de thi olympic toan 11 nam 2019 2020 truong thpt my duc a ha noi

Trường THPT Mỹ Đức A
ĐỀ CHÍNH THỨC
--------

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------- oOo -------------------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………..….. Số báo danh: …………
Câu 1. (5 điểm)

π

π

=
5 x 2cos 2  − x  − 2cos 2  + 2 x  .
a) Giải phương trình lượng giác: sin x + sin
4

4


2sin 2 x + 3sin x cos x + 5cos 2 x .
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
Câu 2. (4 điểm)

a) Cho n ∈ , n ≥ 2 hãy tính tổng S sau: =
S 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + ... + n ( n − 1) Cnn .
b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;20].

Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.
Câu 3. (5 điểm)
a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số
đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.
u1 = 1
b) Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
.
∗
n

=
+
∀
∈
u
u
n
2
3
,
n
 n+1
Tìm công thức của số hạng tổng quát un theo n .
Câu 4. (5 điểm)
Cho mặt phẳng (α ) và hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 cắt (α ) tại A, B . Gọi ∆ là
đường thẳng thay đổi luôn song song với (α ) , cắt d1 tại M , cắt d 2 tại N . Đường
thẳng d qua N luôn song song với d1 cắt (α ) tại N ′ .
a) Tứ giác AMNN ′ là hình gì?
b) Tìm tập hợp các điểm N ′.

c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng OI là đường
thẳng cố định khi M di động.
Câu 5. (1 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức H biết:
H=

x2 ( y + z )
y y + 2z z

+

y2 ( z + x)
z z + 2x x

+

z2 ( x + y)
x x + 2y y

------------------- HẾT -------------------

.


HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11
Câu 1
5,0 đ

Nội dung


π
 
π

PT ⇔ sin x + sin 5 x =
1 + cos  2 − 2 x   + 1 + cos  2 + 4 x  

 



⇔ sin x + sin 5 x = sin 2 x + sin 4 x
⇔ 2sin 3x cos 2 x =
2sin 3x cos x

a)
3,0 đ

Điểm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

sin 3 x = 0
⇔
cos 2 x = cos x

0,5 đ

 3 x = kπ
⇔  2 x =+
x k 2π
 2 x =− x + k 2π

0,5 đ

kπ

x = 3

kπ
x k 2π ⇔ =
x
⇔ =
3

k 2π
x =
3


0,5 đ

y=
2sin 2 x + 3sin x cos x + 5cos 2 x

(1 + cos 2 x )
3

=
(1 − cos 2 x ) + sin 2 x + 5.
2
2
3
3
7
= cos 2 x + sin 2 x +
2
2
2

b)
3 2
π 7

2,0 đ
=
cos  2 x −  +
2
4 2


0,5 đ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số : ymin=

7 3 2
5π
−

đạt được tại x = + kπ , k ∈ 
2
2
8

0,5 đ

Giá trị lớn nhất của hàm số : ymax=

7 3 2
π
+
đạt được tại x =+ kπ , k ∈ 
2
2
8

0,5 đ

Câu 2
4,0 đ

Nội dung

uk k ( k − 1) Cnk
Số hạng tổng quát =
un k ( k − 1)
=

a)

2,0 đ

=
=

Điểm
0,5 đ

n!
k !( n − k ) !

n ( n − 1)( n − 2 ) !

( k − 2 )! ( n − 2 ) − ( k − 2 ) !
n ( n − 1) Cnk−−22 ( 2 ≤ k ≤ n )

S= n ( n − 1) ( Cn0− 2 + Cn1− 2 + Cn3−3 + ... + Cnn−−22 )

=
S n ( n − 1) .2n − 2
b)

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

2,0 đ

Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) =203

0,25 đ

Đoạn [1; 20] có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư

0,25 đ

2.
Với mọi số tự nhiên n ta luôn có n3 − n= n ( n − 1)( n + 1) 3 .
Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số đó chia
hết cho 3.
TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 63 khả năng xảy ra
TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 73 khả năng xảy ra.
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 73 khả năng xảy ra.
TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3
dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra
63 + 73 + 73 + 6.7.7.3! =
2666
Số kết quả thuận lợi là

=
Xác
suất cần tính là P

Câu 3
5,0 đ

6 + 7 + 7 + 6.7.7.3! 1333
=
203
4000
3

3

3

Nội dung

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ
0,25 đ

Điểm

Giả sử bốn góc A, B, C, D ( A < B < C < D ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân
 B = qA

với công bội q . Ta có C = q 2 A
 D = q3 A


a)
2,5 đ

b)
2,5 đ

A + B + C + D =
360
Ta có hệ 
D = 8 A
 A (1 + q + q 2 + q 3 ) =
360
⇔
3
 A.q = 8 A
q = 2
⇔

 A = 24

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ



Suy =
ra B 48
=
,C 96=

, D 192

0,5 đ

Với mọi n ∈ ∗ , ta có : un +1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = 2 ( un − 3n )

0,5 đ

Xét dãy số ( vn ) , với vn = un − 3n , ∀n ∈ ∗ . ta có vn +1 = 2vn .
Do đó, dãy số ( vn ) là 1 cấp số nhân có công bội q = 2 và số hạng đầu bằng -2

0,5 đ
0,5 đ

Suy ra vn = v1.q n −1 = −2n

0,5 đ

Vậy un = vn + 3n = 3n − 2n

0,5 đ


Câu 4
Nội dung
5,0 đ

Điểm
d

d2
d1

I

N

M
( )

0,5 đ
N'
B b

a)
2,0 đ

A

O

α

Có AM // NN’

0,5 đ

Do d // d 1 nên tồn tại mặt phẳng ( β ) chứa d và d 1
R

R

R

AN '
(α ) ∩ ( β ) =
⇒ AN '/ / MN .

 MN ⊂ ( β ) , MN / / (α )
⇒ AMNN ′ là hình bình hành

0,5 đ
0,5 đ

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d 2 , vì d // d 1 nên (P) // d 1 .
Do (P) chứa đường thẳng cố định d 2 và song song với đường thẳng cố định d 1 nên (P) cố
định.
R

R

R

R

b)
2,0 đ

0,5 đ

R

R

R

R

R

0,5 đ

R

N’ là điểm chung của (α) và (P) nên N ' ∈ (α ) ∩ ( P )

0,5 đ

b. Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b.
Gọi (α ) ∩ ( P ) =

0,5 đ

0,5 đ

Dựng đường thẳng qua E và song song với d 1 cắt d 2 tại N 0 , Dựng đường thẳng ∆ 0 qua N 0
song song với AE, đường thẳng này cắt d 1 tại M 0 .
R

R

c)
1,0 đ

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

0,5 đ


Câu 5
1,0 đ

Nội dung

Điểm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

x 2 2 yz

H≥
=
=

y y + 2z z
2 x x xyz
y y + 2z z

+
+

z 2 2 xy
y 2 2 zx
+
z z + 2x x x x + 2 y y
2 y y xyz
z z + 2x x

+

2 z z xyz

0,25 đ

x x + 2y y

2y y
2x x
2z z
+
+
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y

1

x x = ( −2a + 4b + c )

a y y + 2 z z
9
=


1

Đặt: b = z z + 2 x x ⇒  y y = ( a − 2b + 4c )
9


c
x
x
y

y
=
+
2
1


z
( 4 a + b − 2c )
z =
9

Khi đó
2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c 
H≥ 
+
+

9
a
b
c

=

2
 b a c   c a b 
−6 + 4  + +  +  + +  

9

 a c a   a b c 

≥

2
b a c
c a b
 −6 + 4.3. 3 ⋅ ⋅ + 3. 3 ⋅ ⋅ 
9
a c a
a b c

0,25 đ

0,25 đ

=2

H = 2 khi a= b= c ⇒ x= y= z= 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2.

0,25 đ

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác ngoài đáp án và vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa của câu đó.