Bài tập toán cao cấp tập 1, đại số và hình học giải tích

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên)
TẠ VÃN ĐĨNH - NGUYỄN Hổ QUỲNH

m Tập
TOẮJ\ CÃO CẤP
TẬP MỘT

ĐẠI SỐ VÀ HỈNH HỌC GIẢI TÍCH
(Tài bản lần thửchln)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


517

--------- 21/325-05
G D -0 5

Mâ số; 7K177T5-DAI


THAY LÒI N Ó I Đ À U

NAm 1996 Nhà xuấl bàn GÌHO iỉục dã xuất bàn quyẻn Toán học cao cấp Cập 1.
Dại sò vã Hình học giài tích, từ nay sẽ viếi tắi là Thcc/1- Quyên Bài tập Toán học
ca(t cấp lập 1 này. viếl lắi là BTThcc/1 Ih tiếp nối quyẻn Thcc/1, nhằm trình bày
phnn hãi giài và huóng dẫn cách gÌHÌ các bài tập đã ra ỏ quyẻn Thcc/Ỉ. Riẽng chương
IV chì lã CìTx tập các kiến ihức đã hcK ỏ irưòng phổ thổng. nên khững irình bây ò
quyên nãy. độc già có ihẻ xem các đáp sò ò quyên Thcc/1.

Chúng lỏi muốn lưu ý dộc già vé cách dánh số các liêu đé đẻ liện việc Ira cửu.
ỏ quỵẻn Thcc/I chUcing đánh sỏ bằng một síí, thí dụ chuơng n là chương thứ
hai. úếl đánh số bằng hai sổ. thi dụ tiết 3.2 là liết 2 ỏ chương 3. độc già lìm nó
ỏ chưcing 3 tiết ỉhứ 2, mục đánh sổ bằng 3 sổ, thí dụ mục 3.2.1 ià mục 1 ò ỉiếi 2
cùa chưdng 3. độc già lìm nó ỏ chưổng 3 liếi 2 mục 1. Các định nghĩa, định lí. Ihi
đụ và chú ý cũng đánh số bằng ba sổ như vậy. Riẽng các hình vẽ chi có mội sổ.
Ò quyẻn BTThcc/1 cách Jánh sổ làm Iưdng lự. ChUrtng có một sổ, tiết á> hai
sò. Riêng bài lập có hai sò. s6 đẩu chỉ chưong. số ihử hai chì sổ thú tự của bài
lập trong chương, chảng hạn bài lập 4.3 ỉà bài lập Ihứ 3 à chưring IV, độc già lim
nõ ò chưrtng 4 bàilặp
Ihú 3- Hình vẽ đánh số bầng mộl số.
Vi lài liệu nàyviết lán ủ m nẽn khống iránh khôi thiếu SÔI. chúng tỏi mong
nhận đưọc các ý kiến cùa đỏc pÀ. chúng Ifti rái càm rtn.

Hà Nội. tháng 5/Ỉ997
Tác già
TẠ VẢN DÍNH


ChưổHịỊ I

TẬP
HỘP
VÀ ÁNH XẠ*
•
•

A. Đ Ê BÀI

1.0. MỞ DẦU

l . l . D ùng các kí. hiệu đã học ở tiết 1.0 hày viết các m ệnh
sau :
DỊĩih nghỉa “ Tam giác A B C gọi là tam giác cân nếu nđ cd
hai góc bàng nhau
DỊnh lí - Nếu tam giác A B C có hai cạnh bằng nhau thỉ nđ
là tam giác cân.
Dịnh lí - Điéu kiện cấn và đủ đ ể tam giác A B C cân là nó
có hai cạnh bảng nhau

1 1 . TẬP HỌP VÀ PH ÀN TỬ'
1.2- Tỉm tâp các nghiệm của phương trỉnh hay bất phương
í r h h dưới đây và biểu diễn chúng trẽn trục số :
a)

- 4r + 3 = 0

b)

- 4x + 3 > 0

c)

- 4r + 3 ^ 0

d)

e>

- X+ 1 > 0

f» a" - X + 1 ^ 0

- X+ 1 = 0


1.3.
Tỉm tập các nghiệm của hệ phương trỉnh hay bảt phương
trinh dưới đây và biểu diễn chúng trên m ật phảng tọa độ :
a)

3x+2^ = 8
4x ~ y ^ 7

C )3 x -J = 0
d) 3x - y > 0

b)

3x - y = 2
- 6x + 2y = - 4

.e) 3x - y < 0

1.4. Trong các trường hợp sau hỏi có A = J3 không ?
a) A là tập các số thực & 0, B là tập mọi số thực > trị
tuyệt đối của chính nó ;
b) A là tập các số thực ^ 0, B là tập mọi sô thực ^ tri
tuyệt đối của chính nđ ;
c) A là tập mọi số nguyên không âm và ^ 100 có tam thừa
là một số lẻ không chia hết cho 3, B là tập các sồ nguyên

không âm và ^ 100 cd bình phương trừ 1 gỉiia hết cho 24.

1.2. CÁC PHÉP TOÁN VÊ TẬP H ộp
1.5.

A, B,

c là tập con cỏa E. Chứng minh ràng nếu

A U C C A U B v à A n C c A n B t h ì C c B .
1.6. A là
con của JE. H ảy xác định các tập sau (Ấ),
A n A, A u A, 0 , Ẽ,
1.7. A,

B là các tập con của E. Chứng

a) N ếu A c B

thì B c

minh

A.

b) Nếu A vầ B rời nhau thỉ mọi phấn tử của E sẽ thuộc
A hoặc thuộc B.
c) A c

B <=>A

d) A c B

u J3 = B «=^A

u B =E

n B =

n B =0

e) Ã u B = Ả 7Ĩ*B
f) Ã n
6

= Ã T ĩ"b

A


1,3 TÍCH ĐÈ CÁC
1.8.

Cho ^

= {1, 2. 3}, B = {2, 3,

4}.

Hày viết ratất cà các phán tử của A

X B vầ biểu diễn
:húng thành các điểm trên mật phảng tọa độ.
1.9.

Cho A = [1, 2]

{JC I 1 í X « 2}

- B = [2, 3] := {x I 2 ^ X ^

3}

Hảy biểu diễn hình học tập tích A X B trên m ặt phảng tọa độ.
1.4.

Q U A N HỆ TƯONG DƯƠNG VÀ QUAN HỆ T H Ứ T ự

1.10. Trong R, quan hệ a

6 xác định bởi
= a - 6"

có phải là q uan hệ tương đương không ? Tỉm lớp tương đương
&(a, (R).
1.11. Trong tập các số tự nhiên, các quan hệ sau cd phài là
quan hệ tư ơn g đương không ?
a) a chia hết cho b ;
b) a không nguyên tố với b.
1.12. a) Trong không gian hình học thông thường được coi
như tập các điểm M, M \

chứng minh rằng quan hệ "M và M*
ở trên một đường thẳng cùng phương với đường thảng D cho
trước” là m ộ t quan hệ tương đương. Nêu đậc điểm của các lớp
tương đương.
b)
Cùng câu hòi đó trong mặt phẳng với quan hệ "M' là ảnh
của M tron g m ột phép quay quanh tâm o cho trước*"
1.13. Trong tập các đường thảng trong không gian quan hệ
D X D ’ có phải là quan hệ tương đương không ?
1.14. TVong R^, hày chứng minh quan hệ
(x, y) ^ {x\ y ’)

^ x \ y ^ y'

là quan hệ thứ tự. Nó có phải quan hệ thứ tự toàn phán khống ?
Nếu không, hăy xác định hai cặp (x, y) và i x \ y ' ) cụ th ể không
thỏa măn CẢ ịx, y) ^ (x\ jy') lẫn { x \ y') ^ (x, y).

Jấ


1.15.
Một kì thi có hai niôn thi, đ iểm cho từ 0 đến 20
Mỗi thí sinh c ó hai điểm , X là điểm của môn thi thứ nhât. V
là điểm của niôn thi thứ hai. Trong tập các thí sinh, người ta
x ét tập các cập điểm só (JC, y) và xác định quan hệ hai ngôi
(R như sau
hoặc

X.

I

<

X-J

hoặc JC| =

vầ

^

Chứng m inh ràng íR. là m ột quan hệ thứ tự toàn phần trên
tập các thí sịnh.
1.5. A N H XẠ
1.16. Các ánh xạ f : A
B sau là đơn ánh, toàn ánh, song
ánh ? Xác định ánh xạ ngược nếu cd :

1) A = R, B = R, /*U) = JC + 7 ;
2) A = R, s = R, f(x) =

+ 2x - 3

3) A = [4, 9], B = [21, 96],

f(x) =

4) A = R , s

= R, f{x) = 3x - 2ịx\

5) A = R , B = (0, + » ) , f{x) =

;
+ 2x - 3 ■
,

;
;

6 ) A = N , B = N , f{x) = x(x + 1).
1.17. Các ánh xạ sau đây là loại ánh xạ gì ? Xác định ánh
x ạ ngược nếu có :
1) Dối xứ n g đối với một đ iểm 0 ;
2) Tịnh tiến theo vectơ a ;
3) Quay quanh tâm o một góc 6 trong mật phảng ;
4) Vị tự tâm o với ti số ^

0.

1.18. a) Cho ánh xạ / : R -♦ R xác định
f(x) =

2x

1

N ổ cd là đơn ánh ? là toàn ánh ?

Tìm ảnh f{K).

8

bởi


b) Cho ánh xạ g ; R
xãt‘ định bởi X •—» “

X

II. R* = R - {0)

Tỉni anh

”

ĩ. 19. Xét. hai ánh xa
/

R ^ R xác định bời fix) = |.v|

g :
.r -

—* R,
: = {x I .X E R, X ^
So s á n h ft>g và gi{.

0} x á c đ ị n h bỏi

1.20. Cho 4 tập hợp A, B, c , D và ba ánh xạ

f :A

B ;g : B

c -h :c

D.

Chứng minh ràng
hnỉgi^ì - ihogUxf
1.21. 1) Cho 2 tập E và F và ánh xạ / ’ : E

F.

A và B là hai tạp con của E. Chứng minh
aí A c B <=>f{A) c fiB) ;
b) f(A n Bỉ c f(A^ n f(B) ;
c) f(Á u B) = fiA) u p B i .

2) Chứng minh ràng nếu f [à đơn ánh

thì

n /?) = f(A) n f(B).
1.22. Cho 2 tập E và F và ánh xạ f : E

F.

A và tì là 2 tập con của F, chứng minh
a) A c s => /■' 'tA) c f
b)

n B) =

1.23. Cho f : E

'(B) ;

'lAl n / “^'(5 )
F ; g : F -* G

Chứng minh ràng ;
1» ■'Nếu f và g là toàn ánh thỉ
Nếu /* và

là đơn ánh thỉ

là toàn ánh ;
là đơn ánh ;

Nếu f và g ỉà song ánh thi gnf là song ánh.
2) Nếu g^^f là song íinh và f là toàn ánh thỉ f và g lã son g ánh.

9

1.24. Với mỗi bộ 4 sô nguyên a, 6, c, d sao cho a d ~ bc ta cho
ánh xạ /* :
xác định bởi
f : (X, y )

và gọi F là tập các ánh

*—♦ (ax + 6y,

cx

+

dy)

xạ như thế.

a) Chứng minh rằng f là son g ánh và /■■ * e F.
b) Chứng minh ràng nếu /■ và g € F thl fi.^g G F.
1 .6 . TẬP H ử u HẠN - TẬP DẾM

Dược -

TẬP KHÔNG DẾM DƯỢC
1.25. 1) Chứng minh rằng hỢp của hai tập hữu hạn là một
tập hữu hạn.
2) Chứng minh rầng hợp của m ột số đếm được các tập hữu
hạn là một tập- đếm được.
1.26. Cho tập E, gọi (P{E) là tập tất cả các tập con của E
Chứng minh rằng (P(E) không cù n g lực lượng với

1.7. DẠI SỐ TỔ HỢP
1.27. Cho A = {a, 6 }. Có th ể lập được bao nhiêu bàng khác
nhau có dạng
a

b

a

a

íi

b

Y

ỗ

trong đd a, fi, y, ố G A ?
1.28. a) Có bao nhiêu số có 5 chữ số ?
b) Cd bao nhiêu số cd 5 chữ sỗ m à các ohữ

đểu khác nhau ?

1.29. Tỉm só tất cà các tập con của một tập gốm n phán
tử, k ể cà tập rỗng
1.30. Cho các hoán vị p vầ Q của {1 2 3 4 } :
p = {3 4 1 2}, ộ

10

= {2 4 1 3} mà ta kí hiệu như sau :


p =

/'1 2 3 4Ì
3 4 12

Tìm PoQ,

Q =

'1 2 3 4^
2 4 13

p ' và Q“ '

1.31. Cho n điểm khác nhau trong m ặt phảng sao cho ba
đ iểm bất kỉ không thẳng hàng. Xét các đoạn thẳng nối từng
cập hai điểm khác nhau
a) Tính số các đoạn thảng đó.
b) Tính số các tam giác được tạo nên.
c) ứ n g dụng cho các trường hợp riêng :
n = 3, n = 4, n = 5.
1.32. Chứng minh
a) 1 - c;, +

b) Ì

-

+ ( - I ) P C P = ( - i y ’ cp_,

C' = 2-

/= 0

c)

Ế
/=0

= 0.

1.33. Tìm só hạng lớn nhất trong khai triển của nhị thức
(37 + 19)^*

B. BẰI GIẤI VÀ H Ư Ó N G DẪN
1 . 1 . Tkm giác cán := tam giác có hai
Ik m giác có hai cạnh bầng nhau

góc bàng nhau.

tam giác cân.

Tầni giác có hai cạnh bằng nhau <==>tam giác cân.
1.2. Bằng cách giải các phương trinh và bất phương trình
ta thu được : a) {1. 3} ; b) ( - 00, 1) u (3, + 00) ; c) [1, 3] ;

d) 0 ; e) ( - 00, +oo) ; f) 0 .

11


I.;ỉ . B ang cách giái cáo hệ phương trinh và bát phUíín^" trinh
ĩa suy ra :
a) {( 2 , 1 )} ;
b)

(ù;, v) I

X

tù y ý, V =

3.r -

2)

đưừng th ản g V =

3 .\

- 2-

c) {í.r, y) I -t tùy ý. V = 3jr} đường thẰng V = Ả
‘x
d) {(X, y ì I X tùy ý, >'

< 3 .1 }.

Các điếm ix. v) nảni dưới đường thẳng J = 3x.
e) {(x, y) I X tùy ý, J
Các điềm ix, y) nằm

> 3.t}.
trên đường thảng

= 3x

1.4. a) Tầ nhận thấy
X

1 ) x e A = > x ^ O = > x
E B, v ậ y A c B.

2)
A. vậy B

= |.t| => X E B nghỉa ỉà X G A ==>
X G B => X

^ ỊxỊ^ 0 =>

X G A,

nghĩa ìàXGB =>

c A

Do đó A = B
b) Xét X < 0. Khi đd vì X
X < 0 nên X < | x | , do đó X
c) Giả sử n

< 0 nên .r Ể Ả N hưng củng
G B. Vậy A ^ B.

G N. Chia n cho 12 ta được n = Ỉ2p

+ r

p e N, r G s ;= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. 11 }.
Do đó
n'' = i l 2 p ) ^ + 3(12p)-r + 3 (12p )r’ +

= 12k + r \ k E N.

Vỉ \ 2k là niột số nguyên chằn và chia hết cho 3 nẻn
n G A

e A

N hưng bằng cách thử trực tiếp với mọi r G s ta tháy
r e A <=>r e T := {1, 5. 7. 1 u
Vậy có 71 E .4 «=> r G T
Mật khác

^ 2{V2p)r + /•- = 24/? •+ r", /? G N

Vỉ 24/ỉ chia hết cho 24 nên
n G B < ^ r G B.

12

vi


Nhưng l»ằng cách thừ tníí' tióp vỡi mọi r G s ta iháy
r e B <^r e T
Vậy có n E B <=> r ^ T
Tóm lại n G i4 <=> r G T
nên A — B.

n E B, tức là n E A

n E

Chú ý. Theo cách giài trén thì khòng cần hạn chế n < 100.
Nhưng nếu hạn chế n ^ 100 thi cđ thè giải bài toán bàng cách
ỉiệt kê các phán tử của hai tập A và B. Tuy nhiên cách làm
này dài.
1.5.

x

E C = 5‘ X G . 4 U C C A U B = > x E i 4 U B
^ X G A hay X G B

Nếu x E A ì h ì x G A n C C A n B ^ P x S B .
Vậy có
X E

c

=> X G B, nghỉa là

c

c jB.

1.6. Dùng biểu đổ Ven ihinh 1),
ta tháy ngay
{Ầ) = A ; A n à = 0

;

A u A = E.
Ngoài ra
—

—

_

ỉlinh 1

0 - E, E = 0.

1.7. a) X G B => X G A vinếu X ^ A tức là X E Aj do đó
theo giả thiết A c B tíì có X 6 fì, điều này trái với giả thiết
.r E B. Vậy đúng là AG B=> .1
e i4, nghỉa là B c A
b) Xét
Nêu X G
X E E

X

E E Khi âó X G A hoặc X G A K Ì
u
= E).
thi .X' ỘỂ jB (vi A n B = 0>, tức ià JC E B. Vậy :
X G A hoậc X s

B khi A n B = 0 .

c) Đ ể giải bài toán này ta chứng minh ba m ệnh để sau :
(i) A c B - > A u B ^ B

(ii) A U B = B = : > Í U B = : E
13


íiii) i 4 U B = £ ' = > A c B .
Kết quà (i) rõ ràng nhờ biểu đổ Ven
Đ ể chứng minh kết luận của (ii), trước h ết ta chú ý ràng
vì A c E, B c E nên
Ă u B c E

Sau đd, xét X G E thỉ X E B hoậc X ^ _ B ; nếu X
thi
X Ệ: B — A u B nên X ỘẾ A^ Do đđ X E A. Vậy E c A u B
và từ đó suy ra kết quả (ii).
Đ ể chứn^g minh k ết luận của (iii), ta xét ^ E A. Ta có
X E E = A u s . N h ư n g vì X E A nên X Ề A. Vậy X G Bj
nghĩa ìầ : X Gi A ^ X G B. Đo đó A c B.
d) D ể giải bài toán này ta chứng minh ba

m ệnh để sau

:

(i)ACB=>AnB = A
(ii)

A n B = A -> A D B ^ 0

(iii) A D B = 0 = > A = B
K ết quả (i) rõ ràng nhờ sơ đố Ven.
Đ ể ch ứ n g minh kết luận của (ii), trước hết ta xét X G A
Ta cd
x

S A - A C \ B ^

x

E B = ^

x

ỆB.

Vậy A n B = 0 .
Đ ể chứng
minh kết luận của (iii) ta xét X G A. Khi đó vì
A n JB = 0
nên X Ệ: B. Do đó X E B. Vậy : X e i4 => X e B,
nghỉa là A c B.
e) X G A U J 3 = > x € A

hoặc X E. B.

N ếu x E Ã t h ỉ x ^ i 4 = > x ộ É A n B .
N ếu X E B thỉ X ^ B

X ^ A r\ B

Vậy :
xGA

U B ^ x ^ A r\B = > x E A r)

Ngược lại
X G Ă n B ^ X ^ A n B

14

B

Neu

X G Á thi X Ệ

ỉỉ ^

X

^ B => X G A V

B.

Nếu

.X G B thì X Ể

A =>

.V e A => X E A u

fí.

Nếu

X Ệ. A và X Ệ:

B thi

X G A và X s

Vậy

:X E Ã~7TỖ => X e

B => X G A u B

à u ỗ.

Tóm lại :
à u B = A n~B
f ) x G A n B = > x G Á \ / k x E B

X E A => X Ệ. A
X €i B ^

X Ệ B

Vậy X Ệ. A u fí. Do đó X G A u J5,

Ấ n ẽ c X u B.
Ngược lại
x

GA UB = > x Ể A u B = í ^ x Ể A v à j c Ể B .
X ^ A ==> X G A
X Ệ.

B ^

X

G B.

Vậy
x G Ã U B = ^ x E A v à x G 5
nghĩa ì ầ

X

G A n B. Do đổ
A

lT ỗ c ã

n

b

Vậy có kết luận của f).
1.8. {(1, 2), <2, 2), (3, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3),
(3. 4)}.
Các điểm có tọa độ như trên.
1.9. Hỉnh chữ nhật cd 4 đinh ià (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3).
1.10. Theo đẩu bài, với a € R,
a í R b c=>a^ - 6^ = a - 6

E R ta cd quan hệ
(11)

15


l^u;ỉn hệ

này có tính phán xạ
~

(ỉuan hệ
ta suy ra

này

(1

íR.

0

vỉ ta luôn i-n

~ n - a

tinh đối xứng vị từ a ÌR b tức là

C‘ó

a 6'-

= a
- b - a túc \k b {fìa.

(ịuan hê này có tinh bác câu vi

từ

a íR btúc Ih
- b*' = o b ơ ỉ c tức là 6 ^ = 6“

b,
c,

ta sưy ra
~

~ a ~ c tức là a !^ c.

Vây quan hệ (1.1) là quan hệ tương đương.
B:ìy giờ xét lớp tương đương íf(a, ơò
sao cho b íR a, tức là

Nd gốm những ò G R

6^ - a ^ = 6 " a
hay
ib - a)[b" + f7Ò 4 a- - 1] = 0
Vậy lớp tương đương &(a. í^ ) trước hết gốm phàn tử 6 = o.
sau đó là CÁC phấn tử h sao cho

6^ + a / ) + a “ - l

= 0.

Đó lã niỏt phương trinh bậc hai đối với h.
Do đõ quan hệ cho ở đáu bài là quan hệ tương đương và
lớp tương đương &(a,
xác định bởi :
Nếu |« | < 2/)T3 và |a | Tí l/)f3 thi Ífía, ‘R ) =
{a và
nghiệm của phương trinh .V + GA + a
- 1 = 0 }.
Nếu a = 2 ' ^ thỉ £ (a , ÍR) = {ơ
trình trón)

và

Nếu |ơ |

> 2/>T3 thì

Nếu |a |

= l/>r3 thi Ífía. íR) — {o. - 2 (7 i

hai

nghiệm kép của phương

í^) = {ơ}.

1 .1 1 .
aì Quan hệ này không đối xứng vi khi a chia hêí cho
b thi noi chung 6 khòng chia hết cho a, vậy quan hộ này khòĩỉg
phải là quan hệ tương đương
16


b) Quan hệ này không bác cáu vì khi a không nguyên tố với
6, b không nguyên tố với c thì chưa hẳn là a không nguyên tố
với c. Thí dụ :
a = 5, 6 = 15, c = 3.
Vậy quan hệ này không phải ỉà quan hệ tương đương.
1.12. a) Quan hệ này rõ ràng có tính phản xạ, đối xứng và
bác cấu, cho nên nd là niột quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương
đương là một đường thảng cùng phương với D. Tập các lớp
tương đương gốm tất cả các đường thẳng cùng phương với D.
b) Quan hệ này rõ ràng cd tính phản xạ, đối xứng và bác
cấu, cho nên nđ là mật quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương
đương là một đường tròn tâm 0 . Tập các lớp tương đương là
tất cả các đường tròn tâm o .
1.13. Quan hệ này không phản xạ vì D không 1 D, không
bác cẩu vì Z) X D \ D* 1 ỡ ” thì chưa chác D X D*\ Vậy quan
hệ này không phải là quan hệ tương đương.
1.14. Xét các cặp (x, j ) , ị x\ y*), i x' \ y ’') của R.
Yì X = X, y

y nên

(x, y) = ix, y)

nghỉa là quan hệ cd tỉnh phàn
Nếu

xạ.

(x, y) ^ ị x \ y') tức là X ^

^ y*

( x \ y' ) ^ (x, y ) tức là x' ^ X, y ' ^ y

thi X = x \ y = ỵ ' tức lả
(x, ỵ) = ( x \ y*)

nghĩa là quan hệ có tính phản
Nếu

đối xứng.

(x, y) < {x \ ỵ ’) tức là X ^ x \
{x\

y ^y’

^ (x ”, y") tức làx* ^ x", y' ^ y ”

thi
X « x'\ y ^ y ”
tức là
u, y) í

nghia là quan hệ có tính bác
2-BT.TCC.T1

GlA HÀ NỘ!
ỴÃM THÒNG HN IHƯ VIỆN

ị v - C ữ/ 027193


Vậy quan hệ đ ang xét là một quan hệ thứ tự
N h ư n g nd không phải là quan hệ thứ tự toàn phẩn trên
vỉ chẳng hạn hai cập ( 1 , 2 ) và ( 2 , 1 ) không so sánh được
không có ( 1 , 2 ) ^ ( 2 ,1 ) củng không có ( 2 , 1 ) ^
( 1 , 2 ).

:

1.15. Xét ba thí sinh có ba cặp điểm U p y^)y {x^, ^ 2))
Vì Xj = Xj, y ị = 3»] nên (jCj, J j) ơ i (X|, J |) . Vậy quan hệ (R
CÓ tính phản xạ.
Bây giờ đ ể chứng minh tính phản đối xứng ta giả sử :
(Xj, y j )

( R ( x ^ , 3^2 )

(Xj, ^j)

(R (.X2 , y 2 ) «=>hoặc Xị < %2 , hoặc Xj =

và

(x^, y^ )

( R (JCj, y | ) .

J | í >'2

ịx 2 , 3'2> (fỉ (^Ị, J |) <=»hoậc Xj < JCj, hoặc
Như vậy,
Khi đó
Vậy từ
(Xj, yj) =

$ X2 và I 2 í

Xj, do đd

^ 3'i
= X2 -

lại có y ị « y 2 và >'2 « yj, do đó jyj =

y2-

(x,, Jj) ơ ĩ (X2 , y 2 ) và (X2 , y j ) ^ U j, ^ị). ta suy
ịx 2 , y 2 )- Đó là tính phản đối xứng của
íR.

rịi

Bây giờ đến tính bác cầu.
Giả sử (Xp jyj)
(Xj,

>'1

^

^ ị)

ơ ỉ {X2, y 2 > và (^2, ^2^

Ỉ R ( X 2,

n g h ỉa

là

Xị

« X 2,

^ >'3^'
và

= X2 t h ỉ

n ế u X|

>'2 -

{X2 , 3'2^ ^ (^3! >'3)nghĩa là Xj ^ X3, và nếu X2 = X3 thỉ
yi

^ yl
Như vậy, từ (Xp ^ ị) í R { x 2 , y 2 ) và (xị, ^ 2^ ^ ( ^ 3’ ^ 3 ^
Xj ^

v à n ếu X| =

th i í ị

^ 2 < X3 =*►X,

■

X3

= ^2 ~ ^3

-^1 ^ y~’

có J 2 ^ ỳ v ''Ạy có (Xj, y ,) ơ ỉ (X3, y j ) . Do đó
(Xị, J j )

(x^, y ^ )

và

( ^ 2, ^ 2) ^

Ji)

^

( ^ 3 . .yì)-

Đó là tính bác cầu của ỈR.
Vậy ( R là một quan hệ thứ tự trong tập các thí sinh

18


Bây giờ muốn
biết nó
có
phải làmột
quan hệ thứ tự toàn
phán hay không ta xét hai thí sinh bất kì với các cặp
điểm
I x ,,
và ( ^ 2, r p .
Trước hết ta so sánh Xj và x^.
< X 2 th ỉ ÍXp y j ) ơ ì

N ếu

Nếu

Y^)

thỉ (X„ Y 2) (R íXị, Vj)
= X2

Nếu

s á n h tiế p Kị với y 2

Nếu

^

th ỉ (Xj, y p ơ i (X.,

>"2^

Nếu Fj

>

thì (X., y ,) ơ ỉ (Xj,

y j)

Vậy hai thí sinh bất kì bao giờ cũng so sánh được. Do đó
quan hệ thứ tự đang xét là một quan hệ thứ tự
toàn phần.
1.16. 1) Xét

phương trinh ff'xj

X -¥ 7 - y,

- y G B tức là
X e. A

Với y G B cho trước nổ có không quá một nghiệm, vậy f là
đơn ánh.
Với mọi >■ E B nó luôn có nghiệm, vậy f là toàn ánh.
Do đó f là song ánh.
Ánh xạ ngược là X = /"^(y) =

- 7.

2) Xét phương trỉnh f(X) ~ ỵ G B tức là
x^+2x-3=:3/,

x G A

Đâv là một phương trinh bậc hai đối với X
+ 2x - (3 +

= 0

Cd biệt số
A’ = 1 + (3 + v) = 4 + y.
Nếu
nghiệm

4 + y > u tức là nếu ỵ > - 4 thì phương trình cứ
khác nhau. Vậy f không phải đơn

ánh.

hai

Nếu 4 + y < 0 tức là nếu y < -4 thi phương trìnỉ; không
có nghiệm thực. Vậy f không phải toàn ánh.
Do đd f khống phải song ánh, không có ánh xạ ngược.

19


3) Xét hàm s ố y = f(xj = X" + 2x " 3. Nd có bảng biến thiên
X

y’ ’
ỵ

- 00

"

4

-1

0

~

9

+

+

+00

+

+<x>

96

* “*■*

21
Khi X tần g từ 4 đến 9 thi y tầng liên tụ c từ 21 đến 96. Vậy
phương tiỉn h

x 2 + 2 x - 3 = y € [21, 96] = B
CÓ

m ột và chỉ một nghiệm
JC = -1 + >[4 + y E {4, 9] = A.

Do đd ánh xạ vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh, nên là song
ánh và có ánh xạ ngược là
/*-l(y) = - 1 +
4) Xét hàm số J = f(x) = 3x - 2 \ x \ . N ổ có th ể biểu diễn bởi
_ | 3 x - 2x = X

khi X 3= 0

y ~ ‘ 3x + 2x = 5x

k h i i « 0

và cđ bàng biến thiên
X

00

y

00

0
*

+00

0

ỵ = 5x

+00

*

y = X

Khi X tă n g từ “ 00 đến +00 thì y tâng liên tục từ -00 đến + 00.
Vậy phương trỉnh
f(x) = >' e ( - 00, +oo) = B
có m ột và chỉ một nghiệm X G (" 00, -f-oo) = A.
Do đó f vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh nên là song ánh
và cd ánh xạ ngược
:k.
r '(y ) =

20

y ^ 0

\y,y

< 0


5) Xét hàm số 3^ = f(x) =

^ * = e.è^.

Nó có bảng biến thiẻn
X

-00

+00
■4-00

0^

Khi X tăng từ -0 0 đến +00 thị y tâng liên tục từ 0* đến + 00.
Vậy phương trình
f(x) = y e (0, + 00) = B
có một và chỉ m ột nghiệm X E ( - 00, -*"<») = A.
Do đó f vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh, nên là song ánh
và có ánh xạ ngược thu được bầng cách giải phương trình
e.e^ = y
tức là
r^ iy )

= i n j' - 1.

6 ) Phương trình f(x) = y viết
x(jc + 1) = y E B = N.
Xem X là m ột ấn số thực*thỉ khi A trinh cd nghiệm thực

1 +

> 0 phương

- 1 ± >TĨ T 4 > '
^ ~

2

Khi 1 4- 4y là m ộ t bỉnh phương của m ột số nguyên lẻ như
khi y

=

6,

12,

v .v ...

thì

chỉ

có

m ột

g iá

trị X =

(-1

H-

+ Vl + 4y)/2 là số nguyên ^ 0. Khi 1 + 4 ^ không phải là bình
phương của một số nguyên lẻ như khi 3^ = 3, 5 v.v... thì X
không phải lả sổ nguyên ^ 0 .
Vậy f là đơn ánh, không phài là toàn ánh, nôn khổng phải
là song ánh, không có ánh xạ ngược.

1.17. Tất cả đéu là song ánh

1 ) Ánh xạ ngược trùng với nó.
2 ) Ánh xạ ngược là tịnh tiến theo vectơ —a.
21


3) Ánh xạ ngược là quay quanh tâm o một góc ~0
T

.1

4) Anh xạ ngược là vị tự tâm o với tỉ sỏ ”
1.18. a) Xét hàm sồ
Zr
y

ftx )

=

=

^

CÓ đạo h à m
•

=

^

(1 +JC‘ )^

và có bảng biến thiên
X

-0 0

;

-1

-

+1

0

+00

0

+

0

-

1

. -1

-0

Dựa vào bảng biến thién ta thấy phương trình
2x
_
f(x) = 3- tức là — —^ = 3' e R
1 +x-

có tới hai nghiệm khác nhau khi - 1
n g h iệ m n à o khi J < - 1 hay V >

< J

<

1 và không có

1.

Vậy f không phải đơn ánh, không phải toàn ánh, đống thời
^ ( R ) = [ - 1 , 1].

b) Tầ có X G R* => Hx G R và
(/■<^)(x) = flg{x)] = / ' ( - ] = ---- — — ' [x /
1 +(l/:r)=
Vậy

2x

= í(.r)

= f.

1.19. N ếu X e R , thì
ự,(g,<P(x) = gự(x)] = ể ' UI > = VTír = \Tr
22


rghỉa là khi

X

G

N hưng khi X < 0 thì
ig n p ix

= \íĩx

Ôn (f(yg) không xác địnhVậy fog ^ gof.
1.20. Xét X G A tíi có
[ ho i g o p ỵ x) = hịigoPix)

= h[gự{xm

[{h(^g\>fìix) = ihog)Ự^xj] = hịgựĩxj]]
Vậy ho(goP ~ (àog)of.

1.21. 1) a) Ta phải chứng minh

1) A c ổ
ffAj c frB),
2) f(Aj c r B j => A c B.
C h ứ ng m i n h 1) : y € f(A) thì tổn tại X G A đ ể f(x) = y ;
: G A => X € B ('vì A c B) ; vậy tốn tại X E J3 đ ể f(x) — y ;
io đó
G f(B). Vậy f(A) c ffB).

Chứng minh 2) : Xét X e A thì f(x) - y E. f(A) ; nhưng
'(A) c f(B) nên f(xỳ - y E: f(Bj, ta suy ra X G jB. Vậy A = B
b) Giả sử y G f(A n B) thị 3jc G A n jB đ ể f(x) = y.
Khi đó :
vỉ X E A nên f(xj = y G f(A)
lổng thời
vì X E B nên f(x) = y G f(B).
Do đó
f(x) =

e f(A) n f(B).

Vậy
f{A n B) c f(A) n ffB).
c) Xét y € f(A u B) khi đó 3x e i4 u B đ ể f(xj = ỵ.
Khi đó, nếu X G A thl f(xj - ỵ s f(A) \
nếu X e s thi f(x) = y G f(B) ;

23

nghĩa là ta luôn có
f(x) = y e f(A) u f(B).
Vậy
f(A u B) c f(A) u f(B)
Ngược lại, xét y E f(A) u f(Bj. Khi đó
nếu y

E f(A) thì 3x E A để f(xj

= y ;

nếu y

E f(B) thì 3x s B để ffx)

= y ;

nghỉa là ta luôn cd
3x E A u B đ ể f(x) = y.
Vậy
f(x) ^ y G f { A U B).
Do đó
f(A) u f(B) c f(A u B).
K ết quả là
f{A u ổ ) = f(A) u f(B)

2 ) ở câu 1 . b) ta đã chứng minh
f(A n B) c f(A) n f{B).
Bây giờ giả sử f là đơn ánh.

Xét y G f(A) n /ĨB). Khi đd
y G f(A) tức là 3jCj E A để fix^) =
đổng thời
y s f{B) tức là 3 X2 G B đ ể f { x ^ - y.
Vỉ f là đơn ánh nên ta suy ra
Vậy 3x = Xj —
Do đó

e f(A

e A n B đ ể f{x) = y .
n B), nghỉa là
f{A) n f{B) c f{A n

Kết quả lá : ]khi f đơn ánh

B).

ta cd

/XA n B) = f{A) n f(B).

24