Giáo viên : Võ Duy Minh
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÌNH HỌC 12
ƠN THI TỐT NGHIỆP VÀ CHUN NGHIỆP NĂM 2010
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG
1. sin
α
=
AB
BC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos
α
=
AC
BC
(KỀ chia HUYỀN)
3. tan
α
=
AB
AC
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot
α
=
AC
AB
(KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
1. BC
2
= AB
2
+ AC
2
(Định lí Pitago)=>AB
2
= BC
2
- AC
2
2. AB
2
= BH.BC 3. AC
2
= CH.BC
4. AH
2
= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
III. ĐỊNH LÍ CƠSIN
1. a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA 2. b
2
= a
2
+ c
2
– 2accosB 3. c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN
a b c
2R
sin A sin B sin C
= = =
V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC
= =
; b)
AM AN
MB NC
=
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =
1
ah
2
b) S =
p(p a)(p b)(p c)− − −
(Cơng thức Hê-rơng)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vng: a) S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vng)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vng cân (nửa hình vng):
a) S =
1
2
a
2
(2 cạnh góc vng bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a
2
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vng có một góc bằng 30
o
hoặc 60
o
b) BC = 2AB c) AC =
a 3
2
d) S =
2
a 3
8
6. Tam giác cân: a) S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi: S =
1
2
d
1
.d
2
(d
1
, d
2
là 2 đường chéo)
9. Hình vng: a) S = a
2
b) Đường chéo bằng a
2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2
π
R (R: bán kính đường tròn) b) S =
π
R
2
(R: bán kính đường tròn)
Họ và tên : ……………………………………………… Lớp : ……………………….
1
α
H
C
B
A
N
M
CB
A
60
o
30
o
C
B
A
Giáo viên : Võ Duy Minh
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =
2
3
BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3
BN
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay
trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao
trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(
α
):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(
α
) Tức là:
d a; d b
a b
a,b
⊥ ⊥
∩
⊂ α
⇒
d
⊥
(
α
)
b)
( ) ( )
( ) ( ) a
a d ( )
α ⊥ β
α ∩ β =
⊥ ⊂ β
⇒
d
⊥
(
α
)
c) Đt d vuông góc với mp(
α
) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(
α
)
4. Góc
ϕ
giữa đt d và mp(
α
): d cắt (
α
) tại O và A
∈
d
Nếu
AH ( )
H ( )
⊥ α
∈ α
thì góc giữa d và (
α
) là
ϕ
hay
ˆ
AOH
=
ϕ
5. Góc giữa 2 mp(
α
) và mp(
β
):
Nếu
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
α ∩ β =
⊥ ⊥
⊂ α ⊂ β
thì góc giữa (
α
) và (
β
) là
ϕ
hay
ˆ
EMF
=
ϕ
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(
α
): (hình ở mục 4)
Nếu AH
⊥
(
α
) thì d(A, (
α
)) = AH (với H
∈
(
α
))
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp: V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đa giác)
3. Tỉ số thể tích của khối chóp:
S.A B C
S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
′ ′ ′
′ ′ ′
=
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: S
xq
=
Rlπ
(R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đường tròn)
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: S
xq
= 2
Rlπ
(R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh =
2
R
π
h ( h: chiều cao khối trụ)
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4
2
R
π
(R: bk mặt cầu )
9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
3
4
R
3
π
(R: bán kính mặt cầu)
PHẦN BÀI TẬP:
2
G
P
N
M
C
B
A
α
β
ϕ
F
E
M
B
A
ϕ
O
H
A
d'
d
α
Giáo viên : Võ Duy Minh
Chủ đề 1: Khối chóp - Khối lăng trụ
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a .
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A
’
BB
’
C
*Lưu ý:(Khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,
C
∧
= 60
0
, đường chéo BC
’
của mặt bên (BCC
’
B
’
) hợp với mặt bên (ACC
’
A
’
) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài cạnh AC
’
b) Tính thể tích lăng trụ
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A
’
cách đều các
điểm A, B, C. Cạnh bên AA
’
tạo với mp đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA
’
= 3a.
Tính thể tích của lăng trụ
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
có đáy là hình thoi cạnh a, góc
A
∧
= 60
0
. Chân đường vuông góc hạ từ
B
’
xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
’
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp
Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH
a) Chứng minh: SA
⊥
BC b) Tính thể tích của hình chóp
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một
góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
HD: * Tính:
S.DBC
S.ABC
V SD SB SC SD
. .
V SA SB SC SA
= =
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và
vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng: SH
⊥
(ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp đó.
Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
3
3
6
a
.
Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA =
5
2
a
Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng
3
2
a
và thể tích bằng a
3
.
Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB =
2a
Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a
3
/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc
60
0
. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB =
3a
Chủ đề 2: Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB
quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón . b) Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón
Họ và tên : ……………………………………………… Lớp : ……………………….
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120
0
.
3
Giáo viên : Võ Duy Minh
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng
α
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2
π
a
2
.
Tính thể tích của hình nón
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
0
và diện tích đáy bằng 9
π
. Tính thể tích của hình nón
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này
Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng
2a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy
hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC
Bài 12: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b)Tính thể tích của khối trụ
Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện
được tạo nên
Bài 14: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r
3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục
của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Bài 15: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
’
, bán kính R, chiều cao hình trụ là R
2
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách
từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC),
∆
ABC vng tại B và
AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng góc với
mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,
SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Chúc các em học tốt phần này !
4
Giáo viên : Võ Duy Minh
Khối đa diện
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. sin
α
=
AB
BC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos
α
=
AC
BC
(KỀ chia HUYỀN)
3. tan
α
=
AB
AC
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot
α
=
AC
AB
(KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC
2
= AB
2
+ AC
2
(Định lí Pitago)=>AB
2
= BC
2
- AC
2
2. AB
2
= BH.BC 3. AC
2
= CH.BC
4. AH
2
= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA 2. b
2
= a
2
+ c
2
– 2accosB 3. c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN
a b c
2R
sin A sin B sin C
= = =
V. ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC
= =
; b)
AM AN
MB NC
=
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =
1
ah
2
b) S =
p(p a)(p b)(p c)− − −
(Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:
a) S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =
1
2
a
2
(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a
2
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30
o
hoặc 60
o
b) BC = 2AB c) AC =
a 3
2
d) S =
2
a 3
8
6. Tam giác cân: a) S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
5
α
H
C
B
A
N
M
CB
A
60
o
30
o
C
B
A
Giáo viên : Võ Duy Minh
8. Hình thoi: S =
1
2
d
1
.d
2
(d
1
, d
2
là 2 đường chéo)
9. Hình vuông: a) S = a
2
b) Đường chéo bằng a
2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2
π
R (R: bán kính đường tròn)
b) S =
π
R
2
(R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =
2
3
BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3
BN
2. Đường cao:
Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực:
Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác:
Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)
c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều:
a) Có đáy là đa giác đều
b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(
α
):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(
α
) Tức là:
d a; d b
a b
a,b
⊥ ⊥
∩
⊂ α
⇒
d
⊥
(
α
)
b)
( ) ( )
( ) ( ) a
a d ( )
α ⊥ β
α ∩ β =
⊥ ⊂ β
⇒
d
⊥
(
α
)
c) Đt d vuông góc với mp(
α
) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(
α
)
4. Góc
ϕ
giữa đt d và mp(
α
): d cắt (
α
) tại O và A
∈
d
Nếu
AH ( )
H ( )
⊥ α
∈ α
thì góc giữa d và (
α
) là
ϕ
hay
ˆ
AOH
=
ϕ
5. Góc giữa 2 mp(
α
) và mp(
β
):
Nếu
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
α ∩ β =
⊥ ⊥
⊂ α ⊂ β
thì góc giữa (
α
) và (
β
) là
ϕ
hay
ˆ
EMF
=
ϕ
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(
α
):
(hình ở mục 4)
Nếu AH
⊥
(
α
) thì d(A, (
α
)) = AH
(với H
∈
(
α
))
6
G
P
N
M
C
B
A
α
β
ϕ
F
E
M
B
A
ϕ
O
H
A
d'
d
α
