z dF ; Q x = ∫ τ zx dF ; Q y = ∫ τ zy dF
F

F

F

M x = ∫ σ z ydF ; M y = ∫ σ z xdF ; M z = ∫ (τ zx y − τ zy x )dF
F

F

F

1.3. BÀI TOÁN PHẲNG - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC.
Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh (xem hình 1.8), ở
hình này các lực tác dụng trong mặt
P5
P2
phẳng (yoz), thì hợp lực của nội lực
m
cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có
P4
bài toán phẳng.
z
* Các thành phần nội lực: Chỉ
có ba thành phần Nz, Mx, Qy nằm trong P1
mặt phẳng yoz.
n
P6

y
Qui ước dấu: Qui ước dương
P3
của nội lực trong bài toán phẳng như
Hình 1.8: Một vật
trên hình 1.9 và hình 1.10.
thể
chịu lực
Nz > 0 khi có chiều hướng ra
mặt cắt.
Qy > 0 khi có khuynh hướng quay mặt cắt đang xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc
dấu của Qy giống dấu của τ).

17


Mx > 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).Ngược lại các nội lực âm.
P5
P2
P4
m MX>0
MX>0 m
Nz>0
P1

x

n Qy>0
P3

Nz> 0

Qy>0 n

y

y

Hình1.9:Các thành
phần nội lực và
chiều dương ở phần
bên trái của mặt

Hình 1.10: Các thành
phần nội lực và chiều
dương ở phần bên phải
của mặt cắt m-n

* Ví dụ 1: Cho một thanh chịu lực như hình 1.11a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu
đồ nội lực
O
z
x

y

1

Mx

1

a)

P

z

1

z

b)

l

1

Qy

P

(Qy)

c)

(Mx)

d)

Ta sử dụng phương pháp mặt cắt: Tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với
Hìnhđầu1.11.
Vẽ đoạn
biểu
a- phần
Một trái
dầm
chịu
trục thanh và cách
tự do một
là z.đồ
Ta nội
xét sựlực:
cân bằng
(hình
1.11b), để
lực;
cân
bằng
lực[11]
của
dầm,
đoạn thanh đang
xétb-Xét
được cânsự
bằng
thì tại
mặt cắt
xuấtphần
hiện nội

lực làcQy Biểu
và mô men
lực
Qyta
; giả
d- định
Biểu
đồMmô
xoay quanh trục x là Mđồ
đầucắt
chúng
Qy và
dụngMởy mặt cắt [11] là
x. Ban
x tácmen
dương theo quy định. Nếu kết quả tính tóan mà Qy, Mx có dấu + thì coi như giả định ban
đầu của ta là đúng và Qy, Mx đúng là dương theo quy định. Nếu kết qủa tính toán mà Qy,
Mx mang dấu -, thì ta phải đổi chiều Qy và Mx trở lại, cũng có nghĩa là nội lực âm theo
quy định ở trên.
Bây giờ ta sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường trong cơ lý
thuyết hay các phương trình đã trình bày ở trên để xác định Qy và Mx.
Chú ý: - Khi chiếu lên một trục nào đó thì các mô men là ngẫu lực không có trong
phương trình.
18


- Khi lấy mô men đối với một điểm nào đó thì lực qua điểm đó có mô men bằng 0.
(1) Phương trình 1:

n

Q y + ∑ Piy = 0
i =1

Suy ra
Qy - P = 0, vậy Qy = +P
Như vậy lực cắt Qy = +P, dấu ta giả định ban đầu là đúng và không phụ thuộc z.
n

(2) Phương trình 2:

M x + ∑ m x ⋅ (Pi ) = 0
i =1

Tức là
Mx - Px⋅z = 0
Suy ra
Mx = +P⋅z
Như vậy Mx = +Px⋅z , dấu mô men giả định ban đầu là căng phía dưới (phía dương
của trục y) là đúng và Mx là hàm bậc nhất phụ thuộc vào tọa độ z.
Cuối cùng ta vẽ biểu đồ Qy và Mx như ở hình 1.11c, 1.11d.
* Ví dụ 2: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ 1.12a. Hãy xác định lực cắt Qy, mô
men uốn Mx và vẽ biểu đồ của chúng.
O
z
x

y

q

q

z

Mx

O1

1

a)

1

b)
z

1

1

Qy

l

c)

(Qy)

ql

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa
trục thanh, ví dụ mặt phẳng
ql 2
(yoz) thì hợp
lực
của
nội
lực
cũng
nằm
trong
mặt
phẳng
đó,
ta
có bài toán phẳng.
d)
2
)
(M
x
Cũng tương tự
như trên, chúng ta cắt thanh bởi mặt cắt [11] vuông góc với trục
thanh cách đầu tự doHình
1 đoạn1.12:
z và xétXác
sự cân
bằngnội

của phần
định
lực bên
và trái,
vẽ ta vẽ lớn ra ở hình
1.12b. Đoạn thanh này
cũngđồphải
cânlực
bằng do các lực q, Qy và Mx tác dụng. Chúng ta
biểu
nội
cũng vẽ Qy, Mx theo chiều dương như đã quy định. Để xác định chúng ta lại sử dụng các
phương trình cân bằng tĩnh học, có thể viết ở dạng sau:
(1) Phương trình hình chiếu các lực lên trục y:
ΣP(y) = Qy + q⋅z = 0
Suy ra
Qy = -q⋅z
Vậy Qy là hàm bậc nhất theo z (khác với trường hợp ở ví dụ 1 - Dầm chịu lực tập
trung P thì Qy là hằng số).
Kết quả dấu - chứng tỏ ta giả sử Qy là dương như hình vẽ 1.12b là không đúng ta
phải đổi dấu Qy, tức là vẽ lại Qy hướng từ dưới lên trên, vì vậy là Qy âm theo quy định ở
trên.
(2) Phương trình lấy mô men đối với điểm O1 trọng tâm của mặt cắt [11]:

19


z
=0
2

q ⋅ z2
Suy ra:
Mx = −
2
Kết quả Mx mang dấu - chứng tỏ chiều Mx ta chọn ban đầu là sai, ta phải cho Mx
quay ngược lại, tức là nó làm căng phía âm của trục y hay căng các thớ trên của dầm nên
mang dấu - trong biểu đồ. Đồng thời mô men Mx nội lực là một hàm số bậc 2 so với z.
Cuối cùng ta xây dựng được các biểu đồ Qy và Mx (trên hình vẽ 1.12c, d).
Chú ý bề lõm của đường bậc 2 hứng lấy các mũi tên do q tác dụng.
* Ví dụ 3: Cho một dầm chịu lực như hình 1.13a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu
đồ của chúng.
Bài toán này có khác trước là việc đầu tiên ta phải xác định cho được phản lực ở
các gối tựa A và B. Tại A là gối kép, đáng lẽ phản lực tại đó có hai thành phần phản lực
theo phương y và phương z, nhưng do lực chỉ có theo phương y thẳng đứng, nên tại A chỉ
có thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YA và ở gối tựa B dĩ nhiên chỉ có một
thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YB. Để xác định YA và YB, ta phải xét sự
cân bằng của toàn dầm do các lực P và hai phản lực YA và YB tác dụng.
Chúng ta cũng dùng các phương trình cân bằng thông thường là chiếu tất cả các
lực lên trục y và lấy mô men đối với một điểm nào đó (điểm A chẳng hạn).
Giải:
a) Xác định các phản lực YA và YB.
Chiếu các tất cả các lực lên trục y:
(1)
∑ P(y ) = P − YA − YB = 0
ΣM(O1)= Mx + q⋅z

∑ M(

A)

= YB ⋅ l − P ⋅

l
=0
2

(2)

P
và kết quả có dấu + chứng
2
tỏ chiều phản lực YA và YB đã chọn hướng lên là đúng và giá trị bằng một nửa lực P. Các
phản lực YA, YB còn có thể được suy luận ra như sau: Do tính chất đối xứng YA phải
bằng YB và đây là hệ lực song song, nên YA + YB = P, vậy:
P
YA = YB =
2

Giải 2 phương trình (1) và (2), ta được YA = YB = +

20


z

O

y

x

1
A

YA
(Qy)

l/2 1

P
C

z

2

B

2
l/2

a)

A

Mx

YB

p

2

O1

Qy

YA

p
−
2

l-z

d)

Qy 2
Mx

(Mx)

b)

2

e)

c)

O2

YB

Pl
4
Hình 1.13: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ
nội lực cho một dầm chịu lực như hình a

b) Tính toán nội lực trong dầm.
Sau khi đã xác định được YA và YB, ta xem như dầm chịu các lực YA, YB và P tác
dụng. Đến đây chúng ta thấy bài toán này khác trước ở chỗ tải trọng tác dụng lên dầm
không phải không đổi suốt dầm (như ví dụ 1) hay tải trọng phân bổ liên tục suốt dầm
(như ví dụ 2), mà để có thể xét nội lực ta phải chia dầm ra một số đoạn sao cho trong mỗi
đoạn tải trọng là hằng số hoặc một hàm số liên tục và xét nội lực cho từng đoạn đó rồi nối
lại.
Với nguyên tắc này ta phải chia dầm ra làm hai đoạn:
l
(1) Đoạn 1 là từ A - C tức là: 0 ≤ z ≤ .
2
Ta tiến hành xét nội lực trong đoạn này như ví dụ 1 và ví dụ 2. Trước hết ta lại
tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu A là z (tất nhiên
mặt cắt này trong giới hạn A-C). Giữ lại phần trái chẳng hạn (xem hình 1.13b). Ta xét sự
cân bằng của nó khi đã giả định chiều của Qy và Mx ở mặt cắt [11].
- Tính lực cắt Qy.
Chiếu tất cả các lực lên trục y, ta có:
ΣP(y) = Qy - YA = 0
Suy ra Qy = + YA , kết quả mang dấu +, chứng tỏ chiều của Qy ta vẽ ban đầu là
đúng và theo quy định Qy này là dương. Qy trong đoạn AC là hằng số không phụ thuộc
vào z.
- Tính mô men Mx .

Lấy mô men đối với trọng tâm O1 của mặt cắt [11] ,ta có:
∑ M (o1 ) = Mx - YA⋅z = 0

21


Suy ra Mx = +YA⋅z, kết quả dấu +, chứng tỏ ta chọn chiều của mô men Mx như hình
1.13b là đúng và mô men này dương vì nó làm căng phía dưới hay phần dương của trục
y.
Mô men Mx là hàm số bậc nhất của tọa độ z. Như vậy nội lực trong đoạn AC đã
được xác định, ta hoàn toàn có thể vẽ biểu đồ Qy, Mx trong đoạn này.
l
(2) Đoạn CB : ≤ z ≤ l
2
Với cách làm tương tự như trên, ta tưởng tượng có mặt cắt [22] cách đầu A một
đoạn là z hay cách đầu B một đoạn là (l-z). Mặt cắt này chia thanh ra làm 2 phần. Nếu xét
phần bên trái thì tại mặt cắt này nội lực sinh ra do YA, P gây ra và cách xác định hoàn
toàn như vừa rồi. Nhưng ta cũng có thể giữ lại và xét sự cân bằng phần bên phải (như
hình 1.13c), xét phần phải này đơn giản hơn vì ngoài nội lực chỉ có thêm YB tham gia vào
các phương trình cân bằng thôi. Kết qủa tính được cũng giống nhau về trị số và dấu như
khi xét sự cân bằng phần trái.
- Tính lực Qy.
Chiếu các lực lên trục y (xem hình 1.13c).
ΣP(y) = - Qy -YB =0
Suy ra Qy = -YB , kết quả mang dấu (-) ; chứng tỏ chiều Qy ta chọn dương như hình vẽ
là không đúng và Qy phải được đổi chiều lại là âm theo quy định. Qy không phụ thuộc tọa độ
z.
-Tính mô men Mx.
Lấy mô men đối với trọng tâm O2 của mặt cắt [22], (xem hình 1.13c).
∑ M (o2 ) = YB (l-z) - Mx = 0

Vậy :
Mx = +YB (l-z)
Kết quả dấu +, chứng tỏ là ta chọn dấu của Mx ban đầu là đúng và nó làm căng các
thớ dưới hay căng phía dương của trục y là dương; Mx là hàm số bậc nhất của z.
Tóm lại, chúng ta đã xác định được lực cắt Qy ở đoạn AC là dương có trị số P 2
và đoạn CB có lực cắt Qy là âm và giá trị là P 2 . Mô men nội lực ở 2 đoạn đều dương. Ta
có thể vẽ lần lượt biểu đồ nội lực của hai đoạn AC và CB như ở các hình 1.13d và 1.13e.
* Ví dụ 4: Cho một dầm chịu lực như hình 1.14. Xác định trị số các nội lực tại mặt
cắt 1-1 cách gối tựa trái 14m.
M=44kN.m

P=20kN

q=1kN/m
HA

A
VA

D

14m

10m

z

1
1 B

C

O

VB

8m

6m

y

Hình 1.14: Xác định nội lực tại mặt
cắt 1 1 của dầm

22


Giải: Tính phản lực liên kết: Giải phóng các liên kết tại A và B và thay bằng các
phản lực liên kết HA, VA, VB. Xét sự cân bằng của hệ cô lập ABC chịu tác dụng của ngoại
lực bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết.
(1)
Ta có:
Σz= 0 => HA = 0
Σy = 0 => VA +VB - p - q⋅10 = 0
(2)
ΣmA = 0 => 1⋅10⋅5-M-VB ⋅18 + P⋅24 = 0
(3)
=> VB = 27 kN
=> VA = 3kN

Thế VB vào (1)
Tính nội lực tại mặt cắt 1-1 (xem hình 1.15).
Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần trái:
Σy = 0 => -VA +q⋅10+Qy = 0
=> Qy = -7kN
M=44kNm
q=1kN/m
Σm0 = 0
=>-VA⋅14+q⋅10⋅9+M+Mx=
0
Mx
z
O 1
HA
=>Mx =-92 kNm .
A
D
Biểu đồ nội lực: Là đường
NZ
Qy
biểu diễn sự biến thiên của nội lực
14m
2
dọc trục thanh. Hoành độ trọng
VA
10m
tâm mặt cắt ngang lấy trên trục
song song với trục thanh, tung độ
y
là các giá trị của nội lực tại các

mặt cắt ngang tương ứng.
Hình 1.15: Tính nội lực của
Như vậy dựa vào biểu đồ
mặt cắt 1 1
nội lực ta có thể xác định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá
trị nội lực lớn nhất.
* Chú ý khi vẽ biểu đồ nội lực:
- Với biểu đồ lực cắt (Qy), (Nz), tung độ dương của biểu đồ được biểu diễn về
phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ.
- Với biểu đồ (Mx): Tung độ dương (Mx > 0) được đặt về phía y > 0.
Ngược lại, tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0.
Như vậy nhìn vào biểu đồ mô men uốn (Mx), ta biết ngay các thớ dọc thanh chịu
căng ở phía có đặt tung độ Mx.
* Ví dụ 5: Một dầm chịu lực như hình vẽ 1.16. Hãy vẽ biểu đồ nội lực (Qy), (Mx) .
M=ql2

p=ql

q
HA
A
VA

C

l

D

B

l VB

O

z

l

y
Hình 1.16: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm
chịu lực như hình vẽ

23


Giải: a) Tính phản lực . Hệ phương trình xác định phản lực :

(1)

Σz = 0 => HA = 0

(2)
ΣmA = 0 => VB = 2ql
Σy = 0 => VA = ql
(3)
Kiểm tra có:
ΣMC = 0
b) Tính nội lực. Dùng phương pháp mặt cắt: Trên AC, tưởng tượng mặt cắt
ngang 1-1 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0≤z≤1, gốc A), chia dầm ra hai phần, xét cân

bằng AO (hình 1.17).
Từ các phương trình:
Σz = 0 => Nz = 0
q
Σy = 0 => Qy = VA - qz
1 Mx
1
HA
Σmo = 0 => Mx = VA z - qz2
z
A
O
Nz
2
Qy
tại gốc A(z = 0) : Qy = VA = ql và Mx = 0
z
1
VA
1
l2
tại C(z=1): Qy = 0 và Mx = ql 2 − ql 2 = q
y
2
2
Trên đoạn CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2
Hình 1.17: Dùng
(có trọng tâm O với hoành độ z: l≤ z ≤2l, gốc A) chia
phương pháp mặt
dầm ra hai phần, xét cân bằng phần ACO (xem hình

cắt
M=ql2
Σz = 0 ⇒ N 2 = 0
1.8).
q
Σy = 0 ⇒ Q Y = VA − qz
2
z2
Σm x = 0 ⇒ M x = VA ⋅ z − q
−M
2
Tại C(z = l):
QY = 0, Mx =

Mx

HA

1
+ ql 2
2

A
VA

C

O

Nz

Qy

l

2

z
y

QY = -ql, Mx = ql2
Trên đoạn DB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 3-3 (có
trọng tâm O với hoành độ z: 0 ≤ z ≤ l, gốc D), chia đầm ra
hai phần, xét cân bằng phần DO, (xem hình 1.19).
z
Σz = 0 ⇒ N2 = 0
Σy = 0 ⇒ QY = P = ql
Σmx = 0 ⇒ MX = - P⋅z =
-ql⋅z
Tại D(z=0):
Mx= 0
Tại B(z=l):
M x= 0
Nhận xét:
a) Trên những đoạn thanh: q = 0 ⇒ biểu đồ
QY là đường thẳng song song với trục hoành, biểu đồ Mx
là đường bậc 1; q = const ⇒ Qy bậc 1, và Mx bậc 2.
b) Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0.
c) Bề lõm của MX hứng mũi tên lực phân bố q.
Tại B(z = 2l):

24

Hình 1.18:Dùng
phương pháp mặt
cắt
Qy
p=q
Mx
3
l
Nz

O
3

D

z

y
Hình 1.19: Dùng
phương pháp mặt
cắt

z


d) Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mô men tập trung), thì tại
những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc MX) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy
bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mô men tập trung) tại các điểm ấy.

Ví dụ tại các điểm A, B, C, D (trên hình 1.20).
Biểu đồ như hình 1.20
1,5
1,0
0,5

A

C

B

D

Q (ql)
1
55 109 163 217 271 325 379 433

0 0,51,01,5

l

l

l

1,5
1,0
0,5
0

0,5
-1,0

1

M

87
44

-1,5

173 259 345 431
130 216 302 388

Hình 1.20: Biểu đồ biểu thị các điểm
chịu lực đặc biệt
1.4. Liên hệ vi phân giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh
thẳng.
* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các
thành phần nội lực trên hai mặt cắt như hình 1.21.
Σy = 0 ⇒ Qy + q(z)dz -(Qy+dQy) = 0
q(z)

1

q(z)
2

1 dz

2 Mx+ dMx

Qy1

(A)

Mx

O2

O1

2

(A)

1

dz

Qy+dQy

2

y
Hình 1.21: Sơ đồ biểu diễn sự
liên quan giữa tải trọng phân
bố với lực cắt và mô men

25

x