Day thêm PT lượng giác( hay và đầy đủ)

Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo
CHUN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
π

α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)
5. Cung hơn kém
π
:

và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −

cos( ) cos
sin( ) sin
( )

cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π


cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α

π
α α
π
α α
− =
− =
− =
− =

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −

+ = −

5. Cung hơn kém
π
:

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
Trang 1
Cos đối
Sin bù
Phụ chéo
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo

α α
α α α α
α α
+ =
2 2
sin cos
cos sin 1; tg = ; cotg =
cos sin
α α α α
α α
+ +
2 2
2 2
1 1
1 tg = ; 1 cotg = ; tg . cotg = 1
cos sin
2. Công thức cộng :

α β α β α β α β α β α β
α β α β β α α β α β β α
α β α β
α β α β
α β α β

+ = − − = +
+ = + − = −
−
−
− +
cos( ) cos .cos sin .sin ; cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos ; sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg tg tg
tg( + ) = ; tg( ) =
1 . 1 .tg tg tg tg
3. Công thức nhân đôi:

α α α α α α α
α
α α α α
α
= − = − = − = −
= =
−
2 2 2 2 4 4
2
cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin cos sin
2
sin2 2sin .cos ; 2
1

tg
tg
tg
5. Công thức hạ bậc:

α
α
α
α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
=
tg
6.Công thức tính
sin ,cos ,tg
α α α
theo

2
t tg
α
=

2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1
t t t
tg
t t t
α α α
−
= = =
+ + +

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :


α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
 
= + + −
 
 
= − − +
 

 
= + + −
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
α β α β α β α β
α β α β
α β α β α β α β
α β α β
α β
α β α β
α β
+ − + −
+ = − = −
+ − + −
+ = − =
+
+ = − =
cos cos 2cos .cos ; cos cos 2sin .sin ;
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos ; sin sin 2cos .sin ;
2 2 2 2

sin( ) s
;
cos cos
tg tg tg tg
α β
α β
−in( )
cos cos
Trang 2
Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo
9. Các công thức thường dùng khác
π π π π
α α α α α α α α
+ = − = + − = + = − −cos sin 2 cos( ) 2 sin( ); cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4 4 4

B.PHU ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. CƠNG THỨC NGHIỆM CẦN NHỚ
Cơng thức nghiệm Các trường hợp đặc biệt
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k

π
π π
π
π
π
π π
π π

⇔



⇔


⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)

sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2

cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SAU
a)
=
1
sin2
2
x
b)
2

cos( )
4 2
x
π
− = −
c)
03)
6
2sin(2
=+−
π
x
d)
03)
3
cos(2
=−+
π
x
1) 2sin(3x-
6
π
)-
03
=
2) cos







−=






+
xx 4
5
2
cos
3
2
ππ
3)
5
7 tan 2 21 0
6
x
π
 
− − =
 ÷
 
4)
2
cot 5 cot 3

3 6
x x
π π
   
− = −
 ÷  ÷
   
5)
2
tan cot 2
4 3
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   







<<
−
4
7
3
ππ

x
6)
( ) ( )
xx
−−=−
00
54sin273sin
7)
sin 2 cos3 0
4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
8)
0cos32sin
=−
xx
Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước
3 3
)sin 2 , ; ;
3 2 2
a x x
π π
π
   
− = ∈ −
 ÷

 
   
b)
0
tan(2x 15 ) 1− =
, với
( )
0 0
x 180 ;90∈ −
c) sin(2x - 10
o
) =
1
2
víi -120
o
< x < 90
o
d)

cos(2x + 1) =
2
2
víi - π < x < π
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải

+ + =
+ + =

+ + =
+ + =
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c

( )
, , ; 0a b c R a∈ ≠
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c+ + =
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Nếu
sin , cost x t x= =
thì điều kiện
1 1t
− ≤ ≤
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau

1)
01sin2sin3
2
=++
xx
2)
2
3tan 4 3 tan 3 0x x− + =
3)
02cos2cos2
2
=−+
xx
4)
01sincos
2
=++
xx
5)
01cos2sin2cos
2
=+−+
xxx
6)
012sin4cos3
=+−
xx
Trang 3
Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo
7)

2
cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + =
8)
3cos2 2(1 2 sin )sin 3 2 0x x x+ + + − − =
9)
2 2
cos (3 ) cos (3 ) 3cos( 3 ) 2 0
2 2
x x x
π π
+ − − − + =
10)
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +

Bài 2: Giải các phương trình sau
d)
2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x
= + +
e)
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x x+ = −

f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+
xxx
π
g)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = −
h)
0cos.sincossin
44
=++
xxxx
Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước

2
3 3 0sin x sin x+ =
,
2 4
3 3
x ;
π π
 

∈
 
 

D ẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải
+ = ≠sin os (1) ( a;b 0)a x bc x c
Chú ý:
-Phương trình có nghiệm
2 2 2
a b c⇔ + ≥
-Trong trường hợp phương trình cho dưới
dạng:
+ =os sin (1) ac x b x c
, với cách đặt
như bên, phương trình được đưa về dạng
α α
α
⇔
+
⇔
+
2 2
2 2
c
cosx.cos + sin .sin =
a
c
cos(x- ) = (3)

a
x
b
b
Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi
áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa về các
phương trình cơ bản khác nhau.
-Ngồi ra ta còn có thể đặt
α α
= =
+ +
2 2 2 2
b
sin và os
a
a
c
a b b
.
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
thì pt
⇔ + =
+ + +
2 2 2 2 2 2
(1) sin os
a b c
x c x
a b a b a b

(2)

Đặt
2 2 2 2
b
cos và sin
a
a
a b b
α α
= =
+ +
với
[
)
0;2
α π
∈
thì :
α α
α
⇔
+
⇔
+
2 2
2 2
c
(2) sinx.cos + cos .sin =
a

c
sin(x+ ) = (3)
a
x
b
b
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:

3
1) 3sin 3 cos
2
x x
−
+ =

2) 3 cos9 sin 9 2x x+ =
3.
3
cos3x + sin3x =
2
;
4). 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3;
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
2) 3sin 2 4cos(3 2 ) 5x x
π

+ + =
3) cos7 cos5 3sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x− = −

( ) ( )
4) 1 3 sin 1 3 cos 1x x+ + − =
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình Phương pháp giải
+ + = ≠
2 2
sin sin .cos cos (4) (a;c 0)a x b x x c x d
Th1: Xét
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
thay vào phương
Trang 4
Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo
Chú ý
- Nếu a = d thì
2
x k
π
π
= +
là nghiệm của phuơng
trình (4),ngược lại nó khơng là nghiệm.
- Ngồi cách giải đưa về phương trình bậc 2 theo tanx,

ta còn có thể dùng các cơng thức
-Hạ bậc:
2
1 os2
sin
2
c x
x
−
=
,
2
1 os2
os
2
c x
c x
+
=
-Nhân đơi:
1
sin .cos sin 2
2
x x x=
Đưa phương trình (4) về dạng (3) : phương trình bậc 1
theo sin2x và cos2x.
trình, nếu thõa mãn thì
2
x k
π

π
= +
là nghiệm của
phương trình ngược lại khơng là nghiệm của phương
trình.
Th 2: Xét
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
, chia 2 vế của
phương trình cho
2
cos x
ta được

2
2
a tan tan
cos
d
x b x c
x
+ + =
2
2
1
1 tan

os
x
c x
 
= +
 ÷
 
( )
( ) ( )
2 2
2
a tan tan 1 tan
tan tan 0 *
x b x c d x
a d x b x c d
⇔ + + = +
⇔ − + + − =
(*) là phương trình bậc 2 theo tanx đã biết cách giải
KL: Hợp nghiệm của 2 trường hợp.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giái các phương trình sau
2
1) 2 3 cos 6sin cos 3 3x x x+ = +
; ,
4 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈ Z;
2 2

2)sin 2 4sin cos cos2 3cos 2 3 0x x x x x+ + − =
; ,
2 8 2
k k
x x k
π π π
= = + ∈ Z
2 2
5 3
3)3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 5sin ( ) 0
2 2 2
x x x x
π π π
π
− + + + − + =
5
; arctan( ) ,
4 3
x k x k k
π
π π
= − + = + ∈ Z
1
4) 3sin cos
cos
x x
x
+ =
; ,
3

x k x k k
π
π π
= = + ∈ Z
Bài 2: Giải các phương trình sau
a)
2 2
5sin 2 3sin 2 cos 2 2cos 2 0x x x x− − =
, b)
2 2
5sin 10sin cos 4cos 0x x x x− + =

c)
2 2
2sin 3 5sin 3 cos3 cos 3 2x x x x− − = −
, d)
2 2
3sin 3 cos (3 3)sin cos 0x x x x− − − =
,
e)
2 2
cos sin 3 sin 2 1x x x− − =
f)
4 4
sin cos 3sin cos 0x x x x− − =
.
g)
1
4cos 6sin
sin

x x
x
= +
, i)
3 3 2
4sin 3cos sin sin cos 0x x x x x+ − − =
.
h)
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x− − + =
k)
3 3
cos sin sin cosx x x x− = −

Bài 3: Giải các phương trình sau: (***)
3 2 3
1)4sin sin cos 3sin 3cos 0x x x x x− − + =
; ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= + = ± + ∈ Z
3 3
2)cos sin sin cosx x x x− = −
,
4
x k k
π
π

= + ∈ Z
3
3)cos3 2sin 3cos 3sin 0x x x x+ + − =
,
4
x k k
π
π
= + ∈ Z
3
4)sin sin 2 sin3 2cos cos3 3cosx x x x x x+ = + +
; arctan 2 ,
3
x k x k k
π
π π
= ± + = + ∈ Z
5)1 3sin 2 2tanx x+ =
3 17
; arctan( ) ,
4 4
x k x k k
π
π π
±
= − + = + ∈ Z
Trang 5