Lý thuyết cực trị trong tài chính và bảo hiểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRỊNH NHƯ QUỲNH

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ
TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

1


Hà Nội, năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRỊNH NHƯ QUỲNH

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ
TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.0106

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội, năm 2014

2


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết cực trị tài chính là một chủ đề cổ điển trong lý thuyết xác suất và
thống kê Toán học. Nó bắt nguồn từ những nghiên cứu của hai nhà toán học Fisher và
Tippett. Từ đó, một số lượng lớn sách và các công trình nghiên cứu về lý thuyết cực
trị đã xuất bản. Ngày nay, có nhiều độc giả quan tâm, trong đó phải kể đến các nhà
toán học: Adler, Aldous, Beirlant, Reiss, Galabos, Gumbel, Rootzen …
Một số ghi chép về lịch sử của lý thuyết cực trị ghi nhận, người đặt nền móng
cho lý thuyết này là Nicolas Bernoulli (1709).
Những cuốn sách đã được xuất bản của Leadbetter, Lindgren, Rootzen và
Resnick và đã thu hút nhiều người đọc. Những cuốn sách sau đó liên quan đến nguồn
gốc của lý thuyết cực trị gắn với các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Hai
công cụ đóng vai trò trung tâm của nghiên cứu lý thuyết cực trị là: lý thuyết các hàm
biến đổi đều và quá trình điểm thuộc xác suất cơ bản.
Lý thuyết cực trị cho các biến ngẫu nhiên rời rạc được nghiên cứu bởi
Anderson, Arnnold, Balakrishman, Nagaraja, Gordon, Schilling và Waterman. Lý
thuyết cực trị với các quá trình với thời gian liên tục cũng được nghiên cứu bởi Adler,
Berman và Leadbetter.
Leadbetter tiến hành nghiên cứu cực trị của các dãy và quá trình dừng bằng
cách tổng kết các kết quả quan sát các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
Galambos và Resnick cũng nghiên cứu về cực trị nhiều chiều. Beirlant, Gumbel,
Peifer và Reiss chứng minh các kết quả cực trị dựa vào thống kê. Từ đó, phương pháp
thống kê cũng trở thành cơ sở nghiên cứu của lý thuyết cực trị nói chung và lý thuyết
cực trị trong Toán tài chính nói riêng.
Ứng dụng của toán học vào các lĩnh vực trong đời sống luôn là hướng đi thú vị

và thu hút được nhiều quan tâm của các nhà toán học hiện nay. Lý thuyết EVT là một
trong số lý thuyết được nghiên cứu và vận dụng vào các bài toán thực tế của đời sống.
Một số những ứng dụng của nó đã được nghiên cứu hiện nay là các lĩnh vực: dự báo
thời tiết; cảnh báo thiên tai, động đất; tài chính; bảo hiểm và chi trả bảo hiểm …
Một số nhà toán học nghiên cứu lý thuyết cực trị tài và ứng dụng của chúng
trong tài chính, bảo hiểm dựa theo phương pháp thống kê tiêu biểu hiện nay là Pareto,
A. J. McNeil, Rüdiger Frey, P. Embrenchts, C. Klüppelberg và T. Mikosch với nhiều
công trình khoa học và cuốn sách nổi tiếng được công bố. Trong đó, cuốn sách nổi

3


tiếng là: “Quantitative Risk Management”; “Modelling Extremal events for Insurance
and Finance”.
Luận văn được nghiên cứu bằng cách trình bày và tập hợp một số kết quả
nghiên cứu, công trình khoa học của các tác giả nêu trên. Trong đó, tác giả cố gắng
trình bày ngắn gọn lý thuyết EVT theo cả hướng cổ điển và hiện đại, với trọng tâm
theo hướng phát triển hiện nay, đó là phương pháp thống kê dựa trên hai cuốn sách
nêu trên. Từ đó, tác giả cũng lựa chọn hai ví dụ áp dụng của lý thuyết trong phân tích
chỉ số giá cổ phiếu của hai hãng IBM và FORD. Qua đó, các nhà đầu tư có thể lựa
chọn thời điểm đầu tư phù hợp với diễn biến của thị trường.
Tác giả vô cùng biết ơn sự hướng dẫn của PGS, TS Trần Hùng Thao, các thầy
cô giáo Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà nội. Tôi cũng bày tỏ sự giúp đỡ của Ths Hoàng Đức Mạnh, Bộ môn Điều
khiển học kinh tế, Khoa Toán tài chính, trường đại học Kinh tế Quốc dân đã giúp đỡ
tác giả thực hiện luận văn này và các thành viên lớp cao học Toán niên khoá 20112013, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội đã giúp đỡ tác
giả hoàn thành luận văn.
Do khả năng và thời gian có hạn, luận văn không tránh được những sai xót,
mọi đóng góp xin gửi về hòm thư: hoặc qua số điện thoại:
0163.655.3456.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn.

Hà nội, ngày 14 tháng 4 năm 2014

4


Các kí hiệu sử dụng
EVT: (Extreme Value Theory) Lý thuyết cực trị;
GEV: (Genaralised Extreme Value Distribution) Phân phối cực trị tổng quát;
GPD: (Genaralised Preto Distribution) Phân phối Pareto tổng quát;
MDA: (Maximum Domain of Attraction) Miền hấp dẫn cực đại;
MLE: (Maximum Likelihood Estimation) Ước lượng hợp lí cực đại;
MSE: (mean squared errors) Sai số bình phương trung bình;
POT: (Peaks – Over - Threshold) Điểm vượt ngưỡng;

5


MỤC LỤC
Lời mở đầu.
Các kí hiệu sử dụng.
Chương I. Các phân phối cực trị trong toán tài chính……………………………1
1.1. Giới hạn xác suất cho cực đại…………………...………………………..1
1.2. Sự hội tụ yếu của cực đại qua phép biến đổi afin………….……………...7
1.3. Miền cực đại và hằng số chuẩn...................................................................13
1.3.1. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Fréchet…………………………15
1.3.2. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Weibull…………………………18
1.3.3. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Gumbel…………………………20
1.4. Phân phối cực trị tổng quát (GEV)………………………………………25

1.5. Phân phối Pareto tổng quát (GPD)………………………………………28
Chương II. Lý thuyết cực trị tài chính…………………………………………...31
2.1. Cực đại (maxima). ……………………………………………………….31
2.1.1. Phân phối cực đại khối………………………………………………..31
2.1.2. Mức hoa lợi và chu kỳ lợi suất………………………………………..32
2.2. Sự vượt ngưỡng. ………………………………………………………….34
2.2.1. Mô hình tổn thất vượt ngưỡng. ……………………………………….34
2.2.2. Dữ liệu không độc lập và không cùng phân phối (non_iid)…………..35
2.2.3. Vẽ các đồ thị của hàm vượt trội trung bình của mẫu…………………37
2.3. Mô hình đuôi và độ đo rủi ro đuôi………………………………………38
6


2.3.1. Xác suất đuôi và độ rủi ro…………………………………………….38
2.3.2. Ước lượng trong thực hành…………………………………………...39
2.4. Phân phối Hill…………………………………………………………….39
2.4.1. Ước lượng chỉ số đuôi………………………………………………...39
2.4.2. Ước lượng đuôi của Hill………………………………………………41
2.5. Nghiên cứu mô phỏng ước lượng phân vị EVT…………………………42
2.6. Mô hình quá trình điểm…………………………………………………43
2.6.1. Sự vượt ngưỡng cho dãy “ồn trắng” hoàn toàn (ngặt)………………43
2.6.2. Các quá trình điểm……………………………………………………...44
2.6.3. Dáng điệu tiệm cận của quá trình điểm của sự vượt trội………..……45
2.6.4. Áp dụng kết quả trong thực hành……………………………………..46
2.7. Mô hình POT……………………………………………………………..46
2.7.1. Công thức Poison hai chiều của mô hình POT…………………………47
2.7.2. Ước lượng thống kê cho mô hình POT………………………………..48
2.7.3. Sự thuận lợi của việc lập mô hình POT……………………………….49
2.7.4. Áp dụng mô hình POT vào chuỗi dữ liệu hoa lợi……………………..49
2.8. Quá trình tự kích thích…………………………………………………..50

2.9. Quá trình tự kích thích POT…………………………………………….51
2.9.1. Mô hình đánh dấu không dự đoán được……………………………….52
2.9.2. Mô hình đánh dấu dự đoán được………………………………………53
Chương 3. Áp dụng của lý thuyết EVT trong tài chính…………………………54
3.1. Phân tích giá hoa lợi của chỉ số chứng khoán IBM……………………54
3.2. Phân tích giá hoa lợi của chỉ số chứng khoán FORD………………….60
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.

7


Chương I. Các phân phối cực trị trong
toán tài chính
Công cụ cơ bản để nghiên cứu của chương một, là luật biến cố hiếm trong xác
suất, các vấn đề về cực trị, ví dụ: xấp xỉ Poison và sự hội tụ yếu. Kết quả trung tâm là
định lý Fisher – Tippett cùng các dạng phân phối cực trị trong toán tài chính, tiêu
biểu là 3 dạng phân phối: Fréchet, Weibull, Gumbel. Khi tổng quát hóa, ta thu được
phân phối Pareto tổng quát.
1.1. Giới hạn xác suất cho cực đại.
Cho dãy biến ngẫu nhiên: X1, X2,….., Xn độc lập cùng phân phối không suy
biến có cùng hàm phân phối F. Chúng ta sẽ nghiên cứu sự biến thiên của mẫu cực đại
sau:
M1=X1, Mn=max (X1,…, Xn), n ≥ 2.
Ta biết: min (X1,…, Xn) = - max (-X1, …, -Xn).
Phương pháp xác suất của biến ngẫu nhiên Mn :
ℙ(Mn ≤ x) = ℙ(X1 ≤ x1,…, Xn ≤ xn), x ∈ ℝ, n ∈ ℕ,
=ℙ (X1 ≤ x1). ℙ(X2 ≤ x2) ... ℙ(Xn ≤ xn),
= Fn(x).
Từ đó, ta thấy hình dạng đồ thị của Mn liên quan mật thiết đến đồ thị hàm phân

phối F, trong đó đuôi phải của đồ thị gắn với điểm cuối phải.
Kí hiệu: xF = sup {x ∈ ℝ : F(x) < 1}: điểm cuối phải của hàm phân phối F.
Suy ra: ℙ(Mn ≤ x) = Fn(x) → 0, (khi n → ∞), ∀x < xF.
Nếu xF < +∞, ∀x ≥ xF thì ℙ(Mn ≤ x) = Fn(x) =1.
P
Do vậy: Mn 
 xF (n →∞), với: xF ≤ ∞

8


Suy ra, dãy (Mn) là dãy biến ngẫu nhiên không giảm theo n => (Mn) hội tụ
h.c.c. Khi đó,
h.c.c
Mn 
 xF, n→∞.

(1.1)

Kết quả trên không mang lại nhiều ý nghĩa. Để có nhiều thông tin hơn, ta cần
tìm độ lớn của cực đại nhận được từ kết quả của hội tụ yếu (theo hàm phân phối) và
chuẩn hóa cực đại.
Vấn đề này là chủ đề chính trong lý thuyết cực trị cổ điển. Trong đó, định lý
Fisher- Tippett như sau:
Định lý Fisher – Tippett: Nếu tồn tại hằng số cn > 0, dn∈ ℝ sao cho:
M n  dn
d

 H, n→∞.
cn

(1.2)

Với H là một hàm phân phối không suy biến thì H phải là một trong ba hàm phân phối
cực trị. Điều này tương tự như định lý giới hạn trung tâm. Từ đó, ta cần phải xem xét
xác suất:
ℙ(

M n  dn
≤ x) = ℙ ( Mn ≤ cn.x + dn) = ℙ(Mn ≤ un),
cn

(1.3)

với: un = un(x) = cnx + dn.
Trước tiên, ta nghiên cứu (1.3) cho dãy (un), sau đó ta sẽ nghiên cứu (1.2).
Câu hỏi đặt ra là: với điều kiện gì của hàm F để chắc chắn rằng giới hạn:
ℙ(Mn ≤ un), n → ∞ tồn tại, với hằng số un ?
Một điều kiện chắc chắn cần đến là tính liên tục phải tại điểm cuối xF của nó. Đây là
quy tắc đối với nhiều hàm phân phối quan trọng.
Trường hợp, F có phân phối Poison thì: ℙ(Mn ≤ un) không có giới hạn trong (0; 1) với
mọi dãy (un). Điều này suy ra rằng, cực đại chuẩn hóa của dãy biến ngẫu nhiên độc
lập, cùng phân phối Poison không có giới hạn theo hàm phân phối. Chú ý này chỉ ra
sự khác nhau giữa giới hạn theo tổng và theo cực đại của các biến ngẫu nhiên.
9


Nếu EX2 < +∞, định lý giới hạn trung tâm cho ta giới hạn đến phân phối chuẩn.
Nếu EX2 = ∞ liên quan đến lớp nhỏ phân phối α _ổn định. Chỉ trong trường hợp đuôi
to, các điều kiện đối với đuôi: F = 1 – F bảo đảm sự tồn tại giới hạn các hàm phân

phối. Đối với tổng, chúng ta luôn cần các rất ít điều kiện đối với đuôi F để chắc chắn
ℙ(Mn ≤ un) hội tụ tới một số trong khoảng (0; 1) (không suy biến).
Ta sẽ tìm câu trả lời cho các vấn đề nêu trên. Trước hết, ta bắt đầu kết quả cơ bản, nó
đóng một vai trò chủ yếu đối với sự hội tụ yếu của mẫu cực đại, đồng thời cũng là
công cụ chính trong luận văn này.
Mệnh đề 1.1: (xấp xỉ Poison)
Cho trước ∈ [0, +∞) và dãy (un) các số thực.
Các giới hạn sau là tương đương:
n F (un) → .

(1.4)

ℙ(Mn ≤ un) → e- .

(1.5)

Chứng minh:
Xét: 0 ≤ < ∞. Giả sử (1.4) đúng => F (un) →


n

Ta có: ℙ(Mn ≤ un) = Fn(un) = (1 - F (un))n
= (1 -


1
+ O( ))n → e- , (n → ∞).
n
n

Giả sử (1.5) đúng => F (un) → 0. Vì nếu F (un) ↛ 0, ∃ dãy con {nk} sao cho F ( un )
k

bị chặn và ℙ( M n  un ) = (1 - F ( un ))nk → 0 (nk → ∞) (vô lý).
k

k

k

Lấy loga 2 vế:
-n.ln(1 - F (un)) →  .
Vì: - ln(1 – x) ~ x, khi: x → 0.
10


→ n. F (un) = τ + O(1), đpcm.
Nếu τ = ∞. Giả sử (1.4) đúng, (1.5) sai, ∃ (nk) sao cho:
ℙ( M n  un ) → e-τ, k → ∞ với τ < +∞.
k

k

Từ (1.5) => (1.4) => nk F (unk) → τ < +∞. Trái giả thiết (1.4) với τ= +∞.
Chứng minh tương tự cho (1.5) suy ra (1.4) với τ= +∞.
Chú ý:
1) Định lý Poison là chìa khóa trong chứng minh trên. Vì với: 0 < τ< +∞ và định
nghĩa: Bn =

n

 I {Xi > un). Đây là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với
i 1

tham số: (n; F (un)). Thật vậy, áp dụng định lý giới hạn Poison:
d
Bn 
 ℙ(τ) nếu và chỉ nếu: EBn = F (un) →τ.

→ ℙ (Mn ≤ un) = ℙ(Bn = 0) → e-τ
Điều đó giải thích tại sao (1.5) được gọi là xấp xỉ Poison với xác suất: ℙ(Mn ≤ un).
2) Nếu tồn tại dãy (un(τ)) thỏa mãn (1.4) với τ > 0 cố định thì ta có thể tìm được một
dãy với τ > 0 bất kỳ. Trong trường hợp nếu (un(1)) thỏa mãn (1.4) với τ = 1, un(τ) =
u(1)[n/r] cũng thỏa mãn (1.4) với τ> 0 (tuỳ ý).
Hệ quả 1.1.2: Giả sử xF < +∞ và F (xF-) = F(xF) – F(xF-) > 0.
Khi đó, ∀ dãy (un) sao cho: ℙ (Mn ≤ un) → ρ thì ρ = 0 hoặc ρ =1.
Chứng minh:
Vì: 0≤ρ≤1 ta có thể viết: ρ = exp{-τ}, với 0≤τ≤∞.

11


Áp dụng mệnh đề 1.1.1 ta có: n. F (un) → τ, n → ∞.
Nếu: un < xF với n đủ lớn ta có: F (un) ≥ F (xF-) > 0, ∀n => τ=+∞
Với xác suất để: un ≥ xF, ∀n đủ lớn => n F (un) = 0 => τ= 0.
Ta nhận được: ρ = 0 hoặc ρ = 1.
Kết quả đó chỉ ra rằng với hàm phân phối có bước nhảy tại điểm xF thì không
tồn tại hàm phân phối không suy biến cho dãy biến ngẫu nhiên Mn.
Định lý 1.1.3 :

Cho F là hàm phân phối với điểm cuối phải xF ≤ +∞ và cho η ∈ (0; +∞). Khi


đó, tồn tại dãy (un) thỏa mãn: n F (un )   khi và chỉ khi: xlim
x

F

F x

 

F x

= 1.

(1.6)

Chứng minh :
Kết quả trên suy ra trong trường hợp đặc biệt với các phân phối rời rạc với
điểm cuối phải vô hạn. Nếu độ lớn của các bước nhảy của hàm phân phối không giảm
đủ nhanh thì giới hạn phân phối không suy biến của cực đại không tồn tại.
Trong trường hợp, nếu X là nguyên và xF = +∞ (1.6) thì được xác định là:
lim
n 

F  n

F  n  1

1

Những kết quả trên chỉ ra rằng, tồn tại một số dạng đồ thị phức tạp (Mn) và
hàm phân phối rời rạc ảnh hưởng đến sự hội tụ của (Mn) và trong một số trường hợp
có thể tìm được dãy số nguyên (cn) sao cho: (Mn – cn) là chặt (trù mật), nghĩa là nó
chứa một dãy con hội tụ yếu. Ta xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.1.4 (phương pháp Poison)
ℙ(X=k) =e-.

k
, k ∈ ℕ,  >0. Suy ra:
k!

12


F (k )
1  F (k ) (1  F (k  1))  ( F (k )  F (k  1))
F (k )  F (k  1)


 1
F (k  1) F (k  1)
F  k  1
F  k  1

F(k) - F(k-1) = e-.

k
;

k!

F (k-1) = 1 – F(k-1) =

k 1



-

e .

i 0

⇒

r
r!

=e

-



r

 r!

;

r k


F (k )
k  r
k!
.( )  1  (1   . r k )1 .
=1F ( k  1)
k ! r k r !
r  k 1 r !

Ta có:


s





 (k  1).(k  2).....(k  s)    k 
s 1

s 1



s

k



1



 0, (k  )(k   ) .

k

Định lý 1.1.3 chỉ ra sự không tồn tại của giới hạn cực đại tới một phân phối không suy
biến và hơn nữa không tồn tại giới hạn:
ℙ(Mn ≤ un) → ρ ∈ (0 ;1), ∀ dãy hằng số (un)
Ví dụ 1.1.5: (phương pháp kiểu cấp số nhân)
ℙ(x=k) = p(1 – p)k-1, k∈ℕ, 0F k 

F  k  1



1  F (k )
F (k )  F (k  1)
 1
1  F (k  1)
F  k  1
k

F(k) = ℙ(X≤k) =  p (1  p ) r 1 ;
r o

F(k-1) = ℙ(X≤k-1) =

k 1

 p(1  p)

r 1

;

r o

F(k) – F(k-1) =p.(1 – p)k-1 ;
k 1



r 0

r k

F  k  1  1  F (k  1)  1   p (1  p ) r 1  p  p (1  p ) r 1 .

13


F k 

1


1
 
r 1 
k 1 
k 1

1

(1

p
)
.
⇒
  (1  p)   1  (1  p) .  (1  p) . 1  (1  p) 
F  k  1
 r k




1

k 1

=1 – p ∈ (0; 1)

Do đó, không tồn tại giới hạn: ℙ(Mn ≤ un) → ρ trừ trường hợp ρ = 0 hoặc ρ =1
Cực đại của dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối kiểu cấp số nhân
đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu chiều dài bước nhảy kế tiếp dài nhất
trong bước chạy ngẫu nhiên.
1.2. Sự hội tụ yếu của cực đại qua phép biến đổi afin.
Ta cùng trở lại chủ đề chính của chương này, đó là nghiên cứu các đặc trưng
của các giới hạn có thể cho Mn của dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối (Xn)
qua một phép biến đổi afin không âm. Các bài toán cực trị này cũng được xem xét
tương tự như các bài toán của định lý giới hạn trung tâm. Vì vậy, nó cũng có các kết
quả tương ứng.
Trong phần này, ta phải trả lời các câu hỏi: giới hạn cho dãy cực đại (Mn) là gì?
Các tính chất chính và trọng tâm là gì?
Các câu hỏi trên liên quan mật thiết với vấn đề sau, các phân phối thỏa mãn:
Max (X1, …., Xn) d cnX + dn , ∀n ≥ 2,

(1.7)

với các hằng số xấp xỉ cn >0 và dn ∈ ℝ, là bao nhiêu ? Nghĩa là, tìm lớp hàm phân
phối F tương ứng cho dãy cực đại.
Biểu thức (1.7) gợi ý cho ta việc định nghĩa tính chất phân phối ổn định (bền vững)
Định nghĩa 1.2.1 (max – stable distribution):

14


Một biến ngẫu nhiên không suy biến được gọi là cực đại ổn định nếu nó thỏa
mãn (1.7) cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối: X, X1, …, Xn, với các
hằng số xấp xỉ cn > 0 và dn ∈ ℝ, ∀n ≥ 2.
Từ đây trở đi, ta gọi dn là hằng số trung tâm và cn là các hằng số chuẩn hoá.
Giả thiết rằng, (Xn) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối cực đại ổn định, thì

(1.7) được viết dạng đã biết như sau:

M n  dn
cn

d

X .

Ta kết luận rằng, mọi phân phối cực đại ổn định là giới hạn theo phân phối của
dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối cực đại. Hơn nữa, các phân phối cực đại
ổn định là giới hạn của cực đại chuẩn hóa.
Định lý 3.2.2 (Tính chất giới hạn của cực đại ổn định)
Lớp các phân phối cực đại ổn định trùng với lớp tất cả các giới hạn (không suy
biến) của dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối cực đại.
Chứng minh:
Điều phải chứng minh là phân phối giới hạn của cực đại các phép biến đổi.
Giả sử cho các hằng số xấp xỉ chuẩn hóa:
lim F n  cn x  dn   H ( x) , x ∈ ℝ.
n

Với H là một phân phối không suy biến nào đó, ta có thể đoán trước phân phối H là
liên tục trên toàn bộ ℝ.
Khi đó, ∀k ∈ ℝ:



lim F n.k (cn x  dn )  lim F n  cn x  d n 
n

n



k

 H k ( x) , x ∈ ℝ.

15


Vì: lim F nk  cnk x  dnk   H ( x) , x ∈ ℝ. Suy ra, tồn tại hằng số ck  0 và dk  ℝ sao
~

~

n

cho:
~
~
cnk
d  dn
 dk ,
 ck , lim nk
n  c
n 
cn
n

lim

với dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối: Y1, …, Yk với hàm phân phối H:
~

~

max (Y1,…, Yk) d ck Y1  dk .
Kết quả sau là cơ sở của lý thuyết cực trị cổ điển.
Định lý Fisher – Tippelt (giới hạn của dãy cực đại)
Cho (Xn) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Nếu tồn tại hằng số
chuẩn hóa cn > 0, dn ∈ ℝ và hàm phân phối H không suy biến sao cho:

M n  dn d
H .
cn

Khi đó, H là một trong ba loại phân phối sau:
x0
 0,



Phân phối Fréchet:  ( x) =  exp( x ), x  0
 exp( (  x ), x  0
1,
x0


Phân phối Weibull:  ( x) = 

(α > 0).

(α > 0).

Phân phối Gumbell: (x) =exp {-e-x}, x ∈ ℝ.
Lược đồ chứng minh:
Ta sử dụng định lý sau:
Cho A, B, A1, A2, …. là dãy biến ngẫu nhiên và bn > 0, βn > 0, với an, αn ∈ ℝ là các
hằng số:
Giả sử:

A  n d
An  an d
 A thì giới hạn: n
B
bn
n

(1.8)

16


 a  n 
 b  0;   , lim  n
  a ℝ .
n  
n 
n

 n 

đúng khi và chỉ khi: lim

bn

(1.9)

d

Nếu (1.8) đúng thì: B b. A  a và a, b là các hằng số duy nhất.
Nếu (1.8) đúng, A là không suy biến khi và chỉ khi b > 0, thì A và B thuộc cùng một
kiểu phân phối như nhau.
Chứng minh mang nhiều tính chất kỹ thuật, ở đây, ta chỉ ra sự suất hiện của ba
kiểu giới hạn nêu trong định lý.
Áp dụng kết quả trên, ∀t > 0:
F[nt](c[nt]x + d[nt]) → H (x), x ∈ ℝ, (với [.] là phần nguyên).
Tuy nhiên: F[nt] (cnx + d) = Fn(cnx + dn)[nt]/n →Ht(x).
d d
cn
 Y (t ), lim n [nt ]  δ(t), t>0
n c
n
c[nt ]
[nt ]

Tồn tại hàm Y(t) >0, δ(t) ∈ ℝ thỏa mãn: lim
và Ht(x) = H(Y(t).x + δ(t)).

(1.10)

Từ (1.10) ta suy ra, ∀s, t > 0:
Y(st) = Y(s).Y(t), δ(st) = Y(t).δ(s) + δ(t).

(1.11)

Giải các phương trình hàm (1.10) và (1.11) cho ta các hàm Λ, Ψα, φα (chi tiết chứng
minh ta có thể tìm trong Resnick).

Chú ý:
1) Giới hạn trong (1.9) là duy nhất nếu H là phép biến đổi afin, nếu giới
hạn đó có dạng H(c.x + d), nghĩa là:





lim P cn 1.( M n  d n )  H (cx  d )
n 

thì H(x) cũng là giới hạn của dãy hằng số chuẩn:
17


~ 
 ~
lim P  cn1 ( M n  d n )   x
n 



~

với cn 

cn
,
c

.

2) Các phân phối Λ, Ψα, φα rất khác nhau. Tuy nhiên, nếu X>0 thì chúng
lại có mối liên hệ với nhau như sau:
X có phân phối φα ↔ lnXα có phân phối Λ ↔ 

1
có phân phối Ψα.
X

Đồ thị của hàm các phân phối Λ, Ψα, φα :

Định nghĩa 1.2.6 (phân phối cực trị và biến ngẫu nhiên cực trị)
Các phân phối: Λ, Ψα, φα được gọi là các hàm phân phối cực trị chuẩn tắc
tương ứng với các biến ngẫu nhiên cực trị chuẩn tắc:
Một cách chính xác, các hàm phân phối cực trị là các hàm phân phối cực đại ổn
định. Do đó, nếu X là một biến ngẫu nhiên cực trị thỏa mãn (1.8) thì:
Fréchet: Mn d n1/α.X ;
Weibull: Mn d n-1/∝.X;
Gumbell: Mn d X + lnn.

18


Ví dụ 1.2.7: (cực đại của biến ngẫu nhiên dạng mũ).
Cho (Xi) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối dạng mũ chuẩn tắc thì:
ℙ(Mn – lnn ≤ x) = [ℙ(X ≤ x + lnn)]n;
n

 x ln n

=   et dt  = (1- n-1 .e-x)n → exp(-e-x)=Λ (x) (x∈ ℝ).
 0


→ ℙ(Mn – lnn ≤ x) = Λ(x), x∈ℝ: phân phối Gumbell cho dãy (Xi).
Ví dụ 1.2.8 (cực đại của dãy biến ngẫu nhiên Cauchy)
Cho (Xi) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Cauchy có hàm mật độ:
f(x) = (π (1 + x2)-1, x ∈ ℝ.
Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Cauchy chuẩn là tuyệt đối liên tục.
Quy tắc l’Hospital ta có :
lim
x 

F  x
( .x)1

F '( x)
 .x 2

lim

 1.
x   1.x 2
x   1  x 2

 lim





~ (πx)-1. Khi đó,

Suy ra :

n

n

nx  
1


ℙ(Mn ≤
) = 1  F ( )   1   O(1)  → exp {-x-1} = φ1(x), x > 0

   nx


nx

(phân phối Fréchet, với α = 1).
1.3. Miền cực đại và hằng số chuẩn.
Trong phần trước, ta đã xác định các phân phối cực trị như là giới hạn của các
biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối cực đại chuẩn hóa. Phần này, chúng ta sẽ
dành hết cho câu hỏi sau.

19


Cho trước phân phối cực trị H, phải có những điều kiện gì cho hàm phân phối F
để cho Mn hội tụ yếu đến H (Mn cực đại chuẩn hóa). Nghĩa là, ta chọn hằng số chuẩn:
cn > 0 và dn ∈ ℝ như thế nào để:

M n  dn
cn

d

H ?

(1.12)

Có thể xảy ra trường hợp, các hằng số chuẩn khác nhau thì sự hội tụ trên là khác nhau
hay không?
Câu hỏi cuối có thể trả lời được ngay: sự hội tụ là duy nhất do kết quả (1.8) và (1.9)
trong chứng minh định lý Fisher – Tippelt.
Trước khi trả lời câu hỏi 2, câu hỏi trên giống như trong định lý giới hạn trung tâm
cho tổng n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối:
Sn = X1 + X2 + ….. + Xn
Ta đã thu được hàm phân phối F chung cho tổng Sn cũng có phân phối ổn định thì lớp

đó được gọi là miền hấp dẫn. Đối với dãy biến ngẫu nhiên cực đại, ta cũng tiếp tục
theo cách tương tự.
Định nghĩa 1.3.1 (Miền hấp dẫn cực đại)
Ta nói rằng, biến ngẫu nhiên X (hàm phân phối F của X) thuộc về miền hấp dẫn cực
đại của phân phối cực trị H nếu ∃ hằng cn > 0, dn ∈ ℝ sao cho (1.12) đúng.
Ta viết: X ∈ MDA(H) (Maximum domain of attraction) (F ∈ MDA(H)).
Chú ý rằng hàm phân phối cực trị là liên tục trên ℝ, do đó:
M n  dn d
H,
cn 

 lim P (M n  cn X  dn )  lim F n (cn x  dn )  H ( x), x∈ℝ.
n

n

Kết quả sau là hệ quả của mệnh đề 1.1.1 và sẽ được sử dụng cho các phần sau.
Mệnh đề 1.3.2 (Đặc trưng của MDA(H)).

20


Hàm phân phối F thuộc về miền hấp dẫn cực đại của phân phối cực trị H với các
hằng số chuẩn: cn > 0, dn∈ ℝ nếu và chỉ nếu:
lim nF  cn x  d n  = -ln H(x), x ∈ ℝ.
n 

Nếu H(x) = 0 thì giới hạn trên tiến ra +∞. Mọi phân phối cực trị chuẩn tắc được
đặc trưng bởi miền hấp dẫn cực đại của nó. Sử dụng khái niệm biến phân đều (biến
phân chính quy) ta có thể đánh giá đuôi: F là biến đổi đều với chỉ số (-α) với α ≥ 0,

viết là:
F ( xt ) 
 t , t > 0.
x  F ( x )

F ∈ ℛ-α, nếu: lim

Kết quả trên là định nghĩa của hàm biến đổi đều. Miền hấp dẫn cực đại cho
phân phối Gumbel Λ lại không dễ dàng vì đuôi phải của nó giảm về 0 nhanh hơn bất
kỳ một hàm lũy thừa nào.
Nếu hàm phân phối F có hàm mật độ, điều kiện đủ để hàm F có miền hấp dẫn cực đại
được đưa ra bởi định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.3 (Tương đương đuôi)
Hai hàm phân phối F và G được gọi là tương đương đuôi nếu chúng có cùng
điểm cuối phải, nghĩa là, nếu:
xF = xG và lim
x  xF

F ( x)
= c với: 0 < c <+∞.
G ( x)

Ta nhận thấy rằng, mọi miền hấp dẫn cực đại đều có đuôi tương đương, nghĩa
là cho hai hàm có đuôi tương đương F và G, F ∈ MDA (H) nếu và chỉ nếu G ∈ MDA
(H). Hơn nữa, với hai hàm phân phối có đuôi tương đương đều có cùng hằng số
chuẩn. Điều này chứng minh khá dài dòng, tôi không trình bày ở đây.



1

Cực đại mẫu Mn là một phiên bản thực nghiệm của  1   _phân vị của hàm
n


phân phối F, sau đó là việc xấp xỉ hằng số trung tâm. Các phân vị tương ứng với hàm
21


ngược của hàm phân phối, mà không phải lúc nào cũng được định nghĩa tốt (các hàm
phân phối không cần thiết tăng thực sự chẳng hạn). Trong định nghĩa sau, ta qui định
sự liên tục trái của hàm phân phối.
Định nghĩa 1.3.4 (Hàm ngược tổng quát của một hàm đơn điệu)
Giả sử h là một hàm không giảm trên ℝ. Hàm ngược tổng quát của h được định nghĩa
là: h←(t) = inf{x ∈ ℝ: h(x) ≥ t} (ta sử dụng qui ước: inf{∅} = ∞).
Định nghĩa 1.3.5 (Hàm phân vị)
Hàm ngược tổng quát của hàm phân phối F:
F←(t) = inf{x ∈ ℝ: F(x) ≥ t }, 0được gọi là hàm phân vị của hàm phân phối F, đại lượng xt = F←(t) gọi là t_phân vị
của F.
1.3.1. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Fréchet
x0
 0,



Hàm Fréchet:  ( x) =  exp( x ), x  0 (∝ > 0.

Theo công thức khai triển Taylor:
1 -  ( x) = 1- exp {-x-α} ~ x-α, x → ∞.

Đuôi của hàm  giảm theo quy luật của hàm luỹ thừa. Ta nhận thấy, miền
hấp dẫn cực đại của  chưa bao gồm hàm pân phối F mà đuôi phải của nó biến đổi
đều với chỉ số (-α). Khi đó, F∈MDA(  ) có thể chọn dn = 0 và cn là trung bình của
hàm phân vị, một cách chính xác hơn:


1

1

cn = F←  1   = inf {x ∈ ℝ: F(x) ≥ 1 - };
n
 n
1
n

=inf{x ∈ ℝ: 1 – F(x) ≤ };

22


=inf{x ∈ ℝ:

1
≥ n};
F ( x)

 1 ←
 (x).
F

=

(1.13)

Định lý 1.3.7. MDA (  )
Hàm phân phối F ∈ MDA (  ), ∝ > 0 nếu và chi nếu F ( x) = x-α.L(x), với L(x)
là một hàm biến đổi chậm.
Nếu F ∈ MDA (  ) thì

Mn d
 ,
cn 

(1.14)

với cn là hằng số chuẩn được chọn từ (1.13).
Trường hợp đặc biệt: xF = ∞ thì hằng số chuẩn cn là một dãy biến đổi đều: cn =
n1/α.L1(n), với L1 là hàm biến đổi chậm.
Chứng minh:
Cho F ∈ R-α, α > 0.
Bằng cách chọn cn và hàm biến đổi đều: F (cn ) ~n-1, n → ∞

(1.15)

Vì: F (cn ) → 0 =>cn → 0
Với x > 0: n. F (cn ) ~

F (cn x)
 x-α, n → ∞

F (cn )

Với x < 0: Fn(cnx) ≤ Fn(0) → 0. Vì F(0) <1. Từ Mệnh đề 1.3.2 => F ∈ MDA (  ).
Ngược lại, giả sử: lim F n (cn x  d ) =  (x), ∀x > 0. Suy ra, tồn tại cn >0, dn ∈ ℝ sao
n

cho
lim F n (cns .x  dns ) = 1/ s (x) =  (s1/αx), s > 0, x > 0.
n

Sử dụng định lý các loại hội tụ (1.8) và (1.9):

23


cns
cn

 s1/ và

dns  d n
cn

0.

Khi đó, cn là dãy biến đổi đều khi cn → ∞.
Gỉa sử: dn=0 => n. F (cn x )  x-α, do vậy: F ∈ R-α (theo phụ lục A3.8 – trang 568,
Modelling extremal events, P. Embrecht).
Nếu dn ≠ 0, ta cần chứng minh:

dn
→ 0. Nếu điều đó đúng, ta lặp lại chứng minh trên
cn

bằng cách thay dn bởi 0.
Kết luận: F ∈ MDA (  ) ↔ F ∈ R-α.
Hệ quả 1.3.8: (điều kiện Von Mises)
Cho F là một phân phối tương đối liên tục với hàm mật độ F thỏa mãn:
lim

x 

xf ( x)
=α > 0
F ( x)

(1.16)

thì F ∈ MDA (  ).
Lớp các hàm phân phối F với đuôi F biến đổi đều tương ứng với tương đương đuôi.
Mệnh đề sau cho ta công cụ hữu ích để tích hằng số chuẩn.
Mệnh đề 1.3.9
Cho F và G là các hàm phân phối và giả sử rằng F ∈ MDA (  ) với hằng số cn
> 0, nghĩa là:
lim F n (cn x) =  (x), x>0
n

(1.17)

thì: lim G n (cn x) =  (c.x), x > 0, với c>0 nếu và chỉ nếu F và G có đuôi tương

n

F ( x)
= cα.
x  G ( x )

đươngvới: lim

(1.18)

Chứng minh:
24


Giả sử F và G có đuôi tương đương, thì: F ( x) ~ q. G( x) , x → ∞ (q > 0).
Áp dụng bổ đề 1.3.2
-α

lim nF (cn x) = x , ∀x > 0. cnx → ∞ (n → ∞).
n 

Suy ra: n. G (cn x) ~ n.q-1. F → q-1.x-α .

(1.19)

Sử dụng mệnh đề 1.3.2 ta có,
lim G n (cn x) = exp{-(q1/∝.x)-∝} =  (q1/∝.x) → c = q1/∝.
n

Theo định lý 1.3.7, F ∈ MDA (  ) ↔ F ∈ ℛ-∝.

Vậy F có đuôi tương đương với một hàm liên tục tuyệt đối thỏa mãn (1.16).
1.3.2. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Weibull:
Hàm Weibull: α(x) = exp{-(-x)α}.
Ta đã biết, α và  có mối quan hệ: α(-x-1) =  (x), x > 0. Do đó, ta hy vọng
MDA ((α)) và MDA(  ) cũng có liên hệ với nhau.
Một vấn đề quan trọng đó là, không phải mọi hàm phân phối F ∈ MDA (α) đều có
điểm cuối phải hữu hạn xF (< +∞).
Định lý 1.3.1: MDA ((α)).
Hàm phân phối F thuộc miền hấp dẫn cực đại của α, ∝ > 0 nếu và chỉ nếu
xF<+∞ và F (xF – x-1) = x-∝.L(x) với L(x) là 1 hàm biến đổi chậm.
Nếu: F ∈ MDA(α) thì :

M n  xF
cn

d



với hằng số chuẩn cn được chọn: cn = xF - F←(1 – n-1) và dn = xF.

(1.20)
(1.21)

Sơ đồ chứng minh:
Điều kiện cần: chứng minh khó (không chứng minh)

25