Đáp án chính thức đề thi toán khối D năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)


ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát…
Khi
0,m =
42
2.yx x=−
•
Tập xác định:
.D = \
•
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: hoặc
3
'4 4;yxx=−
'0y =
⇔
1x =± 0.x =
0,25
Hàm số nghịch biến trên:
(;

và đồng biến trên: và
(1

1)−∞ − (0;1); (1;0)− ; ).+∞
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y
1, 1;
CT
xy=± =−
0,x =
CĐ

0.=
- Giới hạn:
lim lim .
xx
yy
→−∞ →+∞
==+∞
0,25
- Bảng biến thiên:


Trang 1/4





0,25
•

Đồ thị:







0,25
2. (1,0 điểm) Tìm
...m
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
và đường thẳng
)
m
C
1:y =−
42
(3 2) 3 1.xmxm−+ +=−
Đặt phương trình trở thành:
2
,0;txt=≥
2
(3 2) 3 1 0tmtm−+++=
0,25
⇔
hoặc
tm

1t
=
31.
=+
0,25
Yêu cầu của bài toán tương đương:
03 14
311
m
m
<+<
⎧
⎨
+≠
⎩
0,25
I
(2,0 điểm)
⇔

1
1,
3
m−< <

0.m
≠
0,25
1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương:

3 cos5 (sin 5 sin ) sin 0xxxx−+−=

⇔

31
cos5 sin 5 sin
22
x xx−=

x
−∞

1−
0 1
y'
−
0
+
0
−
0
+

y
+∞
1−
1−

0

+∞

+∞

x
O
y
2
−
2
1
−
1
−
1
8
0,25
II
(2,0 điểm)
⇔

sin 5 sin
3
x x
π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

0,25

Trang 2/4

Câu Đáp án Điểm
⇔

52
3
x xk
π
π
−=+
hoặc
52
3
xxk
π
ππ
−=−+ .

0,25
Vậy:
18 3
x k
ππ
=+
hoặc
62

x k
ππ
=− +
( ).
k
∈ ]
0,25
2.
(1,0 điểm)
Giải hệ phương trình…
Hệ đã cho tương đương:
2
2
3
10
5
() 1
xy
x
xy
x
⎧
++− =
⎪
0
⎪
+−+=
⎪
⎩
⎪

⎨

0,25
⇔

2
2
3
1
35
11
0
⇔
xy
x
x
x
⎧
+=−
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
−−+=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩

2
3
1
46
20
xy
x
x
x
⎧
+=−
⎪
⎪
⎨
⎪
−+=
⎪
⎩

0,25
⇔

1
1
2
x
xy
⎧
=
⎪

⎨
⎪
+=
⎩
hoặc
11
2
1
2
x
xy
⎧
=
⎪
⎪
⎨

⎪
+=
⎪
⎩
0,25
⇔

1
1
x
y
=
⎧

⎨
=
⎩
hoặc
2
3
.
2
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩

Nghiệm của hệ: và
(; ) (1;1)
xy
=
3
(;

0,25
) 2; .
2
xy
⎛⎞

=−
⎜⎟
⎝⎠
Tính tích phân…
Đặt
3
,;1,;3,
x
dt
tedx x tex te
t
======
0,25
.

3
(1)
e
e
dt
I
tt
=
−
∫

=
3
11
1

e
e
∫
dt
tt
⎛⎞
−
⎜⎟
−
⎝⎠

0,25
=

33
ln| 1| ln| |
ee
ee
tt−−


0,25
III
(1,0 điểm)
=


2
ln( 1) 2.
ee

++ −
0,25
Tính thể tích khối chóp...
IV
(1,0 điểm)
Hạ ; là đường cao
của tứ diện
()
IH AC H AC
⊥∈
⇒
()
IH ABC
⊥
IH
.IABC

⇒

// 'IHAA

⇒

2
''
3
IH CI
AA CA
==
⇒

24
'.
33
a
IH AA==

22
'' 5,AC A C A A a=−=

22
2.BCACAB a=−=

Diện tích tam giác
:ABC
2
1
..
2
ABC
SABBC
Δ
==a

Thể tích khối tứ diện
:IABC

3
14
..

39
ABC
a
VI

HS
Δ
==


0,50
A C
C'
A'
B
B'
M
K
I
H
a
2a
3a

Trang 3/4

Câu Đáp án Điểm
Hạ
'( ').
AKABKAB

⊥∈
Vì
('')
BC ABB A
⊥
nên
⇒

AK BC
⊥
().
AKIBC
⊥

Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
()
là
IBC
.AK
0,25
'
22
2
'. 2 5
.
'5
'
AA B

S
AA AB a
AK
AB
AA AB
Δ
== =
+

0,25
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

Do nên:
1,
xy
+=
22 3 3
16 12( ) 9 25
Sxy xy xyx
=++++
y
0,25

22 3
16 12 ( ) 3 ( ) 34x yxyxyxyxy
⎡⎤
=++−++
⎣⎦
22
16 2 12.

xy xy
=−+

Đặt ta được:
,txy=
2
16 2 12;Stt=−+
2
()1
0
44
xy
xy
+
≤≤ =

⇒

1
0; .
4
t
⎡ ⎤
∈
⎢ ⎥
⎣ ⎦

Xét hàm trên đoạn
2
() 16 2 12

ft t t
=−+
1
0;
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦

'( ) 32 2;
ft t
=−

'( ) 0
ft
=
⇔
1
;
16
t =

(0) 12,
f
=
1
16
f
⎛⎞
⎜⎟

⎝⎠
=
191
,
16

1
4
f
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
25
.
2

1
0;
4
125
max ( ) ;
42
ft f
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
==
⎜⎟

⎝⎠

1
0;
4
1191
min ( ) .
16 16
ft f
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠


0,25
Giá trị lớn nhất của bằng
S
25
;
2
khi
1
1
4
x y
xy

+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩

⇔
11
(; ) ; .
22
xy
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

0,25
V
(1,0 điểm)
Giá trị nhỏ nhất của bằng
S
191
;
16
khi
1
1
16

x y
xy
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩

⇔

2323
(; ) ;
44
xy
⎛⎞
+−
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
hoặc
2323
(; ) ; .
44
xy
⎛⎞
−+
=

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

0,25
1.
(1,0 điểm)
Viết phương trình đường thẳng…
Toạ độ
A
thoả mãn hệ:
⇒

7230
64
0
xy
xy
−−=
⎧
⎨
−−=
⎩
(1; 2).
A
B
đối xứng với
A
qua
,M

suy ra
(3; 2).
B
=−
0,25
Đường thẳng
BC
đi qua
B
và vuông góc với đường thẳng
64
xy
−−=
0.
.
Phương trình
:690
BC x y
++=
0,25
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng
N BC
thoả mãn hệ:
7230
690
xy
xy
−−=
⎧
⎨

++=
⎩
⇒
3
0; .
2
N
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,25
⇒
phương trình đường thẳng
(
2. 4; 3 ;AC MN==−−
)
JJJG JJJJG
:3 4 5 0.
AC x y
−+=
0,25
2.
(1,0 điểm)
Xác định toạ độ điểm
...D

(1;1;2),
AB

=−
JJJG
phương trình
:AB
2
1
2.
x t
yt
zt
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩

0,25
VI.a
(2,0 điểm)
D
thuộc đường thẳng
AB

(2 ;1 ;2 ) (1 ; ;2 ).D ttt CD ttt⇒ −+ ⇒ =−
JJJG

0,25

Trang 4/4

Câu Đáp án Điểm
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
():P
(1;1;1).n =
G

C
không thuộc mặt phẳng
().P
//( ) . 0CD P n CD⇔=
GJJJG
1
1.(1 ) 1. 1.2 0 .
2
tt t t⇔−++=⇔=−
Vậy
51
;;1.
22
D
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,50
Tìm tập hợp các điểm…

Đặt


(, );zxyixy=+ ∈
\
()( )
34 3 4.zix y−+ = − + +
VII.a
i
0,25
Từ giả thiết, ta có:

()( ) ()( )
22 22
342344xy xy−++ =⇔−++ =.

0,50
(1,0 điểm)
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức

là đường tròn tâm bán kính
z
(
3; 4I −
)
2.R
=
0,25
1.
(1,0 điểm)

Xác định toạ độ điểm
...M

Gọi điểm
()
;.M ab
Do
()
;M ab
thuộc nên
()C
()
2
2
11;ab−+= ()OC∈
⇒
1.IO IM
==
0,25
Tam giác
IMO
có nên
n
OIM =
120
D
22 2 22
2 . .cos120 3.OM IO IM IO IM a b
=+ − ⇔+=
D

0,25
Toạ độ điểm
M
là nghiệm của hệ
()
2
2
22
3
11
2
3
3
.
2
a
ab
ab
b
⎧
=
⎪
⎧
−+=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=
⎪⎪
⎩

=±
⎪
⎩
Vậy
33
;.
22
M
⎛⎞
=±
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

0,50
2.
(1,0 điểm)
Viết phương trình đường thẳng…
Toạ độ giao điểm của với thoả mãn hệ:
I Δ ()P
22
11
1
x
2340
yz
xyz
+−
⎧
==

⎪
−
⎨
⎪
+−+=
⎩

⇒

( 3;1;1).I −
0,25
Vectơ pháp tuyến của vectơ chỉ phương của
():P
(1; 2; 3);n =−
G
:
Δ
(1;1; 1).u =−
G

0,25
Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương
d
I
()
,1;2;1vnu
⎡⎤
==−−
⎣⎦
G

.
GG

0,25
VI.b
(2,0 điểm)
Phương trình
:d
3
12
1.
x t
yt
zt
=− +
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=−
⎩

0,25
Tìm các giá trị của tham số
...m

VII.b
Phương trình hoành độ giao điểm:
2

1
2
xx
x m
x
+−
=− +

⇔
2
3(1)10(0).xmx x+− −= ≠
0,25
(1,0 điểm)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,x x
khác 0 với mọi
.m
0,25
12
1
.
26
I
xx
m
x
+
−
==

Hoành độ trung điểm của
I

0,25
:AB
1
00
6
I
m
IOy x m
−
∈⇔=⇔ =⇔=
1.

0,25


-------------Hết-------------