Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Vũ Thị Linh

MÔ PHỎNG BÀI TOÁN VẬN CHUYỂN NEUTRON

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Hoàng Oanh

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS.
Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên
ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và
quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô
trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã
quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong
suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học
viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình
giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm

động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2015
Học viên

Vũ Thị Linh


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................1
1. Lí do chon đề tài ....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................2
3. Cấu trúc luận văn .................................................................................................2
PHẦN NỘI DUNG ....................................................................................................3
Chƣơng I. Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron .........................3
1.1. Cơ sở Vật lý .........................................................................................................3
1.1.1.

Tương tác của neutron với vật chất ...............................................................3

1.1.2.

Lò phản ứng hạt nhân ..................................................................................11

1.2. Lý thuyết vận chuyển netron ...........................................................................13
1.2.1 Những khái niệm cơ bản...................................................................................13
1.2.2.

Lý thuyết vận chuyển tổng quát ...................................................................15

Chƣơng II. Giới thiệu về phƣơng pháp Monte Carlo ..........................................17
2.1. Giới thiệu .........................................................................................................17
2.2. Tích phân Monte Carlo ..................................................................................18
2.3. Ƣớc lƣợng sai số ..............................................................................................19
2.4. Số ngẫu nhiên ..................................................................................................20
2.5. Lấy mẫu điển hình ..........................................................................................24
2.6. Chuỗi Markov .................................................................................................25
Chƣơng III. Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron ..........................................26
3.1. Bài toán vận chuyển neutron qua lớp vật liệu .............................................26
3.2. Thuật toán đơn giản và thảo luận cho bài toán vận chuyển neutron 2D ..28
3.2.1. Bài toán vận chuyển với tán xạ đàn hồi ......................................................28
3.2.2. Bài toán vận chuyển với tán xạ phi đàn hồi ...............................................34
KẾT LUẬN ..............................................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................40


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Tiết diện phản ứng (n, γ) của 238U và tiết diện phân hạch của 235U, 238U
và 239Pu (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K) .............................................4
Hình 1.2. Số lượng trung bình các neutron phân hạch tức thời của
239

235

U,

238

U,

Pu và 241Am (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI). ............................................7

Hình 1.3. Tỉ lệ neutron trễ với các đồng vị 235U, 238U, 239Pu và 241Am....................7
Hình 1.4. Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U, 239Pu, 241Am..........8
(Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-V) .......................................................................8
Hình 1.5. Tiết diện tán xạ đàn hồi của 1H, 16O, 238U và tiết diện tán xạ phi đàn hồi
toàn phần của 238U (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K) .........................10
Hình 1.6. Thể tích vô cùng nhỏ trong không gian 3 chiều ....................................15
Hình 2.1. Minh họa thuật toán loại trừ .................................................................23
Hình 3.1. Mô tả vùng tương tác của neutron.........................................................26
Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do trung bình
...............................................................................................................................29
Hình 3.2: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung
bình ........................................................................................................................30
Hình 3.3: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do
trung bình ...............................................................................................................31
Hình 3.4: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do
trung bình xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.5, bề dày
của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài. .......................................................................32
Hình 3.5: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung
bình xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.5, bề dày của tấm
vật liệu là 1 đơn vị độ dài. .....................................................................................33
Hình 3.6: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do
trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.5, bề dày
của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài. .......................................................................34


Hình 3.7: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt hấp thụ theo phần trăm mất mát năng
lượng sau mỗi lần tán xạ .......................................................................................36

Hình 3.8: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo phần trăm mất mát năng
lượng sau mỗi lần tán xạ .......................................................................................37
Hình 3.9: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo phần trăm mất mát
năng lượng sau mỗi lần tán xạ ..............................................................................38


DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1. Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào
quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần
tương tác là pc = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài. ...............29
Bảng 3.2. Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào
quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần
tương tác là pc = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài. ...............32
Bảng 3.3: Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào
phần % mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ, xác xuất hấp thụ neutron trong
mỗi lần tương tác là pc = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài. ..35


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chon đề tài
Hiện nay, có hai phương pháp mô phỏng sự vận chuyển và tương tác của
neutron trong lò phản ứng hạt nhân. Phương pháp tất định dựa trên phương trình
chuyển động Boltzman với kết quả được lấy xấp xỉ. Phương pháp Monte Carlo mô
phỏng hệ hạt nhân một cách chính xác dựa trên mô hình thống kê.
Phương pháp tất định đóng vai trò chủ đạo trong việc mô phỏng và mô hình
hóa lò phản ứng hạt nhân. Điều đầu tiên mà chúng ta cần giải quyết đó là giải được
phương trình chuyển động Boltzmann. Tuy nhiên, để giải được phương trình này rất
phức tạp vì vấn đề ở đây là chúng ta phải giải quyết bài toán 7 chiều: 3 không gian,

2 hướng, và năng lượng với thời gian
Phương pháp Monte Carlo tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải
các bài toán phức tạp, khó hoặc không thể giải bằng phương pháp giải tích [4]. Hiệu
quả của phương pháp này so với các phương pháp khác tăng lên khi số chiều của
bài toán tăng. Đối với bài toán vận chuyển hạt, thế mạch của phương pháp Monte
Carlo nằm ở khả năng ước lượng thống kê cho các tích phân tốc độ phản ứng mà
không cần phải tính đến thông lượng vô hướng. Khả năng xử lý đối với những biến
đổi phức tạp trong biến số không gian và năng lượng của phương pháp Monte Carlo
khiến cho nó trở thành một sự thay thế hấp dẫn cho các phương pháp vận chuyển tất
định.
Trên thế giới đã có nhiều chương trình và thuật toán mô phỏng bài toán vận
chuyển neutron bằng phương pháp Monte Carlo, với việc sử dụng những công cụ
phần mềm tính toán số khác nhau như ngôn ngữ lập trình C++, matlab ... Tuy nhiên,
đối với nhiều người thì những chương trình mô phỏng này hoặc là đắt tiền, khó sử
dụng cũng như khó sửa đổi. Vì vây trong luận văn này, tôi bước đầu xây dựng một
chương trình mô phỏng bài toán vận chuyển neutron bằng phương pháp Monte
Carlo dựa trên phần mềm tính toán số Scilab đơn giản hơn và dễ tiếp cận với người
học hơn rất nhiều.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu xây dựng chương trình mô phỏng bài toán vận chuyển neutron
bằng phương pháp Monte Carlo, dựa trên phần mềm tính toán Scilab.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương:
Chương I. Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron
Chương II. Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo
Chương III. Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

2


PHẦN NỘI DUNG

Chƣơng I. Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron
1.1. Cơ sở Vật lý
1.1.1. Tương tác của neutron với vật chất
Các phản ứng phân hạch dựa trên chuỗi phản ứng tự duy trì bởi các neutron.
Các neutron không mang điện và chúng dễ dàng xuyên qua các đám mây electron
và hàng rào thế Coulomb của các hạt nhân nguyên tử. Các tương tác neutron là
tương tác mạnh trong giới hạn khoảng 10-15 m, cỡ bán kính của hạt nhân [2]. Trong
chương mở đầu này chúng tôi tìm hiểu cơ sở vật lý của các tương tác neutron,
những kiến thức cần thiết để nghiên cứu mô phỏng Monte Carlo bài toán vận
chuyển neutron.
Tương tác vật lý của neutron được mô tả cả bằng cơ học cổ điển và cơ học
lượng tử. Các phản ứng tán xạ đàn hồi ở mức năng lượng thấp thuộc phạm vi ứng
dụng của cơ học cổ điển. Cơ học lượng tử đóng vai trò quan trọng trong các hiện
tượng như: quá trình neutron đâm xuyên sâu vào trong hạt nhân bia và tương tác với
các cấu phần của hạt nhân; một vài hiện tượng thể hiện tính sóng của neutron như
nhiễu xạ neutron xuất hiện khi các neutron có năng lượng thấp tương tác với cấu
trúc tinh thể của vật liệu,v.v.
Ngoài tán xạ đàn hồi, các tương tác neutron khác thường gặp trong các quá
trình phân hạch không quá khác nhau. Chúng đều tạo ra các hạt nhân hợp phần ở
trang thái kích thích với thời gian tồn tại ngắn và nhanh chóng phân rã để trở lại
trạng thái cơ bản (ground state). Mode phân rã sẽ quy định loại phản ứng, trong quá
trình tính toán bài toán vận chuyển neutron, chúng có thể được chia ra thành 3 loại
phản ứng: hấp thụ, phân hạch và tán xạ. Mỗi loại phản ứng xảy ra với một giá trị
cận dưới của động năng của neutron tới, nếu động năng nhỏ hơn giá trị này thì phản

ứng không xảy ra.
Khi hấp thụ neutron hạt nhân trở thành hạt nhân hợp phần với năng lượng kích
thích tối thiểu bằng năng lượng liên kết của neutron trong hạt nhân đó. Nếu năng
lượng liên kết này lớn hơn một giá trị ngưỡng nào đó (phụ thuộc vào mỗi đồng vị)
thì hạt nhân ban đầu có thể bị phân hạch khi hấp thụ neutron với năng lượng bất kỳ.
Nếu năng lượng liên kết nhỏ hơn giá trị tới hạn này thì quá trình phân hạch chỉ xảy

3


ra khi động năng của neutron đủ lớn để cho năng lượng kích thích vượt quá năng
lượng ngưỡng.
Xác suất tương tác giữa neutron tới và hạt nhân bia được đặc trưng bởi tiết diện
tương tác vi mô, phụ thuộc vào hạt nhân bia, loại tương tác và năng lượng của
neutron tới. Ở năng lượng thấp, xác xuất xảy ra các phản ứng hợp phần tỉ lệ trực
tiếp với thời gian mà neutron đi qua vùng tương tác của lực tương tác mạnh. Điều
này dẫn đến sự phụ thuộc của các tiết diện tán xạ vào đại lượng nghịch đảo vận tốc
của neutron, 1/v.
Sự phụ thuộc của các tiết diện phóng xạ vào các đại lượng vật lý trở nên phức
tạp hơn khi năng lượng tăng và các tương tác ở cấp độ vi mô cần đến sự vận dụng
của cơ học lượng tử xuất hiện, dẫn đến sự thay đổi phức tạp trong tiết diện phản
ứng. Nếu năng lượng toàn phần của neutron xấp xỉ bằng năng lượng của trạng thái
hợp phần kích thích, xác suất tương tác có thể tăng lên vài bậc. Điều này có thể
được quan sát với các đỉnh cộng hưởng trên đồ thị sự phụ thuộc của tiết diện tương
tác vào năng lượng. Khoảng cách giữa các đỉnh cộng hưởng thu hẹp lại khi năng
lượng tăng. Đến một lúc nào đó, không thể quan sát được các đỉnh riêng rẽ. Vùng
này là miền cộng hưởng không thể phân giải. Ở mức năng lượng cao hơn nữa, sự
cộng hưởng trở nên trùng lặp và chúng ta quan sát được dạng đường cong trơn.
Sự hấp thụ

Hình 1.1. Tiết diện phản ứng (n, γ) của 238U và tiết diện phân hạch của 235U,
238

U và 239Pu (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K)

4


Sự hấp thụ đề cập đến tất cả các phản ứng mà không có neutron thứ cấp được
phát ra. Hiện tượng hấp thụ đơn giản nhất là hiện tượng bắt neutron bức xạ hay
phản ứng (n,γ). Neutron tới được giữ lại trong các hạt nhân bia và năng lượng dự
thừa được giải phóng bằng sự phát xạ photon năng lượng cao. Một ví dụ cho phản
ứng bắt bức xạ neutron của 238U :
238

239



U+n

U* + γ

(1.1)

Trong thực tế phản ứng (n,γ) là phương thức hấp thụ duy nhất với các đồng vị
actini giàu neutron. Các phản ứng phân hạch và tán xạ chiếm ưu thế ở vùng năng
lượng cao. Tiết diện tương tác phản ứng (n, γ) của

238

U được biểu diễn trong hình

1.1.
Các phản ứng bắt quan trọng khác gồm (n,p), (n,α) và (n,3He). Chúng là các
phản ứng điển hình chỉ xảy ra khi với một ngưỡng năng lượng của neutron đến. Một
ví dụ là phản ứng (n,α) của 10B:
10

B+n



11

B* 

7

Li + 4He

(1.2)

Urani và các actini là những đồng vị nặng với hơn 90 proton và 140–160
neutron trong hạt nhân. Các phản ứng hợp phần rất phức tạp và các tiết diện tương
tác của actini được đặc trưng bởi số lượng lớn các vùng cộng hưởng. Đỉnh cộng
hưởng đầu tiên được phân tách khá rõ ràng trong miền năng lượng tương đối thấp.
Dải cộng hưởng không phân giải được bắt đầu từ khoảng 10 KeV. Miền liên tục này
được thể hiện trong hình là một đường trơn liên tục.
Sự phân hạch

Sự phân hạch là tương tác trong đó các hạt nhân hợp phần ở trạng thái kích
thích sau khi hấp thụ neutron chậm bị phân chia thành 2 mảnh:
235

U+n

236

U* 

135

Xe + 98Sr + 3n

Trong phản ứng này, sản phẩm trung gian là

236

(1.3)

U sẽ bị phân rã thành các hạt

nhân nhỏ hơn. Thông thường thì sản phẩm tạo ra sẽ là 2 đồng vị có số khối trung
bình với một đồng vị nặng hơn đồng vị kia một chút. Sản phẩm của phản ứng phân
hạch thường có nhiều neutron và bị phân rã β- để đi đến trạng thái bền vững.

5


Phản ứng phân hạch có thể xảy ra đối với tất cả các nguyên tốt thuộc họ actini

và chiếm ưu thế trong vùng năng lượng cao cỡ MeV. Trong thực tế, phản ứng cần
năng lượng khoảng 6 MeV để có thể xảy ra trong khi năng lượng sinh ra trong quá
trình tạo thành hạt nhân hợp phần là khoảng 5 MeV. Sự chênh lệch năng lượng này
làm cho phản ứng phụ thuộc lớn vào hiệu ứng chẵn lẽ: sự thay đổi số lượng neutron
từ lẻ sang chẵn giải phóng thêm vài MeV, đủ để nâng năng lượng lên trên ngưỡng
phân hạch. Các đồng vị có số neutron lẻ (235U,

239

Pu,

241

Pu,

242

Am,…) là những

đồng vị phân hạch, chúng có thể bị phân hạch bởi sự hấp thụ các neutron có năng
lượng thấp. Các đồng vị phân hạch có số neutron chẵn (238U,

237

Np,

241

Am…) chỉ

phân hạch khi hấp thụ các neutron có động năng lớn hơn giá trị ngưỡng, khoảng 1
MeV. Các tiết diện phân hạch của 235U, 238U, và 239Pu cũng được vẽ trong hình 1.1.
Phản ứng phân hạch tạo ra 1 đến 6 neutron mới. Số neutron trung bình sinh ra là
hàm tuyến tính của năng lượng neutron tới và nó cũng phụ thuộc vào số khối của
đồng vị. Ngoài các neutron tức thời phát ra trong sự kiện phân hạch, còn có nhiều
neutron được tạo ra từ các chuỗi phân hạch của các đồng vị sản phẩm có số lượng
neutron dư. Sự phóng xạ neutron dư hầu như là tức thời nhưng nó cũng có thể xảy
ra sau sự phân rã của đồng vị phóng xạ khác có thời gian sống dài hơn. Một ví dụ
của chuỗi phản ứng là sự phân rã của sản phẩm phân hạch 87Br:
87

Br 

87

Kr*  86Kr + n

(1.4)

Hạt nhân 87Br ở trạng thái kích thích với chu kì bán rã 56 s và phân rã tạo nên
hạt nhân

87

Kr. Hạt nhân

87

Kr được tạo nên ở trạng thái kích thích cao với năng

lượng 6 MeV đủ để phóng ra tức thời một neutron và chuyển thành hạt nhân

86

Kr

bền. Thời gian sống của chuỗi phân rã được chi phối bởi phản ứng đầu tiên với chu
kì bán rã là 56s. Phản ứng này quyết định thời gian mà neutron có thể được phát ra
sau sự kiện phân hạch. Các neutron trễ này có vai trò quan trọng đối với hằng số
thời gian trong các lò phản ứng hạt nhân.

6


Hình 1.2. Số lượng trung bình các neutron phân hạch tức thời của 235U, 238U,
239

Pu và 241Am (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI).

Hình 1.2 cho thấy số lượng neutron phát ra tăng lên theo số khối của đồng vị và
năng lượng neutron tới.
Một đại lượng quan trọng trong vật lý lò là tỉ lệ của số neutron trễ được vẽ trên
hình 1.3 với 4 đồng vị. Tỉ lệ này với các đồng vị urani cao khiến cho những những
nhiên liệu làm từ urani tốt hơn nhiều so với các dạng nhiên liệu khác.

Hình 1.3. Tỉ lệ neutron trễ với các đồng vị 235U, 238U, 239Pu và 241Am

7

Neutron phân hạch được phát ra đẳng hướng do có rất nhiều hạt được sinh ra
trong phản ứng mà các định luật bảo toàn năng lượng, động lượng không chi phối
hướng tới và phát. Hơn nữa thời gian sống của trạng thái trung gian đủ dài để các
hạt neutron tới “quên” đi hướng cũ của nó.
Phân bố năng lượng của neutron phân hạch tức thời có dạng hàm phân bố
Maxwell, có đỉnh ở quanh giá trị 1 MeV. Đoạn cuối của đường phân bố kéo dài tới
khoảng năng lượng cao nhất là 10 MeV và kết thúc ở khoảng năng lượng thấp nhất
là 100 eV. Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U, 239Pu, 241Am được vẽ
trong hình 1.4.
Các phân bố hơi khác nhau đối với các đồng vị khác nhau, nhưng hầu như
không phụ thuộc vào năng lượng neutron tới. Các neutron phân rã được sinh ra ở
các mức năng lượng thấp, có vai trò quan trọng trong tính toán lò phản ứng.
Năng lượng toàn phần sinh ra trong phản ứng phân hạch (Q) khoảng 200 MeV
và nó có sự phụ thuộc nhỏ vào đồng vị sử dụng làm bia. Phần lớn năng lượng,
khoảng 80% được giải phóng dưới dạng động năng của các mảnh phân hạch. Năng
lượng này được sinh ra ngay tại vị trí phân hạch. Tuy nhiên ta không thể thu được
toàn bộ 200 MeV năng lượng phân hạch do các neutron và photon bị rò ra bên
ngoài lõi lò. Khoảng 4% năng lượng bị mất do các hạt neutrino không tương tác với
vật chất. Không phải tất cả năng lượng được giải phóng ngay. Các phân rã phóng
xạ của các sản phẩm phân hạch chiếm khoảng 6% tổng năng lượng phân hạch với
hằng số phóng xạ biến thiên từ vài phần nghìn giây cho đến hàng nghìn năm.

Hình 1.4. Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U, 239Pu, 241Am
(Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-V)

8


Phản ứng phân hạch được mô tả trên đây chủ yếu áp dụng cho phân hạch first
chance trong đó hạt nhân ở trạng thái kích thích phân rã trực tiếp thành 2 mảnh. Khi

các neutron đến có năng lượng cao hơn, một phần năng lượng sẽ được giải phóng
bởi phóng xa neutron trước khi hạt nhân bị phân hạch. Những phản ứng đó được gọi
là second-chance, third-chance,… tùy thuộc vào số neutron bị phân rã trước khi đạt
đến trạng thái cuối cùng. Vật lý của phản ứng phân hạch trở nên phức tạp khi năng
lượng của neutron đến tăng từ vài chục đến vài trăm MeV. Các quá trình vật lý
phức tạp này có thể được mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo. Với ứng dụng
trong lò phản ứng hạt nhân, chỉ cần xem xét một vài kênh phản ứng là đủ, ở vùng
năng lượng thấp chỉ có kênh phân hạch first-chance, các ngưỡng 5MeV và 10 MeV
lần lượt tương ứng với vùng xuất hiện sự đóng góp của kênh phân hạch secondchance và third-chance.
Sự tán xạ
Các va chạm tán xạ có thể phân chia thành 2 loại tương tác: tán xạ đàn hồi và
tán xạ phi đàn hồi. Sự khác nhau giữa hai loại tương tác này là tán xạ đàn hồi thì
bảo toàn động năng của các hạt tương tác. Kết quả trực tiếp sự thay đổi năng lượng
liên quan trực tiếp đến góc giữa neutron tới và neutron tán xạ. Trong tán xạ phi đàn
hồi, một phần động năng chuyển thành năng lượng kích thích của hạt nhân sau va
chạm.
Trường hợp đơn giản nhất của tán xạ trong trường thế là neutron tương tác với
hạt nhân bia nhưng không xuyên vào bên trong. Loại tán xạ đàn hồi này thường gặp
với các neutron có năng lượng thấp và nó có thể xảy ra đối với tất cả loại các đồng
vị. Tiết điện tán xạ thế đàn hồi hầu như không thay đổi ở năng lượng thấp và ở nhiệt
độ 0K. Chuyển động nhiệt của các nguyên tử bia làm tăng tần số va chạm kết quả
dẫn đến sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vào đại lượng 1/v giống như tiết diện
tương tác của phản ứng hợp phần.
Ở năng lượng cao, neutron bắt đầu tương tác với các nucleon nằm trong bia và
tạo thành hạt nhân phản ứng hợp phần. Trạng thái hợp phần kích thích có thể phân

9


rã trực tiếp để trở về trạng thái cơ bản bằng việc phát ra neutron trong trường hợp

tán xạ là đàn hồi.
Trong trường hợp tán xạ phi đàn hồi, một phần năng lượng hấp thụ được giải
phóng qua phóng xạ γ. Các phản ứng phi đàn hồi được chia thành tán xạ theo mức
và tán xạ phi đàn hồi liên tục. Sự phân rã của mỗi mức năng lượng rời tạc được xem
như là một kênh phản ứng riêng biệt. Phản ứng liên tục bao gồm sự tán xạ không
phân giải được từ tất cả các mức năng lương cao. Sự khác nhau giữa hai loại tán xạ
phi đàn hồi này là đối với tán xạ theo mức gắn với giá trị năng lượng phản ứng Q
rời rạc, gắn liền trực tiếp với sự thay đổi góc tán xạ do năng lượng neutron thay đổi
như trong trường hợp đàn hồi. Giá trị năng lượng Q của phản ứng tán xạ phi đàn hồi
liên tục tuân theo một phân bố, mối quan hệ đơn giản giữa năng lượng và góc tán xạ
không đúng trong trường hợp này.
Nếu năng lượng của neutron tới đủ lớn (cỡ khoảng MeV) thì tán xạ phi đàn hồi
có thể dẫn đến sự phát xạ nhiều neutron, hay một neutron và hạt nhân khác như
proton, α, 3He.

Hình 1.5. Tiết diện tán xạ đàn hồi của 1H, 16O, 238U và tiết diện tán xạ phi đàn
hồi toàn phần của 238U (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K)

10


Các tiết điện tán xạ đàn hồi của 1H,
toàn phần của

238

16

O,

238

U và tiết diện tán xạ phi đàn hồi

U được vẽ trong hình 1.5. Góc tán xạ đàn hồi thế của 16O kéo dài

tới khoảng 0.5 MeV sau đó xuất hiện các đỉnh cộng hưởng. Miền bắt đầu xuất hiện
cộng hưởng của

238

U bắt đầu ở năng lượng thấp hơn nhiều và đối với 1H thì các

mode tán xạ chỉ là tán xạ trong trường thế. Năng lượng ngưỡng để xuất hiện tán xạ
phi đàn hồi ở cỡ vài chục KeV. So sánh các tiết diện phản ứng phân rã của cùng
đồng vị phóng xạ 238U trong hình 1.1 chúng ta thấy sự giống nhau rõ ràng trong cấu
trúc cộng hưởng. Đây là điều có thể dự đoán được, từ đó tất cả các phản ứng hợp
phần xuất phát từ sự phân rã của cùng các trạng thái trung gian.
Trong thực tế, các phản ứng tán xạ thế đàn hồi là đẳng hướng trong hệ quy
chiếu khối tâm ở năng lượng thấp. Các phản ứng không đẳng hướng xuất hiện ở
năng lượng cao, đặc biệt là gần miền cộng hưởng. Các phản ứng phi đàn hồi thường
là đẳng hướng ở gần năng lượng ngưỡng, nhưng tính không đẳng hướng tăng dần
theo giá trị năng lượng của neutron tới.
1.1.2. Lò phản ứng hạt nhân
Chuỗi phản ứng phân hạch
Vì tỉ lệ lớn các neutron phân hạch được sinh ra dưới ngưỡng phân hạch của các
đồng vị có số neutron chẵn (xem hình 1.4 và 1.1), hầu hết quá trình phân hạch xảy
ra đối với các đồng vị phóng xạ phân hạch, điển hình là 235U hay 239Pu. Chuỗi phản
ứng tự duy trì nghĩa là số lượng các neutron trung bình phát ra trong các phản ứng
phân hạch phải đủ lớn để được ít nhất duy trì được số lượng các phản ứng phân

hạch. Nếu năng lượng của lò phản ứng được giữ không đổi thì số lượng các neutron
phát sinh phải bằng với số lượng các neutron trong “thế hệ” trước.
Quan sát hình 1.2 ta thấy hiệu suất trung bình của neutron phân hạch nằm trong
khoảng từ 2 đến 6 neutron. Điều kiện để duy trì trạng thái bền vững là các neutron
thừa cần được loại bỏ khỏi chuỗi phản ứng trước khi gây ra sự phân hạch mới. Một
phần các neutron bị rò ra khỏi lõi lò. Một vài neutron được hấp thụ trong chất tải
nhiệt, các vật liệu làm lò (nhôm, thép..) hoặc trong nhiên liệu mà không xảy ra sự
phân hạch mới. Phần neutron còn lại được dùng để điều khiển lò phản ứng. Ta cũng

11


phải tính đến một số neutron dự trữ cho việc khởi động lò phản ứng, điều chỉnh
năng lượng lò và bù cho các hiệu ứng dẫn đến giảm số neutron xảy ra trong suốt
quá trình vận hành.
Lò phản ứng nhiệt và lò phản ứng nhanh
Quan sát hình 1.4, các neutron phân hạch được sinh ra có năng lượng cao cỡ
khoảng 1 MeV. Hình 1.1 cho thấy tiết diện phân hạch của

235

U là khoảng 1 barn ở

tại khoảng giá trị năng lượng đó. Các tiết diện tương tác ở năng lượng thấp cao hơn
khoảng 100 dến 1000 lần. Giá trị của tiết diện tương tác lớn nghĩa là xác suất tương
tác cao, dẫn đến chỉ cần lượng nhỏ vật liệu phân hạch để đạt tới chuỗi phản ứng tự
duy trì. Vật liệu phân hạch có nhiều neutron trong miền năng lượng thấp sẽ chỉ cần
một lượng nhỏ so với các vật liệu phân hạch khác.
Đây là nguyên lý của các lò phản ứng nhiệt. Các neutron phân hạch nhanh được
làm chậm bởi các tán xạ đàn hồi trong chất làm chậm, là một vật liệu bao gồm các

đồng vị nhẹ. Các vật liệu làm nhẹ thông thường nhất là nước nhẹ, nước nặng và
than chì. Cần phải hiểu rõ vai trò của tán xạ đàn hồi đối với thời gian sống của một
neutron trong lò phản ứng nhiệt. Thời gian sống trung bình của neutron trong một lò
hạt nhân loại LWR cỡ 0,1 ms. Quá trình làm chậm mất khoảng 0,01 ms, trong
khoảng thời gian neutron bị tán xạ trong chất làm chậm. Theo mô phỏng bằng máy
tính, có trên 90% các phản ứng là tán xạ đàn hồi với các nguyên tử hydro trong
nước. Trong đó có trên 30% phản ứng xảy ra dưới năng lượng 1 eV. Khoảng 80%
các phân hạch được xảy ra bởi các neutron được làm chậm.
Các lò phản ứng nhanh hoạt động dựa trên một nguyên lý khác. Hình 1.1 chỉ ra
rằng giữa dải năng lượng cao (nơi các neutron được sinh ra) và miền năng lượng
thấp (nơi mà các neutron này trở thành neutron nhiệt), có một miền cộng hưởng mà
ở đó tiết diện phản ứng bắt bức xạ của

238

U là cao. Một tỉ lệ đáng kể các neutron

trong các lò phản ứng nhiệt bị mất trong các quá trình hấp thụ cộng hưởng này.
Neutron trong các lò phản ứng nhanh được giữ trong trạng thái có động năng cao
bằng việc tránh sử dụng những vật liệu làm chậm tốt. Hiện nay, các chất tải nhiệt
được chọn trong các lò phản ứng nhanh là natri lỏng (các thiết kế lò dùng chì, chì –

12


bitmut và khí lạnh He cũng được đề xuất). Neutron nhanh làm tăng xác suất phân
hạch của tất cả các đồng vị trong họ actini (bao gồm cả

238

U), từ đó có nhiều hơn

các neutron có năng lượng trên năng lượng ngưỡng. Hiệu suất trung bình của
neutron phân hạch (hình 1.2) cũng lớn trong vùng năng lượng cao dẫn đến các lò
phản ứng nhanh có thể tận dụng neutron tốt hơn hơn so với các lò phản ứng nhiệt.
1.2. Lý thuyết vận chuyển netron
1.2.1 Những khái niệm cơ bản
Mục đích của tính toán vận chuyển neutron là giải quyết sự phân bố tỉ lệ phản
ứng hạt nhân trong phạm vi các điều kiện biên của một hệ vật lý, ví dụ lõi của một
lò phản ứng hạt nhân. Tất cả các phương pháp giải tất định được rút ra từ lý thuyết
vận chuyển. Cơ sở chung của lý thuyết không phức tạp vì nó dựa trên các định luật
bảo toàn đơn giản và một số định nghĩa toán học. Ở nhiều phương diện, lý thuyết
vận chuyển neutron rất giống với các bài toán vận chuyển khác gặp phải trong nhiều
lĩnh vực của vật lý học, ví dụ sự chuyển động của các phân tử trong chất lỏng hoặc
sự di chuyển của các ion và điện tử trong plasma.
So với các bài toán khác, bài toán vận chuyển neutron có một số sự khác biệt rất
rõ ràng. Một trong những điểm đặc trưng của bài toán vận chuyển neutron là sự phụ
thuộc phức tạp vào năng lượng của các tiết diện tương tác giữa neutron và hạt nhân
trong môi trường tương tác. Sở dĩ có điều này là do các phản ứng hạt nhân hợp phần
có chịu ảnh hưởng mạnh của các hiệu ứng vi mô dẫn đến phải vận dụng cơ học
lượng tử. Một điểm đáng chú ý khác là neutron không chịu tác dụng của thế
Coulomb của các nguyên tử lân cận mà có thể đâm xuyên vào tương tác với hạt
nhân. Lực tác dụng có phạm vị tương tác giới hạn cỡ kích thước hạt nhân và các
quỹ đạo neutron giữa các va chạm tán xạ là các đường thẳng. Hơn nữa, các tương
tác neutron với nhau có thể được bỏ qua dẫn dến sự tuyến tính của các điều kiện va
chạm trong phương trình vận chuyển. Dưới đây chúng ta tìm hiểu khái quát về bài
toán vận chuyển và các nguyên lý cơ bản để giải quyết bài toán.
Ý nghĩa vật lý của tiết diện tán xạ

13

Như đã đề cập trên đây, xác suất để một neutron đơn lẻ tương tác với các hạt
nhân bia được mô tả bằng tiết diện tương tác vi mô. Để làm rõ ý nghĩa của nó, ta xét
trường hợp một chùm neutron được bắn vào một mẫu mỏng đặt vuông góc với
phương chuyển động. Cường độ của chùm neutron là I (theo đơn vị neutron/cm2s)
và tất cả neutron có cùng tốc độ, cùng hướng. Để đơn giản, mẫu bia được coi như
chỉ có một lớp nguyên tử và các neutron tới chỉ có một cơ hội để tương tác trong khi
xuyên qua lớp bia. Bia có diện tích tiết diện tương tác A và nó được làm từ vật liệu
đồng nhất với mật độ nguyên tử bề mặt NA (số nguyên tử trên một cm2).
Tốc độ phản ứng toàn phần trong mẫu bia tỉ lệ với cường độ của chùm tới, mật
độ nguyên tử của vật liệu bia và diện tích tiết diện tương tác của bia:
R = σt.I.A.NA

(1.5)

Hệ số tỉ lệ σt là tiết diện tương tác toàn phần vi mô của vật liệu bia. Tốc độ mà
các neutron bắn vào bia là I.A. Do NA là số nguyên tử trên một đơn vị diện tích, có
thể coi σt về cơ bản là xác suất tương tác với một hạt nhân và được mô tả bằng tham
số tiết diện tương tác hiệu dụng của hạt nhân.
Xác suất phản ứng trung bình trên thang vĩ mô được đặc trưng bởi tiết diện
tương tác vĩ mô, được xác định bằng tích của tiết diện tương tác vi mô và mật độ
hạt nhân:
Σi (r,E) = N(r) σi(E)

(1.6)

Ý nghĩa vật lý của tiết diện tương tác vĩ mô là nó mô tả xác suất tương tác trên
quỹ đạo mà neutron đi được .
Các tiết diện tương tác tổng cộng (như tiết diện tương tác toàn phần, tiết diện

phân hạch toàn phần, tiết điện hấp thụ toàn phần) có thể tính được đơn giản bằng
việc lấy tổng trên các kênh phản ứng tương ứng:
σ(E) = Σi σi(E)

(1.7)

Nếu môi trường tương tác bao gồm vài đồng vị thì tiết diện tương tác vĩ mô của
vật liệu được tính bằng cách lấy tổng trên tất cả các phần tử:
Σi(r,E) = Σi Nm(r) σm,i(E)

14

(1.8)


Trong đó: σi(E) mô tả xác suất tương tác của neutron với một hạt nhân bia; Σi(r,
E) là đại lượng liên quan đến các tính chất tương tác của môi trường gồm nhiều hạt
nhân thuộc một hoặc một số loại nguyên tố.
1.2.2. Lý thuyết vận chuyển tổng quát
Các lý thuyết vận chuyển tổng quát về cơ bản dựa trên các phương pháp tính
toán tất định, bao gồm thuyết nhiễu xạ. Trong tính toán vận chuyển neutron ta giả
thiết rằng các neutron được coi như một chất điểm chuyển động theo đường thẳng
giữa các sự kiện va chạm và tương tác giữa các neutron có thể bỏ qua. Các giả
thuyết bổ sung thường được thêm vào với các vật liệu cấu phần là đẳng hướng và
không phụ thuộc thời gian.
Phương trình vận chuyển

Hình 1.6. Thể tích vô cùng nhỏ trong không gian 3 chiều
Những điểm cơ bản nhất của lý thuyết vận chuyển có thể dẫn ra từ sự cân bằng
mật độ hạt trong một yếu tố vô cùng nhỏ của không gian pha 6 chiều. Trong hệ tọa

độ không gian Đề-các, các hạt được xét đặt trong yếu tố thể tích d3r=dxdydz tại vị
trí r. Yếu tố vô cùng nhỏ trong không gian góc là vi phân theo góc chuyển động

15


d  . Năng lượng của các hạt được phân bố đơn giản trong khoảng dE xung quanh

E. Một minh họa được mô tả trong hình 1.6.
Sự cân bằng neutron bên trong yếu tố không gian pha 6 chiều đưọc miêu tả
bằng phương trình vận chuyển [7]:
1 
 ( r,,E,t )  . ( r,,E,t )   t (r,E) ( r,,E,t )  q( r,,E,t )
v t
(1.9)

Trong đó Σt(r,E) là tiết diện toàn phần vĩ mô của môi trường tương tác và

q( r,,E,t ) là số hạng nguồn nói chung. Số hạng đầu tiên bên vế trái là tốc độ thay
đổi theo thời gian của mật độ góc neutron. Số hạng thứ hai mô tả tốc độ mà các
neutron di chuyển theo hướng  và đi vào yếu tố thể tích d3r. Số hạng thứ ba bao
gồm tất cả các tương tác loại bỏ neutron ra khỏi dòng bởi tán xạ hoặc hấp thụ từ các
năng lượng và góc khác nhau. Nếu các số hạng nguồn và thất thoát cân bằng cũng
như không có sự xuất hiện của thời gian trong phương trình, chúng ta sẽ thu được
phương trình vận chuyển trạng thái dừng.

16


Chƣơng II. Giới thiệu về phƣơng pháp Monte Carlo

2.1. Giới thiệu
Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ
số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương
pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức
mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được
bằng các phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên
một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên
trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số
ngẫu nhiên đơn giản. Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu
nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo.
Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một
số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte Carlo
cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến
số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài
toán tính tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp
tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp Monte Carlo cũng
được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm.
Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do
không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá
trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế. Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo
ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện.
Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán
học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo
một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0tâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2+y2<1. Diện tích hình tròn có bán kính R=1

17


là S = R2 =

còn hình vuông có cạnh a = 2 là a2 = 4, do đó xác xuất để tìm M nằm

trong hình tròn là . Bằng cách tính tỉ số giữa tổng điểm nằm trong đường tròn và tổng
điểm được gieo ngẫu nhiên ta có thể tính toán xấp xỉ số π. Phương pháp đơn giản này
hoạt động theo nguyên tắc thử và sai.

2.2. Tích phân Monte Carlo
Trên đây, chúng ta đã nêu ra một ví dụ đơn giản về tính số π bằng phương pháp
thử và sai. Trong phần này, chúng ta tìm hiểu một phương pháp chính xác và hệ thống
hơn. Phương pháp này đưa bài toán tính số π về bài toán tính tích phân rồi tích tích
phân đó bằng cách ước lượng giá trị trung bình của hàm trong vùng lấy tính phân.
Diện tích của

hình tròn có thể tính được bằng tích phân:

với a là bán kính của hình tròn. Như vậy diện tích này có thể ước lượng được bằng
phương pháp số truyền thống như phương pháp hình thang, phương pháp Simpson hay
các phương pháp tất định khác có độ chính xác cao hơn. Ngoài các phương pháp kể
trên, tích phân còn có thể lấy bằng tích của giá trị trung bình của hàm số trong khoảng
lấy tích phân và độ lớn (chiều dài) của khoảng lấy tích phân.
Giá trị trung bình của hàm số f(x) trong khoảng từ a đến b có thể ước lượng
bằng việc sử dụng một tập số ngẫu nhiên {xi} phân bố đều trong khoảng [a, b]. Từ tập
hợp đó chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình:

Giá trị tích phân khi đó ước lượng bằng:

18

với N là tổng số điểm ngẫu nhiên được sử dụng.
Diện tích của đường tròn được ước lượng theo công thức:

Và như vậy ta có thể ước lượng giá trị của số pi là
Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp. Giá
trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng:
-

Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính.

-

Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1
lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự
cho tích phân nhiều lớp hơn)

Ví dụ tích phân 3 lớp:

2.3. Ƣớc lƣợng sai số
Độ lệch chuẩn của ước lượng trung bình một đại lượng trong Monte Carlo:

là

Với trường hợp N lần thử độ lệch chuẩn sẽ là:

19