MỘT số CHUYÊN đề HAY ôn THI vào 10 GIAI đoạn 2020 2021

1

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

Toán Học Sơ Đồ

Tài liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp

TÀI LIỆU TOÁN THCS
BỘ ĐỦ ÔN 10 BẢN WORD LÀ 20 CHUYÊN ĐỀ + 4 CHỦ ĐỀ
+ 300 ĐỀ ĐÃ THI + THI THỬ + THI THỬ HƯỚNG MỚI
(LỜI GIẢI CHI TIẾT)

MẪU MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ ÔN VÀO 10
GIAI ĐOẠN 2020-2021

Liên Hệ Tài Liệu Word Chất-Đẹp-Tiện ĐT/Zalo 0945943199
ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

2

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC SỐ

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

3

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biểu thức đơn giản chứa căn
Phương pháp giải

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

4

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

2. Bài tập mẫu
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 12 + 27 − 48 . (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2013 - 2014)
b) B = 8 − 18 + 2 32 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014)
c) C=

5

(

)

20 − 5 + 1. (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2018 - 2019)

Giải chi tiết
a) Ta có: A = 12 + 27 − 48 = 22.3 + 3.32 − 3.42 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = 3
Vậy A = 3 .
b) Ta có: B = 22.2 − 32.2 + 2 42.2 = 2 2 − 3 2 + 8 2 = 7 2
Vậy B = 7 2 .
C) Ta có: C = 5. 20 − 5. 5 + 1 = 100 −

( 5)

2

+ 1 = 10 − 5 + 1 = 6

Vậy C = 6 .
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
20 − 45 + 3 18 + 72 .

a)
c)

(

6+ 5

)

2

b)

(

28 − 2 3 + 7

)

7 + 84 .

1 1 3
 1
4
−
2+
200  :
d) 
5
2 2 2
 8

− 120 .

Giải chi tiết

20 − 45 + 3 18 + 72 = 22.5 − 32.5 + 3 32.2 + 62.2

a)

= 2 5 − 3 5 + 9 2 + 6 2 = ( 2 − 3) 5 + ( 9 + 6 ) 2 = 15 2 − 5 .
b)

(

28 − 2 3 + 7

)

7 + 84 =

(

22.7 − 2 3 + 7

)

7 + 2 2.21

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

5

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

= 2 7. 7 − 2 3. 7 + 7. 7 + 2 21

= 2.7 − 2 21 + 7 + 2 21 = 14 + 7 = 21 .
c)

(

6+ 5

)

2

− 120 = 6 + 2. 6. 5 + 5 − 22.30 = 6 + 5 + 2 30 − 2 30 = 11 .

1 1 3
 1 1 2 3
 1
4
4
−
2+
200  : = 
−
2+
2.102  :
d) 
5
5
2 2 2

 8 2 2 2
 8
3
4
1

1 3

=
2−
2 + .10 2  .8 =  − + 8  . 2.8 = 54 2 .
2
5
4

4 2


Dạng 2: Biểu thức chứa căn có ẩn hằng đẳng thức bên trong
Phương pháp giải
*Áp dụng hằng đẳng thức

A2 = A

*Nếu các biểu thức có dạng m  p n (trong đó p n = 2ab với a 2 + b 2 = m ) thì đều viết
được dưới dạng bình phương của một biểu thức.
2. Bài tập mẫu
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M =

(

)

2

5 −1 − 5 .

(Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2018 - 2019)

b) N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 .

(Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2013 - 2014)

Phân tích đề bài
a) Áp dụng hằng đẳng thức

A2 = A và chú ý

2 ab
 ⎯⎯→
2 5 = 2.1. 5

6 + 2 5 ⎯⎯
→
→ = 1+ 5
2 ⎯⎯
a 2 +b2
 ⎯⎯⎯
→ 6 = 12 + 5



(

( )

5 −1  0

)

2

Giải chi tiết
a) M =

5 − 1 − 5 = 5 − 1 − 5 = −1 .

b) N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 = 5 + 2 5 + 1 − 5 − 2 5 + 1 =

=

(

)

2

5 +1 −

(

)

5 −1

2

5 +1 − 5 −1 = 5 + 1− 5 + 1 = 2

Nhận xét
Ở câu b) các biểu thức

6 + 2 5 và

6 − 2 5 là hai biểu thức liên hợp.

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

6

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

Do vậy để tính giá trị của N ta còn có thể tính N 2 trước rồi suy ra giá trị của N.

( 6 + 2 5 )( 6 − 2 5 ) + 6 − 2

Chẳng hạn: N 2 = 6 + 2 5 − 2

5 = 12 − 2 6 = 4  0 .

Vì 6 + 2 5  6 − 2 5 nên N  0 . Do đó N = 2 .
Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = 7 − 2 10 + 20 +

(

b) B = 21

1
8.
2

2 + 3 + 3− 5

) − 6(
2

2− 3 + 3+ 5

) −15 15 .
2

Phân tích đề bài
a) Đưa 7 − 2 10 về dạng bình phương của một hiệu và hai căn thức còn lại ta phân tích và
đưa thừa số ra ngoài căn.
b) Đưa thừa số 2 vào trong căn để biến đổi các căn thức về dạng bình phương.
Giải chi tiết

a) A = 7 − 2 10 + 20 +

=

5− 2

)

2

1
+ 2 5 + .2 2
2

5− 2 +2 5+ 2 = 5− 2+2 5+ 2 =3 5.

b) B =
=

(

1
8=
2

21
2

(

21
2

(

4+2 3 + 6−2 5

)

2

3 +1+ 5 −1 − 3

(

) (
2

−3

4−2 3 + 6+2 5

)

2

3 − 1 + 5 + 1 − 15 15 =

15
2

(

) −15 15
2

3+ 5

)

2

− 15 15 = 60 .

Dạng 3: Biểu thức chứa căn ở mẫu
Phương pháp giải

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

7

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

2. Bài tập mẫu
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) P =

1
1
. (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2015-2016)
+
5 −2
5+2

b) Q =

3− 6 2+ 8
.
−
1− 2 1+ 2

Giải chi tiết
a) Ta có: P =

5+2

(

5 −2

)(

5+2

5 −2

+

) (

5+2

)(

5 −2

)

= 5 +2+ 5 −2 = 2 5 .

Vậy P = 2 5 .
b) Q =

=

3− 6 2+ 8
−
1− 2 1+ 2

(

3 1− 2
1− 2

) − 2 (1 + 2 ) =

3−2

1+ 2

Vậy Q = 3 − 2 .
a) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
b) Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu.
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

1
15 − 12
.
−
3+ 2
5 −2

b) B =

1
1
2 2− 6
.
+
+
3 +1
3 −1
2

Giải chi tiết
a) Ta có: A =

1
15 − 12
−
=
3+ 2
5 −2

(

3− 2
3+ 2

)(

3− 2

)

−

3

(

5 −2

)

5 −2

= 3− 2− 3 =− 2

Vậy A = − 2 .
b) B =

(

)

2 2− 3
3 −1 + 3 + 1
2 3
++
=
+ 2− 3 = 3 + 2− 3 = 2
3 −1
3 +1
2

Vậy B = 2 .
ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

8

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

Câu 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =

1
8 − 10
.
−
2 +1
2− 5

b) B =

c) C =

2
3
.
− 27 +
3 −1
3

d) D =

2
− 28 + 54 .
7− 6
5+ 5
5
3 5
.

+
−
5+2
5 −1 3 + 5

Giải chi tiết
1
8 − 10
−
=
2 +1
2− 5

a) A =

(

2 −1

)(

2 +1

)

2 −1

(

2 2− 5

−

2− 5

)=

2 − 1 − 2 = −1

Vậy A = −1.
2
− 28 + 54 =
7− 6

b) B =

2

(

(

7+ 6

7− 6

)(

)

7+ 6

)

2 7 +2 6
−2 7 +3 6
7−6

− 7.4 + 9.6 =

= 2 7 +2 6 −2 7 +3 6 = 5 6

Vậy B = 5 6 .
c) C =

2

(

(

)

3 +1

)(

3 −1

)

3 +1

−2 3+ 3 =

2

(

) −2

3 +1
3 −1

3 = 3 +1− 2 3 = 1− 3

Vậy C = 1 − 3 .
d) D =

(
(

5+ 5
5+ 5
5
3 5
+
−
=
5+2

5 −1 3 + 5
5+2

= 3 5 −5+

)(
)(

)+
5 − 2) (

5 −2

5

(

)

5 +1

)(

5 −1

−

(

3 5 3− 5

)

) (3 + 5 )(3 − 5 )

5 +1

5 + 5 9 5 − 15
5 + 5 − 9 5 + 15
−
= 3 5 −5+
= 3 5 −5+5−2 5 = 5
4
4
4

Vậy D = 5 .
Dạng 4: Biểu thức phức tạp
Phương pháp giải
Thường gặp những biểu thức vừa có ẩn hằng đẳng thức trong căn, vừa chứa căn thức ở
mẫu. Để giải dạng này ta thường kết hợp phương pháp giải ở dạng 1, dạng 2 và dạng 3.
2. Bài tập mẫu
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

2
1
+ . 18 .
2+2 3

(Đề thi vào 10 tỉnh Đồng Nai năm hoc 2015 - 2016)

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

9

Nhóm Toán Học Sơ Đồ
3
14
−
+
7 −2
7

b) B =

(

7 −2

)

2

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

.

 21 − 7

10 − 5 
1
+
c) C = 
. (Đề thi vào 10 TP Đà Nẵng năm học 2015 - 2016)
 :
3
−
1
2
−
1
7
−
5



Giải chi tiết
a) Ta có: A =
=

2
1+ 2

(

)

2 2 −1 3 2

9.2
=
+
3
2 −1
3

+

2− 2
+ 2 = 2− 2 + 2 = 2
1

Vậy A = 2 .
b) B =

=

3

(

3

(

7 +2

7 −2

7 +2
3

(

)(

) −2

)

7 +2

)

−

2.

( 7)
7

2

+ 7 −2

7 + 7 −2 = 7 +2− 7 −2 = 0

Vậy B = 0 .

(

)

(

)  .

 7 3 −1
5 2 −1
c) Ta có C = 
+

3 −1
2 −1





(

) (

7− 5 =

7+ 5

)(

)

7 − 5 = 7−5 = 2

Vậy C = 2 .
a) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu và đưa thừa số ra ngoài căn.
b) Trục căn thức ở mẫu và áp dụng hằng đẳng thức

A2 = A .

c) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu và phân tích tử thức để giản ước với mẫu.
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

c) C =

(

5 −2

)(

)

5+2 −

7−4 3
.
3−2

b) B =

2+ 3
7−4 3

−

2− 3
7+4 3

.

3 3−4
3+4
−
.
2 3 +1
5−2 3

Giải chi tiết
a) A =

( 5)

2

− 22 −

(2 − 3)
3−2

2

= 5−4−

2− 3
= 1 − ( −1) = 2
3−2

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

10

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

Vậy A = 2 .
2+ 3

b) B =

2− 3

−

7−4 3

=

7+4 3

2+ 3

(2 − 3)

−

2

2− 3

(2 + 3)

2

=

2+ 3 2− 3
−
2− 3 2+ 3

(2 + 3) − (2 − 3)
=
( 2 − 3 )( 2 + 3 ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 )
2

2

(
) − (2 − 3)
= ( 2 + 3 + 2 − 3 )( 2 +
2

= 2+ 3

2

3 −2+ 3

)

= 4.2 3 = 8 3

Vậy B = 8 3 .

3 3−4
3+4
−
=
2 3 +1
5−2 3

c) C =

=

=

(3

)(
(2 3)

)− (

3 − 4 2 3 −1
2

−1

)(
)
− (2 3)

3 +4 5+2 3

( 5)

2

2

22 − 11 3
26 + 13 3
4−2 3
4+2 3
−
= 2− 3 − 2+ 3 =

−
11
13
2
2

1 

2

(

)

2

3 −1 −

(

2 
1
3 +1  =
2


)

(

)

3 −1 − 3 −1 =

1
. ( −2 ) = − 2
2

Vậy C = − 2 .
a) Sử dụng hằng đẳng thức:

( a − b )( a + b ) = a2 − b2

và phân tích 7 − 4 3 thành bình

phương.
b) Phân tích 7 − 4 3 thành bình phương.
c) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu.
2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:

(

a) A = 3 50 − 5 18 + 3 8
b) B = 4 − 2 3 −
c) C =

(

5− 2

)

2

)

2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2013 - 2014)

1
12 .
2

(Đề thi vào 10 tỉnh Tiền Giang năm học 2018 - 2019)

+ 40 .

(Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019)

d) D = 5 8 + 50 − 2 18 .

(Đề thi vào 10 tỉnh Bến Tre năm học 2015 - 2016)

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

11

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

e) E = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75 . (Đề thi vào 10 tỉnh Long An năm học 2015 - 2016)
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:

(

a) 125 − 4 45 + 3 20 − 80 .

b) B = 3 2 + 6

)

6−3 3 .

(Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2015 - 2016)
Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

1
1
.
+
3+ 7 3− 7

(

b) B =

3+2

)

2

(

+

(Đề thi vào 10 tỉnh Bình Thuận năm học 2015 - 2016)

3−2

)

2

.

(Đề thi vào 10 tỉnh Hưng Yên năm học 2015 - 2016)


3+ 3  
3− 3 
c) C =  2 +
 .  2 −
.
3 +1  
3 − 1 



5− 5  
5+ 5 
d) D =  2 +
 .  2 −

5 −1  
5 + 1 


e) E =

(

14 − 6 3
5+ 3

)

3 +1

Gợi ý giải
Câu 1:

(

a) A = 3 50 − 5 18 + 3 8

(

b) B =
c) C =

(

)

)

(

2 = 15 2 − 15 2 + 6 2

)

2 = 6 2. 2 = 12 .

2

3 − 1 − 3 = 3 − 1 − 3 = −1 .

5− 2

)

2

+ 40 = 5 − 2 10 + 2 + 2 10 = 7 .

d) D = 5 8 + 50 − 2 18 = 10 2 + 5 2 − 6 2 = (10 + 5 − 6 ) 2 = 9 2 .
e) E = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75 = 8 2 − 15 3 − 8 2 + 15 3 = 0 .
Câu 2:
a) A= 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5 = −5 5 .

(

b) B = 3 2 + 6

(

)

)

(

6−3 3 = 3+ 3

(

)(

)

12 − 6 3

)

= 3+ 3 3− 3 = 3+ 3 3− 3 = 9 −3 = 6.

Câu 3:
ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

12

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

a) A =

1
1
6
6
+
=
=
= 3.
2
9−7
3 + 7 3 − 7 32 − 7

b) B =

3 +2 + 3 −2 = 3 +2− 3 +2 = 4 .

(

)  2 − 3 (


3 3 +1

3+ 3  
3− 3  
c) C =  2 +
.
2
−
=
2
+




3 + 1  
3 − 1  
3 +1



(

)(




)

3 −1 

3 −1 


)

= 2 + 3 2 − 3 = 1.

(

)  2 − 5 (


5 5 −1

5− 5  
5+ 5  
d) D =  2 +
.
2
−
=
2
+





5 − 1  
5 + 1  
5 −1



(

)(




)

5 +1 

5 +1 


)

= 2 + 5 2 − 5 = −1

e) Cách 1: E =

=

(

)

3 +1

(

)

3 +1

88 − 44 3
=
22

Cách 2: E =

(

)

3 +1

14 − 6 3
=
5+ 3

(

)

3 +1

14 − 6 3
=
5+ 3

(

(14 − 6 3 )(5 − 3 )
) 5+ 3 5− 3
( )( )

3 +1

4−2 3 =

(

)(

3 +1

)

3 −1 = 2 .

( 4 + 2 3 )(14 − 6 3 ) =
5+ 3

20 + 4 3
= 4 =2.
5+ 3

CHUYÊN ĐỀ 2: BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
Thông thường bài toán này cho dưới dạng tổng hợp gồm:
-Một câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức.
-Các câu hỏi phụ:
+ Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (hay tìm điều kiện xác định).
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
+ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức.
+ Tìm giá của biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước.
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP
ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

13

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
Phương pháp giải

A được xác định khi và chỉ khi A  0 .
1
được xác định khi và chỉ khi A  0 .

A

Bài tập mẫu
Câu 1: Cho biểu thức M =

x y− y−y x+ x
1 + xy

. Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.

(Đề thi vào 10 tỉnh Khánh Hòa năm học 2015 - 2016)
Giải chi tiết

x  0
x  0

Điều kiện:  y  0

1 + xy  0  y  0

Với x  0, y  0 ta có: M =

=

x y− y−y x+ x
1 + xy
xy

(

) (

x− y +

=

(x

x− y

1 + xy

) (

y−y x +

x− y

)

1 + xy

)=(

)(

x − y 1 + xy
1 + xy

)=

x− y

Vậy M = x − y với x  0, y  0 .
 1
x 
1
−
Câu 2: Cho biểu thức N = 
. Tìm điều kiện xác định và rút gọn N.
 :
 x −1 x −1  x +1

Giải chi tiết
x  0

x  0
 x −1  0

Điều kiện: 
x  1
x −1  0
 x +1  0



1
Với x  0, x  1 ta có: N = 
−
 x −1


=

(

1

)(

x −1

(

x

)(

x −1

)

x +1

.

(


.
x +1 



)

)

x +1 =

(


x +1 = 



)

(


.
x +1 


x +1− x

)(

x −1

)

1
x −1

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />
(

)

x +1


14

Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Vậy N =

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

1
với x  0, x  1 .
x −1

 x +1
1 
−
Câu 3: Cho biểu thức P = 


x + 3 
 x −9

(

)

x −3 .

Tìm điều kiện xác định và rút gọn N.
Giải chi tiết

x  0
x  0

Điều kiện:  x − 9  0  
x  9

 x +3 0
Với x  0, x  9 ta có:


x +1
1 
P = 
−

x + 3 
 ( x +3)( x -3)
=

(
( x + 3)(

).
(
x − 3)

x +1−

Vậy P =

x −3

(

)

x −3 =


x −3 = 



)

(

x +1

x +3

)(

x −3

−

) (



x −3 


x −3
x +3

)(

)

(

x −3

)

4
x +3

4
với x  0, x  9 .
x +3

Câu 4: Cho biểu thức Q =

x − 11
x
2 x −1
−
+
. Tìm điều kiện của x để biểu thức Q
x− x −2
x +1
x −2

có nghĩa, khi đó rút gọn Q.
Giải chi tiết

x  0

x  0
x − x − 2  0
 x  0
Để Q có nghĩa, điều kiện là: 


 x  2
x  4

 x −2 0

 x +1  0
Với điều kiện trên ta có: Q =

=

x −1
x
2 x −1
−
+
=
x− x −2
x +1
x −2

( x − 2) + ( 2 x − 1)(
( x + 1)( x − 2)

x − 11 − x

)=

x +1

(

x − 11

)(

x +1

(
) (
( x + 1)( x − 2)

x −2

)

−

x
2 x −1
+
x +1
x −2

)

x − 11 − x − 2 x + 2 x + x − 1

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

15

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

=

(
( x + 1)( x − 2) (
x + 4 x − 12

Vậy Q =

)(
x + 1)(

x −2

=

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

)=
x − 2)
x +6

x +6
x +1

x +6
với x  0 và x  4 .
x +1

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
Phương pháp giải

Bài tập mẫu

x +1
khi x = 9 .
x −1

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức A =
Giải chi tiết

9 +1 3 +1 4
=
= =2
9 −1 3 −1 2

Thay x = 9 vào A ta được: A =
Vậy A = 2 khi x = 9 .
Câu 2: Cho biểu thức A =

2x − 3 x − 2
. Tính giá trị của A khi x = 4 − 2 3 .
x −2

(Thi thử THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 1 năm học 2018 - 2019)
Giải chi tiết
Với x  0, x  4 ta có: A =

=
Khi x = 4 − 2 3 =

( 3)

2

(

) (

)

2x − 4 x + x − 2
2 x
2x − 3 x − 2
=
=
x −2
x −2

(

)(

) =2

x − 2 2 x +1
x −2

− 2. 3.1 + 12 =

(

)

3 −1

(

) (

x −2 +

x −2

)

x −2

x +1

2

 x = 3 − 1 , thay vào A ta được:

A = 2 x +1 = 2

(

)

2

3 −1 + 1 = 2

(

)

3 −1 + 1 = 2 3 −1

Vậy x = 4 − 2 3 thì A = 2 3 − 1 .
Ta thấy x = 4 − 2 3 có thể rút gọn bằng cách đưa về bình phương của một hiệu. Do vậy, ta
ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

16

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

cần rút gọn x trước khi thay vào biểu thức A.
Câu 3: Cho biểu thức B =

2+ x 2− x
, điều kiện x  0, x  1 .
+
x +1
x −1

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị B khi x = 17 + 12 2
(Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận năm học 2015 - 2016)
Giải chi tiết
a) Với x  0, x  1 ta có:
B=

( 2 + x )(
( x + 1)(

Vậy B =

) + ( 2 − x )(
x − 1) ( x + 1)(

) = (x +
x − 1)

x −1

) (

x +1

x − 2 + −x + x + 2
x −1

)=2

x

x −1

2 x
với x  0, x  1 .
x −1

b) Ta có: x = 17 + 12 2 = 9 + 2.3.2 2 + 8 =

(3 + 2 2 )

2

= 3 + 2 2 (thỏa mãn điều kiện

x  0, x  1 ).

x = 3 + 2 2 = 2 + 2. 2.1 + 1 =

(

)

2 +1
2

Thay x = 2 + 1 vào B ta được: B =

(

2

= 2 +1

) = 2 ( 2 + 1) = 1
2 − 1 2 (1 + 2 )

2 +1

3+ 2

Vậy x = 17 + 12 2 thì B = 1 .
Câu 4: Cho biểu thức: C =

x x +1 x −1
(với x  1; x  0 ). Rút gọn C, sau đó tính giá trị
−
x −1
x +1

C − 1 khi x = 2020 + 2 2019 .
Giải chi tiết
Với x  1; x  0 ta có:

( x ) +1 −
C=
( x + 1)( x −1)
3

=

(

)(
( x + 1)(

)−(

x +1 x − x +1

)

x −1

( x ) +1 − (
( x + 1)( x −1)
3

x −1
=
x +1

)(

x +1

) = x−

x −1

x +1

)(

x +1

x +1
−
x −1

)

x −1

x +1

(

)

x −1

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

17

Nhóm Toán Học Sơ Đồ
=

x − x +1−

(

)

x −1

2

x −1

Vậy C =

=

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

(

)=

x − x +1− x − 2 x +1
x −1

x
x −1

x
với x  1; x  0 .
x −1

Suy ra C − 1 =

x−

(

)=

x −1

x −1

1
x −1

Ta có x = 2020 + 2 2019 (thỏa mãn điều kiện x  1, x  0 ).
Có x = 2019 + 2 2019 + 1 =

(

2019

)

2

+ 2. 2019.1 + 12 =

Thay vào biểu thức C − 1 ta được : C − 1 =

Vậy C − 1 =

(

)

2

2019 + 1  x = 2019 + 1

1
1
=
2019 + 1 − 1
2019

1
khi x = 2020 + 2 2019 .
2019

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Phương pháp giải
Chứng minh đẳng thức: Ta biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái hoặc biến đổi
cả hai vế về biểu thức trung gian.
Chứng minh bất đẳng thức A  m .

Bài tập mẫu
Câu 1: Chứng minh rằng với x  0 và x  1 thì

x

1
−
=
x −1 x − x

x +1
.
x

Giải chi tiết
Với x  0 và x  1 ta có:

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

18

Nhóm Toán Học Sơ Đồ
x
1
−
=
x −1 x − x

VT =

x −1

=
x

(

=

)

x −1

(

(

x x −1

x
1
−
=
x −1
x x −1

(

)(

x −1
x

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

)=

x +1

)

x −1

Vậy với với x  0 và x  1 thì

)

x

(

)

x −1

x +1
x

x
1
−
=
x −1 x − x

x +1
.
x

 x +1
2 
x −4
−
Câu 2: Cho biểu thức P = 
 .  x − 1 +
 (với x  0 và x  4 ).
x 
 x −2 x−4 

Chúng minh rằng P = x + 3 .
Giải chi tiết
Với x  0 và x  4 ta có:
 x +1
2 
x −4
P = 
−
 .  x − 1 +

x 
 x −2 x−4 


=




=

(

)(

x +1

x +2

x−4

)−

 
2  
.
x − 4 
 

(

)

x −1
x

x

+


x − 4
x 


x+2 x + x +2−2 x− x + x −4 x+3 x x−4
.
=
.
=
x−4
x−4
x
x

x

(

x +3
x

)=

x +3

Vậy P = x + 3 với mọi x  0, x  4 .


 1

3 a +5
+
Câu 3: Cho biểu thức P = 
 
 a −1 a a − a − a + 1  


(

)

a +1
4 a

2


− 1 với a  0, a  1 .



a) Rút gọn P.

(

)

b) Đặt Q = a − a + 1 P . Chứng minh Q  1 .
Giải chi tiết
Với a  0, a  1 ta có:


1
P=
+
 a −1 a


(

3 a +5

) (

a −1 −

 
 
3 a +5
 .  (a + 2 a + 1) − 4 a  =  1 +
4 a
a −1  
  a − 1 ( a − 1) a − 1


)

(

)


 . a − 2 a +1

4 a


ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

19

Nhóm Toán Học Sơ Đồ
a −1 + 3 a + 5

=

=

( a − 1) (
4

(

(

)

a −1

)

(
.

a +1

)(

a +1

)

a −1

.

(

)

a −1
4 a

2

=

Vì

(

)

4 a +4

( a − 1) (

)

a −1

(
.

)

a −1
4 a

2

=

4 a + 4 a −1
.
a −1

4 a

a −1 1
.
=
4 a
a

)

b) Ta có: Q = a − a + 1 P =

Xét Q − 1 =

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

a − a +1
a
a +1 (
=

a − a +1
a − a +1− a a − 2
−1 =
=
a
a
a
2

a − 1  0 và

)

a −1

2

a

a  0, a  0, a  1 nên Q − 1  0  Q  1

Vậy Q  1 với mọi a  0, a  1 .
Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức
Phương pháp giải

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

20

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Câu 1: Cho hai biểu thức: A =

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

 x −1
x +2
3

x−4
−
(với x  0, x  1 ) và B = 
(với
 :
x
−
2
x
+
1
x
+
1
x −1



x  0, x  4 ).

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

18
.
A.B

(Phòng GD & ĐT Ba Đình – Hà Nội – Lần 1 năm học 2018 –
2019)
Phân tích đề bài
ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

21

Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Rút gọn B và tính P. Ta thấy P =

18

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

(

)

x −1
x +2

có dạng bậc tử thức băng bậc của mẫu thức

(phương pháp 3) nên phân tích tử để biến đổi P về dạng P = n +

m
.
x +2

Giải chi tiết
Với x  0, x  1 ta có:
 x −1
x +2

3
B = 
−
=
 :
x +1  x +1
 x −2
=

(

x −1 − x + 4
x −2

P=

)(

)

x +1

.

x +1
=
3

(

(

(

)(

x −1

3

x −2

)(

) (
( x − 2)(

)(
x + 1)

x +1 −

)

x +1

x +2

x +1
=

3

.

x −2

).

x +1
3

1
x −2

)

18 18 x − 1
54
=
= 18 −
A.B
x +2
x +2

Vì x  0  x + 2  2 

54
54
54
 18 − 27 = −9


= 27 nên P = 18 −
x +2
x +2 2

Hay P  −9, x  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy min P = −9 khi x = 0 .
Câu 2: Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 1
 x −1
x+2
x
A = 
+
+
, với x  0, x  1 .
 :
3
 1 − x x x −1 x + x + 1 

(Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 - 2019)
Giải chi tiết
Với x  0, x  1 ta có:

(

)

(

)

 1
 x −1 − x + x + 1 + x + 2 + x
x+2
x
A = 
+
+
=
 :
3
x −1 x + x + 1
 1− x x x −1 x + x + 1 

(

)(

).

x −1

3
x −1

( x − 1)
3
=
=

( x − 1) ( x + x + 1) x + x + 1
2

3

2

Vậy A =

3
với x  0, x  1
x + x +1

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

22

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

A đạt giá trị lớn nhất  x + x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất
Vì x  0 nên x + x + 1  1  A =

3
3
x + x +1

Đẳng thức xảy ra  x = 0 . Vậy max A = 3 khi x = 0 .

Ta thấy A có dạng A =

m
(với m là hằng số dương, p ( x ) là một biểu thức chứa biến x),
p ( x)

do vậy áp dụng phương pháp 2.

x −1 5 x − 2
với x  0, x  4 .
+
x−4
x +2

Câu 3: Cho hai biểu thức P =

x+3
và Q =
x −2

Tìm giá trị của x để biểu thức

P
đạt giá trị nhỏ nhất.
Q
(Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2015 - 2016)

Phân tích đề bài

P x+3

P
. Nhận thấy
có dạng bâc tử lớn hơn bâc mẫu nên
=
Q
Q
x

Rút gọn biểu thức Q và tính
đưa về dạng

P
m
. Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất.
= P1 ( x ) +
Q
x

Giải chi tiết
Với x  0, x  4 ta có:

Q=

=

x −1 5 x − 2
+
=
x−4
x +2

x+2 x
=
x−4



x

(

(

x +2

(

)(

x −1

x−4

x +2

)(

)

x −2 +5 x −2

)

x −2

)

=

=

x −3 x + 2+5 x −2
x−4

x
x −2

P x+3
3
=
= x+
 2 3 (Do bất đẳng thức Cô-si).
Q
x
x

Đẳng thức xảy ra khi

x=

Vậy giá trị nhỏ nhất của

3
 x=3
x

P
là 2 3 khi x = 3 .
Q

Câu 4: Cho biểu thức P =

(

)

3 x + 2 2 x −3 3 3 x −5
−
−
x +1 3 − x x − 2 x − 3

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

23

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Giải chi tiết
Điều kiện: x  0, x  9 .
a) Với x  0, x  9 ta có:

P=

=

=

=

(

)

3 3 x −5
3 x + 2 2 x −3
−
−
x + 1 3 − x ( x + 1)( x − 3)

(3

)(

) (

x + 2 3− x + 2 x −3

)(

) (

x +1 − 3 3 x − 5

)

( x + 1)( x − 3)
3 x − 9 x + 2 x − 6 + 2 x + 2 x − 3 x − 3 − 9 x + 15

(

(

5 x − 17 x + 6

)(

x +1

Vậy P =

)

x −3

)

5 x − 15 x − 2 x + 6

(

)(

x +1

x −3

)

=

( x − 3)(5 x − 2) = 5
( x + 1)( x − 3)

x −2
x +1

5 x −2
với x  0, x  9 .
x +1

b) Ta có P =
Vì

x −3

=

)(

x +1

5 x −2 5 x +5−7
7
=
= 5−
x +1
x +1
x +1

7
 0 nên P có giá trị nhỏ nhất 
x +1

7
lớn nhất  x + 1 nhỏ nhất  x = 0
x +1

Khi đó min P = 5 − 7 = −2
Vậy min P = −2 khi x = 0 .
1
x−4
1


+ 1 :

Câu 5: Cho biểu thức P = 
với x  0, x  , x  1, x  4 .
4
 x − 3 x + 2  2x − 3 x +1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với x  5 , tìm giá trị nhỏ nhất của T = P +

10
.
x

Giải chi tiết
1
Với x  0, x  , x  1, x  4 ta có:
4

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

24

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

x−4
1


P=
+ 1 :

=
 x − 3 x + 2  2x − 3 x + 1 

 x +2 
= 
+ 1
x
−
1



(

)(

) (

x −1 2 x −1 =

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

(
(

)(
x − 1)(

x −2

) + 1 .
(
x − 2) 

x +2

)(

)(

)

x −1 2 x −1

)

x + 2 + x −1 2 x −1 = 4x −1

1
Vậy P = 4 x −1 với x  0, x  , x  1, x  4 .
4

b) Xét T = P +

10
10 2 x 10 10 x
= 4x −1+ =
+ +
−1
x

x
5
x
5

Áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra 
Lại có:

2 x 10
2 x 10
+ 2
. =4
5
x
5 x

2 x 10
=
 x = 5 (do x  0 ).
5
x

18 x
 18 (vì x  5 ) nên T  4 +18 −1 = 21
5

Vậy min T = 21 khi x = 5 .
Nhận xét
T có chứa biểu thức nghịch đảo là 4x và

10
nên ta sẽ nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Côx

si. Nhưng nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x và

T = 4x +

10
thì:
x

10
10
− 1  2 4 x. − 1 = 4 10 − 1
x
x

Đẳng thức xảy ra  4 x =

10
10
5
 x2 =
x=
(không thỏa mãn điều kiện x  5 ).
x
4
2

Tức là 4 10 − 1 không phải giá trị nhỏ nhất của T.
Dạng 5: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Bài toán 1. Tìm x để biểu thức A = m (m là hằng số)

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />

25

Nhóm Toán Học Sơ Đồ

Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện

Bài toán 2. Tìm x để biểu thức A  m (hoặc A  m hoặc A  m hoặc A  m (m là hằng số))

Bài tập mẫu
 x x −1 x x +1  x − 2 x +1
−
Câu 1: Cho biểu thức A = 
 :
x −1
x
−
x
x
+
x



a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A  A
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Giải chi tiết
a) Điều kiện: x  0, x  1.
 x x −1 x x +1  x − 2 x +1
A = 
−
 :
x −1
x
−
x
x
+
x




=



=

(

)(

x(

)−(

x −1 x + x + 1

)

x −1

)(
(

)

x +1 x − x +1 
:

x x +1


)

(

(

(

)

x −1

)(

x −1

2

)

x +1

)

x + x + 1 − x + x −1 x + 1 2 x + 1
.
=
x
x −1
x −1

Vậy A =

2

(

) với x  0, x  1.

x +1
x −1

ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ
Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ />