Một số hiệu ứng cao tần gây bởi trường sóng điện từ trong bán dẫn và PLASMA

M Ụ C LỤC
Trang

;

MỤC LỤC

Ì

D A N H M Ụ C CÁC CHỮVIẾT TẮT

4

D A N H M Ụ C CÁC BẢNG

4

D A N H M Ụ C CÁC HÌNH VẼ, Đ ồ THỊ

5

M Ớ ĐẦU

8

Chương Ì T Ổ N G Q U A N

14

L I Mất trật tự và định xứ

14

1.2 Dẫn điện trong các hệ electron định xứ mạnh: dẫn nhảy

18

1.3 Lưới trớ ng ẫu nhiên Miller - Abrahams

22

1.4 Đô dẫn điện của các hệ rất không đổng nhất trong gần đúng lý thuyết
thấm

7g

1.4.1 Bài to án mạng

28

1.4.2 Bài to án nút ngẫu nhiên

30

1.4.3 Độ dẫn điện của môi trường rất không đổng nhất

32

1.5 Dẫn nhảy bước nhảy biến đối: Định luật Mott

34

Chương 2 Ả N H HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC E L E C T R O N E L E C T R O N LÊN M Ậ T ĐỘ TRẠNG THÁI VÀ sự P H Ụ
THUÔC N H I Ệ T Đ ộ CỦA ĐỘ DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đ ổ i
2.1 Mật độ trạng thái định xứ lân cận mức Fermi

39
39

2.1.1

Khảo sát đinh tính

39

2.1.2

Phương trình tự hoa hơp: Khe Coulomb

42

2.1.3

Mô phỏng khe Coulomb trên máy tính điện tử

44

2. Ì .4

Quan sát thực nghiệm

46

2.2 Các hiệu ứng chấn

48

2.2.1

Trườn
g hợp 3D: chắn Yukawa

48

2.2.2

Trường hợp 2D: chắn d o cổng kim loại

49

Ì


2.3 Sự phụ thuộc nhiệt độ của dẫn nháy bước biến đổi

52

2.3.1

Định luật Efros-Shklovskii

52

2.3.2

Qu an sát thực nghiệm

53

2.4 Chuyển Mott - Efros-Shklovskii

54

2.4. Ì

Quan sát thực nghiệm

54

2.4.2

Biểu thức tổng quát cho sự phụ thu ộc nhiệt độ của V R H . .

55

2.5 Dẫn nhảy bước biến đối trong vật liệu vô định hình

57

2.5.1 Mô hình mật độ trạng thái cho vật liệu vô định hình

57

2.5.2 Tính độ dẫn nhảy V R H cho vật liệu vô định hình . . . . . . . .

58

2.5.3 Thảo luận kết qua

59

Chương 3 CÁC KIỆU ỨNG TƯƠNG TÁC COULOMB TRONG
SUẤT NHIỆT ĐIỆN ĐỘNG ỏ MIỀN DẪiN NHẢY BƯỚC
BIẾN ĐỔI

62

3.1

Su
ấ t nhiệt điện động V R H trong gần đúna lý thuyết thấm

62

3.2

Biếu thức giải tích tons quát

65

3.3

3.2.1 Hệ hai chiều (2D)

65

3.2.2 Hệ ba chiều (3D)

68

3.2.3 Thảo luận

71

Suất nhiệt điện động V R H cho vật liệu vò định hình

74

3.3.1 Biếu thức suất nhiệt điện động VRH cho vật liệu vò định hình . .

74

3.3.2 Tháo luận

78

Chuông 4 DẨ N NHẢY BƯỚC BIÊN Đ ổ i P H Ụ T H U Ộ C T Ầ N s ố

81

4. Ì Phép gần đúng cặp

81

4.2 Biểu thức tổng quát của đô dẫn điện ác V R H

85

4.2.1 Hệ ba chiều (3D)

85

4.2.2 Hệ hai chiều (2D)

87

4.3 Kết quả số và thảo luận

89

Chương 5 DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đ ổ i TRONG HỆ THẤP CHIỂU
5.1

Đặt vấn đề

9 4

94

2

5.2 Mô hình và phương pháp tính

96

5.3 Trường hợp nhiệt độ vô hạn: bài toán r-thấm

99

5.3.1 Tính toán và kết qua số

100

5.3.2 Thảo luận

107

5.4 V R H trong hệ một chiều hữu hạn

in

5.5 V R H trong hệ hai chiều bất đẳng hướng: "chuyển đổi chiều ?"

116

KẾT L U Ậ N

124

D A N H M Ụ C CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG B ố CỦA TÁC GIẢ LIÊN

Q U A N ĐẾN LUẬN ÁN

125

TÀI LIỆU T H A M KHẢO

126

PHỤ LỤC Ì

137

PHỤ LỰC 2

148

PHỤ LỤC 3

151

PHỤ LỤC 4

156

PHỤ LỤC 5

161

PHỤ LỤC 6

163

3


D A N H M Ụ C CÁC C H Ữ V l Ế T TẮT
H C (Hopping Conduction): dẫn nháy.
V R H (Variable Range Hopping): (dẫn nhảy) bước nh ay biến đổi.
DOS (Density of States): mật độ trạng thái.
ES: Efros-Shk lovsk ii.
SCE (Self-Consistent Equation): phương trình tự hoa hợp.
de (directed current): dòng điện một ch iều.
ác (alternative current): dòng điện xoay ch iều.
ID, 2D, 3D

(one-, two-, th ree-Dimensional): (h ệ) một, hai, ba ch iều.

Q1D (Quasi-one- Dimensional): hệ chuẩn một ch iều.
L P (Longitudinal Percolation): thấm dọc.
TP (Transverse Percolation): thấm ngang.
L R (Longitudinal Resistance): điện trơ doc.
TR (Transverse Resistance): điện trớ ngang.
MTĐT: máv tính điện tử.

D A N H M Ụ C CÁC B Ả N G
Bàng L I : Giá trị ngưỡng thấm của một số mạng cơ bản
Bâng 5.1: Bán kính thám trong hệ vô hạn với nồng độ tap khác nhau


D A N H M Ụ C CÁC HÌNH V Ẽ , Đ ồT H Ị

Hình L I : Mô hình Mon. Miền các trạng thái định xứ được gạch chéo, các
ngưỡng linh độn% E

m

và E . A ) Kim loại . (b) Điện môi

16

m

H ì n h 1.2: Trạng thái truy ền qua (a) và trạng thái định xứ(b)

16

H ì n h 1.3: Sự phụ thuộc của di ện trở suất vào nhi ệt độ của bán dẩn pha tạp
nhẹ

18

H ì n h 1.4: Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nghịch đảo của nhiệt độ đối với
Ge loại p theo số li ệu thực nghi ệm của Fritzsche và Cuevas [32]

20

Hình 1.5: Các trạng thái định xứ lân cận mức Fermi (a) và mật độ trạng thủi
(b)

21

Hình 1.6: Lưới trở ngẫu nhi ên Mi ller - Abrahams

27

Hình 1.7: Sự phụ thuộc của độ dẫn điện vào giá trị cực đại của sô mũ rj . . .

32

Hình 1.8: Dải các trạng thái có năng lượng cách mức Fermi một lượng nhỏ
hơn e . Bên phải
0

vè mật độ trạng thái g(s), vùng các trạng thái bị chiếm

dược gạch chéo

35

Hình 2.1: Các mức năng lượng trong dải năng lượng gần mức Fermi

40

Hình 2.2: Kết quả mô phỏng mật độ trạng thái trong miên khe Coulomb
trường hợp

d=3i K

=

cho

0,5 và N = 1600 (đườìĩg liền nét) [24]; đường đìa nét là

kết quả của Baranovskii

et ai. [12] cho mạng 14x14x14. Năng lượng tính

trong đơn vị (e N* /K), còn mật độ trạng thái trong đơn vị ị ĩde N
2

Hình 2.3: Khe Coulomb

2

)

45

trong mẫu tinh thế Si:B quan sái được trực tiếp nhờ

kỹ thuật đỡ chui ngầm [47]

47

H ì n h 2.4: Sự phụ thuộc năng lượng của mật độ trạng thái: dường li ên nét là
lời gi ải số của phương trình tự hoa hợp; đường nét đứt là gần đúng bậc không
(2.16); các chấm là khe Coulomb

3D (2.5), các điểm tròn là kết quả mô

phỏng [77]

48

Hình 2.5: (a) - Sơ đồ cấu trúc của mẫu sư dụng trong thí nghi ệm [124].
(b) - Điện tích ảnh ì' của ỉ do hưởng ứng diện trên cổng ki m loại .

5

49


Hình 2.6: Lời giải số phương trình tự hoa hợp (đường liền nét) vù kết qua mô
phỏng (x) mật độ trạng thải G(E) với thế chắn (2.18). Đường nét đứt tương
{eng với gân đúng bậc không (2.23)

52

Hình 2.7: Kết quả giải số phương trình (2.39) cho một số giá trị điển

hình

của tham SỐS, lương ứng các hệ vô định hình phổ biến

60

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của suất nhiệt diện độiĩíị VRH vào nhiệt độ vẽ cùng
với các giới hạn (3.21) - (3.24)

73

Hình 3.2: Sự phụ thuộc suất nhiệt điện động VRH vào nhiệt độ ở vật liệu vô
định hĩnh vẽcùnq các giới hạn (3.35), (3.36). Hình vẽ lồng mô tá chuyển Mo n
- ES trong độ dẩn. Nhiệt độ được tính trong dơn vị E ik
0

79

B

Hình 4.1: Đồ thị sự phụ thuộc của Sj = d{ltíơj)/d(ìncừ)

vào ln\ỵ /ỡ})
ph

cho

hệ hai chiêu (ả = 2) và ba chiêu (ả = 3). Tần số V - lo Hz. Tần số điện
13

trường ngoài từ 10'V/z đến ì0 Hz.
9

Tham sô Ả" = le /\KcE ) = 60 cho cả hệ
2

tỊ

hai chiêu và ba chiều. Đường liền nét vẽ theo các biểu thức (4.28) và (4.29).
Đường các gạch đứt theo công thức Austin-Mo tí

(4.27). Đường

gạch-chấm

theo các biểu thức (4.23) và (4.24) của ES

90

Hình 4.2: Sự phụ thuộc vảo nhiệt độ của độ dẫn điện ác. Đường liên nét vẽ
theo (4.34). đường nét đứt - theo công thức Austin-Man

(4.30), các điểm (ký

hiệu bảng hình vuông) là số liệu thực nghiệm đo trên mầu a-Si [35]

92

Hình 5.1: Mô hình: các dây dan song so ng liên kết yếu với nhau qua các tâm
tạp phân bố ngẫu nhiên tro ng kho ảng không gian giữa các dây
Hình 5.2: Các giá trị mô phỏng
trường

-ìnổR' (L)
c

97

và - InỔR[-{ L) vẽ theo l u i cho

hợp /7 = 0.1 và các giá trị s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 {từ trên

xuống)

102

Hình 5.3: Hiệu ứng kích thước hữu hạn của các bán kính thấm: đụi lượng
được ve phụ thuộc vào c

{

V

ụ

m

đối với trường hợp p = OA vá các

"lú trị s khác nhau: s = 0.01; 0.05: 0.1; 0.2; 0.3 và OA (nì trên xuống).

6

. . .

[03


Hình 5.4: Sự phụ thuộc của \ŨM (L)

(•) v à lnJt (L)

{Ỉ)

trường họp p = 0. Ì và các giá trị

(A) vào lũi cho

{L)

s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3 và OA (từ trên

xuống). Hệ số góc của các đường thắng chính là chiều fractal D

105

Hình 5.5: Ví dụ về đám thấm tới hạn cho các mẫu với L = 400 và p = ọ. Ì.
(a) và (c) LP với s = 0.1 và 0.3; (b) vả (á) TP với s = 0.1 và 0.3 tương ứng . .

1 0 6

Hình 5.6: Sự phụ thuộc vào kích thước của mật độ tới hạn S (L) cho hệ hữu
C

hạn ứng vói một số giá trị của p (từ trên xuống): 0.05, 0.1,02
112

Hình 5.7: Dày hữu hạn một chiều: < 7} >=< ỉn(p/p )

> phụ thuộc ĩ'

Q

c

109
v ới

một số giá trị (L, Ẹ): (64000, 20); (16000, 20); (4000, 20); (Ỉ000, 20); và
(1000, 50) ị từ trên xuống). Đường thẳng liền nét ứng với định luật í '

1 2

thức 5.10). Đườnq nét đứt nối các điểm mô phỏng nằm ngoài miền ĩ'

112

Hình 5.8: Dây hữu hạn một chiều: < TJ >=< lũ(p/p )
C

[ln(2L/£)]

w2

0

(cô ng
. . . .

> dược về theo

ở nhiệt độ ì = 0.002 , thuộc miền t~ . Các điểm mô phóng với

các mẩu có L = 1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000 và 64000 với ặ = 20
(kí hiệu bởi •) và £ = 5 0 (kí hiệu bói A)

^

Hình 5.9: Sự phụ thuộc vảo lrư của đại lượng In < /7" > (kí hiệu bởi • vù X) và
Ịn< 77^ > (kí hiệu bới 0 và A) cho mẩu L = 100 nhưng với mật độ tạp s khác
nhau: s = OA (hỉnh 5.9a), s = 0.4 {hình 5.9b)

118

Hình 5.10: Kết quả cho mẫu L = 1000, ã = lo, với nồng độ tạp s khác nhau:
À- = .0.1, 0.2, 0.3 và 0.4 (từ trên xuống)

119

Hình 5.11: Tỷ sô TJc /ĩJc phụ thuộc vào Ư cho các mẫu có ả = 10 và với s
khác nhau, s = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 (từtrên xuống)

7


MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Dẫn nhảy (hopping conduction) là cơ chế dẫn chủ đạo ở nhiệt độ thấp trong các
hệ mất trật tự với các trạng thái electron định xứ mạnh. về mặt lý thuyết trong giai
đoạn đáu nghiên cứu dẫn nhảy người ta chua chú ý đến tương tác electron - electron

giữa các trạng thái định xứ. Nhưng thực nghiệm đã khẳng định rằng tương tác
electron - electron dẫn tới nhiều hiệu ứng vật lý quan trọng, nhát là ở nhiệt độ thấp.
V a i trò của tương tác electron - electron là vấn đề hav nhất và cũng là khó nhất
trong lý thuyết cá c hệ má t trật tự. Dẫn nhảy xảy ra ớ rất nhiều loại vật liệu khá c
nhau như: bán dẫn pha tạp, vô định hình, granular metal, các oxyt kim loại ... Đặc
biệt là , gán đảv người ta đã quan sát tháy dẫn nhảy trong; các cấu trúc thấp chiều
như: polymers dẫn. sợi silic xốp, oris nanổ cacbon (carbon nanotubes), hệ các chấm
lương tử, sợi D N A ... là những vật liệu rất quan trọng Irons công nghệ đương đại và
tươníỉ lai. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài này.
2) Mục đích, đỏi tượng và phàm vi nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hướng của tương tác electron - electron và vi cấu trúc của hệ
kích thước nhỏ lên các tính chất động, ớ chế độ dẫn nhảy bước biến đ ổ i (VariableRange Hopping - V R H ) của hệ electron định xứ mạnh là mục tiêu chính của Luận
án.
Luân án tập trung khảo cứu những vàn đề sau:
•

Ánh hưởng của tương tác electron - electron lên mật độ trạng thái.

•

Ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên sự phụ thuộc nhiệt độ của độ
dẫn điện V R H và suất nhiệt điện động V R H ớ các hệ mát trật tự.

•

Đ ộ dẫn điện phụ thuộc tần số và nhiệt độ trong chế độ hồi phục.

•

Cá c đặc trưng của thấm trons hệ hai chiều bất đắng hướn2.

•

Dẩn nhảy trong hệ một chiều hữu hạn và hệ hai chiều bất đẳng hướnsỉ mạnh.

3) Phương pháp nghiên cứu của de tài
Để giải quyết bài toá n đặt ra, ngoai các phương pháp truyền thống của lý thuyết
chất rủn, chúng tôi sử dụng hai phương pháp đặc thù:

8


(ỉ) Phương pháp lý thu yết thấm: đây là phương pháp tin cậy được sử dụng hiệu
quả trong nghiên cứu các tính chất động của các hệ có cấu trúc ngẫu nhiên.
(2) Phương pháp mô phòng trẽn máy tính điện tứ. Nói chung, v iệc nghiên cứu
định lượng tính chất điện tử của các hệ mát trật tự mạnh vượt ra ngoài khả
năng của các phương pháp giải tích hiện có, v à đã từ lâu mô phỏng trực tiếp
hệ trẽn máy tính điện tử đã trở thành một phương pháp khòm* thể thiếu . Bans
phương pháp Monte - Carlo chúng tôi có thế tính mật độ trạng thái, độ dẫn
V R H trong dải rộng các giá trị tham số khác nhau. v à do đó, một mặt có thể
kiểm định các biểu thức giải tích trons các trường hợp giới hạn, mặt khác có
thế so sánh trực tiếp với thực nghiệm.
Ngoài ra, phương pháp giải tích số được áp dụng trong các trường hợp cần thiết
như khi giải các phương trình tư hoa hợp hay khi so sánh với một số liệu

thúc

nghiệm cụ thế.
4) Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
-

Góp phần hoàn thiên lý thu yết về vai trò tương tác electron - electron trong các
hiện tượnii động ở các hệ mất trật tự v ới các trạng thái electron định xứ manh.

-

Đề xu ất một mô hình mới đế nghiên cứu các- đặc trưng thám và độ dẫn V R H
trong sự phụ thuộc vào các tham số khác nhau ở hệ hai chiều và một chiều .

-

Kết qu ả nghiên cứu có thế so sánh trực tiếp với thực nghiệm và gợi mờ các
nghiên cứu lý thu yết tiếp theo.

5) Những đóng góp mói của luận án
Đề tài nghiên cứu của lu ận án thu ộc hướng "Lý thu yết các hệ mất trật tự". Các
nghiên cứu theo hướng này của luận án đà cho nhũng đóng 2Óp mới:
-

Nhún được mật độ trạng thái của hệ 2D với thế chắn gây bới cổng kim loại.

-

Nhàn được các biểu thức giải tích tổng quát của cá độ dẫn điện v à suất nhiệt điện
đ ộ n " V R H cho vật liệu vô định hình, phù hợp v ới thực nghiệm.

-

Thu được biếu thức tống qu át của su ất nhiệt điện độnsỉ V R H mỏ tả sự chu yến
liên tục từ dáns điệu Mott đến dáng điệu ES khi nhiệt độ giảm.

-

Nhận dược biểu thúc tống quát cho độ dan điện V R H phụ thuỏc tần số v à nhiệt
độ trong dải rộng các giá trị cứa các tham số này.

9


-

Đề xuất một mô hì nh mới cho hiện tượng thấm trong hệ hai chiều (2D) bất đắng
hướng mạnh v à tính các đặc trưng thấm cơ bản trong mô hì nh này.

-

Nghiên cứu thống kê sự phụ thuộc của độ dẫn nhảy V R H vào chiều dài và nhiệt
độ tr ong các hệ một chiều (ỈD) hữu hạn. Đề xuất biểu thức cho giới hạn quan sát
sự phụ thuộc nhiệt độ theo dáng điệu M o n .

-

Nghiên cứu thống kê độ dẫn V R H của hệ 2D bất đắng hướng mạnh trong dai
rộng các giá trị của nhiệt độ, nồng độ tạp, mức độ bất đảng hướng v à kích thước
của hệ. Đề xuất khả năng chuyển dáng điệu phụ thuộc nhiệt dô của đô dẫn từ
dáng điệu ID sang dáng điệu 2D khi tảng nồng độ tạp tr ong các hệ hữu hạn.

6) Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 5 chương và phần phụ lục.
Trong chương Ì chúng tôi tổng quan nghiên cứu thực nghiệm dẫn nhảy v à giới thiệu

vắn tắt cơ sở của lý thuyết hiện đại về dẫn nhảy. Đó là mô hình lưới trớ ngẫu nhiên
Miller - Abrahams v ới phổ trở rất rộng v à phương pháp lý thuyết thấm đế tính điện
trở hiệu đụng của lưới trở này. Định luật Mott-T~

1/íí/+iỉ

được giới thiệu ở cuối chương

Ì là mớ đầu về dẫn nhảv bước biến đ ố i ( V R H ) khi chưa tính đến tương tác Coulomb
giữa các trạng thái electron định xứ. Tuy nhiên tương tác electron - electron sẽ gây
ảnh hưởng quan trọng lên dẫn nhảy bước biến đ ổ i và các hiệu ứng này sẽ được
nghiên cún trong các chương tiếp theo của luận án.
Chương 2 trình bầy ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên mật độ
trạng thái v à sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn nhảy bước biến đ ố i . Sau khi trình bẩy
khảo sát định tính khe Coulomb trong mật độ tr ạng thái chúng tôi đã giới thiệu 2
phương pháp nghiên cún định lượng khe Coulomb là giải phương trì nh tự hoa hợp và
mô phỏng hệ trên máy tính điện tử. Sự p hù hợp về kết quả của hai phương pháp
không chỉ cho các hệ tương tác thuần Coulomb mà cho cả các hộ với thế chán
Yukawa (3 chiều) và chán cổng kim loại (2 chiều) cho thấy sự đúng đắn của các
phương pháp và góp phần khắng định sự tổn tại của khe Coulomb. Do quan sát thực
nghiệm trực tiếp khe Coulomb là một việc rất khó và mới chí thực hiện được trons
thời gian gán đây nhờ kỹ thuật chui ngâm, nén trong nhiều năm vấn dề khe
Coulomb đã được tranh cãi sôi nổi, ngoài việc tiến hành rất nhiều thực nghiệm số,

10


mô tá trực tiếp hệ t rên MTĐT, sự tổn tại của khe Coulomb chủ yếu được kiểm tra
gián tiếp thông qua sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện V R H . EíVos-Shklovskii
chí ra rằng t ính đến khe Coulomb thay vì định luật Mot t ơ(T) GC 7 ,

ES ơịT) oe T~ .
u2

|/ÍJ+lí

có định luật

Ớ một số vật liệu cả hai định luật này đều quan sá t được nhưng ở

nhũng miền nhiệt độ khác nhau, với sự chuyên liên t ục giữa hai giới hạn. Chuyến
Mott - ES là biểu hiện điên hình của vai t rò tương tác Coulomb ớ nhiệt độ thấp.
Bằng phương pháp lý thuyết thấm và sử dụng một hàm DOS "hiệu dụng" t ống quát
có t hể nhận được biểu thức giải t ích của cr(T) mò t á t ốt các quan sát t hực nghiệm
chuyển M o n - ES đó. Đ ố i với vặt liệu vô định hình, ngoài chuyển Mót t - ES. thường
quan sát t hấy độ dẫn thực nghiệm lớn hơn nhiều bậc so với độ dẫn tính theo mô hình
Mon:. Các tính chất này được chúng tôi giải thích qua việc tính độ dãn điện V R H
trẽn cơ sở sù dụng một hàm mật độ trạng thái đơn giản và sử dụng phương pháp lý
thuyết thím.
Tươns tác electron - electron khôrm chỉ ảnh hưởng đến sự phụ thuộc nhiệt độ
của điện trở V R H mà còn ảnh hướne t ới một loạt t ính chát đòng khác. điển hình là
suất nhiệt điện động V R H . Cũng như độ dẫn điện, dáng điệu phu thuộc nhiệt độ của
suất nhiệt điện động V R H phu thuộc rất mạnh vào dạng hàm DOS ỏ lân cặn mức
Fermi. Sử dụng hàm mật độ trạng t hái t ống quát đã đề xuất trone chương 2. chúng
tôi kháo sát các hiệu ứng tương tác Coulomb trong suất nhiệt điện động ở miền dẫn
nhảy bước biến đ ổ i trong chương 3. Kết quả thu được cho thấy trong sự phụ thuộc
nhiệt độ của suất nhiệt điện động V R H có một chuyển liên t ục, nhạy cám hơn so với
ở độ dẫn điện. từ dáng điệu Mon s cc 7

, tí M , / í t/ + l ỉ

đến dá ng điệu ES, s không phụ

thuộc nhiệt độ. Cũng sử dụns mật dỏ trạng thái cho vật liệ u vô định hình ỏ chương 2
chúng t ỏi t ìm được biểu t húc giải t ích dơn giản mỏ t à định t ính t ính chất phụ t huộc
nhiệt đô của suất nhiệt điện động V R H của vật liệu này t roníí dải rộng nhiệt độ.
Đối với nhiều hệ vật lý. tươm tác electron - electron ảnh hướng quan trọng
lên sự phu t huộc nhiệt độ và tán sò cùa độ dẫn điện ác. Mặc dù vấn đề độ dẫn ác đã
được sớm quan tâm từ nhữníì năm 1970 - 1980. cho đến nay về mạt lý thuyết cá c kết
quả thu clươc còn rất hạn chế dù đã có thêm nhiêu số liệu thực nghiệm mới. Chương

li


4 trình bầy về việc sử dụng phép gần dúm: cặp để tính độ dẫn nhảy ác ở miền V R H
cho cả hệ hai chiều và ba chiều. Dựa vào hàm mật độ trụng thái trong chương 2
chúng tôi tính hàm phân bố cặp và từ đó thu được biếu thức tống q uát đế mô tả sự
phụ thuộc của độ dẫn điện ác vào cả nhiệt độ và tần số trong dải rộng giá trị của các
tham số này. Trong các trường hợp giới hạn, các biếu thức của chúng tôi phù hợp
với các kết q uả đã biết của các tác giả khác.
Chương 5 mô phòng hệ thấm hai chiều bất đẳng hướng mạnh. Mô hình của
chúns tỏi được đề xuất để mồ tả dẫn nháy trong các hệ có cấu trúc phức tạp như
polymer dẫn hay silic xốp với cấu trúc đặc thù: các đường dẫn (kênh) là thảng song
song liên kết yếu với nhau nhờ các tâm tạp thưa hoặc các hạt kim loại nhỏ. Trước
hết chúng tôi kháo sát bài toán /--thấm. Các đặc trưng thấm cơ bán được tính cho cả
2 phương: song song và vuông góc với các đường kênh với sự chú ý đặc biệt đến
hiệu ứng kích thước hữu hạn, qua đó nghiên cứu sự phụ thuộc vào các tham số cấu
trúc của hệ thấm vò hạn. Sau đó dẫn nhảy bước biến đối được kháo sát trong hệ một
chiều hữu hạn nhàm xác định miền nhiệt độ đế có thế q uan sát V R H và kiểm định
các kết q uả lv thuyết đang còn nhiều tranh cãi về sự phụ thuộc của điện trở hệ Ỉ D

vào chiều dài và nhiệt độ. H ệ hai chiều bất đẳng hướng mạnh là các hệ đang thu hút
nhiều q uan tâm từ phí a công nghệ. Kết q uả mỏ phỏng tiên đoán sư chuyến đối trong
dáng điệu sự phụ thuộc nhiệt độ của V R H ơỢ)

từ dạns gần ID khi nồng độ tạp

nhỏ sang dạng 2D Mott khi nồng độ tạp vượt q uá mót giá trị ngưỡng. Chú ý đến
hiệu ứng kích thước hữu hạn, kết q uả mò phỏng cho thấy, mặc dù có bát đẳng hướng
về cấu trúc nhưng về phương diện thấm thì hệ 2 chiều vô hạn là đẳng hướng. Sự
chuyến đổi chiều q uan sát thấy trong thúc nghiệm chí là hệ q uả của hiệu ứng kích
thước hữu hạn và nó sẽ biến mất trong hê vô hạn, nơi mà dẫn nhảy bước nhảy biến
đối luôn là đảng hướng và tuân theo định luật Mott 2D.
Luận án có 30 hình vẽ, 2 bảng, sử dụng 133 tài liệu tham khảo, được trình
bày trong 171 trang (kể cả phụ lục). Các kết q uả chính của luận án được côns bố
trong sáu bài báo khoa học sau:
1. Đặng Đinh Tới. (1999). "Vé đản nhay bước biến đối tronu vạt liệu vô định hình".
Tạp chí Khoa học Đại học Quốc Gia Hù Nội, KHTN, t. X V , 0°4, tr. 41-46.

12


2. Nguyen V a n Lien and Dang Dinh Toi, (1999), "Coulomb Correlation Effects in
Variable - Range Hopping Thermopower", Phys. Letters A, 261, pp. 108-113.
3. Dang Dinh Toi, (2001), "Coulomb Correlation Effects on the high frequency
hopping conduction in disordered systems", VNU. Journal of Science. Nat. Sà., t.
X V I I , n°3, pp. 38-45.
4. Nguyen Van Lien, Dang Dinh Toi and Nguyen Hoai Nam, (2002), " A continuum
percolation model in an anisotropic medium: dimensional crossover ?", Physica A,
316, pp. 1-12.
5. Dang Dinh Toi, Nguyen Quang Bàu, (2002), "On The Variable Range Hopping

Thermopower in amorphous material", VNU. Journal of Science. Nat. Sà., t. XVIII,
n°2, pp. 46-51.
6. Nguyen Van Lien and Dang Dinh Toi, "Variable Range Hopping in finite one
dimensional and anisotropic two dimensional systems", Phvsica B (accepted).
Ngoài ra, một số kết quả của luận án đã được báo cáo tại H ộ i nghị Vật lý trẻ
(Hà nội 2000), các H ộ i nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 26 (Hạ long 2001) và
lần thứ 27 (Cửa lò 2002).

13


Chương Ì
TỔNG QUAN
Chương đầu tiên của Luận án tổng quan các nghiên cún lý thuyết và thực
nghiệm vé dẫn nhảy. Tiết L I và 1.2 lần lượt giới thiệu về mất trật tự và cơ chế dẫn
nhảy trong hệ với các trạng thái electron định xứ mạnh. Mô hình lưới trở do Miller Abrahams đề xuất để tính điện trỏ của hệ dẫn nhảy được trình bày trong tiết 1.3.
Lưới trở này có phổ điện tr ở r ất rộng và đây là đ ố i tượng phù hợp của phương pháp
lý thuyết thám , vấn đề này được trình bày trong tiết 1.4 và được áp dụng trong tiết
1.5 để nhận được định Luật M o n về sự phụ thuộc nhiệt độ của điện tr ở dẫn nhảy
bước biến đổi.
1.1.

M Ấ T T R Ậ T T ự VÀ Đ Ị N H x ứ
Cho đến những năm 1950 các tính chất electron của vật rắn đã được nghiên

cứu chủ vếu dựa trên các đ ố i xứng của mạng tinh thế. Các thành còng cùa lý thuyết
vật rắn trong giai đoạn này như lý thuyết cấu trúế vùng năng lượng, lý thuyết các
hiện tượns động, gắn liền với khái niệm hàm sons Bloch. với phương pháp khối
lượng hiệu dụng [45]... Lý thuyết gần cổ điển Bloch-Boltzmann đã rất thà nh công
trong mò tả sự phụ thuộc của điện tr ớ suất p vào nhiệt độ cũng như nồng độ tạp

trong các vặt dẫn m ất trật tự yếu (nồng độ tạp r ất thấp).
K h i độ mất tr ật tự (nồng độ tạp) lớn, tính đ ố i xứng của mạng bị vi phạm đáng
kể, xuất hiện nhiều hiện tượng không thể giải thích trong khuôn khổ của lý thuyết
tán xạ vếu Bloch-Boltzm ann. Ví dụ điển hình là sự phụ thuộc nhiệt độ của điện tr ở
suất: tr ong khi theo lý thuyết tán xạ yếu luôn có dp/ưr

> 0, năm 1973 Mooij [61]

công bố rằng ông đã quan sát thấy dp Ị dĩ < 0 ở trên một trăm vật dẫn m ất trật tự
khác nhau. Các vật dẫn này rất khác nhau về bản chất cũng như cấu trúc, chỉ chung
một đặc điểm là điện tr ở suất cùa chúng là khá lớn (> SQjaQ.cm), nshĩa là hiện
tượng thực nghiệm này là rất phổ biến (universal). Cổng bố cứa Mooij cùng với m ột
loạt các sự kiện thực nghiệm khác đòi hỏi phải có một lý thuyết m ới, trong đó độ
mất tr ật tư đóng vai trò một tham số cơ bán. M ộ t lý thuyết như vậy, lý thuyết các hệ

14


mát trật tự. được xây dựng vào những nám cuối thập kỉ 70 và phát triển mạnh mẽ
vào những năm 80 và 90 của t hế kỷ trước. Lý t huyết các hệ mật t rật t ự về cơ bán dựa
trẽn khái niệm định xứ mà Ander son đã đề xuất trước đó.
Năm 1958. Anderson [8] khảo sát một mô hình liên kết mạnh t rong một
mạng đơn giản với Hamiltonian dạng:
H = ỵ e a;a
đ

i

i

i

(LI)

+ ỵi a;a +h.c.
ij

j

<!/>

trong đó: a*\ci, ) là toán tử sinh (huy) một tr ạng thái electr on ớ nút (/); < ụ > ngụ ý
chí xét các nút lân cặn gần nhất. h.c. là liên hợp hecmitic với phần đứng trước nó.
V ề nguyên tắc. cả nâng lượng nút Si lẫn tích phàn phú Iịj đểu có thể là ngẫu nhiên,
nhưng thường thì người ta chỉ xét trường hợp Ịịj = v = const. Năng lượng Si giả t hiết
là ngẫu nhiên, phân bố đều t rong khoảng [-W/2, W/2]. V ớ i giả t hiết như vậy, tr ong
bài toán với Hamiltonian ( L I ) chỉ có hai tham số w và V. Và bởi vì ta luôn có thể
chọn một trong hai tham số đó làm đơn vị. chẳng hạn \v\, khi dó tham số duy nhất
của bài toán là w /\vị. Ander son chứne minh rằng, với mỗi loại mạng có tổn t ại một
giá t rị t ới hạn (crit ical)

. sao cho khi wỉịvị

< (w/\v\).

sóng elect ron có t hế

truyền đi xa, hệ mang đặc trưng kim loại, còn khi w /\vị > [W /\v\).

sóng electr on bị

định xứ trong một miền không gian hẹp và hệ mang đặc trưng điện môi. Như vậy
mỏ hình Ander son ( L i ) tiên đoán sự chuyến pha kim loại - điện môi (MIT - Metal Insulating Transition) khi độ mất trật tự của hệ thay đ ổ i . Chuyến pha như vậy được
gọi là chuyển pha Anders on.
Mò hình Anders on nói chun* không thể giải chính xác. Rất nhiều t ính t oán
số t hực hiện với các loại mạng khác nhau đã ủng hộ kết luận của Anderson đồns
thời cho giá tr ị của (w /|vj)., chẳng hạn với mạng lập phương đơn giản là 14.4. còn
với mạng vuông là 6.1.
M o n (1961) là người đầu tiên đã đưa ra một lý giải vật lý cụ thể cho mô hình
Anderson, cho trường hợp bán dẫn pha tạp và bán dẫn vô định hình. Theo Mot t [62],
thế tĩnh điện ngẫu nhiên của các tùm tạp mang điện (donors, acceptors) gây ra s ợ

15


định xứ của trạng thái electron ở đuôi của vùng núng lượng (hình 1.1). Miền các
trạng thái định xứ (gạch chéo) và các tr ạng thái tr uyền qua phàn tách nhau bởi một
nâng lượng giới hạn gọi là ngưỡng linh động (E

m

và E ). Khi đó, vật liệu là kim
M

Hình L I : Mô hình Mon. Miền các trạng thái định xứ dược gạch chéo, các
ngưỡng lình động.E

m

và E .

a) Kim ỉoạỉ'{b) Điện môi

m

loại hay điện mỏi tuy theo mức Fermi JU nằm tr ong vùng tr uyền qua hay vùng định
xứ. Bới vì vị trí của ngưỡng linh động hav của mức Fermi có thể thay đ ổ i bằng thay
đổi tương ứng nồng độ tạp hay mật độ electron, Mott tiên đoán chuyển p ha kim loại
- điện môi xảy ra, chảng hạn. ở một giá trị xác định của nồng độ tạp trong bán dẫn
(chuyển p ha Mott). Theo Mott [64] chuyển p ha kim loại - điện môi là chuyển pha
loại ì, và do đó có tổn tại một độ dẫn điện kim loại cực tiểu:
ơ
trong đó k

F

m t a

(2D) = C

:

(J

ti

(3D)=

min *

'

r—kp
ỉ

J.

ti

(1.2)

r

là số sóng Fer mi. C và C, là các hàng số ( C = s l / 3 / r , C =0.1).
2

3

2

b

(a)
,
<>
Hình 1.2: Trạng thủi truyền qua (a) và trạng thái định
Thouless (1974) [116] chứng minh rằng, tham số w l\v\

xứ(b).
trong mô hình

Anderson liên quan đơn trị với đại lượng gọi là conductance không thứ nguyên g:

Lổ


troni đó: conductance G của một hyper cube ả chiều cạnh L liên hệ với độ dẫn ơ"bới
hệ thức:
G = ơư'

(1.4)

1

Khác với độ dẫn (X, conductance g nói chuns phụ thuộc vào kích thước của
hệ. Thouless cho rằng đặc trưng dẫn của một hệ vĩ mô tuy thuộc dáng điệu của hàm
g(L). N ế u khi tăng L , g dẫn đến g iới hạn hữu hạn xác định bởi định luật Ohm thì hệ
là kim loại. Còn ngược l ạ i , nếu g -> 0:
gccexp{-Lỉệ)

(1.5)

thì hệ mang tính điện mỏi. Độ dài đạc trưng £ t h ì n h 1.2) phụ thuộc vào bản chất của
hệ và được gọi là độ dài định xứ (localiz ation length).

Giới

hạn

định

luật

Ohm

được gọi là giới hạn mất tr ật tự yếu, còn g iới hạn (1.5) là g iới hạn mất trật tự mạnh.
Phát triển ý tưởng tr ên của Thouless, nám 1979 Abr ahams và các đồng tác
giả [1] đề xuất hệ thức scaling nổi tiếng cho sự phụ thuộc tổng quát của g và L:

A Wa=In fL f - í %
jaL

(1.6)

Đây là hệ thức cơ bản của lý thuyết định xứ Anderson. H ệ thức này đã cho
những tiên đoán quan trọng:
(ỉ) tồn tại chuyển pha kim loại - điện môi trong hệ 3 chiều (3D) và đó là một
chuyển pha loại hai, nghĩa là không tổn tại độ dẫn kim loại cực tiếu của Mott;
(2) trong các hệ 2 chiều (2D) và Ì chiều (ID) sóng electron luôn định xứ, không
tổn tại trạng thái kim loại.
Như vậy, lý thuyết các hệ mất trật tự bao g ồm 2 g iới hạn quan trọng : mất trật
tự yếu và mật trật tự mạnh. Trong

g iới hạn mất trật tự yếu, sóng electron có thế

truyền ra xa, hệ mang tính kim loại. dẫn xảy ra theo cơ chế khuếch tán, các tính toán
lý thuyết có thể thực hiện trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn. Tr ong giới hạn mát
trật tự mạnh, sóng electr on định xứ mạnh trong miền khônơ gian hẹp, hệ mang tính

17

[t£l,KOC c'.'CC C A HẠ N o i ,


điện môi, sự dẫn điện xây ra theo cơ^chế nháy (hopping), các phương pháp tính toán
quen thuộc cho hệ electron tán xạ yếu không còn sử dụng được nữa.
Ngoài ra, q uan trọng là trong Hamiltonian Anderson (1.1) chưa tính đến
tương tác electron - electron. Nếu tính đến tương tác này sẽ dẫn tới nhiều hiệu ứng
vật lý quan trọng, nhất là ớ nhiệt độ thấp. Vai trò của tương tác electron - electron là
vấn đề hay nhất và cũng là khó nhất trong ỉý thuyết các hệ mất trật tự. Nghiên cứu
ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên các tính chất động, trước hết là dẫn
nhảy bước biến đổi (Variable-Range Hopping - V R H ) , của hệ electron định xứ
mạnh chính là mục tiêu của luận án này. Để tiếp cận vấn đề, trong các tiết tiếp theo
của chương này chúng tôi sẽ giớ i thiệu ngắn gọn về k hái niệm dẫn nhảy và các
phương pháp tính độ dẫn điện (hay điện trờ suất) trong cơ chế nháy.
1.2 D Ẫ N Đ I Ệ N T R O N G C Á C H Ệ E L E C T R O N Đ Ị N H x ứ M Ạ N H : D A N N H Ả Y
Dẫn nhảy (hopping conduction) là cơ chế dẩn chủ đạo ở nhiệt độ thấp trong
các hệ mất trật tự với các trang thái electron định xứ manh, chang han như trong các
vật liệu vỏ định hình, trong bán dẫn pha tạp nhẹ. các polymer dẫn, thậm chí trong
ống nanocarbon hay sợi D N A . Để cụ thể, dưới đây chúng tôi trình bày về dẫn nhảy
trong bán dẫn pha tạp nhẹ, là loại vật liệu được nghiên cứu thực nghiệm sớm và đầy
đủ nhất về dẫn nhảy.
1

Ạ ^

l

A B C
D

T
Hình 1.3: Sự phụ thuộc của điện trớ suất vảo nhiệt độ của bán dan pha tạp nhẹ
ớ nhiệt độ cao, bán dan có độ dẫn điện riêng liên q uan tới sự kích hoạt nhiệt
các electron từ vùng hoa trị lên vùng dẫn (miên A trên hình 1.3). Mật độ các hạt

18


dẫn điện riêng là những hàm số mũ của nhiệt độ. K h i giảm nhiệt đ ộ thì mật đ ộ các
hạt dẫn đ iện riêng giảm rất nhanh cho tới khi chúng nhò hơn mật đ ộ hạt dẫn đóng
góp bởi các tâm tạp chất. Tiếp tục giảm nhiệt đ ộ thì sự dẫn đ iện được xác định chủ
yếu bời mật đ ộ và các tính chất của tạp chất. Vì thế, dẫn đ iện lúc đó gọi là dẫn đ iện
tạp chất. Ở nhiệt đ ộ đù thấp, xuất hiện miền bão hoa B, tại đó tất cả các tâm tạp bị
ion hoa và mật đ ộ hạt dẫn không phụ thuộc vào nhiệt đ ộ. Sự phụ thuộc của đ iện trò
vào nhiệt đ ộ ở miền này hoàn toàn được xác đ ịnh bời sự phụ thuộc của đ ộ linh đ ộng
hạt tải đ iện vào nhiệt đ ộ, chẳng hạn đ iện trở giảm khi nhiệt đ ộ giảm liên quan tới sự
yếu đ i của tán xạ electron lên p honon. Nhiệt đ ộ càng giảm, các electron tái hợp trớ
lại với tâm tạp (miền C). Sự phụ thuộc nhiệt đ ộ cùa đ ộ dẫn đ iện trong miền này được
xác đ ịnh hoàn toàn bởi sự giảm nhanh của nồng đ ộ electron tự do. K h i nhiệt đ ộ tiếp
tục g iảm thì xuất hiện thời điểm mà năng lượng nhiệt không đ u đ ể kích hoạt
electron từ vùng tạp chất lên

vùng dẫn, nhưng vẫn đ ủ đế electron

có thể nhảv

(hopping) trực tiếp theo các tâm tạp (miền D). Đó là dẫn nháy (hop p ing conduction).
Electron nhảy từ donor đ ang bị chiếm (occupied) sang donor trống (empty). VI thế,
điều kiện cần của dẫn nhảy là sự có mặt của các donor trông. Cơ chế dẫn nháy tươns
ứng với đ ộ linh đ ộng nhỏ, bới sự nhảy của electron liên quan với sự phu vếu các

hàm sóng của các donor cạnh nhau. Trên hình 1.3 mô tả sự thay đổi điện trớ của bán
dẫn p ha tạp nhẹ khi nhiệt đ ộ giảm. M i ề n A với độ dốc gần thẳng đ ứng tươns ứng với
dẫn đ iện riêng của bán dẫn, các miền B - C - D ứng với vùng dẫn tap chất, trong đó B
là miền bão hoa, c là miền tái hợp còn D là miền dẫn nhảy. Đối với Ge, với mật đ ộ
5

donor là N

D

* lo' em

-3

thì miền dẫn đ iện riêng ứng với T > 400K. miền bão hoa khi

50K < T < 400K , miền tái hợp khi 7K khi T * 1K.
K h ả nâng dẫn nhảy đã được B. Gudden và w. Schottky đoán nhặn lý thuyết
từ năm 1935. Các số liệu thực nghiêm đáu tiên về dẫn nhảy được G . Bush và H .
Labhart thu nhận trên cacbua-silic năm 1946, c.s.

Hung và J. Gliessman [38] thu

nhận trên Silic và German năm 1954. Sau đó, dẫn nháy đã được ng hiên cứu nhiều
lần trong Ge, Si... và nhiều bán dẩn khác. Trên hình 1.4 biểu diễn sự phụ thuộc của
điện trở suất vào nghịch đ ảo của nhiệt đ ộ đ ối với Ge loại p theo số liệu thực nghiệm

19

của Fritzsche và Cuevas [32] với nồng độ acceptor (Ga) N (đơn vị e m" ) tăng dẩn:
3

A

14

15

15

5

15

(1) - 7,5.lo ; (2) - 1.4.10 ; (3) - 1.5.10 ; (4) - 2/7.10' ; (5) - 3,6.10 ; (6) 15

15

15

16

6

16

4.9.10 ; (7) - 7,2.10 ; (8) - 9,0.10 ; (9) - 1.4.10 ;(10) - 2.4.10' ; ( l i ) - 3.5.10 ;
(12) - 7,3.10 ; (13) - l,0.10 ; (14) - 1.5.10 ; (15) - 5.3.10' ; (16) - 1,35.10'*. Tất

16

17

17

7

cả các đường cong với độ chính xác cao có thế mô tả bằng còng thức gần đúng:
p-'(T) = p; exp
[

' f. ì

f

+ p, exp

8
gi

(1.7)

Số hạng thứ nhất tưcmg ứng với dẫn vùng. Thực tế nó là như nhau đối với mọi
nồng độ của acceptor. Số hạng thứ hai tương ứng với dẫn nhảy. Rõ ràng là dẫn nhảy
T(K)
300
lo

10

0.2

0.4

0.8

0.6

Hình 1.4: Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nghịch đáo của nhiệt độ đối với Ge
loại ọ theo số liệu thực nghiệm của Fritzsche và Cuevas [32].
có một năng lượng kích hoạt £3 xác định, tuy nhó so với s . Nhảy the o các donor,
{

electron hấp thụ hoặc bức xạ phonon dẫn đến sự phụ thuộ c dạng hàm e-mũ của độ

20


dẫn điện vào nhiệt độ. K h i tăng nồng độ tạp chát, năng lượng kích hoạt ban đẩu có
táng một chút. Điều này liên quan tới sự tăng của thế Coulomb ngẫu nhiên gây bởi
các tâm tạp mang điện. Tuy nhiên, tiếp tục tăng nồng độ tạp chất dẫn đến s ự phu của
các hàm s óng các tâm tạp cạnh nhau
N

cm'- (đường số 14) thì nâng lượng £3 = 0. Dưới đây chi xét s ự dẫn

= 1.5.lo

17

A

táng lên và £3 giảm đi. Kết quả là khi

nhảy trong miền nồng độ tạp nhỏ. Trên hình 1.4 còn cho tháy rất rõ một nét đặc
trưng của dẫn nhảy: sự phụ thuộc rất mạnh của đại lượng fa vào nồng độ tạp chất.
Giá trị của

óc thể xác định dựa vào hình 1.4 nếu ngoại s uy phần thẳng của nhiệt

độ thấp đến r

_l

= 0 , tức là tìm giao điểm của đường thẳng này với trục toa độ. K h i

táng nồng độ tạp chất lên 30 lần thì Ps giảm lo

17

lần. Sự phụ thu ộc rõ nét đó được

giả thiết ngay có dạng hàm mũ và Pi được viết dưới dạng:
p =p exp[f(N )]
3

trong đó: Pt)3 vầf(N )
D

03

(1.8)

D

là cá c hàm lũy thừa của nồng độ tạp chất. Nguyên nhàn vật lý

của sự phụ thuộc dạng hàm e-mũ (1.8) là rỏ ràng: xá c suất nhảy giữa hai tâm tạp
được xác định bởi sự phủ của các hàm sóng. Khoảng cách giữa các tâm tạp mà ta
quan tâm là rất lớn so với bán kính Bohr (do nồng độ tạp nhò) trong khi hàm sóng
định xứ mạnh, giảm e-mủ theo khoảng cách, vì thế tích phân phủ

2Ìửa

cá c tạp chất

cũng giảm theo hàm e-mũ với khoảng cá ch giữa chúng. K h i giảm nồng độ thì
khoảng cách trung bình giữa các tàm tạp tăng lên, xác suất nhảy giảm e-mủ và do đó
độ dẫn điện giảm. Sự phụ thuộc dạng hàm ^-mũ (1.8) của điện trở suất vào nồng độ
tạp chất là bằng chứng thực nghiệm quan trọng cua cơ chế dãn nhảy.

Ev

-*

(a)

(b)

Hình 1.5: Các trạng thái định xứ lân cận mức Fermi (a) và mật độ trạ ng thái (b).
Các kết quả đo hiệu ứng Hall và độ linh động của electron trong miền dẫn

lì


nhảy (miền D) [14, 32, 67] đã dẫn đến một kết luận là không thế giải thích dẫn nháy
theo qua n niệm về tán xạ, chẳng hạn trên phonon, của các electron chuẩn tự do
(quasi-free electron) mà cẩn xây dựng lv thuyết dẫn nhảy trên cơ sở những ý tướng
mới mà q uan trong nhất là ý tướng về các trạng thái electron định xứ. Sự tương tác
với các phonon và sự phủ của các hàm sóng của các trạng thái định xứ phải dẫn đến
sự nháy thưa thớt từ một trạng thái này sa ng trạng thái khác. Trong ha i tiết tiếp theo
chúng tôi sẽ giới thiệu vắn tắt cơ sở của lý thuyết hiện đại về dẫn nhảy.
1.3 LƯỚI T R Ở N G Ẫ U N H I Ê N M I L L E R - A B R A H A M S
Miller và Abra ha ms [59] đã đề xuất phương pháp tính điện trờ suất của hệ ở
chế độ dẫn nhảy như sau: Từ hàm sóng định xứ của các electron trên các donor
riêng biệt, tính xác suất chuyển dịch của electron giữa 2 donor ì và ỳ với sự hấp thụ
hoặc bức xạ phonon. Sau đó, tính số elect ron t hực hiện chuyển dịch t rong một đem
vị t hời gian khi không có điện trường. K h i có điện trường vếu thì các dịch chuyển
thuận và ngược không cân bằng nữa, tức là xuất hiện dòng tỷ lệ với điện trường.
Tính dòng tuyến tính sẽ tìm được điện t rở Rịị ứng với chuyến dịch ỉ - j. Do các tâm
donor có vị trí và năng lượng ngẫu nhiên các yếu tố trở Rịj cũng hoàn toàn ngẫu
nhiên. Và như vậy bài toán tính trở vĩ mô cù a hệ dẫn về tính trở tương đương của
một lưới các điện t rở ngẫu nhiên (random resistors network).
Xét 2 donor ì và ì với toa độ ĩ. và ĩ j , trên hai donor chỉ có một electron . G i ả
sử WỢ'-Ĩ.)

= PịỢ)

là hàm sóng ớ trạng thái cơ bản của donor cô lập ỉ, thoa mãn

phương trình Schrodinger (H +UỴF = EỸ
Q

1

với u - -e 1hc\r -r\.

Vì khoảng cách

điển hình giữa hai donor r - ịĩị - rị là rất lớn so với độ dài đạc trưng của hàm sóng,
u

sự phủ của các hàm % và *Fj là rất yếu. Do tương tác của electron với cả ha i donor
mà trạng thái suy biến tách ra . Trong khuôn khổ phương pháp tổ hợp tuyến tính các
quỹ đạo nguyên tử ( L C A O ) , hàm sóng của các trạng thái tách ra là tố hợp của các
hàm nguyên tử đ ố i xứng và phi đ ố i xứng.
^

L 2

=2-

, / 2

(l± J ^ ^ r ) ~

22

l / 2

( ^ ±«F)

(1.9)


Tính nans lượng của các trạng thái Ì, 2 với Hamiltonian:

2

ì

H
H

=

o--Tr^--r—r\
/c|/- - r . |

(1.10)

fcự - ĩA

sẽ được:
£

1 2

(1.11)

=-£ --L-+/
0

ớ đây: //(, là Hamiltonian của electron trong tinh thế tuần hoàn, Eo là mức nâng
lượng của donor cô lập, K là hằng sô điện mòi, còn ỈỊj là tích p hân p hủ:
/ = [l^^-n—\drJ

dr

K]r-/;|

r \ d r

(1.12)

If r - r .

Do ảnh hướng mạnh của năng lượng tương tác W(r) của electron với các
tâm tạp tích điện bao quanh các donor ì và j, đối với hầu hết các cập donor, bất đẳng
thức sau được thoa mãn:
4^w{r)-W{r)»I

i i

Rõ ràng. sự dịch chuyển của e le ctron từ trạng thái

(1.13)
sang trạng thái *Fj có

nghĩa là dịch điên tích -e một khoảng là /;... Sự phát sinh dòng điện liên quan tới
những dịch chuyển này. Năng lượng phonon bị hấp thụ trong dịch chuyến ì —> j
bằng đ . Do đ cỡ khoáng vài meV nén chuyến dịch ì —> ì chí có thế xảy ra với sự
tham gia của phonon âm bước sóng dài. Đế đơn giản, Mille r và Abrahams coi rằng
electron chỉ tương tác với một nhánh âm có phổ đẳng hướng.
Xác suất chuyển dịch ì ->ị với hấp thụ phonon là:
n =í Ă
hTỉ {2xỴ
17 Trì

(1.14)

trong đó: V là thể tích nguyên tố mạng tinh thể, s: vạn tốc âm, CỊ: vectơ sóng của
()

phonon, còn:
.1/1

lư/N

i

M, = iE,

2V Sủ;

K

7?

JV"e" f;.'í/F

u

23

(1.15)


là yếu tố ma trận của tương tác electron - phonon. ơ đây, Eịi hàng số thế biến dạng,
d: mật độ tinh thể, N : số phonon có xung lượng q . G i ả sử, số lấp đầy ìĩị = (0; 1) của
q

donor ỉ thăng giáng theo thời gian. Chuyến dịch ì -> ì chỉ xảy ra ở các thời điếm khi
rtị = 4 và ỉij = 0. Vì thế. số electro n thực hiện dịch chuyển t rong một đơn vị thời gian
bằng:
/;=<7Vi -(l-« )>
(

y

(1.16)

trong đó: trung bì nh lấy theo thời gian. Đại lương Yiị thăng giáng theo thời gian. Đó
là do các donor bên cạnh ỉ váy có số lấp đẩy t hay đ ổ i theo thời gian, bằng thế năng
của mì nh, chúng tạo nên hiệu các nâng lượng đ , vì thế tạo ra sự thảng giáng cho

4

và cả Yiỳ

Đế đơn giản bài to án, ta giả thiết rằng số lấp đầy và nũng lượng các nút

không thảng giáng theo thời gian và bằng các giá trị trung bì nh của chúng. Nói cách
khác, hệ được mò tả trong khuôn khổ gần đúng của trường tự hợp, tương t ự gần
đúng Hartree. Gần đúng này gồm:
1. M ỗ i donor đươc đặc trưng bới một số lấp đáy trung bình: < lĩ. >= f .
2. Coi rằng mỗi donor có một năng lượng trung bì nh (theo thời gian) cua mức
electron trong trường của tất cả các tâm tạp và electron còn lại.

/ /cr

(1.17)
-r \
f

M

KÌ?,

- r

ở đó: tống thứ nhất lấy theo tất cả các acceptor, còn tổng thứ hai lấy theo tất cả các
donor ngoại trừ donor í, giá trị (Ì - k )e có nghĩa là điện tích trung bì nh của donor k.
k

3. Năng lượng của phonon bị hấp thụ tro ng dịch chuyến / -> j được viết dưới dạng :

Với gần dúns này thì:
Hi

=rù

e x

Pí

(1.18)

2r,\
•s J

24


trong đó: Y\ =

Ét ã

{le

' ~ị
nds'K v 3 ^
4

J

1+
í
tT

hàm phàn bố phonon: N(x) = (e"

-

4£Ì
2fo

là hàm. phàn bố Fer mi, /V(x) là

ly'.

Tương tự (1.18). đối với dịch chuyển nsươc j -> i , với bức xạ phonon thì:
í
/ > y > p

2r ^
- - f [A^ -£,.)+I]/;(1-/;.)

(1.19)

;

V

ỉ

/

Y ế u tố dòng giữa các donor ỉ và ỳ:

j..=-e{r
ị/

-r)

(1.20)

(I /

V i /

Nếu không có điện trườn g (E = 0) thì hàm fị có dan g cân bằng:
í

f,=fĩ

ù

\

+1

exp

(1-21)

trong đó: £° là giá tr ị tr ung bình của mức nũng lượng donor ì khi E = 0, JU là mức
Fermi còn thừa số 1/2 liên quan đến sự xuất hiện 2 trạng thái spin của donor bị
chiếm, ở nhiệt độ thấp đang xét thì năng lượng £

khác rất ít so với năng lượng

ữ

tương ứng ớ nhiệt độ không. Từ (1.19) - (1.21) suy ra khi E = 0 t hì: r

u

= r

= rĩ,

do đó: J = 0. K h i E t- 0 sự cân bằn g giữa các chuyến dịch ị —> ỉ và ỉ —> ì bị vi
phàm. Điều đó xảy r a do các nguyên nhàn sau:
- Thứ nhất, mức Fer mi thay đối ỖỊẤ: làm các electron phân bố lại theo các
donor, tức là tạo n ên một số gia ổfi của hàm phân bố (1.21):
í

f , ( E ) = f : s f , = exp

-0

SỊ - SfỊị - JU

+

+

(1.22)

- Thứ hai, dưới tác dụng của điện trường xảy ra sự biến đổi các mức năng
lượng các donor / và ỳ.
—

s. = £° + Se ; Se. = eEĩ

+ 2

K k*\ K\r

25

(1.23)
- r