Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mai Nam Phong

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mai Nam Phong

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Vũ Văn Khương
2. PGS.TS. Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2016


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Vũ Văn Khương và PGS. TS. Đặng Đình Châu.
Các kết quả được công bố trong 05 bài báo, trong đó có 04 bài báo viết
chung đã được đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án. Các kết quả
được phát biểu trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công
bố trong các công trình của tác giả nào khác.

Tác giả

Mai Nam Phong

1


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tâm và
quý báu của PGS. TS. Vũ Văn Khương và PGS. TS. Đặng Đình Châu.
Các Thầy đã dành nhiều công sức, dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên
cứu khoa học, động viên khích lệ tác giả vượt lên những khó khăn trong
học tập và cuộc sống. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc
nhất đối với các Thầy.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả
luôn nhận được sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của các Thầy, Cô trong
bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các

Thầy, Cô.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng
Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường
Đại học KHTN Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình
tác giả học tập và hoàn thành luận án này.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ
nhiệm Khoa Khoa học Cơ bản và các đồng nghiệp trong Bộ môn Giải
tích, Trường Đại học Giao thông Vận tải đã hết sức quan tâm, động viên
và giúp đỡ, giúp cho tác giả có thời gian và điều kiện để chuyên tâm
nghiên cứu khoa học.
Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, động viên,
giúp đỡ của những người thân trong gia đình. Tác giả xin trân trọng kính
tặng Gia đình thân yêu món quà tinh thần này với lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc.

2


MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
2

Mục lục

3

Các ký hiệu

5

Lời mở đầu

6

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1 Phương trình sai phân cấp cao . . .
1.1.1 Các định nghĩa về ổn định .
1.1.2 Ổn định tuyến tính hóa . .
1.1.3 Các khái niệm về dao động .
1.2 Hệ phương trình sai phân . . . . .
1.2.1 Các định nghĩa về ổn định .
1.2.2

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Một số kết quả về ổn định của hệ hai phương trình sai phân 18

Chương 2. Ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ
2.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hai dạng phương trình sai phân
hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

12
12
12
14
15
16

16

2.1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.4) . . .
2.1.3 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.5) . . .
Tính ổn định của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ
2.2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng

3

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

20
20
20
22
27
33
33
35


Chương 3. Hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến
3.1

3.2

50

Tính bị chặn và ổn định của một dạng hệ phương trình sai phân
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (3.3) . . . . . . . . . .

3.1.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính bị chặn, tính ổn định và tốc độ hội tụ nghiệm của một dạng
hệ phương trình sai phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5

Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dáng điệu toàn cục của nghiệm hệ phương
Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . .
Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . .

. . .
trình
. . .
. . .
. . .

. .
sai
. .
. .
. .

. . .
phân
. . .

. . .
. . .

.
.
.
.
.

50
50
52
65
71
72
73
76
82
86

Danh mục các công trình của tác giả có liên quan tới luận án

94

Tài liệu tham khảo

95

4

CÁC KÝ HIỆU
R

tập số thực

Rk

không gian vectơ thực k−chiều

N

tập số tự nhiên

x

chuẩn của vectơ x

xT

chuyển vị của vectơ x ∈ Rk

∅

tập rỗng

x∈A

phần tử x thuộc tập A

x∈
/A

phần tử x không thuộc tập A

A ⊂ B (B ⊃ A)

tập A là con của tập B

A

tập A không là con của tập B

B

A∩B

giao của hai tập A và B

A∪B

hợp của hai tập A và B

A := B

A được định nghĩa bằng B

∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }n

lim supxn

giới hạn trên của dãy số {xn }n

n→∞

n→∞

tr. 5

trang 5

✷

kết thúc chứng minh

5


LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình sai phân chiếm một vị trí quan trọng trong hệ động lực rời
rạc. Các phương trình sai phân xuất hiện một cách tự nhiên như các mô
hình rời rạc hay nghiệm bằng số của các phương trình vi phân-mô hình
của nhiều hiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh học, vật lý, kỹ
thuật, kinh tế,...
Việc nghiên cứu định tính các phương trình và hệ phương trình sai
phân phi tuyến đã được tiến hành từ rất lâu, song nó được phát triển
mạnh mẽ từ những năm 90 của thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế
kỷ XXI. Ở nước ngoài, có thể đến các nghiên cứu của R.P. Agarwal [1],
G. Ladas, A.M. Amleh, E.A. Grove, D.A. Georgiou, R.C. DeVault, S.W.
Schultz [3, 17, 18, 33, 40, 41], L. Berg [6, 7, 8, 9, 12], E.M. Elsayed [21, 22,
23], M. R. S Kulenovi´c, O. Merino, M. Nurkanovi´c, Z. Nurkanovi´c [36, 37,
38, 39], G. Papaschinopoluos, M.A. Radin, C.J. Schinas, G. Stefanidou
[50, 53], X. Li, D. Zhu [43, 44, 45, 46], S. Stevi´c [54, 55, 56, 57, 58, 59,
ˇ
60, 61], S. Stevi´c, J. Diblík, B. Iriˇcanin, Z. Smarda
[62, 63], .... Ở trong
nước, các kết quả về phương trình sai phân phi tuyến có thể xem trong
các nghiên cứu của Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Sinh Bảy [4, 5, 51], Đặng Vũ
Giang, Đinh Công Hướng [24, 25, 28], Vũ Văn Khương [30, 31, 32].
Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức là nghiên cứu các tính
chất và dáng điệu các nghiệm của chúng mà không cần xác định công
thức nghiệm tường minh. Như chúng ta đã biết, chỉ một số lớp phương
trình có dạng đặc biệt mới có thể tìm được công thức nghiệm tường minh
của nó. Do đó, nói chung việc xác định công thức nghiệm của một dạng
6


phương trình sai phân nào đó thường gặp khó khăn, hoặc nếu xác định
được thì công thức thường ở dạng phức tạp, dẫn đến những hạn chế nhất

định trong việc nghiên cứu tính chất của chúng. Một số vấn đề tiêu biểu
mà lý thuyết định tính phương trình sai phân quan tâm là: tính dao động,
tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính bị chặn, khoảng
bất biến của nghiệm,...
Trong các nghiên cứu về phương trình sai phân phi tuyến thì nghiên
cứu về phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn hơn 1 luôn đóng vai trò rất
quan trọng, vì một số nguồn gốc cho sự phát triển của lý thuyết cơ bản
về dáng điệu toàn cục các phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt
nguồn từ các kết quả của phương trình sai phân hữu tỷ.
Một số quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng trong thực tế được
rời rạc hóa dưới dạng phương trình hoặc hệ phương sai phân hữu tỷ, có
thể kể đến một số mô hình sau đây:
• Mô hình sinh trưởng của một loại cây hàng năm, xem trong [33]:
xn+1 =

λxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
(1 + axn )p + bλxn

(1)

trong đó các tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban
đầu x0 là số thực dương.
• Mô hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass, xem trong [33]:
xn+1 = αxn +

β

,
xpn−k

n = 0, 1, 2, . . . ,

(2)

trong đó α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầu
x−k , . . . , x0 ∈ [0, ∞).
• Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R.M. May

7


đề xuất, xem trong [36]:
αxn
,
1 + βyn
n = 0, 1, 2, . . . ,
βxn yn
=
,
1 + βyn

xn+1 =
yn+1

(3)

trong đó α, β ∈ (0, ∞) và giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương.
Năm 2001, trong cuốn chuyên khảo [35], M. R. S. Kulenovi´c và G. Ladas
đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính bị chặn, tính ổn định toàn

cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai có
dạng
xn+1 =

α + βxn + γxn−1
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Bxn + Cxn−1

(4)

trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1 , x0
là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.
Trong một số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở về các dạng
phương trình đã nhận được sự quan tâm của rất nhiều các nhà nghiên
cứu:
• Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

α + βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Bxn

(5)

với tên gọi Phương trình sai phân Riccati, phương trình này đã được
nghiên cứu trong [1, 19, 33].
• Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

βxn

, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Cxn−1

(6)

có tên là Phương trình sai phân Pielou, các tính chất của nghiệm
đã được trình bày trong [33].
8


• Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

α + βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
Cxn−1

(7)

với tên gọi Phương trình sai phân Lyness, phương trình này đã được
nghiên cứu trong [33].
Năm 2008, trong [14], E. Camouzis và G. Ladas đã trình bày những kết
quả về tính bị chặn của nghiệm, tính ổn định của điểm cân bằng và tính
tuần hoàn của nghiệm lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp ba có dạng
xn+1 =

α + βxn + γxn−1 + δxn−2
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Bxn + Cxn−1 + Dxn−2

(8)

trong đó các tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D và các giá trị ban đầu
x−1 , x0 là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.
Trong thời gian gần đây, ngoài những nghiên cứu về các dạng phương
trình thuộc lớp các phương trình sai phân hữu tỷ (4) và (8) còn có rất
nhiều các nghiên cứu về các dạng khác nhau của phương trình sai phân
hữu tỷ, có thể kể đến các nghiên cứu của L. Berg và S. Stevi´c [9, 12], K.
Berenhaut và S. Stevi´c [10, 11], S. Stevi´c [54, 55], X. Li [43, 44],. . . .
Một dạng phương trình sai phân phi tuyến khác cũng thu hút được
sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học, đó là phương trình chứa biểu
thức dạng mũ ở vế phải, các phương trình dạng này thường được mô tả
như mô hình dân số của một loài, có thể kể đến một số mô hình tiêu biểu
sau:
• Mô hình dân số của loài bọ cánh cứng, xem trong [34]:
xn+1 = axn + bxn−2 e−c1 xn −c2 xn−2 , n = 0, 1, 2, . . . ,

(9)

trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ (0, ∞), c1 , c2 ∈ [0, ∞), c1 + c2 > 0 và các
giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 là các số thực dương.
9


• Mô hình dân số của loài muỗi, xem trong [26]:
xn+1 = (axn + bxn−1 e−xn−1 )e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,

(10)

trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ [0, ∞), các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số

thực dương.
• Mô hình loài ruồi xanh do Nicholson đề xuất, xem trong [33]:
xn+1 = (1 − α)xn + βxn−k e−γxn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,

(11)

trong đó α ∈ (0, 1), β ∈ (α, ∞), γ ∈ (0, ∞), k là số nguyên dương,
các giá trị ban đầu x−k , . . . , x−1 ∈ [0, ∞), x0 ∈ (0, ∞).
Có rất nhiều các phương trình và hệ phương trình sai phân có chứa
dạng mũ đã được các tác giả nghiên cứu, có thể xem trong các tài liệu
[20, 33, 49, 50, 53] và các trích dẫn trong đó.
Tiếp tục hướng nghiên cứu về các dạng phương trình và hệ phương
trình sai phân phi tuyến trong thời gian gần đây, trong luận án này, chúng
tôi đề xuất nghiên cứu các dạng phương trình có tính chất tổng quát hơn,
hoặc các dạng tương tự, hoặc các dạng mới nhằm góp phần làm phong
phú thêm các kết quả về lý thuyết định tính các phương trình sai phân.
Cụ thể chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn đề sau:
1. Xây dựng dạng tiệm cận của nghiệm dương không dao động của
hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ.
2. Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng một dạng phương
trình sai phân hữu tỷ.
3. Tính bị chặn, khoảng bất biến của nghiệm và tính ổn định của
nghiệm cân bằng dương của hai dạng hệ hai phương trình sai phân
phi tuyến.
10


4. Tốc độ hội tụ nghiệm của một dạng hệ hai phương trình sai phân
phi tuyến.
Cấu trúc của luận án: ngoài các phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục

lục, Lời mở đầu, Kết luận, Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo,
Danh mục các công trình và Tài liệu tham khảo, luận án được bố cục
gồm 03 chương:
Chương 1. Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản sẽ được dùng
trong trong các chương tiếp theo của luận án.
Chương 2. Dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm của
L. Berg và S. Stevi´c, tác giả xây dựng dạng tiệm cận nghiệm cho hai dạng
phương trình sai phân hữu tỷ. Bằng việc phân tích các nửa chu kỳ dương
và nửa chu kỳ âm của nghiệm và tính chất các dãy con của nghiệm phụ
thuộc vào các giá trị ban đầu, tác giả đã chứng minh được tính ổn định
tiệm cận toàn cục của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ.
Chương 3. Tác giả nghiên cứu tính bị chặn, khoảng bất biến của nghiệm,
tính ổn định của điểm cân bằng dương đối với hai dạng hệ hai phương
trình sai phân phi tuyến và nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm tới điểm
cân bằng dương của một dạng hệ hai phương trình sai phân phi tuyến.
Tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho tính ổn định của điểm
cân bằng.
Nội dung chính của luận án được công bố trong các công trình [1-5]
của tác giả và thầy hướng dẫn.

Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015
Người thực hiện

Mai Nam Phong
11


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và các kết quả
đã được chứng minh để thuận tiện cho việc theo dõi các nội dung tiếp
theo của luận án.

1.1

Phương trình sai phân cấp cao

1.1.1

Các định nghĩa về ổn định

Phương trình sai phân cấp (k + 1) là phương trình có dạng
xn+1 = F (xn , xn−1 , ..., xn−k ), n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.1)

trong đó F là hàm số liên tục từ J k+1 vào J. Tập J thường là một khoảng
của tập số thực, hoặc là hợp của các khoảng, hoặc là tập rời rạc như tập
các số nguyên Z.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn }∞
n=−k thỏa mãn
phương trình (1.1) với mọi n ≥ 0. Nếu ta cho một tập (k + 1) các giá trị
ban đầu
x−k , x−k+1 , . . . , x0 ∈ J,

12


khi đó

x1 = F (x0 , x1 , . . . , x−k ),
x2 = F (x1 , x2 , . . . , x−k+1 ),
..
.
dó đó nghiệm của phương trình (1.1) là tồn tại và duy nhất xác định bởi
(k + 1) giá trị ban đầu.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k được
gọi là nghiệm cân bằng. Nếu xn = x¯ với mọi n ≥ −k là một nghiệm cân
bằng của phương trình (1.1) thì x¯ được gọi là điểm cân bằng của phương
trình (1.1).
Định nghĩa 1.1. (xem [14])
i) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định địa
phương nếu với mỗi

> 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu {xn }∞
n=−k là

một nghiệm của phương trình (1.1) với
|x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < δ,
thì
|xn − x¯| < , với mọi n ≥ 0.
ii) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là hút địa phương
nếu tồn tại γ > 0 sao cho {xn }∞
n=−k là một nghiệm của phương trình
(1.1) thỏa mãn điều kiện
|x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < γ,
thì
lim xn = x¯.

n→∞

13


iii) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm
cận địa phương nếu x¯ là ổn định địa phương và hút địa phương.
iv) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là hút toàn cục nếu
mọi nghiệm {xn }∞
n=−k của phương trình (1.1) ta đều có
lim xn = x¯.

n→∞

v) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm
cận toàn cục nếu x¯ là ổn định địa phương và hút toàn cục.
vi) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là không ổn định
nếu x¯ không ổn định địa phương.

1.1.2

Ổn định tuyến tính hóa

Giả sử hàm số F khả vi liên tục trong một lân cận mở nào đó của điểm
cân bằng x¯. Đặt
qi =

∂F
(¯
x, x¯, ..., x¯), với i = 0, 1, . . . , k,
∂ui

là các đạo hàm riêng của hàm F (u0 , u1 , ..., uk ) tương ứng theo ui lấy giá
trị tại điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1). Khi đó phương trình
yn+1 = q0 yn + q1 yn−1 + ... + qk yn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.2)

được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) xung
quanh điểm cân bằng x¯, và phương trình
λk+1 − q0 λk − q1 λk−1 − ... − qk−1 λ − qk = 0,

(1.3)

được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình (1.2).
Kết quả sau đây được biết đến với tên gọi "Định lý ổn định tuyến
14


tính hóa" đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính ổn định địa
phương của điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1), có thể xem trong
[14], [19].
Định lý 1.1. Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định trong một lân
cận mở nào đó của x¯. Khi đó các phát biểu sau là đúng:
i) Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.3) có môđun bé hơn 1
thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là ổn định tiệm cận địa
phương.
ii) Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.3) có môđun lớn hơn
1 thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là không ổn định.
Kết quả sau đây sẽ cho ta điều kiện đủ để tất cả các nghiệm của
phương trình với bậc tùy ý nằm trong đĩa đơn vị.

Định lý 1.2. Giả sử q0 , q1 , q2 , ..., qk là các số thực sao cho
|q0 | + |q1 | + ... + |qk | < 1,
khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.3) nằm trong đĩa đơn vị.

1.1.3

Các khái niệm về dao động

Định nghĩa 1.2. (xem [14], [33])
Giả sử x¯ là điểm cân bằng và {xn }∞
n=−k là nghiệm của phương trình
(1.1).
i) Nửa vòng dương của {xn }∞
n=−k là một "xâu" các số hạng {xl , xl+1 ,
..., xm }, tất cả đều lớn hơn hoặc bằng x với l ≥ −k và m ≤ ∞ sao
cho
hoặc l = −k, hay l > −k và xl−1 < x
15


và
hoặc m = ∞, hay m < ∞ và xm+1 < x.
ii) Nửa vòng âm của {xn }∞
n=−k là một "xâu" các số hạng {xl , xl+1 , ..., xm },
tất cả đều bé hơn hoặc bằng x, với l ≥ −k và m ≤ ∞ sao cho
hoặc l = −k, hay l > −k và xl−1 ≥ x
và
hoặc m = ∞, hay m < ∞ và xm+1 ≥ x.
iii) Nghiệm {xn }∞
n=−k của phương trình (1.1) gọi là không dao động xung

quanh x, hay gọi đơn giản là không dao động nếu tồn tại N ≥ −k
sao cho xn ≥ x¯ với mọi n ≥ N hoặc xn < x¯ với mọi n ≥ N . Ngược
lại, nghiệm {xn }∞
n=−k gọi là dao động xung quanh x, hay gọi đơn giản
là dao động.
iv) Nghiệm {xn }∞
n=−k gọi là dao động ngặt xung quanh x nếu với mỗi
n0 ≥ 0, tồn tại n1 , n2 ≥ n0 sao cho (xn1 − x¯)(xn2 − x¯) < 0.
v) Nghiệm {xn }∞
n=−k được gọi là bị chặn và bền vững nếu tồn tại các số
dương P và Q sao cho P ≤ xn ≤ Q với mọi n ≥ −k.

1.2
1.2.1

Hệ phương trình sai phân
Các định nghĩa về ổn định

Trong phần này ta sẽ trình bày khái niệm về sự ổn định của hệ phương
trình sai phân phi tuyến cấp 1 tổng quát có dạng
Yn+1 = G(n, Yn ), n ≥ n0 ,

16

(1.4)


trong đó Yn = (yn1 , . . . , ynk )T ∈ Rk và G : Z+ × Rk −→ Rk , G(n, Yn ) =
(g1 (n, yn1 , . . . , ynk ), . . . , gk (n, yn1 , . . . , ynk ))T , gi (n, t1 , . . . , tk ), i = 1, k là hàm
liên tục theo ti , i = 1, k.

Phương trình (1.4) được gọi là ôtônôm nếu biến n không xuất hiện ở
vế phải của phương trình. Một điểm Y¯ ∈ Rk gọi là điểm cân bằng của
phương trình (1.4) nếu Y¯ = G(n, Y¯ ) với mọi n ≥ n0 .
Định nghĩa 1.3. (xem [19, 36])
i) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.4) được gọi là ổn định nếu
với mỗi

> 0 và n0 ≥ 0 cho trước, tồn tại δ = δ( , n0 ) > 0 sao

cho nếu {Yn }∞
n=n0 là một nghiệm của phương trình (1.4) thỏa mãn
Yn0 − Y¯ < δ thì suy ra Yn − Y¯ <

với mọi n ≥ n0 .

ii) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.4) được gọi là hút nếu tồn tại
K = K(n0 ) > 0 sao cho nếu {Yn }∞
n=n0 là một nghiệm của phương
trình (1.4) thỏa mãn Yn0 − Y¯ < K thì ta có limn→∞ Yn = Y¯ .
iii) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.4) được gọi ổn định tiệm cận
nếu nó ổn định và hút.
iv) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.4) được gọi là hút toàn cục
nếu mọi nghiệm {Yn }∞
n=n0 của phương trình (1.4) ta đều có
lim Yn = Y¯ .

n→∞

v) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.4) được gọi là ổn định tiệm
cận toàn cục nếu Y¯ là ổn định và hút toàn cục.

Chú ý 1.1. Phương trình sai phân (1.1) đã xét ở trên có thể đưa về hệ
phương trình có dạng
Yn+1 = G(Yn ),
17





  
0 1
k
0
F (yn , yn , . . . , yn
x
y


 n  n 



 1 
0


yn  xn−1 
yn
.
 và G(Yn ) = 

=
trong đó Yn = 


 ..   .. 
..


.  . 
.



  
k−1
k
yn
xn−k
yn

1.2.2

Một số kết quả về ổn định của hệ hai phương trình sai
phân

Cho I, J là các khoảng của tập số thực và các hàm số
f : I × J −→ I, g : I × J −→ J
là các hàm khả vi liên tục. Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ I ×J,
hệ phương trình sai phân
xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ), n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.5)

có duy nhất nghiệm {(xn , yn )}∞
n=0 .
Định nghĩa 1.4. Điểm (¯
x, y¯) được gọi là điểm cân bằng của hệ (1.5)
nếu
x¯ = f (¯
x, y¯), y¯ = g(¯
x, y¯).
Định nghĩa 1.5. (xem [36, 38]) Gọi (¯
x, y¯) ∈ I × J là điểm cân bằng của
ánh xạ F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)), trong đó f và g là các hàm khả vi liên
tục trong I × J. Hệ tuyến tính hóa của hệ (1.5) xung quanh điểm cân
bằng (¯
x, y¯) được xác định bởi
Yn+1 = G(Yn ) = JF Yn ,

trong đó Yn = 

xn
yn


 và JF là ma trận Jacobian của hệ (1.5) lấy giá trị
18


tại điểm cân bằng (¯

x, y¯), được xác định bởi


∂f
∂f
(¯
x, y¯)
(¯
x, y¯)
 ∂x

∂y
JF (¯
x, y¯) =  ∂g
.
∂g
(¯
x, y¯)
(¯
x, y¯)
∂x
∂y
Định nghĩa 1.6. (xem [1, 35]) Tập I × J được gọi là tập bất biến của hệ
(1.5) nếu với mọi giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ I ×J ta đều có (xn , yn ) ∈ I ×J
với mọi n ≥ 1.
Kết quả về ổn định sau đây sẽ được dùng trong các nội dung tiếp theo
của luận án.
Định lý 1.3. (Định lý ổn định tuyến tính hóa [36, 38]) Cho (¯
x, y¯) ∈ I ×J
là điểm cân bằng của ánh xạ F = (f, g), trong đó f , g là các hàm số khả

vi liên tục, xác định trên tập mở I × J ⊂ R2 .
i) Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF (¯
x, y¯) có môđun
nhỏ hơn 1, thì điểm cân bằng (¯
x, y¯) là ổn định tiệm cận địa phương.
ii) Nếu ít nhất một trong các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF (¯
x, y¯)
có môđun lớn hơn 1 thì điểm cân bằng (¯
x, y¯) không ổn định.
iii) Điểm cân bằng của F = (f, g) là ổn định tiệm cận địa phương khi và
chỉ khi mọi nghiệm của phương trình đặc trưng
λ2 − trJF (¯
x, y¯)λ + detJF (¯
x, y¯) = 0
nằm trong đĩa đơn vị, có nghĩa là, khi và chỉ khi
|trJF (¯
x, y¯)| < 1 + detJF (¯
x, y¯) < 2.

19


Chương 2
Ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ

2.1

2.1.1

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hai dạng phương trình

sai phân hữu tỷ
Đặt vấn đề

Trong [17], R. Devault, G. Ladas và S.W. Schultz đã nghiên cứu tính giới
nội của phương trình
xn+1 =

B
A
, n = 0, 1, . . . ,
p + q
xn xn−1

(2.1)

trong đó A, B, p, q ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Trong [42], G. Ladas đã chỉ ra tính tuần hoàn của nghiệm, đồng thời
đề xuất nghiên cứu tính ổn định, tính giới nội của phương trình
xn+1 =

A
1
+
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn xn−1 xn−3 xn−4

(2.2)

trong đó x−4 , x−3 , x−2 , x−1 , x0 , A ∈ (0, ∞).
Trong [55], S. Stevi´c đã nghiên cứu tính giới nội và bền vững của

nghiệm phương trình sai phân
k

xn+1 =
i=0

αi
, n = 0, 1, 2, . . . ,
i
xpn−i

(2.3)

trong đó k là số nguyên dương, αi , pi ∈ (0, ∞), i = 1, 2, ..., k và các giá
trị ban đầu x−k , x−k+1 , ..., x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
20


Trong các dạng phương trình trên, các tác giả chỉ tập trung vào việc
nghiên cứu tính giới nội và bền vững, tính tuần hoàn, tính ổn định nghiệm,
mà chưa đề cập đến trường hợp nếu phương trình tồn tại nghiệm hội tụ
đến điểm cân bằng thì dạng tiệm cận của nghiệm như thế nào và cách
thức tiến tới điểm cân bằng của nghiệm.
Với mục đích làm đầy đủ hơn việc nghiên cứu về nghiệm của phương
trình sai phân dạng hữu tỷ, dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệm
cận nghiệm trong các nghiên cứu gần đây của L. Berg, S. Stevi´c, K.
Berenhaut [6, 10, 11], trong chương này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu
dạng tiệm cận của nghiệm dương không dao động của hai dạng phương
trình sau đây:
1.

xn =

A1
A2
Ak−1
1
+
+ ... +
−
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn−1 xn−2
xn−k+1 xn−k

(2.4)

k−1

với A1 , A2 , ..., Ak−1 ∈ [0, ∞),

Ai > 1 và các giá trị ban đầu
i=1

x−k , x−k+1 , . . ., x−3 , x−2 , x−1 là các số thực dương tùy ý.
2.
xn+1 =

A1
A2
+
xn xn−1 xn−2 xn−1 xn−2 xn−3

A3
1
+
− 3 , n = 0, 1, 2, . . . ,
xn−2 xn−3 xn−4 xn−5
(2.5)

trong đó A1 , A2 , A3 ∈ [0, ∞) và A = A1 + A2 + A3 − 1 > 0, x−5 ,
x−4 , x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Nội dung của phần này đã được công bố trong các bài báo [2] và [3] thuộc
danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án.
21


Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.4)

2.1.2

Ta thấy rằng phương trình (2.4) có điểm cân bằng thỏa mãn
k−1
2

Ai − 1.

x =

(2.6)

i=1

Nội dung của phần này sẽ giải quyết bài toán, có tồn tại nghiệm dương
không dao động của phương trình (2.4) hay không?
Chú ý rằng phương trình tuyến tính hóa của phương trình (2.4) xung
k−1

Ai − 1 có thể viết dưới dạng tương

quanh điểm cân bằng x =
i=1

đương:
yn +

A1
A2
Ak−1
1
2 yn−1 + 2 yn−2 + ... +
2 yn−k+1 − 2 yn−k = 0.
x
x
x
x

(2.7)

Phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình (2.7) có dạng
p(t) = x2 tk + A1 tk−1 + ... + Ak−1 t − 1 = 0.

(2.8)

Vì
p(0) = −1 < 0, p(1) = x2 + A1 + A2 + ... + Ak−1 − 1 = 2x2 > 0
và
p (t) = kx2 tk−1 + (k − 1)A1 tk−2 + ... + Ak−1 > 0, ∀ t ∈ (0, 1],
do đó luôn tồn tại duy nhất t0 ∈ (0, 1) thỏa mãn
p(t0 ) = x2 tk0 + A1 tk−1
+ ... + Ak−1 t0 − 1 = 0.
0

(2.9)

Dựa trên ý tưởng của L. Berg trong [6] và được phát triển bởi S. Stevi´c
trong [59], ta dự đoán các nghiệm của phương trình (2.4) có dạng tiệm
cận sau:
xn = x + atn0 + o(tn0 ),
22

(2.10)


với a ∈ R và t0 là nghiệm của phương trình (2.9) đã đề cập đến ở trên.
Bài toán được giải quyết bởi việc xây dựng hai dãy phù hợp yn và zn với
yn ≤ xn ≤ zn ,

(2.11)

với n đủ lớn. Trong [6, 7, 8] ta có thể tìm thấy một số phương pháp xây
dựng các dãy giới hạn, có thể xem thêm trong [10, 11].
Từ (2.10) và các kết quả của Berg [6] ta dự đoán ba số hạng đầu tiên của

dạng tiệm cận nghiệm có dạng
ϕn = x + atn + bt2n .

(2.12)

Định lý sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh kết quả
chính của phần này. Chứng minh của định lý có thể tìm trong [10, 11].
Định lý 2.1. Cho f : I k+2 → I là hàm liên tục và không giảm theo
từng biến trong khoảng I ⊂ R, giả sử {yn } và {zn } là các dãy thỏa mãn
yn < zn ∀n ≥ n0 và
yn−k ≤ f (n, yn−k+1 , ..., yn+1 ),

(2.13)

f (n, zn−k+1 , ..., zn+1 ) ≤ zn−k , với n > n0 + k − 1.
Khi đó phương trình
xn−k = f (n, xn−k+1 , ..., xn+1 )
có nghiệm thỏa mãn (2.11) với n ≥ n0 .
Sau đây ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của phần này.
k−1

Định lý 2.2. Với mỗi Ai ∈ [0, ∞), i = 1, 2, 3, ..., k − 1, sao cho

Ai >
i=1

1, phương trình (2.4) có nghiệm không dao động, hội tụ đến điểm cân
k−1

Ai − 1 với dạng tiệm cận (2.10).

bằng dương x =
i=1

23