Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Quốc Dũng

GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ CỦA VẬT
THỂ THEO TÀI LIỆU DỊ THƯỜNG TỪ TOÀN PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Quốc Dũng

GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ CỦA VẬT
THỂ THEO TÀI LIỆU DỊ THƯỜNG TỪ TOÀN PHẦN

Chuyên ngành:

Vật lý địa cầu

Mã số:

60.440111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐỖ ĐỨC THANH

Hà Nội – Năm 2013


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn “Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu
dị thường từ toàn phần ” được hoàn thành ngoài sự nỗ lực của bản thân, tác giả còn
được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, cơ quan và gia
đình.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Đỗ Đức Thanh, người trực
tiếp hướng dẫn - đã bỏ ra nhiều công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Phòng Đào tạo đại học và sau đại học, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật lý địa cầu,
các cán bộ, giảng viên khoa Vật lý và Viện Vật lý Địa cầu, Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
cũng như hoàn thành luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các quí cơ quan, bạn bè đồng nghiệp đã giúp
đỡ và đóng góp những ý kiến quí báu trong quá trình tác giả hoàn thành luận
văn.
Mặc dù luận văn đã được hoàn thành, nhưng các vấn đề nghiên cứu rất
phức tạp, với trình độ và thời gian có hạn, việc mắc phải những thiếu sót là
không tránh khỏi, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và bạn
bè đồng nghiệp.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

i


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... i
MỤC LỤC..............................................................................................................ii
DANH MỤC BẢNG BIỂU ...................................................................................iii
DANH MỤC HÌNH VẼ ......................................................................................... v
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
CHUƠNG 1: BÀI TOÁN THUẬN ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG
HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN ......................................................................................... 2
1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ...................................................................... 2
1.2.CÁC BIỂU THỨC TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT ................................................ 2
1.3.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN THUẬN ........................ 8
1.3.1.Trường từ của cầu thể .............................................................................. 8
1.3.2 Trường từ của trụ tròn nằm ngang có chiều dài vô hạn ........................ 111
1.3.3. Trường từ của vỉa cắm nghiêng có từ hóa bất kỳ. .................................. 12
CHƯƠNG 2: GIẢI CÁC BÀI TOÁN THUẬN VÀ NGƯỢC ĐỐI VỚI CÁC
VẬT THỂ CÓ TIẾT DIỆN NGANG DẠNG MỘT ĐA GIÁC BẤT KÌ .............. 18
2.1. BÀI TOÁN THUẬN ...................................................................................... 18
2.2. BÀI TOÁN NGƯỢC ...................................................................................... 21
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH VÀ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN ..................................... 26
3.1. MÔ HÌNH VẬT THỂ CÓ TIẾT DIỆN NGANG DẠNG ĐẲNG THƯỚC ..... 26
3.1.1. Trường hợp 1: góc nghiêng từ hóa bằng 90o ......................................... 26

3.1.2. Trường hợp 2: góc nghiêng từ hóa bằng 45o ......................................... 33
3.2. MÔ HÌNH VẬT THỂ CÓ TIẾT DIỆN NGANG DẠNG KÉO DÀI ............... 39
3.2.1. Trường hợp 1: góc nghiêng từ hóa bằng 90o ......................................... 39
3.2.2. Trường hợp góc nghiêng từ hóa bằng 450 ............................................. 46
3.3.MÔ HÌNH MÓNG TỪ .................................................................................... 52
3.3.1. Các thông số của vật thể ....................................................................... 52
3.3.2.Kết quả tính toán ................................................................................... 53
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 62
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 63

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

ii


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Các thông số của mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
(I=90o) .................................................................................................... 26
Bảng 3.2: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=900). ....................... 27
Bảng 3.3: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có dạng đẳng thước
trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=90o) ........................ 27
Bảng 3.4: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=90o) ................................... 29
Bảng 3.5: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=90o). ....... 29

Bảng 3.6: Các thông số của mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
(I=45o) .................................................................................................... 33
Bảng 3.7: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=45o) ........................ 33
Bảng 3.8: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước trong bài toán ngược không có phông tuyến tính
(I=45o) .................................................................................................... 34
Bảng 3.9: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=450). .................................. 35
Bảng 3.10: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=450). ....... 36
Bảng 3.11: Các thông số của mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài ....... 39
Bảng 3.12: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài
trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=90o) ........................ 40
Bảng 3.13: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=900) .... 40
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

iii


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Bảng 3.14: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài
trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=90o) ................................... 42
Bảng 3.15: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=90o) .............. 42
Bảng 3.16: Các thông số của mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài
(I=45o) .................................................................................................... 46
Bảng 3.17: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài

trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=45o). ....................... 46
Bảng 3.18: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài trong bài toán ngược không có phông tuyến tính (I=45o). ... 47
Bảng 3.19: Kết quả tính trên mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài
trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=45o). .................................. 48
Bảng 3.20: Kết quả tính toán dị thường của mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài trong bài toán ngược có phông tuyến tính (I=45o). ............. 49
Bảng 3.21: Các thông số của mô hìnhmóng từ ....................................................... 52
Bảng 3.22:Kết quả tính trên mô hình móng từ trong bài toán ngược ...................... 53
Bảng 3.23: Kết quả tính toán dị thường của mô hình móng từ trong bài toán
ngược (I= 900) ........................................................................................ 54
Bảng 3.24: Kết quả tính toán dị thường của mô hình móng từ trong bài toán
ngược (I=45o) ......................................................................................... 56

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

iv


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Thế từ của một vật tiết diện bất kỳ ........................................................... 2
Hình 1.2. Sự từ hoá của vật thể tiết diện bất kỳ ........................................................ 6
Hình 1.3. Các thông số của quả cầu bị từ hóa đồng nhất .......................................... 8
Hình 1.4. Đường cong biểu diễn các thành phần Z và H của cầu thể...................... 10
Hình 1.5. .Các thông số của trụ tròn nằm ngang bị từ hóa ...................................... 11
Hình 1.6.Tính trường của vỉa ................................................................................. 13
Hình1.7: Vỉa mỏng cắm nghiêng và từ hoá nghiêng .............................................. 15
Hình 2.1 Vật thể hai chiều tiết diện ngang bất kì bằng đa giác N cạnh ................... 19

Hình 3.1. Kết quả bài toán thuận đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng
thước (I = 900) ........................................................................................ 31
Hình 3.2. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước không có phông tuyến tính (I = 900) ........................... 31
Hình 3.3. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước có phông tuyến tính (I = 900) ..................................... 32
Hình 3.4. Độ hội tụ trong mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
(I=900) .................................................................................................. 32
Hình 3.5. Kết quả bài toán thuận đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng
thước (I= 450) ........................................................................................ 37
Hình 3.6. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước không có phông tuyến tính (I = 450) ........................... 38
Hình 3.7. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng đẳng thước có phông tuyến tính (I = 450) ..................................... 38
Hình 3.8. Độ hội tụ trong mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng đẳng thước
I=450..................................................................................................... 39
Hình 3.9. Kết quả bài toán thuận đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng
kéo dài (I=90o) ..................................................................................... 44
Hình 3.10. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài không có phông tuyến tính I = 90o ................................... 44

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

v


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Hình 3.11. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài có phông tuyến tính I = 90o .............................................. 45

Hình 3.12. Độ hội tụ trong mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng kéo dài
(I=90o) .................................................................................................. 45
Hình 3.13. Kết quả bài toán thuận đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang dạng
kéo dài (I=450) ..................................................................................... 50
Hình 3.14. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài không có phông tuyến tính (I = 45o) ................................. 51
Hình 3.15. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình vật thể có tiết diện ngang
dạng kéo dài có phông tuyến tính (I = 45o) ........................................... 51
Hình 3.16. Độ hội tụ trong trường hợp I=450 ......................................................... 52
Hình 3.17. Kết quả bài toán thuận đối với mô hình móng từ (I = 900) .................... 58
Hình 3.18. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình móng từ (I = 900) ................... 58
Hình 3.19. Kết quả bài toán thuận đối với mô hình móng từ (I = 450) .................... 59
Hình 3.20. Kết quả bài toán ngược đối với mô hình móng từ (I = 450) ................... 59
Hình 3.21. Độ hội tụ trong mô hình móng từ (I = 900) ........................................... 60
Hình 3.22. Độ hội tụ trong mô hình móng từ (I = 450) ........................................... 60

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

vi


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

MỞ ĐẦU
Thăm dò từ được tiến hành từ rất sớm, nó là một trong những phương pháp
nghiên cứu cấu trúc bên trong trái đất, cấu tạo địa chất, tìm kiếm và thăm dò khoáng
sản.Thăm dò từ có giá trị rất lớn với nền kinh tế của nước ta, nó được áp dụng rộng
rãi trong tất cả các giai đoạn nghiên cứu tìm kiếm, thăm dò địa chất. Trong giai
đoạn hiện nay, thăm dò từ góp phần giải quyết các vấn đề về phân vùng, kiến tạo
thạch học, phát hiện các vùng có triển vọng khoáng sản để tiến hành các công tác

thăm dò địa chất, địa vật lý chi tiết.
Ngoài ra nó còn được sử dụng để xác định các vỉa quặng và các dạng cấu tạo
địa chất. Trong những điều kiện nhất định phương pháp thăm dò từ còn được áp
dụng trong thăm dò địa chất,nhằm xác định dạng, các yếu tố thế nằm, các kích
thước của vỉa quặng để đánh giá sơ bộ trữ lượng của chúng.
Phương pháp thăm dò từ được sử dụng để tìm kiếm các khoáng sản chính như :
dầu mỏ, hơi đốt, quặng sắt, cromit, măngan,pirit, quặng đồng, niken các muối đá và
kali, than đá và than nâu, pôxit, các quặng đá kim...
Phương pháp từ thường được áp dụng tổ hợp với các phương pháp địa Vật
lý,địa hoá, địa chất khác nhằm mục đích nâng cao hiệu quả của chúng. Nhờ có
phương pháp từ người ta có khả năng rất lớn để nghiên cứu những diện tích có triển
vọng khoáng sản trong những vùng bị phủ kín.
Trong phương pháp thăm dò từ, việc giải các bài toán nhằm xác định hình dạng
các vật thể có hình dạng hình học đều đặn được trình bày trong giáo trình và các
sách tham khảo về thăm dò từ.
Trong phạm vi khoá luận này,tác giả đã tiến hành lập trình (bằng ngôn ngữ
Matlab) để tính toán thử nghiệm trên mô hình nhằm nghiên cứu áp dụng một
phương pháp giải bài toán ngược hai chiều để xác định hình dạng vật thể gây dị
thường từ có dạng hình học không đều đặn, tiết diện ngang của nó là một đa giác
bất kỳ.

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

1


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

CHUƠNG 1
BÀI TOÁN THUẬN ĐỐI VỚI

CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN

1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Vấn đề bài toán thuận đặt ra là:
Cho biết vật thể gây trường có hình dạng và kích thước nhất định và từ hoá
đồng nhất, cho biết sự phân bố từ hoá J trên bề mặt vật thể đó ta cần tìm biểu thức
giải tích mô tả trường từ.Trong quá trình giải bài toán thuận ta thừa nhận các điều
kiện sau:
1.Vật thể gây trường có từ hoá đồng nhất.
2.Vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng hay các mặt cong bậc hai là các vật thể
hình học đơn giản.
3.Do quy luật chồng chất của thế trường ta thừa nhận lực tác dụng của vật
thể lên điểm đo là tổng lực của các phần tử cơ bản thuộc vật thể đó.
Về nguyên tắc bài toán thuận có thể đơn nghiệm. Tương ứng với một vật thể
ta có thể tìm được một lời giải độc nhất mô tả trường từ của vật. Dĩ nhiên là trong
thiên nhiên các thực thể địa chất không bao giờ nghiệm đúng hoàn toàn với điều
kiện đặt ra của bài toán.Chúng thường có dạng kỳ dị, ranh giới biến đổi từ tính từ từ
và từ hoá không hoàn toàn đồng nhất.Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy với một sai
số giới hạn việc xấp xỉ các thực thể địa chất với các vật thể hình học đã nói là có thể
chấp nhận được và là cần thiết trong khâu nghiên cứu phân tích các số liệu đo đạc.
1.2.CÁC BIỂU THỨC TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT
P(x,y,z)

r

dV

Hình 1.1. Thế từ của một vật tiết diện bất kỳ

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

2


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Giả sử vật thể giới hạn bởi mặt S (h.1.1) có từ hoá J.Tính thế từ gây ra nên
bởi các vật thể đó tại điểm P nằm ngoài nó. Vì vật thể được cấu tạo từ những đômen
từ có kích thước nhỏ, chúng được xem là những yếu tố cơ bản - các lưỡng cực từ
được tính là:
dU= d3.r

(1.1)

r

Trong đó d  là momen từ của lưỡng cực. Vì d  = JdV cho nên:
( J.r ).dV
r3

dU =
hay

1
r

dU = -(Jgrad ).dV
Thế từ tại điểm P gây nên bởi toàn bộ vật thể sẽ là tổng thế từ của tất cả

những yếu tố cơ bản và bằng :

1
r

U = -  (Jgrad ) dv
V

(1.2)

Tích phân (1.2) lấy cho toàn bộ thể tích giới hạn bởi mặt S, gradien lấy theo
toạ độ điểm P.
Nếu chuyển sang toạ độ điểm Q ta có :
1
r

U =  (Jgrad ) dv
V

Từ lý thuyết phân tích véc tơ ta có :
J
r

U =  div ( ) dv -  (
V

V

divJ
) dv
r

Biến đổi tích phân thứ nhất sang tích phân mặt bằng thuật toán OstrogratxkiGaus ta có :
U=


S

JdS
r

divJ
dv
r
V

(1.3)



Nếu thừa nhận vật thể từ hoá đồng nhất (J = conts) từ (1.2) có thể viết :
1
r

U =  J  (grad P ) dv
V

Vì gradien lấy theo toạ độ điểm P còn tích phân lấy theo tọa độ điểm Q cho
nên trình tự thực hiện có thể ngược lại và ta có :

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

3


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

1
r
V

U = -Jgrad  dv
Biểu diễn

1

 r dv = V- đại lượng tỉ lệ với thế trọng lượng gây nên do vật thể

V

đang xét mật độ  = 1 . Ta có :
U = - (JgradV )

(1.4)

Đó là phương trình Poisson. Nó cho phép tính thế từ của vật thể nếu biết
thế trọng lực của vật thể đó, khi thừa nhận vật thể từ hoá đồng nhất và có mật độ
đồng nhất.
Nếu lưu ý rằng divV = 0 và J = conts thì (1.3) có thể đưa về dạng:
U=

Jn

dS
r
S



(1.5)

Như vậy ta có thể tính thế từ nếu biết thành phần pháp tuyến của véc tơ J
theo bề mặt S.
Để giải bài toán thuận ta có thể sử dụng hai biện pháp. Đối với một số vật
thể dễ xác định thế trọng lực (cầu thể, elipxoit ) ta tính thế từ theo công thức
(1.4). Đối với các vật thể khác (lăng trụ, hình hộp) thường người ta tính thế từ
theo công thức (1.5).
Biết thế từ U ta có thể tính cường độ trường từ theo công thức:
H = -gradU

(1.6)

Ở đây U được xác định theo công thức (1.4) hoặc (1.5).
Trong trường hợp tính theo công thức (1.4) các biểu thức khai triển cho các
thành phần trường từ là :
Đối với các vật thể 3 chiều :
X=

1
[J x Vxx+ JyVxy+ JzVxz]
K 2

Y=

1
[J x Vyx+ JyVyy+ JzVyz]
K 2

Z=

1
[J x Vzx+ JyVzy+ JzVzz]
K 2

(1.7)

Trong đó:
X,Y,Z là các thành phần bắc,đông,thẳng đứng của cường độ trường từ
K : là hằng số hấp dẫn .
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

4


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

K= 6,67.10-8

2
dincm 2
-11 Nm
=
6,67.10

g2
kg 2

 : mật độ.

Jx, Jy, Jz : là các thành phần từ hoá theo các trục
Vxx: Đạo hàm bậc hai của thế trọng lực theo các trục tương ứng.
Trong trường hợp vật thể có phưong kéo dài, thế từ theo các trục y luôn là
một hằng số (trục y bố trí theo phương của vật thể) Ta có:
X=H=

1
1
[J x Vxx+ JzVxz] = 2 [-J x Vzx+ JzVzz]
2
K 
K 

Y=0
Z=

(1.8)

1
1
[JzVzx – JxVxx] = 2 [J x Vzx+ JzVzz]
2
K 
K 

Trong trường hợp đặc biệt khi J cắm thẳng đứng, các công thức (1.7) và (1.8)
có thể viết lại là :
Xt =

1
JxVxz
K 2

Yt =

1
JyVyz
K 2

Zt =

1
JzVzz
K 2

(1.9)

Đối với vật thể hai chiều thì :
Ht =

1
JxVxz
K 2

Zt =

1
JzVzz
K 2

Từ phương trình Poison (1.4) ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về
mối quan hệ giữa các thành phần cường độ trường từ trong các trường hợp từ hoá
khác nhau cho vật thể hai chiều.
Giả sử ta có vật thể tiết diện bất kỳ chịu từ hoá nghiêng dưới góc i.Khi đó
chia J thành hai thành phần :
Jx = J cosi
Jz = J sini

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

5


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

x

J(x)
i

J
J(z)

z

Hình 1.2. Sự từ hoá của vật thể tiết diện bất kỳ
và tính trường gây nên bởi các thành phần đó. Đối với thành phần
thẳng đứng Jz ta có :
U z = -J z

V
z

Zz = -

U z
2V
 Jz
z
z 2

Hz = -

U z
2V
 Jz
x
xz

(1.10)

Còn đối với các thành phần ngang Jx thì :
Ux = -J x

V

x

Zx = -

U x
2V
 Jx
x
xz

Hx = -

U x
2V
 Jx
x
x 2

(1.11)

Từ phươnh trình Laplace ta có :
2V
 2V
 2
x 2
z

Các thành phần thẳng đứng và nằm ngang của các trường hợp từ hoá nghiêng
sẽ là tổng các thành phần trường gây nên :
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

6


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Zn = sini(J

2V
2V
)
+cosi(J
)
 x z
z 2

Hn =- cosi(J

2V
2V
)
+sini(J
)
 x z
z 2

(1.12)

Nếu lấy đạo hàm Zn và Hn theo i ta có :
Z n

2V
2V
= cosi(J 2 ) -sini(J
)
i
 x z
z
H n
2V
2V
= sini(J 2 ) +cosi(J
)
i
 x z
z

(1.13)

So sánh (1.12) và (1.13) ta thấy :
Hn =

Z n
H n
; Zn =
i
i

Zi = H(i -




) ; Hi = Z(i - )
2
2

(1.14)

Ta thấy rằng, các đường cong Z và H đổi dạng cho nhau khi góc nghiêng từ
hoá thay đổi.
Ta xét trường hợp, khi góc nghiêng từ hoá thay đổi i và(i +  ) .Từ (1.12) ta
có :
Z(i+  ) = sin(i+  )(J

2V
2V
)
+cos(i+
)(J
)

 x z
z 2

H(i+  ) = - cos  [sini(J

  2V

 2V
+
sin

[cosi(J
)
sini(J)
)
+cosi(J


z 2
 xz


hay : Z(i+  ) = cos  Z(i) - sin  H(i)
H(i+  ) = sin  Z(i) + cos  H(i)

(1.15)

Cường độ toàn phần của dị thường sẽ là :
Tn =

Z 2 n  H 2 n  (J

2V 2
2V 2
)
(
J
)

z 2
x x

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

(1.16)

7


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Từ (1.16) ta thấy rằng môdun của véc tơ cường độ trường từ toàn phần hoàn
toàn không phụ thuộc vào góc nghiêng từ hoá.
Trên đây chúng ta đã nghiên cứu một số công thức cơ bản làm cho việc xem
xét trường từ của các vật thể. Bây giờ chúng ta chuyển sang bài toán cụ thể.
1.3.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN THUẬN
1.3.1.Trường từ của cầu thể
Giả sử cầu thể có bán kính R độ sâu từ mặt đất tới tâm là h, véc tơ từ hoá
nghiêng một góc i. Ta tính trường từ của cầu thể theo trục x trong hệ toạ độ xyz,
tâm O tại hình chiếu của tâm quả cầu lên mặt đất, trục x trong mặt phẳng thẳng
đứng chứa véc tơ từ hoá.
Phân véc tơ từ hoá J thành hai thành phần nằm ngang Jx và thẳng đứng Jz.
Mỗi thành phần đó sẽ gây nên một cặp thành phần nằm ngang và thẳng đứng của
cường độ trường từ : Hx, Zx vàHz, Xz. Giá trị của các thành phần H và Z là :
H = Hx + Hz

; Z = Zx +Zz
p

o
o

x

h

r

Jx

R
J
Jz

z

Hình 1.3. Các thông số của quả cầu bị từ hóa đồng nhất
Ta có :
U = -Jgrad 
V

dV
r

Thừa nhận vật thể từ hoá đồng nhất nên :
U=

I .V M
 2
r2
r

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

8


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

(M : mômen từ của vật thể M =

4
 R 3J )
3

do đó :
 

Ux = U.cos( M , x ).cos  x (chuyển theo phương r )
 

(M,x ) = i
x
;
r

cos  x 

(h  z ) 2  x 2

r=

x
r

x

U x  U cos i 

3
2 2

cosi

(1.17)

[(h  z ) 2  x ]

3

Hx 


U
=-M
x
x

x
3
2 2

2

[(h  z )  x ]

1

3
[( h  z ) 2  x 2 ] 2  [( h  z ) 2  x 2 ] 2
2
cos i
cosi  -M
[(h  z ) 2  x 2 ]3

Cho z = 0 ta có :
h 2  2.x 2

Hx = - M

(h 2  x 2 )

5

cosi

(1.18)

2
1


U
Zx = (
 M
z
z

x
[( h  z ) 2  x 2 ]

3. x.h[( h  z ) 2  x 2 ] 2
)
cosi
=
Mcosi
3
[(h  z ) 2  x 2 ] 3
2

tại z = 0 ta có:
3.x.h

Zx = - M

5
2 2

2

cosi

(1.19)

[h  x ]

Tính các thành phần theo phương z ta có :
 

Uz = Usin ( M , x ) cos 
cos  x   cos  
Uz =

h
r

 Mh sin i
2

(1.20)

3
2 2

(h  x )

Lấy đạo hàm tương tự như trên, ta được :
2

Hz = -

1
2 2

U
 3x ( h  x )
 Mh sin i
3
z
(h 2  x 2 ) 2

Tại z = 0 ta có :
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

9


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Hz =

 3Mh sin i

(1.21)

5
2 2

2

(h  x )

1


U
Zz =  Mh sin i
z
z

( h 2  x 2 ) 2  3h 2 ( h 2  x 2 ) 2
  M sin i
(h 2  x 2 ) 3

1
2

2

(h  x )

3
2

Tại z = 0 ta có :
Zz = -M

2.h 2  x 2
2

2

(h  x )

(1.22)

5
2

Trường tổng cộng sẽ là :
H = M.

(2.x 2  h 2 ) cos i  3.x.h. sin i
2

2

(h  x )

Z = M.

(2.h 2  x 2 ) sin i  3.x.h. cos i
2

2

(h  x )

T=

(1.23)

5
2

(1.24)

5
2

H2 Z2

 4.x 2  h 2  3h 2 x 2 cos2 i  (4.h 2  x 2  5h 2 x 2 ) sin 2 i  
T 


5
2
2
2
2
x
h
i
x
h
h
x
x
i
h

i

12
.
.
.
sin
cos(

)

6
.
.
(
sin

cos
)


2
2 2
(x  h ) 
M

1Zm

0,5Zm z
H

2

1

0

-1
-2

-3h

-0,5Zm
30

-1Zm

Hình 1.4. Đường cong biểu diễn các thành phần Z và H của cầu thể.
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

10


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Đồ thị đường cong lý thuyết của Z và H xây dựng theo công thức (1.23)
và (1.24) biểu diễn trên hình (1.2).Hình dáng đường cong phụ thuộc vào góc
nghiêng từ hoá. Khi i = 90 0 , đường cong Z đối xứng qua trục z, có cực đại ở
tâm toạ độ, có cực tiểu âm ở hai phía. Đường cong H đối xứng khi i khác 90 0 trường hợp từ hoá nghiêng thì các đường cong Z và H trở nên bất đối xứng
hoàn toàn, các cực trị bị xê dịch toạ độ, tỉ lệ các phần âm dương thay đổi tuỳ
theo góc i.

Trên bình đồ của Z thường có dạng vùng trường dương ở giữa hai vùng
trường âm ở hai phía bắc và nam, trong đó phần âm phía nam bao giờ cũng có biên
độ bé hơn phần âm phía bắc nhiều lần.
1.3.2 Trường từ của trụ tròn nằm ngang có chiều dài vô hạn
Nếu trường từ của một vật thể dạng cầu từ hoá đồng nhất tương ứng với
trường của một lưỡng cực đặt J tại tâm của nó thì đối với một trụ tròn - nó tương
ứng với hai “đường cực” ngược dấu đặt ở tâm của trụ, có khoảng cách rất nhỏ. Để
tính trường từ ta chọn hệ toạ độ như trên hình (1.3), trước tiên ta giả thiết từ hoá
thẳng đứng.
Thế từ gây nên bởi một phần tử dy có mô men từ  của một đơn vị là :
dU = -

dy
r1

2



cos1 ;

U = - 

dy

  r1

0

2

cos1
P
x

h

r



r1


y



z

Hình 1.5. .Các thông số của trụ tròn nằm ngang bị từ hóa

Sau khi lấy tích phân ta có :
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

11


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

U=-

2
r1

cos 

Trong hệ toạ độ đề các công thức trên có dạng :
2  (h  z )
(h  z ) 2  x 2

U=-

Từ đây các thành phần của cường độ có dạng :
Zt = -

Ht =

U
z

U
x

z 0

z 0

 2

h2  x2
(h 2  x 2 ) 2

 4

hx
(h  x 2 ) 2
2

Từ (1.15) ta có :
Zn = 2 

hx
h2  x2
cosi
sin i  4 2
2
2 2
(h  x 2 ) 2
(h  x )

Hn = 2 

hx
h2  x2
sin i
cos i  4 2
2
2 2
(h  x 2 ) 2

(h  x )

(1.25)

Đồ thị Z và H của trụ tròn nằm ngang được trình bày trên hình (1.2). Cũng
như đối với các cầu thể, các đường cong có cực đại dương ở phần giữa và phần âm
ở hai phía. Tỷ số biên độ các phần đó và mức độ xê dịch hoành độ các cực trị thay
đổi phụ thuộc vào góc nghiêng từ hoá. Sự khác biệt giữa trường của trụ tròn với
trường của cầu thể chỉ thể hiện rõ ràng trên bình đồ, với hình dạng các dị thường có
phương kéo dài.
1.3.3. Trường từ của vỉa cắm nghiêng có từ hóa bất kỳ.
Ta khảo sát thuận của một vỉa nghiêng cắm sâu vô hạn, có từ hoá nghiêng và
kéo dài vô hạn theo đường phương. Chọn hệ toạ độ (x,y,z) có tâm là hình chiếu
điểm giữa mặt trên của vỉa đó.
Phân chia vỉa dưới dạng tập hợp các vỉa mỏng và tính trường của các vỉa
mỏng, sau đó tính trường tổng.
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

12


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Để tính trường của vỉa mỏng trước tiên ta xét cho trường hợp vỉa cắm thẳng
đứng và từ hoá thẳng đứng, sau đó tiến hành quay trục toạ độ để đứa về trường hợp
bất kỳ (hình 1.6).
y

0

P
x
r

h


dS

z

Hình 1.6.Tính trường của vỉa
Ta tính trường gây nên bởi thành phần dS = 2bdy,với 2b là bề dày của vỉa
mỏng và dy là thành phần theo phương. Vì từ hoá có phương thẳng góc với mặt trên
và song song với hai mặt bên cho nên có thể nói từ khối tập trung chỉ ở trên mặt
trên với mật độ   J ,   cos(J n ), Jn là độ từ hoá trên bề mặt lớp khối.
Theo định luật cu-lông cường độ trường từ gây nên bởi phần tử dS sẽ là :
Cường độ toàn phần :

dT =

2bJdy
r2

Thành phần thẳng đứng :

dZ =

2bJdy
cos 

r2

Thành phần thẳng ngang :

dH =

2bJdy
sin 
r2

Ở đây  là góc giữa r và phương thẳng đứng.
Từ hình (1.4) ta có thể viết lại các biểu thức H và Z dưới dạng
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

13


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

hdy

dZ = 2bJ

3

(h 2  x 2  z 2 ) 2
xdy

dH = -2bJ

3

(h 2  x 2  z 2 ) 2

Trường của vỉa mỏng sẽ là tích phân của các biểu thức đó với giới hạn từ
    và ta có :

Z = 4bJ

h
(h  x 2 )

H = -4bJ

2

x
(h  x 2 )
2

Để đưa lời giải về trường hợp từ hoá và góc cắm bất kỳ ta thực hiện hai động
tác. Trước tiên quay véc tơ từ hoá sau đó quay hướng cắm của vỉa.
Để quay góc nghiêng từ hoá ta sử dụng hệ quả Poisson (1.15)
và các biểu thức cho H và Z ta có thể viết lại từ (1.18)
Z = 4bJ

h sin i  x cos i cos A
x sin i  h cos i. cos A
; H = -4bJ
2

2
(h  x )
(h 2  x 2 )

(1.26)

Bây giờ ta xét trường hợp vỉa cắm nghiêng một góc  bất kỳ. Ta quay trục
toạ độ (x,y,z) ngược chiều quay kim đồng hồ một góc (900-  ). Trục x’ sau khi quay
sẽ thẳng góc với vỉa (hình1.5)
Các thành phần Z’ và H’ trong hệ toạ độ mới (x’,y’,z’) sẽ là :
Z’ = Zt sini + Ht cosi’; H’ = -Zt cosi’ + Ht sini

(1.27)

Với Zt và Ht là các thành phần trường lấy theo biểu thức (1.18) đặc trưng cho
trường hợp vỉa mỏng, cắm thẳng đứng, có từ hoá thẳng đứng cosi’=cosicosA

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

14


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.
x'

0
x



y'
z'

J
z

Hình1.7: Vỉa mỏng cắm nghiêng và từ hoá nghiêng
Nếu bây giờ ta lại đưa về hệ toạ độ cũ (x,y,z) thì các thành phần sẽ là :
Z = Z’sin  - H’cos  ; H = Z’cos  + H’sin 

(1.28)

Thay (1.27) vào (1.28) ta có :
Z=Zt(sinisin  +cosi’cos  )+Ht(sinisin  +cosi’cos  )
H=Zt(cosi’sin  - sinicos  ) + Ht(sinisin  + cosi’cos  )

Thay

cos i'
= ctgi cosA = ctgA=ctg  và đưa vào ký hiệu mới     
sin i

ta có thể viết lại biểu thức đó :
Z = (Ztcos  +Htsin ) sin 2 i  cos 2 i'
H = (-Ztsin  +Htcos  ) sin 2 i  cos 2 i'
Thay các giá trị Zt và Ht từ (1.18) ta nhận được các biểu thức của trường vỉa mỏng
bất kỳ và từ hoá bất kỳ :
Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

15

Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

 h cos   x sin  
sin 2 i  cos 2 i '
2
2

h x


Z= 


 h sin   x cos  
sin 2 i  cos 2 i'
2
2

h x


H= 


(1.29)

Trường hợp A = 0, nghĩa là khi vỉa có phương vĩ tuyến, có
i=i’.Nếu A = 900- vỉa có phương kinh tuyến và trong mặt phẳng đang xét từ hoá có

phương thẳng đứng. Đại lượng

sin 2 i  cos2 i' trong biểu thức (1.29) đạt cực đại

bằng 1 khi A=0 và đạt cực tiểu khi A=900.Tiếp theo để tính trường của vỉa lớn ta
phân chia nó thành nhiều vỉa mỏng.
Trường của mỗi vỉa mỏng đó được xác định bởi biểu thức (1.29) và trường
của vỉa lớn sẽ là tích phân theo dr với giới hạn từ

-b  +b (2b là chiều dày của

vỉa lớn) :
b

Z=  2 J
b

b

H=  2 J
b

[h cos  ( x  r ) sin  ] sin 2 i  cos 2 i
dr
h 2  ( x  r) 2
[h sin   ( x  r ) cos ] sin 2 i  cos 2 i
dr
h2  (x  r)2

Z = 2J[(arctg

xb
xb
1
h 2  ( x  b) 2
 arctg
] sin 2 i  cos 2 i ' )
) cos   sin  ln 2
h
h
2
h  ( x  b) 2

xb
xb
1
h 2  ( x  b) 2
H = -2J[(arctg
 arctg
) sin   sin  ln 2
] sin 2 i  cos 2 i ' )
2
h
h
2
h  ( x  b)

(1.30)
Trường hợp riêng khi từ hoá theo hướng cắm :    ; cos   1
Z = 2Jarctg(

H = -Jln(

2bh
) sin 2 i  cos 2 i'
2
h  ( x  b)
2

h 2  ( x  b) 2
) sin 2 i  cos 2 i '
h 2  ( x  b) 2

(1.31)

Khi vỉa có phương kinh tuyến (A = 900) và cắm thẳng đứng thì

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

16


Đề tài: Giải bài toán ngược xác định các thông số của vật thể theo tài liệu dị thường từ toàn phần.

Z = 2Jarctg(

2bh
);
2
h  ( x  b) 2

H = -Jln(

h 2  ( x  b) 2
)
h 2  ( x  b) 2

Nếu vỉa bị giới hạn ở độ sâu h1 thì trường từ của nó sẽ là hiệu của hai vỉa
cắm sâu vô hạn theo biểu thức (1.30), vỉa thứ nhất có độ sâu đến mép trên của vật
thể là h và vỉa thứ hai có độ sâu là h1.
Trường hợp h1-h = h rất nhỏ so với h và 2b ta có vỉa mỏng nằm ngang và
biểu thức toán học biểu thị trường từ của nó sẽ là đạo hàm theo h của biểu thức
(1.23) nhân với h sau khi thực hiện phép tính đó và thay tích số 2Jb h =M
(mômen từ của tiết diện vỉa mỏng) ta thừa nhận được :
Z = 2M

(h 2  b 2  x 2 ) cos   2h sin 
sin 2 i  cos 2 i'
2
2
2
2
h  ( x  b) . h  ( x  b)



H = -4M





(h 2  b 2  x 2 ) sin   2h cos 
sin 2 i  cos 2 i'
2
2
2
2
h  ( x  b) . h  ( x  b)







Đường cong Z và H cho các trường hợp vừa mô tả. Tuỳ thuộc vào tương
quan giữa phương từ hoá và phương cắm của vỉa dạng đường cong thay đổi nhanh
chóng. Khi vỉa cắm sâu vô hạn các đường cong chỉ có hai phần âm dương, nếu vỉa ở
độ sâu giới hạn thì đường cong có phần dương kẹp giữa hai phần âm. Tỉ số biên độ
các phần và toạ độ các cực trị thay đổi cùng với sự thay đổi tương quan giữa
phương từ hoá và phương cắm.

Học viên: Nguyễn Quốc Dũng- Cao học Vật lý khóa: 2011-2013

17