Một số kết quả về định lý paley wiener

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG VĂN TIẾN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ PALEY - WIENER

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY

Hà Nội - 2015


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật Huy, người đã tận tình giúp
đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều
kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính
mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, 11/2015

Đặng Văn Tiến

2


Mục lục
Mở đầu

5

1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG

6

1.1

Không gian hàm cơ bản D(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Không gian các hàm suy rộng D (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Cấp của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) . . . . . . . . . . 11

1.6

Giá của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7

Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) . . . . . . . . . 14

1.8

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9

Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9.1

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.2

Phép biến đổi Fourier trong không gian S (Rn ) và E (Rn ) . 23

2 DẠNG PHỨC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER

25

2.1

Dạng phức của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) . . . 25

2.2

Dạng phức của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) . . . 28

3 DẠNG THỰC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER
3.1

30

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) . . . 30
3.1.1

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập compact
bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi dãy
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3


3.1.3

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi đa
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.4
3.2

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập lồi . . . . . 42

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) . . . 43
3.2.1

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập compact
bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.2

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi dãy
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.3

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi đa
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4

Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập lồi . . . . . 51

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

53

4


Mở đầu
Biến đổi Fourier được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier,
là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học nói chung và
của Giải tích nói riêng. Phép biến đổi Fourier là một trong lớp những phép biến
đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất.
Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vô
hạn thông qua giá của biến đổi Fourier. Vấn đề này có ý nghĩa rất lớn đối với
ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giải tích hàm,
Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng,
Lý thuyết xấp xỉ, Lý thuyết sóng nhỏ.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
ba chương:
Chương 1: Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy
rộng. Chương này luận văn trình bày những kiến thức cơ bản về không gian các

hàm cơ bản, không gian các hàm suy rộng, tích chập của hàm suy rộng, phép
biến đổi Fourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả
liên quan đến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo.
Chương 2: Một số kết quả về dạng phức của Định lý Paley- Wiener.
Chương này luận văn đưa ra điều kiện cần và đủ để một hàm số là biến đổi
Fourier của hàm số có giá chứa trong một hình cầu tâm 0, bán kính R cho trước
và biến được xét ở đây là biến phức.
Chương 3: Một số kết quả về dạng thực của Định lý Paley- Wiener.
Chương này luận văn trình bày dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập
compact bất kì, tập sinh bởi dãy số, tập sinh bởi đa thức và cho tập lồi.

5


Chương 1
CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ
BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG
Trong chương này, luận văn trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản về lý
thuyết hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [5]).

1.1

Không gian hàm cơ bản D(Rn)

Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm cơ bản, luận văn chỉ ra một số ký
hiệu được trình bày trong luận văn.
Cho N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, . . . } là tập các số
nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị ảo
Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập

Zn+

n

j=1

−1 = i.

= {α = (α1 , ..., αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, ..., n}, Rn

là không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
Với chuẩn Euclid x = (

√

x2j )1/2 , tích vô hướng x, ξ =

n

xj ξj .
j=1

Với mỗi k ∈ Z+ ký hiệu các tập như sau
C k (Rn ) = {u : Rn → C|u khả vi liên tục đến cấp k},
C0k (Rn ) = {u : Rn → C|u ∈ C k (Rn ), suppu là tập compact},
k
n
∞
n

∞
k
n
C ∞ (Rn ) = ∩∞
k=1 C (R ), C0 (R ) = ∩k=1 C0 (R ),

trong đó suppu = {x ∈ Rn | u(x) = 0}.
Với ε > 0 và K là tập compact trong Rn ta định nghĩa:
Kε = {x ∈ Rn | ∃ξ ∈ K,
6

x − ξ < ε}


K(ε) = {x ∈ C| ∃ξ ∈ K,

x − ξ < ε}

Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) là ảnh Fourier của hàm f, suppf
là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f.
Các giới hạn lim am , lim am , lim am tương ứng là giới hạn, giới hạn trên, giới
m→∞

m→∞

m→∞

hạn dưới của dãy hàm {am }∞
m=1 .

Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các ví
dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm cơ bản.
Định nghĩa 1.1. Không gian D(Rn ) là không gian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn )
∞
n
với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞
j=1 các hàm trong C0 (R ) được gọi là hội tụ

đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) nếu
(i) có một tập compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...,
(ii) lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ .
j→∞ x∈Rn

Khi đó, ta viết là ϕ = D− lim ϕj .
j→∞

Ví dụ 1.1. Ta định nghĩa hàm một biến Ψ(x) như sau

ce1/(|x|−1)
nếu |x| < 1,
Ψ(x) =
0
nếu |x| ≥ 1.
Khi đó Ψ ∈ D(R).
Mệnh đề 1.1. Không gian D(Rn ) là đủ

1.2

Không gian các hàm suy rộng D (Rn)

Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Rn nếu f là một
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Rn ).
Hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Rn ) được viết là f, ϕ . Hai
hàm suy rộng f, g ∈ D (Rn ) được gọi là bằng nhau nếu
f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Rn ).

Tập tất cả các hàm suy rộng trong Rn lập thành không gian D (Rn ).
Chú ý 1.1. Trên D (Rn ) có thể xây dựng một cấu trúc không gian vectơ trên C,
nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau
7


(i) phép cộng: với f, g ∈ D (Rn ) tổng f + g được xác định như sau
f + g : ϕ → f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ D (Rn ) ,

khi đó, f + g ∈ D (Rn ), nghĩa là, f + g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
D(Rn ),

(ii) phép nhân với số phức: với λ ∈ C, f ∈ D (Rn ) tích λf được xác định như sau
λf : ϕ → λf, ϕ =λ f, ϕ , ϕ ∈ D (Rn ) ,

khi đó, λf ∈ D (Rn ), nghĩa là, λf là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Rn ).
Hơn thế, ta còn có thể định nghĩa phép nhân với một hàm trong C ∞ (Rn ).
Với φ ∈ C ∞ (Rn ), f ∈ D (Rn ) tích φf ∈ D (Rn ) được xác định như sau
φf : ϕ → φf, ϕ = f, φϕ , ϕ ∈ D (Rn ) ,

khi đó, φf ∈ D (Rn ).
Ví dụ 1.2. Với mỗi f ∈ L1 (Rn ) được coi là một hàm suy rộng bằng cách sau
f : ϕ → f, ϕ =

f (x)ϕ(x)dx,

ϕ ∈ D(Rn ).

Rn

Như vậy, có thể coi L1 (Rn ) là tập con của D (Rn ). Hàm suy rộng f ∈ L1 (Rn )
được gọi là hàm suy rộng chính quy.
Với f, g ∈ L1 (Rn ), thì sự bằng nhau theo nghĩa hàm suy rộng và theo nghĩa thông
thường là như nhau, nghĩa là
f, g ∈ L1 (Rn ),

f (x)ϕ(x)dx =
Rn

g(x)ϕ(x)dx,

∀ϕ ∈ D(Rn )

Rn

thì f = g, h.k.n trong Rn .

1.3

Cấp của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.3. Cho K ⊂ Rn , f ∈ D (Rn ). Ta nói hàm suy rộng f có cấp hữu
hạn trên K nếu có một số nguyên không âm k và một số dương C sao cho
sup |Dα ϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K.

| f, ϕ | ≤ C
|α|≤k

x∈K

8

(1.1)


Số nguyên không âm k nhỏ nhất trong các số nguyên không âm mà ta có bất
đẳng thức (1.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng f trên tập K . Nếu không có
một số nguyên không âm k nào để có (1.1) với số dương C nào đó, thì ta nói
rằng, hàm suy rộng f có cấp vô hạn trên K . Để đơn giản, ta nói rằng, hàm suy
rộng f ∈ D (Rn ) có cấp k nếu nó có cấp k trên Rn .
Ví dụ 1.3. Mọi hàm f ∈ L1 (Rn ) đều có cấp 0. Ta có:
| f, ϕ | =

f (x)ϕ(x)dx
Rn

≤ sup |ϕ (x)|
x∈Rn

|f (x)| dx
Rn

= c sup |ϕ (x)| ,
x∈Rn

trong đó
|f (x)| dx < ∞

c=
Rn

Do đó f ∈ L1 (Rn ) có cấp 0.
Định lý 1.1. Mỗi phiếm hàm tuyến tính f trên D(Rn ) là một hàm suy rộng khi
và chỉ khi, trên mỗi tập compact K ⊂ Rn , có một số nguyên không âm k và một
số dương C sao cho
sup |Dα ϕ(x)| = C ϕ

| f, ϕ | ≤ C
|α|≤k

x∈Rn

C k (Rn ) , ∀ϕ

∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K

Chứng minh. Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chứng minh tính liên tục
∞
n
của f tại gốc, nghĩa là nếu có một dãy {ϕj }∞
j=1 trong C0 (R ) mà D− lim ϕj = 0
j→∞

thì lim f, ϕj = 0.

j→∞

Điều này dễ thấy từ giả thiết.
Để chứng minh điều kiện cần ta dùng phản chứng, nghĩa là giả sử có một tập
compact K ⊂ Rn với mỗi k ∈ Z+ ta đều có
sup
ϕ∈C0∞ (Rn )
suppϕ⊂K,ϕ=0

| f, ϕ |
= +∞
ϕ C k (Rn )

do đó, tồn tại ϕk ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K, ϕk
| f, ϕk | > k ϕk
9

C k (R n )
C k (R n ) .

> 0 sao cho


Chọn
ψk (x) =

1
k

1

2

ϕk

ϕk (x),
C k (R n )

khi đó
1

ψk ∈ C0∞ (Rn ), suppψk ⊂ K và D− lim ψk = 0, | f, ψk | ≥ k 2 ,
k→∞

nên f ∈
/ D (Rn ), trái với giả thiết.
Như vậy, điều giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh.

1.4

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

Định nghĩa 1.4. Không gian S (Rn ) là tập hợp
S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ }.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), khi đó
lim xα Dβ ϕ (x) = 0

x →∞

∀α, β ∈ Zn+ .

Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi x → ∞ nhanh hơn bất kỳ
hàm có dạng như sau 1/P (x) , x ∈ Rn . Vì vậy, chúng ta gọi S (Rn ) là không gian
các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.4. Không gian C0∞ (Rn ) là không gian con của không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ).
Chứng minh. Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ).
Khi đó, ta đặt
suppϕ = K, K là tập compact trong Rn .
Với mọi x ∈
/ K , suy ra
Dβ ϕ (x) = 0

∀β ∈ Zn+ .

Do đó
sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

x∈K

∀α, β ∈ Zn+ .

Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), từ đây suy ra được C0∞ (Rn ) là không
gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Chứng minh được hoàn thành.
10

Ví dụ 1.5. Cho hàm số ϕ (x) = e−

x

2

, x ∈ Rn . Khi đó ϕ là hàm số thuộc không

gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có x
e−

x

2

2

2

= x21 + x22 + ... + x2n nên

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn ,

x ∈ Rn .

Mặt khác
2

Dβ ϕ (x) = Dβ1 e−x1
2

2

2

2

Dβ2 e−x2 ... Dβn e−xn
2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn Q (x1 , x2 , ..., xn )
= e−

x

2

∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn ,

Q (x1 , x2 , ..., xn )

trong đó Q (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm chứa các lũy thừa của x1 , x2 , ..., xn .
Do đó

xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , ..., xn )e−

x

2

∀α, β ∈ Zn+ .

Ta thấy rằng
2

lim ta e−|t| = 0

với mọi a ∈ R.

t→∞

Từ đây, suy ra
lim xα Q (x1 , x2 , ..., xn ) e−

x →∞

x

2

=0

∀α ∈ Zn+ .

Vậy nên, ta có
sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ ,

do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ).
Chứng minh được hoàn thành.

1.5

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn)

Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng f là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rn ).
Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(Rn ) được viết là f, ϕ .
Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là tập hợp tất cả các hàm suy
rộng tăng chậm.

11


Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) có thể xây dựng một
cấu trúc không gian vectơ trên Rn , nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toán
tuyến tính như sau.
• Phép cộng : với các hàm f1 , f2 ∈ S (Rn ) tổng các hàm f1 + f2 được xác

định như sau
(f1 + f2 ) : ϕ → f1 + f2 , ϕ = f1 , ϕ + f2 , ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

• Phép nhân với số thực : với hàm f ∈ S (Rn ) , λ ∈ Rn tích λf được xác định

như sau
∀ϕ ∈ S (Rn ) .

λf : ϕ → λf, ϕ = λ f, ϕ

Hơn thế, ta có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm f với
một đa thức P (x) như sau
P (x)f : ϕ → f, P ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Khi đó P (x)f ∈ S (Rn ) .
Ví dụ 1.6. Hàm δa Dirac tại a là phiếm hàm xác định như sau
δ, ϕ = ϕ (−a)

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Khi đó δa là hàm suy rộng tăng chậm.
Chứng minh. Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tại a là một phiếm hàm tuyến tính,
vì với mọi α, β ∈ R thì
δa , αϕ + βψ = (αϕ + βψ) (−a) = αϕ (−a) + βψ (−a)
= α δa , ϕ + β δa , ψ

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

n

Xét {ϕk }∞
k=1 là dãy hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S(R ) hội tụ

đến hàm ϕ ∈ S(Rn ). Do đó
lim sup |ϕk (x) − ϕ (x)| = 0

k→∞ x∈Rn

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Nên
lim |ϕk (−a) − ϕ (−a)| = 0

k→∞

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Theo định nghĩa hàm Dirac tại a, ta có
δa , ϕ = ϕ (−a)
12

ϕ ∈ S (Rn ) ,


δa , ϕk = ϕk (−a)

∀ϕ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, ....

Nên ta nhận được
∀ϕ ∈ S (Rn ) .

lim δa , ϕk = δa , ϕ

k→∞

Vậy nên δa là hàm suy rộng tăng chậm.
Chứng minh được hoàn thành.

1.6

Giá của hàm suy rộng

Trước hết, ta định nghĩa thế nào là hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhau tại
một điểm trong Rn . Cùng với đó ta sẽ định nghĩa giá của hàm suy rộng trong
không gian các hàm tăng chậm S (Rn ).
Định nghĩa 1.6. Cho x ∈ Rn , các hàm suy rộng f, g ∈ S (Rn ). Ta nói rằng
hàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈ Rn của x để
f, ϕ = g, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) , suppϕ ⊂ ω.

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộng f = g tại x ∈ Rn , nếu với mọi
lân cận mở ω ⊂ Rn của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ ω
sao cho
f, ϕ = g, ϕ .

Định nghĩa 1.7. (Giá của hàm suy rộng)
Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rn ). Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau
suppf = {x ∈ Rn : f = 0 tại x} .
Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu giá của hàm suy rộng suppf

là tập compact.
Ví dụ 1.7. Hàm Dirac δ0 là phiếm hàm xác định như sau
δ0 , ϕ = ϕ (0)

∀ϕ ∈ S (R) .

Khi đó, giá của hàm suy rộng δ0 là suppδ0 = {0}.

13


Chứng minh. Ta xét σ = 0. Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S(R) thỏa mãn
suppϕ ∈ B(σ,

|σ|
),
2

ta luôn có hàm ϕ(0) = 0. Do đó,
δ0 , ϕ = ϕ(0) = 0

∀ϕ ∈ S (R) .

Điều này dẫn đến σ ∈ suppδ0 . Ta thấy 0 ∈ suppδ0 . Vậy nên ta có
suppδ0 = {0}.
Chứng minh được hoàn thành.

1.7

Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn)

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu về đặc điểm của hàm suy rộng với giá compact
E (Rn ). Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không gian E (Rn ).

Định nghĩa 1.8. Không gian E (Rn ) là không gian tôpô tuyến tính các hàm
ϕ ∈ C ∞ (Rn ) với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕk }∞
k=1 các hàm trong không

gian C ∞ (Rn ) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) nếu
lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕ (x)| = 0

k→∞ x∈K

∀α ∈ Zn+ , K ⊂⊂ Rn .

Khi đó, ta viết E _ lim ϕk = ϕ.
k→∞

Với dãy hàm {ϕk }∞
k=1 được gọi là một dãy Cauchy trong không gian hàm cơ
bản E (Rn ) nếu
lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕl (x)| = 0

k,l→∞ x∈K

∀α ∈ Zn+ , K ⊂⊂ Rn .

Khi đó, không gian hàm cơ bản E (Rn ) là không gian đầy đủ và tập C0∞ (Rn ) là
tập trù mật trong không gian hàm cơ bản E (Rn ).
Định nghĩa 1.9. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong không gian

hàm cơ bản E (Rn ) được gọi là một hàm suy rộng xác định trên không gian hàm
cơ bản E (Rn ). Tập hợp tất cả các hàm suy rộng xác định trong không gian hàm
cơ bản E (Rn ), ký hiệu là E (Rn ) .
14


Định lý 1.2. i) Giả sử f là hàm suy rộng có giá compact. Khi đó, ta có thể
thác triển f lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ
bản E (Rn ).
ii) Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ bản E (Rn ).
Khi đó, ta có thể thu hẹp hàm f trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )
thành hàm suy rộng có giá compact.
Mệnh đề 1.2. i) Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) , ϕ ∈ C0∞ (Rn ) và
suppf ∩ suppϕ = ∅
khi đó,
f, ϕ = 0.

ii) Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) , ϕ ∈ C0∞ (Rn ) khi đó, supp (f ϕ) ⊂ suppϕ∩suppf .
Hơn nữa, các hàm suy rộng f, g ∈ E (Rn ) khi đó, supp(f + g) ⊂ suppf ∪ suppg
và
Dα f ∈ E (Rn ) ,

1.8

suppDα f ⊂ suppf.

Tích chập

Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên Rn , nhằm
xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng.

Định nghĩa 1.10. Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên Rn . Nếu tích
phân
f (x − y) g (y)dy,
Rn

xác định với hầu hết x ∈ Rn (nghĩa là tập các giá trị x ∈ Rn để tích phân trên
không tồn tại là tập có độ đo không) và hàm khả tích địa phương trên Rn biến x
thành

Rn

f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g , ký hiệu là

f ∗ g . Như vậy
(f ∗ g) (x) =

f (x − y) g (y)dy =
Rn

f (y) g (x − y)dy.
Rn

Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g . Rõ ràng trong trường hợp này
tích chập của hàm f và hàm g , và tích chập của hàm g và hàm f là như nhau.
Điều này có nghĩa là tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f .
15


Định nghĩa 1.11. (Tích chập của hàm suy rộng thuộc D (Rn ) và D(Rn )) Cho
f ∈ D (Rn ) và ϕ ∈ D(Rn ) ta xác định tích chập (f ∗ ϕ) (x) là một hàm số trên Rn

theo công thức
(f ∗ ϕ) (x) = (f (y) , ϕ (x − y)) , ∀x ∈ Rn .

Định lý 1.3. Nếu f ∈ D (Rn ) và ϕ ∈ D (Rn ) thì (f ∗ ϕ) (x) ∈ C ∞ (Rn ), hơn nữa
supp (f ∗ ϕ) ⊂ suppf + suppϕ.

1.9

Phép biến đổi Fourier

Đối tượng chính của luận văn nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổi
Fourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), không
gian các hàm tăng chậm S (Rn ), không gian hàm suy rộng với giá compact
E (Rn ).

1.9.1

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn )

Định nghĩa 1.12. Cho hàm f ∈ S (Rn ). Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là
f (ξ) hay F (f ) (ξ), là hàm được xác định bởi
F (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ f (x) dx
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.13. Ảnh Fourier ngược của hàm f ∈ S (Rn ) là hàm được xác định

bởi

∨

F −1 (f ) (x) = f (x) = (2π)−n/2

ei x,ξ f (ξ) dξ
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Bây giờ ta xét các tính chất ảnh Fourier, ảnh Fourier ngược của hàm thuộc
không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ). Bằng cách đi nghiên cứu kỹ hơn các
mệnh đề sau đây, dựa trên tài liệu (xem [1], [2], [5]).
Định lý 1.4. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn ) và
• Dα Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) ,

Dα F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ (x)) (ξ) ,

• ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (Dα ϕ (x)) (ξ) ,

ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ (x)) (ξ) .
16


Chứng minh. Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc không
gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), có
(Fϕ) (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ϕ (x) dx.

(1.2)

Rn

Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm
Dξα (Fϕ) (ξ) với mọi α ∈ Zn+ và
Dξα (Fϕ) (ξ) = Dξα

(2π)−n/2

e−i x,ξ ϕ (x) dx
Rn

= (2π)−n/2

(−ix)α e−i x,ξ ϕ (x) dx

(1.3)

Rn

= (−i)|α| (2π)−n/2

e−i x,ξ xα ϕ (x)dx
Rn

= (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) ,

do tích phân
e−i x,ξ xα ϕ (x) dx

∀ϕ ∈ S (Rn )

Rn

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn và mọi α ∈ Zn+ . Vì
e−i x,ξ xα ϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)|

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Do hàm ϕ ∈ S (Rn ), nên dẫn đến
|x|α |ϕ (x)| dx

∀α ∈ Zn+

Rn

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn .
Do đó, tồn tại đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ), dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (Rn ).
Vì thế mỗi ξ ∈ Rn , β, γ ∈ Zn+ , có
lim ξ β Dxγ e−i x,ξ ϕ (x) = 0

x →∞

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Sử dụng phép tính tích phân từng phần |β| lần cho (1.3), ta được
Dξα (Fϕ) (ξ) = ξ −β (2π)−n/2

e−i x,ξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
Rn

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Zn+ , có
ξ β Dξα (Fϕ) (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
Rn

17

(1.4)


nhận thấy rằng
e−i x,ξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx
Rn

≤ sup Dxβ (−x)α ϕ (x)

dx

(1 + x )n+1

x∈Rn

Rn

(1 + x )n+1

. (1.5)

Kết hợp (1.4) và (1.5), ta nhận được
sup ξ β Dξα Fϕ (ξ)

ξ∈Rn

≤ (2π)−n/2 sup Dxβ (−x)α ϕ (x)
x∈Rn

≤ C sup 1 + x

dx

(1 + x )n+1
Rn

2 n+1+|α|

x∈Rn

|Dγ ϕ (x)|

(1 + x )n+1

∀α, β ∈ Zn+ .

γ≤β

Do ϕ ∈ S (Rn ) nên
sup 1 + x

2 n+1+|α|

x∈Rn

|Dγ ϕ (x)| < ∞

∀α, β ∈ Zn+ .

γ≤β

Điều này dẫn đến Fϕ ∈ S (Rn ).
Từ công thức (1.4), cho α = 0, β ∈ Zn+ ta nhận được
ξ β Fϕ (ξ) = (2π)−n/2

(−iDx )β e−i x,ξ ϕ (x) dx
Rn

= (2π)−n/2
|β|

e−i x,ξ (−iDx )β ϕ (x) dx
Rn
β

= (−i) F D ϕ (x) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Vậy phép biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian các hàm
giảm nhanh S (Rn ).
Đối với phép biến đổi Fourier ngược F −1 ta chứng minh tương tự.
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.3. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó
F −1 Fϕ = FF −1 ϕ = ϕ.

Chứng minh. Với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ) theo định nghĩa, ta có
ei x,ξ
Rn

(2π)−n/2

e−i y,ξ ϕ (y) dy Fψ (ξ) dξ
Rn

ei x,ξ Fϕ (ξ) Fψ (ξ) dξ

=
Rn

ei x,ξ Fϕ (ξ) (2π)−n/2

=
Rn

e−i y,ξ ψ (y) dy
Rn

18

dξ.


Nên theo định lý Fubini, có
ϕ (y) (2π)−n/2
Rn

ei x−y,ξ Fψ (ξ) dξ dy
Rn

ψ (y) (2π)−n/2

=
Rn

ei x−y,ξ Fϕ (ξ) dξ dy,
Rn

từ đây, suy ra
ϕ (y) F −1 (Fψ) (x − y) dy =

ψ (y) F −1 (Fϕ) (x − y) dy.

Rn

(1.6)

Rn

Chọn hàm ψ (x) = (2π)−n/2 e−

x

2

/2 ,

ψε (x) = ε−n ψ

x
ε

, ε > 0, có

Fψε (ξ) = F −1 ψε (ξ) = ψε (ξ) .

(1.7)

Kết hợp (1.6) và (1.7), ta thu được
ψε (y) F −1 (Fϕ) (x − y) dy.

ϕ (y) ψε (x − y) dy =

(1.8)

Rn

Rn

Áp dụng mệnh đề
∀ϕ ∈ S (Rn ) .

S _ lim ϕ ∗ ψε = ϕ
ε→0+

Khi đó
ψ (x) dx =

ψε (x) dx = 1

Rn

Rn

và
lim

ε→0+

√
x ≥R ε

ψε (x) dx = lim+

√
x ≥R/ ε

ε→0

ψ (x) dx =0.

Do đó, cho ε → 0, thì (1.6) trở thành ϕ (x) = F −1 (Fϕ) (x).
Như vậy,
F −1 (Fϕ) = ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Do đó, F là đẳng cấu tuyến tính trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )
với ánh xạ ngược F −1 .
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.4. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ). Khi đó,
ϕ (x) Fψ (x) dx =
Rn

ψ (ξ)Fϕ (ξ) dξ
Rn

và
|ϕ (x)|2 dx =
Rn

|Fϕ (ξ)|2 dξ.
Rn

19


Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ (x) trong không

gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), có
Fψ (x) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ,
Rn

khi đó ϕ, ψ ∈ S (Rn ), ta có
ϕ (x) (2π)−n/2
Rn

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ dx =

ϕ (x) Fψ (x) dx.

Rn

(1.9)

Rn

Tương tự, ta nhận được
Fϕ (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ϕ (x) dx

∀ϕ ∈ S (Rn ) ,

Rn

với ϕ, ψ ∈ S (Rn ), nên

ψ (ξ) (2π)−n/2
Rn

e−i x,ξ ϕ (x) dx dξ =

ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ.

(1.10)

Rn

Rn

Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ) theo định lý Fubini, có
ϕ (x) (2π)−n/2
Rn

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ dx
Rn

ψ (ξ) (2π)−n/2

=

e−i x,ξ ϕ (x) dx dξ. (1.11)
Rn

Rn

Kết hợp (1.9), (1.10) và (1.11), ta đạt được

ϕ (x) Fψ (x) dx =

ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

Rn

Rn

Bằng cách cho hàm
ψ = F −1 ϕ

ta thấy rằng
F −1 ϕ = Fϕ,

ϕ = Fψ

và sử dụng (1.12), ta nhận được
|ϕ (x)|2 dx =
Rn

|Fϕ (ξ)|2 dξ
Rn

Mệnh đề được chứng minh.

20

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

(1.12)


Mệnh đề 1.5. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ). Khi đó,
F (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 Fϕ (ξ) Fψ (ξ) .
F −1 (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 F −1 ϕ (ξ) F −1 ψ (ξ) .
(2π)n/2 F (ϕ (x) ψ (x)) (ξ) = Fϕ (ξ) ∗ Fψ (ξ) .
(2π)n/2 F −1 (ϕ (x) ψ (x)) (ξ) = F −1 ϕ (ξ) ∗ F −1 ψ (ξ) .

Chứng minh. Áp dụng định nghĩa tích chập cho hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ), ta có
(ϕ ∗ ψ) (x) =

ϕ (y) ψ (x − y) dy.
Rn

Sử dụng định lý Fubini với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ), có
(2π)−n/2

e−i x,ξ

ϕ (y) ψ (x − y) dy dx

Rn

Rn

e−i y,ξ ϕ (y) (2π)−n/2

=

Rn

(2π)−n/2

e−i x−y,ξ ψ (x − y) dx dy, (1.13)
Rn

ei x,ξ

ϕ (y) ψ (x − y) dy dx

Rn

Rn

ei y,ξ ϕ (y) (2π)−n/2

=
Rn

ei x−y,ξ ψ (x − y) dx dy. (1.14)
Rn

Từ (1.13), ta có
F (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 Fϕ (ξ) Fψ (ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

Từ (1.14), ta có
F −1 (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 F −1 ϕ (ξ) F −1 ψ (ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

Điều này dẫn đến
(Fϕ ∗ Fψ) (ξ) = (2π)n/2 F F −1 (Fϕ) F −1 (Fψ) (ξ)
= (2π)n/2 F (ϕψ) (ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) ,

F −1 ϕ ∗ F −1 ψ (ξ) = (2π)n/2 F −1 F F −1 ϕ F F −1 ψ
= (2π)n/2 F −1 (ϕψ) (ξ)

Chứng minh được hoàn thành.
21

(ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .


Dưới đây luận văn sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi
Fourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Mệnh đề 1.6. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó
i) Fϕ (ξ − h) = F ei h,x ϕ (x) (ξ) ,

ξ, h ∈ Rn .

ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−i h,ξ Fϕ (ξ) ,

ξ, h ∈ Rn .

Chứng minh. i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có
Fϕ (ξ − h) = (2π)−n/2

ϕ (x)e−i ξ−h,x dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ (x)e−i ξ,x ei h,x dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ (x) ei h,x

e−i ξ,x dx

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

Rn

Do vậy, ta suy ra
Fϕ (ξ − h) = F ei h,x ϕ (x) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (x − h) với ξ, h ∈ Rn , ta
thấy rằng
F (ϕ (x − h)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (x − h)e−i ξ,x dx.

(1.15)

Rn

Đặt x − h = t hay x = t + h, thay vào (1.15), ta được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (t)e−i ξ,t+h dt
Rn

= (2π)−n/2 e−i ξ,h

ϕ (t)e−i ξ,x dt.

(1.16)

Rn

Ta lại có
(2π)−n/2 e−i ξ,h

ϕ (t)e−i ξ,x dt = e−i ξ,h Fϕ (ξ) .
Rn

Kết hợp (1.16) và (1.17), ta thu được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−i ξ,h Fϕ (ξ)

Chứng minh được hoàn thành.
22

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

(1.17)


1.9.2

Phép biến đổi Fourier trong không gian S (Rn ) và E (Rn )

Trong phần này, luận văn sẽ phát biểu tiêu chí xác định ảnh Fourier, ảnh Fourier
ngược của hàm suy rộng thuộc không gian các hàm suy rộng S (Rn ) và E (Rn ).
Sau đó, luận văn sử dụng định nghĩa được nêu trên, để vận dụng vào giải ví dụ
minh họa kèm theo.
Định nghĩa 1.14. Cho hàm f ∈ S (Rn ). Ảnh Fourier của hàm suy rộng tăng
chậm f , ký hiệu là f (hay Ff ), là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi
∀ϕ ∈ S (Rn ) .

f , ϕ = f, ϕ

Định nghĩa 1.15. Với hàm f ∈ S (Rn ). Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng
∨

tăng chậm f , ký hiệu f , hay F −1 (f ) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định
bởi

∨

∨

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

= f, ϕ

f, ϕ

Ví dụ 1.8. Cho δ0 là hàm Dirac tại điểm 0. Tìm biến đổi Fourier và biến đổi
Fourier ngược của hàm δ0 .
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng
tăng chậm trong không gian S (Rn ), ta có δ0 , ϕ = δ0 , ϕ , hơn nữa có
δ0 , ϕ = ϕ (0) = (2π)−n/2

e−ix0 ϕ(x)dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ(x)dx = (2π)−n/2 1, ϕ

∀ϕ ∈ (Rn ) .

Rn

Vậy suy ra δ0 = (2π)−n/2 1.
Sử dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm
∨

∨

trong không gian S (Rn ), ta có δ0 , ϕ = δ0 , ϕ , mà
∨

∨

δ0 , ϕ = ϕ (0) = (2π)−n/2

ei x,0 ϕ(x)dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ(x)dx = (2π)−n/2 1, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Rn
∨

Vậy dẫn đến δ0 = (2π)−n/2 1.
Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 đều là hàm
hằng (2π)−n/2 . Chứng minh được hoàn thành.
23


Định nghĩa 1.16. Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ).
Do không gian E (Rn ) ⊂ S (Rn ) nên ảnh Fourier Ff được xác định như sau
Ff : ϕ → f, Fϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Khi đó, ta biết rằng hàm suy rộng Ff có thể viết dưới dạng hàm thông
thường (2π)−n/2 fx , e−i x,ξ . Như vậy, nếu hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) thì ảnh
Fourier Ff là một hàm suy rộng từ không gian Rn vào không gian C được xác
định bởi: ξ → (2π)−n/2 fx , e−i x,ξ .
Hàm suy rộng Ff (ξ) có thể thác triển lên thành một hàm nguyên xác định trên
không gian Cn như sau ξ → (2π)−n/2 fx , e−i x,ξ , ξ ∈ Cn .

24


Chương 2
DẠNG PHỨC CỦA ĐỊNH LÝ
PALEY- WIENER
2.1

Dạng phức của Định lý Paley- Wiener cho hàm
thuộc D(Rn)

Với ζ = (a1 + ib1 , .., an + ibn ) ∈ Cn . Ta kí hiệu: ζ = (b1 , b2 , .., bn ) .
Định lý 2.1. Cho ψ : Cn → C là hàm nguyên và số dương R. Khi đó, điều kiện
cần và đủ để có một hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , suppϕ ⊂ B[0, R] sao cho ψ (ζ) = Fϕ (ζ)
là với mỗi số N > 0 đều có một số CN > 0 sao cho
|ψ (ζ)| ≤ CN (1 + ζ )−N eR

ζ

∀ζ ∈ Cn .

(2.1)

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , suppϕ ⊂ B[0, R], ψ (ζ) =
Fϕ (ζ) và N là một số dương. Ta cần chứng minh tồn tại hằng số CN > 0 thỏa

mãn đánh giá (2.1). Thật vậy, ta có, biến đổi Fourier Fϕ của hàm ϕ là một hàm
giảm nhanh, do C0∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ). Hơn nữa, ta còn có thể thác triển Fϕ lên
trên Cn
n

Fϕ : ζ → Fϕ (ζ) = (2π)− 2

e−i x,ζ ϕ (x) dx
B [0,R]

n

với x, ζ =

n

xk ζk =
k=1

n

xk ξk + i
k=1

xk η k ,

ζk = ξk + iηk .

k=1

Dễ thấy, Fϕ(ζ) là hàm khả vi vô hạn trên Cn . Ngoài ra, ta có
n

ζ α Fϕ (ζ) = (2π)− 2

e−i x,ζ (−iD)α ϕ (x) dx
Rn

25