chuyên đề hình học 12 toàn bộ công thức hình học giải tích không gian oxyz

TOÀN BỘ CÔNG THỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN OXYZ
I/ Tổng quát
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Điểm, vectơ trong không gian
Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Cực trị giải tích không gian
Ứng dụng hình giải tích vào giải hình không gian

Bài 1: Điểm và vectơ
I/ Lý thuyết
+) O (0;0;0)
+) i (1;0;0)
+) j (0;1;0)
O

+) k (0;0;1)

Công thức vectơ
1. Cách tạo ra vectơ

A ( x1; y1; z1 ), B ( x2 ; y2 ; z2 ) thì AB ( x2  x1; y2  y1; z2  z1 )
2. Phép toán

u ( x1; y1; z1 ), v ( x2 ; y2 ; z2 )
+) Cộng, trừ: u  v  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 )
+) Nhân:

k.u  (kx1; kx2 ; kx3 )
u.v  ( x1.x2  y1. y2  z1.z2 )
 y
[u, v]   1
 y2

1

z1 z1
;
z2 z2

x1 x1
;
x2 x2

y1
y2


   y1z2  y2 z1; z1x2  z2 x1; x1 y2  x2 y1 .


Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!

3. Độ dài vectơ

u( x; y; z)  u  x 2  y 2  z 2
4. Góc giữa 2 vectơ

 

u, v    cos  

u.v
u.v

5. Vị trí tương đối
+) Vuông góc  u.v  0
+) Cùng phương  [u, v]  0
Công thức Điểm: A( x; y; z )

A  (Oxy)  A( x; y;0)
+) A  (Oxz)  A( x;0; z )
A  (Oyz)  A(0; y; z )
A  Ox  A( x;0;0)
+) A  Oy  A(0; y;0)
A  Oz  A(0;0; z )
+) Trung điểm: A ( x1; y1; z1 ), B ( x2 ; y2 ; z2 ) .

 A  B   x1  x2 y1  y2 z1  z2 
;
;
M là trung điểm của AB  M  


2
2 
 2   2
+) Trọng tâm : A ( x1; y1; z1 ), B ( x2 ; y2 ; z2 ), C( x3 ; y3 ; z3 )

 A  B  C   x1  x2  x3 y1  y2  y3 z1  z2  z3 
G là trọng tâm  G  
;
;


3
3
3
3

 


2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG: CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC ĐIỂM, VECTO
Chuyên đề: Hình giải tích trong không gian Oxyz
Bài 1: Viết tọa độ của các vecto sau đây

b  7i  8k

a  2i  j

c  9k

d  3i  4 j  5k

Hướng dẫn giải:
Cách 1:

i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
a  2(1;0;0)  (0;1;0)  (2;0;0)  (0;1;0)  (2;1;0)

Cách 2: i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1) là các vecto đơn vị của trục Ox, Oy, Oz do đó hệ số trước các vecto
i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1) chính là hoành độ, tung độ và cao độ của các vecto cần tìm. Từ đó, ta dễ dàng

tìm được tọa độ các vecto như sau:
a  (2;1;0)

c  (0;0; 9)

b  (7;0; 8)

d  (3; 4;5)

Bài 2: Cho a  (2; 5;3) , b  (0; 2; 1) , c  (1;7; 2) . Tìm tọa độ của các vecto u với:
1
a. u  4a  b  3c
2

b. u  a  4b  2c

2
c. u  4b  c
3

Hướng dẫn giải:
1
1
37 


a. u  4a  b  3c  8; 20;12    0;1;     3;21;6   11;0; 
2
2
2 



b. u  a  4b  2c  (2; 5;3)  (0;8; 4)  (2;14; 4)  (0; 27;3)
2
 2 14 4   2 10 16 
c. u  4b  c   0; 8;4    ; ;    ;  ; 
3
3 3 3 3 3 3 

Bài 3: Tìm tọa độ của vecto x biết rằng:
a. a  x  0 với a  (1; 2;1)
b. a  x  4a với a  (0; 2;1)
c. a  2 x  b với a  (5; 4; 1), b  (2; 5;3)
Hướng dẫn giải:

b. a  x  4a  x  4a  a  3a  (0; 6;3)
c. a  2 x  b  x 

1

ba  3 9 
   ;  ;2 
2
 2 2 

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất


Bài 5: Cho 3 vecto a  (1; 1;1) , b  (4;0; 1) , c  (3; 2; 1) . Tìm:
2

c. 4ac  b  5c

b. 3a  2(ab)b  cb

a. (a.b)c

2

Hướng dẫn giải:
a. (a.b)c  (4  0 1).(3;2; 1)  (9;6; 3)
b. Ta có:

a.b  4  0  1  3.

c.b  4.3  0.2  1. 1  13.

 

 3a  2 a.b b  c.b  3 1; 1; 1  2.3.  4; 0; 1  13
  3; 3; 3  6  4; 0; 1  13
  3; 3; 3   24; 0'  6   13
  3  24;  3;3  6   13
  21; 3; 9   13.
2

2

c. 4ac  b  5c  4(3  2  1)  (42  02  (1)2 )  5(9  4  1)  53
Bài 6: Cho a  (1; 3; 4) . Tìm y và z để b  (2; y; z ) cùng phương với a
Hướng dẫn giải:
Để a , b cùng phương 

1 3 4  y  6

 
2 y z
z  8

Bài 7: Cho các vecto sau a  (2; 5;3) , b  (0; 2; 1) , c  (1;7; 2) . Tính a , b , c , a  b , a  b  c
Hướng dẫn giải:

) a  4  25  9  38
) a  b  (2; 3; 2)  4  9  4  17
Bài 8: Tính góc giữa 2 vecto a và b

a. a  (4;3;1) , b  (1; 2;3)



c. a  (2;1; 2), b  0;  2; 2

b. a  (2;5; 4) , b  (6;0; 3)



Hướng dẫn giải:

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất


a. cos =

a.b
a.b



4  6  3
26. 14



5
   74o
364

Bài 11: Tính tích có hướng của các cặp vecto sau:
a. a  (2; 5;3) , b  (0; 2; 1)
b. a  (0; 2; 1) , b  (1;7; 2)
c. a  (0; 1;3) , a  (2; 2;0)
Tính tích có hướng

[ a, b]

a( x1; y1; z1 ) 
y1 z1 z1 x1 x1 y1


[
a
,
b
]

(
,
,
)

+)
y
z

z
x
x
y
b( x2 ; y2 ; z2 ) 
2
2
2
2
2
2

3 4 4 1 1 3 
a(1;3;4) 

;
;
  [ a , b]  
  (10; 2; 1)
+) VD:
b(0; 1;2) 

 1 2 2 0 0  1 
Hướng dẫn giải:

a(2; 5;3) 

  [a, b]  (1; 2; 4)
a.
b(0; 2; 1) 


a(0; 2; 1) 

  [a, b]  (11; 1; 2)
b.
b(1;7; 2) 

Bài 12: Cho các vecto a  (2;-5;3) , b  (0; 2; 1) , c  (1;7; 2) . Tính a.b, [a, b], a.[b, c]
Hướng dẫn giải:
[b, c]  (11; 1; 2)  a.[b, c]  (22  5  6)  21

Ứng dụng tích có hướng
1. Để 2 vecto a, b cùng phương  [a, b]  0

 Để A,B,C thẳng hàng  [ AB, AC ]  0

A

B

C

2. Để 3 vecto a, b, c đồng phẳng  [a, b].c  0

 Để A,B,C,D đồng phẳng  [ AB, AC ]. AD  0

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất

3. Diện tích tam giác ABC
1
S ABC  [ AB, AC ]
2
4. Thể tích tứ diện ABCD
1
VABCD  [ AB, AC ]. AD
6
5. Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’

VABCDA' B 'C ' D '  [ AB, AD]. AA '
6. Diện tích hình bình hành: được tính bằng tổng diện tích 2 hình tam giác
Bài 15: Xét tính thẳng hàng của các bộ điểm sau:
a.

A(1;3;1), B(0;1;2), C(0;0;1)

b. A(1;1;1), B(4;3;1), C (9;5;1)
Hướng dẫn giải:
a) A1; 3; 1 , B  0; 1; 2  , C  0; 0; 1
AB(1; 2;1), AC (4; 3;0)
 [ AB, AC ]  (3; 4; 5)  0

Vậy A,B,C không thẳng hàng.
b) A 1; 1; 1 , B  4; 3; 1 , C  9; 5; 1.

 AB   5; 2; 0 
Ta có: 

 AC   10; 4; 0 

 2 0 0 5 5 2 
  AB, AC   
;
;
   0; 0; 0   0
 4 0 0 10 10 4 
 A, B, C thẳng hàng.
Bài 16: Cho 3 điểm A(0;3;1), B(3;0; 1), C (0; 4;3)
a. Chứng minh rằng 3 điểm A,B,C tạo thành một tam giác
b. Tính góc A
c. Cạnh nào là cạnh dài nhất của tam giác
d. Tính diện tích tam giác ABC

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất


Hướng dẫn giải:
a.

AB(3; 3; 2), AC (0;1;2)  [ AB, AC ]  (4; 6;3)  0
 Ba điểm A,B,C không thẳng hàng. Vậy A,B,C tạo thành 1 tam giác

AB. AC

b. cosA=

AB . AC



3  4
22. 5



7
110

1
1
1
d. S ABC  2 [ AB, AC  2 16  36  9  2 61

Bài 17: Cho 4 điểm A(2;5; 3), B(1;0;0), C (3;0; 2), D(3; 1;2)
a. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D tạo thành 1 tứ diện
b. Tính thể tích tứ diện đó
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
Hướng dẫn giải:
AB(1; 5;3), AC (1; 5;1)  [ AB, AC ]  (10; 4;10)

a.

AD(5; 6;5)  [ AB, AC ] AD  50  24  50  24  0

Suy ra, A,B,C,D không đồng phẳng

Vậy 4 điểm A,B,C,D tạo thành 1 tứ diện
1
1
b. VABCD  6 [ AB, AC ] AD  6 24  4
1
VABCD  S BCD . AH
3
1
c. S BCD  2 [ BC , BD]
 AH  2 6

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất


BÀI GIẢNG: BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Bài 1: Cho 2 điểm A(1;2; 1), B( 1;3;1) . Tìm điểm M trên trục tung sao cho tam giác ABM là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
A
Gọi M (0; y;0)

AM (1; y  2;1), BM (1; y  3; 1)
Vì tam giác AMB vuông tại M  AM .BM  0

B
M

 1  ( y  2)( y  3)  1  0
 y2  5 y  6  2  0
y 1
 M (0;1;0)


y  4
 M (0; 4;0)

Bài 2: Cho ba điểm A(0;3;1), B(3;0; - 1), C(0;4;3). Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:
Gọi D( x; y; z )
Vì ABCD là hình bình hành nên
 x  3
 x  3


AB(3; 3; 2), DC ( x;4  y;3  z )  4  y  3   y  7  D(3;7;5)
3  z  2
z  5



Bài 4: Cho A(3;1;0), B(2;4;1) . Tìm M trên trục tung sao cho M cách đều A và B.
Hướng dẫn giải:
Gọi M (0; y;0)

MA  MB
MA(3;1  y;0)  MA  9  (1  y ) 2  0

MB(2; 4  y;1)  MB  4  (4  y ) 2  1
 9  (1  y)2  5  (4  y)2  y 

1

11
11
 M (0; ;0)
6
6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
+ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
+ Tính thể tích khối hộp biết: A(1;0;1), B(2;1;2), D(1; 1;1), C '(4;5; 5)
Hướng dẫn giải:
+ Tìm tọa độ C  xC ; yC ; zC 
Vì ABCD là hình bình hành  AB  DC  1;1;1   xC  1; yC  1; zC  1

 xC  1  1
 xC  2


  yC  1  1   yC  0  C  2; 0; 2  .
z 1  1
z  2
 C

 C
+ Tương tự như vậy ta tìm được tọa độ các điểm B’, A’, D’.

 xA '  1  4  2
 xA '  3


AA '  CC '   y A '  5
  y A '  5  A '  3; 5; 6  .
 z  1  5  2
 z  6
 A'
 A'
 xB'  2  4  2
 xB'  4


BB '  CC '   yB'  1  5
  yB'  6  B '  4; 6; 5  .
 z  2  5  2
 z  5
 B'
 B'
 xD'  1  4  2
 xD'  3


DD '  CC '   yD'  1  5
  yD'  4  D '  3; 4; 6  .
 z  1  5  2

 z  6
 D'
 D'
+ Sau khi tìm được tọa độ các đỉnh ta áp dụng công thức tính thể tích khối hộp bình thường.

AA '   2; 5; 7  , AB  1; 1; 1 , AD   0;  1; 0 
  AB, AD   1; 0;  1
  AB, AD  . AA '  2.1  5.0  7. 1  9.
 VABCD. A 'B'C'D'   AB, AD  . AA '  9.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 1;5), B(3; 4; 4), C (4;6;1) . Điểm M thuộc
mặt phẳng (Oxy) cách đều các điểm A,B,C là:
A. M (16; 5;0)

2

B. M (6; 5;0)

C. M (6;5;0)

D. M (12;5;0)

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Hướng dẫn giải:
Gọi M ( x; y;0)

MA(1  x; 1  y;5), MB(3  x; 4  y; 4), MC (4  x;6  y;1)
(1  x) 2  (1  y ) 2  25  (3  x) 2  (4  y) 2  16

 MA  MB


2
2
2
2
 MA  MC
(1  x)  (1  y )  25  (4  x)  (6  y )  1
4 x  10 y  14  0
 x  16


6 x  14 y  26  0
 y  5
Chọn đáp án: A
Bài 7: Cho M (1; 2;3) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên ba trục Ox, Oy, Oz.
Tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn giải:
A là hình chiếu vuông góc của M trên Ox  A(1;0;0)
B là hình chiếu vuông góc của M trên Oy  B(0;2;0)
C là hình chiếu vuông góc của M trên Oz  C (0;0;3)
Áp dụng công thức tính diện tích: S ABC 

1
[ AB, AC ] .
2

Bài 8: Cho 3 điểm A(1; 2;3), B(2;0;1), C (0;0;1) . Tìm tọa độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:

Gọi I ( x; y; z ) là giao điểm 3 đường phân giác
A

AB(1; 2; 2), AC (1; 2; 2)
 AB  AC  3

Suy ra, tam giác ABC cân tại A
Suy ra, M là trung điểm của BC  M (1;0;1)
BM (1;0;0)  BM  1

I
B

C
M

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


BM IM 1


BA
IA 3
1
 IM 
IA  3IM   IA  3IM  AI  3(1  x;  y;1  z )  ( x  1; y  2; z  3)

3

x  1
3(1  x)  x  1

1
1 3


 3 y  y  2   y   I (1; ; )
2
2 2
3(1  z )  z  3 

3

 z  2
ABM :

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG: BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Thầy giáo: Nguyễn Quốc Chí
I/ Lý thuyết
*) Phương trình mặt cầu

1. Phương trình chính tắc
( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2

2. Phương trình tổng quát
x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

Tâm mặt cầu I (a; b; c); R  a 2  b2  c 2  d

(a 2  b2  c 2  d  0)

Bài 1: Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a.

x 2  y 2  z 2  8x  2 y  1  0

b. x2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  4  0
c.

x2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  0

d. x2  y 2  z 2  6 x  4 y  2 z  86  0
e. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  9
f.

( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1)2  81

Hướng dẫn giải:
b. I (2; 4;1); R  4  16  1  4  5
c. I (1; 2; 2); R  1  4  4  3
e. I (1; 2;3); R  3

Bài 2: Tìm m để mặt cầu sau đây xác định
a.

x2  y 2  z 2  2(m  2) x  4my  2mz  5m2  9  0

b. x2  y 2  z 2  2(3  m) x  2(m  1) y  2mz  2m2  7  0
Hướng dẫn giải:

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


a. I (m  2; 2m; m)
Suy ra, để tồn tại mặt cầu  (m  2)2  (2m)2  m2  (5m2  9)  0

 m 2  4m  5  0
m  1

 m  5
b) x2  y 2  z 2  2  3  m  x  2  m  1 y  2mz  2m2  7  0
Ta có a  3  m; b  m  1; c  m; d  2m2  7
Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì: a2  b2  c2  d  0

3  m

2

  m  1  m 2  2m 2  7  0

2

 9  6m  m 2  m 2  2m  1  m 2  2m 2  7  0
 m 2  4m  3  0
  m  1 m  3  0
m  3

.
m  1

Bài 3: Lập phương trình mặt cầu (theo 2 cách) biết
a. I (1; 3;5), R  3
b. I (5; 3;7), R  2
Hướng dẫn giải:
a. Chính tắc: ( x  1)2  ( y  3)2  ( z  5)2  3
Tổng quát: x2  y 2  z 2  2 x  6 y  10 z  32  0
Bài 4: Viết phương trình mặt cầu
a. Có tâm I (1; 2;1) và đi qua điểm M (2;3; 4)
b. Có tâm O và đi qua trung điểm của A(1;4;1) và B(1; 2;3)
c. Có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và đi qua gốc tọa độ. Biết A(1;1;3), B(9;1;1), C (4;1; 2)
d. Viết phương trình mặt cầu có đường kính là AB biết A(4; 3; 3), B(2;1;5)
Hướng dẫn giải:

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


IM (1;5;3)

a.  IM  1  25  9  35  R
 ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  35

b. Gọi trung điểm AB là M (1;3; 2)
Sau đó, làm tương tự ý (a)
c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  G(2;1; 2)
Sau đó, làm tương tự ý (a)
d. Mặt cầu có tâm là trung điểm của AB
 I (3; 1;1), R  IA
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua 4 đỉnh) A(5;7; 2), B(3;1; 1), C(9;4; 4), D(1;5;1)
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Gọi phương trình mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
A  ( S ) : 25  49  4  10a  14b  4c  d  0
B  ( S ) : 9  1  1  6a  2b  2c  d  0
C  ( S ) : 81  16  16  18a  8b  8c  d  0
D  ( S ) :1  25  1  2a  10b  2c  d  0

111

a


10a  14b  4c  d  78
10
8a  4b  6c  51

6a  2b  2c  d  11
33

226




 4a  8b  4c  16
 b 
d 
10
5
18a  8b  8c  d  113
16a  2b  10c  86


2a  10b  2c  d  27
 17
c  2


Bài 6: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm sau và có tâm nằm trong mặt phẳng (P)

 A(1; 2;0), B(1;1;3), C (2;0; 1)
a. 
( P)  (Oxz)
Hướng dẫn giải:
Gọi I (a;0; c)
IA(1  a; 2; c)
IB(1  a;1;3  c)
IC (2  a;0; 1  c)

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


(1  a) 2  22  c 2  (1  a) 2  1  (3  c) 2
 IA  IB



2
2
2
2
2
(1  a)  2  c  (2  a)  0  (1  c)
 IA  IC
4a  6c  6
a  3


 I (3;0;3)
2a  2c  0
c  3
 R  17

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –

GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN I)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
I/ Lý thuyết
*) Phƣơng trình mặt phẳng
1. Chính tắc
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

2. Tổng quát
Ax  By  Cz  D  0

n( A, B, C ) :vecto pháp tuyến

M ( x0 ; y0 ; z0 )  mp

*) Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến (P): Ax  By  Cz  D  0
d ( M ; P) 

Ax 0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

*) Góc giữa (P) và (Q) là 
(P) có vecto pháp tuyến là nP , (Q) có vecto pháp tuyến là nQ
cos =

nP .nQ
nP . nQ

*) Vị trí tƣơng đối (P) và (Q)

( P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
(Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
+ (P) và (Q) song song:

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

+ (P) và (Q) vuông góc: A1 A2  B1B2  C1C2  0
+ (P) và (Q) cắt nhau:

1

A1 B1 C1


A2 B2 C2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


+ (P) và (Q) trùng nhau:

A1 B1 C1 D1




A2 B2 C2 D2

Dạng 1: Lập phƣơng trình mặt phẳng

n( A; B; C )
Để lập phương trình mặt phẳng ta cần biết 

 M ( x0 ; y0 ; z0 )  mp

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT n cho trước với M (3;1;1), n(1;1; 2) .
Hƣớng dẫn giải:
( P) : 1( x  3)  1( y  1)  2( z  1)  0
  x  y  2z  0

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC biết
A(1; 2;4), B(3;2; 1), C (2;1; 3)
Hƣớng dẫn giải:
+ Gọi mặt phẳng cần tìm là (P)
( P)  BC  nP  BC  (5; 1; 2)
n (5; 1; 2)

+ Vì ( P) :  P
 ( P) : 5( x  1)  1( y  2)  2( z  4)  0
A
(1;

2;
4)



 5 x  y  2 z  11  0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với
a.

A(2;1;1), B(2; 1; 1)

b. A(1; 1; 4), B(2;0;5)
c.

A(2;3; 4), B(4; 1;0)

Hƣớng dẫn giải:
a) Gọi (P) là mp trung trực của AB. Khi đó, (P) nhận AB là VTPT và đi qua trung điểm M của AB

n  AB  (0; 2; 2)
( P) : 
 ( P) : 0( x  2)  2( y  0)  2( z  0)  0
 M (2;0;0)
 2 y  2 z  0
 yz 0
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và song song với mặt phẳng (  ) cho trước với
M (1; 2;1),( ) : 2x  y  3  0 .

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!

Hƣớng dẫn giải:
Vì ( ) / /(  )  n  n  (2; 1;0)
 ( ) : 2( x  1)  1( y  2)  0( z  1)  0
 2x  y  4  0

*) Chú ý: Tích có hướng của 2 vecto chỉ phương tạo thành 1 pháp tuyến [u1 , u2 ]  n
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp vecto chỉ phương a, b cho trước, với:
a. M (1; 2; 3), a(2;1; 2), b(3; 2; 1)
b. M (1; 2;3), a(3; 1; 2), b(0;3;4)
Hƣớng dẫn giải:
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm
 nP  [a, b]  (5;8;1)
 ( P) : 5( x  1)  8( y  2)  1( z  3)  0
 5 x  8 y  z  8  0

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A,B,C cho trước với A(1; 2;4), B(3;2; 1), C (2;1; 3) .
Hƣớng dẫn giải:
nABC  [ AB, AC ]
AB(2; 4; 5), AC (3;3; 7)
 nABC  (13; 29;18)

Mặt phẳng ( ) có VTPT nABC (13; 29;18) và đi qua điểm A(1; 2; 4)
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với:
a. M (1; 2;5),( P) : x  2 y  3z  1  0,(Q) : 2 x  3 y  z  1  0
b. M (1;0; 2),( P) : 2 x  y  z  2  0,(Q) : x  y  z  3  0
Hƣớng dẫn giải:
Vì ( )  ( P),(Q)
 n  [nP , nQ ]  (7; 7; 7)

 ( ) : 7( x  1)  7( y  2)  7( z  5)  0

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Bài 9: Cho điểm A(0; 1; 3), B(1;0; 2) . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và vuông góc với mặt
phẳng (Q) : 2 x  y  z  1  0
Hƣớng dẫn giải:
(P) chứa AB,  (Q)  nP  [ AB, nQ ]
Vậy (P) có VTPT nP và đi qua điểm A.

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (PHẦN 2)
II/ Khoảng cách
*) Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến ( P) : Ax  By  Cz  D  0
d ( M ; P) 

Ax 0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

*) Ví dụ: M (2;1;3) đến ( P) : x  2 y  2 z 1  0

d ( M ; P) 

2  2  6 1
1 4  4



5
3

Bài 11:
a. Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm N và mặt phẳng (P). Biết
( P) : 2x  2 y  z  5  0, N (1;2; 2)

( P ) : x  y  z  1  0
b. Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho M cách đều 2 mặt phẳng 
(Q) : x  y  z  5  0
Hướng dẫn giải:
a. Gọi M (a;0;0) .
d ( M ; P) 

2a  5
22  22  1



2a  5
3

MN (1  a;2; 2)  MN  (1  a ) 2  4  4

2a  5
 (1  a ) 2  8
3
(2a  5) 2

 (1  a ) 2  8
9







 4a 2  20a  25  9 a 2  2a  1  72
 5a 2  2a  56  0

 Phương trình vô nghiệm

 Không tồn tại điểm M thỏa mãn bài toán.
b.  M (0; b;0)

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


 d ( M ; P) 
 d ( M ; Q) 

b 1
111
b  5

111
 d ( M ; P)  d ( M ; Q)


b 1



b 1



3
b5



.

3

b5

3
3

 b 1  b  5
b  1  b  5
VN


 M  0; 3; 0  .
b  1  b  5
 b  3

Bài 12:
a. Lập phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với AB, trong đó A(0; 2;4), B(2; 1;2) , biết khoảng cách từ
C (1; 2;3) đến (Q) bằng 2

Hướng dẫn giải:

nQ  AB  (2;1; 2)
Gọi phương trình mặt phẳng: 2 x  y  2 z  D  0

d (C , Q) 

226 D



D2

2
3
4 1 4
(Q ) : 2 x  y  2 z  8  0

D  2  6
D  8


 1
 D  2  6
 D  4
(Q2 ) : 2 x  y  2 z  4  0
b. Lập phương trình mặt phẳng (R ) song song với ( P) : x  2 y  2 z  3  0 . Biết khoảng cách từ M (1; 2; 2) đến
(R ) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến O
Hướng dẫn giải:

nR  nQ  (1; 2; 2)
Gọi ( R) : x  2 y  2 z  D  0
d ( M ; R) 

1 4  4  D
1 4  4



D 1
3

MO(1;2; 2)  MO  1  4  4  3


D 1
( R1 ) : x  2 y  2 x  17  0
 D  17

6

3
 D  19
( R2 ) : x  2 y  2 z  19  0

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


( P ) : 2 x  y  4 z  5  0
c. Lập phương trình mặt phẳng ( ) vuông góc với 
và cách điểm A 1;2;2  một khoảng
(Q) : 3x  5 y  z  1  0
bằng 4.
Hướng dẫn giải:


    P 
Ta có 
 n  [nP , nQ ]=  19; 14; 13 .


Q







Khi đó phương trình mặt phẳng   có dạng: 19 x  14 y  13z  d  0.
Lại có: d  A;     4 

19.1  14.2  13.2  d
192  142  132

4

 35  d  4.11 6
35  d  44 6
 d  44 6  35


.
35  d  44 6
 d  44 6  35
1  :  19 x  14 y  13z  44 6  35  0

.
 2  :  19 x  14 y  13z  44 6  35  0
*) Góc giữa (P) và (Q) là 
(P) có vecto pháp tuyến là nP , (Q) có vecto pháp tuyến là nQ
cos =

nP .nQ
nP . nQ

Chú ý: 0    90o

Bài 1: Tính góc giữa 2 mặt phẳng

x  y  z 1  0
a. 
x  y  z  5  0

x  2 y  2z  1  0
b. 
2 x  2 y  z  5  0

4 x  4 y  2 z  7  0
c. 
2 x  4 z  5  0


2 x  y  2 z  3  0
d. 

 2 y  2 z  12  0

Hướng dẫn giải:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


n1  1; 1; 1
1.1  1.1  1.1 1

1
a) 
 cos  
    arccos  70,50.
3
3
3. 3
n2  1; 1; 1
n1  1; 2; 2 
2  2.2  2 4
4
b) 
 cos  
    arccos  63,60.
9
9
9. 9
n2   2; 2; 1
n (4;4; 2)
8 08
c)  1
 cos =
 0    90o
36. 20
n2 (2;0;4)
n1   2; 1; 2 
 2 2 2
2

d) 

 cos  

   450.
2
9. 4
n2  0; 2; 2





Bài 2: Tìm m để góc giữa 2 mặt phẳng sau bằng  cho trước:
(m  2) x  2my  mz  5  0

mx  (m  3) y  2 z  3  0
  90o


Hướng dẫn giải:

(m  2)m  2m(m  3)  2m
n1 (m  2; 2m; m)
 cos90o 
0

2
n2 (m; m  3; 2)
(m  2) 2   2m   m 2 . m 2  (m  3) 2  22

 3m 2  6m  0

m  0

m  2

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!