Chuyên đề ôn thi hình 12 quan trọng bài toán cực trị trong hình giải tích trong không gian

BÀI GIẢNG: TÌM ĐIỂM CÓ YẾU TỐ MIN, MAX
MÔN TOÁN LỚP 12 - THẦY NGUYỄN QUỐC CHÍ
I/ Tìm điểm thuộc mặt phẳng
*) Khoảng cách Đại số

d ( M ; P) 

Ax o  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2

(khoảng cách thường d ( M ; P) 

Ax o  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2

)

*) Xét sự cùng phía, trái phía 2 điểm với mặt phẳng
d ( A; P).d ( B; P)  0  A, B trái phía
d ( A; P).d ( B; P)  0  A, B cùng phía

VD1: Cho A(1;3;1) và B(2;0; 4) và ( P) : x  z  4  0 . Tìm M  ( P) sao cho (MA+MB) min.
Hướng dẫn giải:

11 4
 2
11
244
d ( B; P) 
 2
11

d ( A; P) 

A

Suy ra A, B khác phía với (P)
AM  MB  AB  min  AM  MB   AB

M

Suy ra A, B, M thẳng hàng

AB(1; 3;3)

B

x  t 1
 y  3t  3

 AB : 
 z  3t  1
 x  z  4  0
 t  1  3t  1  4  0  t 

1
3 3 5
M ; ; 
2
2 2 2

VD2: Cho A(0; 0;1) và B(1;1;1) và ( P) : x  y  z  4  0 . Tìm M  ( P) sao cho (MA+MB) min.

Hướng dẫn giải:
A, B cùng phía
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua (P)

1

Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh –Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A

 BB '  ( P )  BB '  nP  (1;1;1)

 B (1;1;1)
x  t 1
 y  t 1

 BB ' : 
z  t 1
( P ) : x  y  z  4  0

B

M

 (t  1)  (t  1)  (t  1)  4  0
t

1

4 4 4
H ; ; 
3
3 3 3

B’

Vì H là trung điểm BB’
H 

B  B'
8 8 8
5 5 5
 B '  2 H  B   ; ;   1;1;1   ; ; 
2
3 3 3
3 3 3

5 5 2 1
AB '   ; ;    5; 5; 2  .
3 3 3 3

 x  5t

Phương trình đường thẳng AB ' :  y  5t .
 z  1  2t

Để MA  MB min thì M  AB '  P 

M  AB '  M  5t ; 5t ; 1  2t  .

M   P   5t  5t  1  2t  4  0  t 

1
4

5 5 3
 M  ; ; .
4 4 2
VD3: Cho A(2;0;0) và B(0;1;0) , ( P) : x  y  z  1  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  MB max.
Hướng dẫn giải:
A,B cùng phía

A

AM  BM  AB

B

Dấu “=”  A,B,M thẳng hàng

M
M

2

Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh –Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


 x  2t  2


 AB(2;1;0)
y  t
 AB : 

 A(2;0;0)
z  0
( P) : x  y  z  1  0
 2t  2  t  0  1  0  t  3
 M (4;3;0)

A

TH: A,B khác phía
B’

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua (P)

M

Khi đó, M là giao điểm của AB’ và (P)
M

B

II/ Điểm thuộc đường thẳng
+) Đưa M (tham số)
+) Lập công thức

 Biến về bài toán Min, Max

VD5: Cho d :

x y z
   t và A(0;0;3), B(0;3;3) . Tìm M  (d ) sao cho (MA+MB) min
1 1 1

Hướng dẫn giải:

M (t ; t ; t )
AM (t ; t ; t  3)  AM  t 2  t 2  (t  3) 2
BM (t ; t  3; t  3)  BM  t 2  (t  3) 2  (t  3) 2
 AM  BM  3t 2  6t  9  3t 2  12t  18
f (t )  3t 2  6t  9  3t 2  12t  18
 f '(t ) 

6t  6
2 3t 2  6t  9

Cho f '(t )  0  t 



6t  12
2 3t 2  12t  18

3
2

3 3 3
M ; ; 

2 2 2

VD6: Cho  :

3

x  1 y 1 z  2
. Tìm K  sao cho KA  KB  3KC min, A(1;1;0), B(3; 1;4), C (1;0;1)


1
1
2

Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh –Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Hướng dẫn giải:

K (t  1; t  1; 2t  2)
KA(2  t ; t ; 2  2t )
KB(4  t ; 2  t;6  2t )
3KC (3t ; 3  3t ;9  6t )
 KA  KB  3KC  (t  6; t  1; 2t  1)  (t  6) 2  (1  t ) 2  (2t  1) 2  6t 2  6t  38
 y' 

12t  6
2 6t 2  6t  38

4

0t 

1
 3 3

 K  ; ; 3 
2
 2 2


Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh –Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG: GẮN TRỤC OXYZ (TIẾT 1)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
I. Giới thiệu
*) Tình huống áp dụng:
+) Xác định chiều cao của khối đa diện
*) Những bài toán hay được áp dụng
Khi thấy những bài toán khó
+) Tính góc: Góc giữa đường và đường
Góc giữa đường và mặt
Góc giữa mặt và mặt
+) Khoảng cách: Điểm đến mặt phẳng
Hai đường thẳng chéo nhau

+) Mặt cầu ngoại tiếp
+) Thể tích
*) Cách sử dụng:
+) Gốc tọa độ (chân đường cao của hình)
+) Oz: Chiều cao của hình
+) Ox: Chọn bừa
+) Oy: Chọn vuông góc với Ox.
+) Tìm tọa độ các điểm của hình vẽ.
+) Áp dụng công thức
*) Các kiểu đặt trục
+) Kiểu 1: Đặt ăn ngay
+) Kiểu 2: Vẽ thêm trục Oy.
+) Kiểu 3: Lăng trụ, hình hộp
KIỂU 1: ĐẶT ĂN NGAY
Câu 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là trung
điểm của BC (Tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng:
A. 900

B. 300

C. 600

D. 450

Hướng dẫn giải
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


OA  OB

 OA   OBC 

OA  OC

Đặt trục:
+) Điểm O  0;0;0 
+) 3 trục tọa độ như hình vẽ
+) Điểm: Giả sử OA  OB  OC  1 ta có:
1 1 
A  0;0;1 ; B 1;0;0  ; C  0;1;0  ; M  ; ;0 
2 2 
+) Góc giữa OM và AB :

) cos  

OM.AB
OM . AB

1 1 
) OM   ; ;0  ; AB  1;0; 1
2 2 
1
1
1
 OM.AB  .1  .0  0.  1 
2
2
2
1 1
2

2
OM 
 
; AB  12   1  2
4 4
2
1
1
2
 cos  
    600
2
2
. 2
2
Chọn đáp án C.
Câu 2 : Cho chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy. ABCD là hình vuông cạn a. Góc tạo bởi SD và mặt
đáy bằng 450.
a) Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh AM vuông góc SC.
b) Tính khoảng cách giữa SC và AD.
A.

a 3
2

B. a 2

C.

a 2

2

D. 2a

Hướng dẫn giải

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


*) Đặt trục vào điểm A
+) Gốc A  0;0;0 
+) 3 trục
+) Điểm: Chọn a  1
 1 1
S  0;0;1 ; D 1;0;0  ; B  0;1;0  ; C 1;1;0  ; M  0; ; 
 2 2



a) Chứng minh AM  SC AM.SC  0



 1 1
) AM   0; ; 
 2 2
SC  1;1; 1

1
1
 AM.SC  0.1  .1   1  0  AM  SC
2
2
 u1 ; u 2  .A1A 2


b) d  1 ;  2  
 u1 ; u 2 



) d  SC; AD  

trong đó u1 ; u 2 lần lượt là VTCP của 1 ,  2 ; A1  1 ; A 2   2

SC; AD  .SA


SC; AD 



SC  1;1; 1 ; AD  1;0;0  ; SA   0;0; 1
Vector về máy tính
Bước 1: MODE 8  1  1  Nhập dữ liệu
Ấn ON
Bước 2 : Shift  5  1  2  1 (Dim : nhập thêm)  Nhập dữ liệu
Ấn ON

Bước 3: Shift  5  1  3  1  Nhập dữ liệu

Bước 4: Tử  VectoA.VectoB  .VectoC
Mẫu VectoA  VectoB  2
 ) d  SC; AD  

SC; AD  .SA
1



2
SC; AD 



Chọn đáp án C.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Ví dụ: SA   0;1;0  ; SB   2; 1;3 ; AC  1;1;0  .

SA;SB .AC

Tính 
SA;SB



Hướng dẫn giải
Tử  VectoA  VectoB  .VectoC  1
Mẫu: VectoA  VectoB  13

SA;SB .AC
1



SA;SB
13


Câu 3: Chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với trung điểm H của AB. Biết rằng SCD đều cạnh 2a và BC = a. Tính khoảng cách từ A đến
(SCD).
A.

a 6
2

B.

a 3
3

C.

a
4

D.

a 6
3

Hướng dẫn giải:
+) Đặt H  0;0;0 
+) 3 trục
+) Điểm



SH  SC2  HC2  a 2  S 0;0; 2



A 1;0;0  ; B  1;0;0  ;
D 1;1;0  C  1;1;0 
) d  A;  SCD  

Lập phương trình (SCD)

n  SC;SD 



di qua C  1;1;0 













SC  1;1;  2 ; SD  1;1;  2  SC;SD   0; 2 2; 2  n
  SCD  : 0  x  1  2 2  y  1  2z  0  2y  z  2  0
) d  A;  SCD   

2.0  0  2
2 1



2
6

3
3

Chọn đáp án D.

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham
khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng:
A.

2
2

B.

3
3

C.

2
3

D.

1
3

Hướng dẫn giải
+) Đặt O  0;0;0 

 2
 
 
2
2 
 D 
;0;0  ; B  
;0;0  ; C  0;
;0  ;
 2
  2
  2


 2
2  
2
2
A  0; 
;0  ; S  0;0;
;0;
 ; M 

2
2 
4 

 
 4

+) Góc giữa BM và (ABCD)
BM.SO
 sin  
BM . SO

3 2

2
2
BM  
;0;
 ; SO   0;0;

4 
2 
 4

 sin  

10
10

10
1
 Ans  tan Ans  tan  
10
3
Chọn đáp án D.
 SHIFT SIN

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp S.ABCD?
B. R  a 2

A. R  a

C. R  a 3

D. R  2a

Hướng dẫn giải





A  0;0;0 ; B  0;1;0  ; S 0;0; 2 ; D 1;0;0  ; C 1;1;0 
1 1 
I  ; ;0 
2 2 
+) Lập phương trinh trục Ix của đáy

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!




Ix / /SA  u  SA  0;0;  2


1 1 
qua I  ; ;0 
2 2 

1

x


2

1

 Ix :  y 
2

z  2t





1 1

+) Tâm mặt cầu là H  H  Ix  H  ; ; 2t 
2 2



) HS  HA
2

2

1 1
     
2 2



2t  2



2

2

2

1 1
     
2 2

 2t 

2

 2t  2   2t
 2 2t  2  t 

1
2
2

2
2

1 1  2
 R  HS        
 2   1
2 2  2


Chọn đáp án A.

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


GẮN TRỤC OXYZ (TIẾT 2)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
3a

, hình chiếu vuông góc của S
2
trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích chóp S.ABCD và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBD).
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

Hướng dẫn giải
+) Đặt H  0;0;0 

a2 a 5
HD  a 

4
2
2

9a 2 5a 2

a
4
4
 a

a

B   ;0;0  ; D  ; a;0  ;
 2

2


SH  SD 2  HD 2 

a

) A  ;0;0  ;
2

 a

C   ; a;0  ; S  0;0; a 
 2


1
 SA; SB  .SC

6
 a

 a

SB    ;0; a  ; SC    ; a; a 
 2

 2


) VS . ABCD  2VS . ABC  2.
a


SA   ;0; a  ;
2


  SB; SC    0; a 2 ;0 
  SA; SB  .SC  a 3
 VS . ABCD 

a3
3

+) Lập phương trình mặt phẳng (SBD):


a2
 a

a

SB    ;0; a  ; SD   ; a; a    SB; SD    a 2 ; a 2 ; 
2
 2

2



 1 2
  a  2; 2; 1

 2

  SBD  nhận n   2; 2; 1 là VTPT.

 Phương trình (SBD): 2 x  2 y  z  a  0

 d  A;  SBD   

1

a00a
22  22  12



2a
.
3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a , SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Đặt hệ
trục tọa độ và tìm tọa độ các đỉnh.
Hướng dẫn giải
+) Góc giữa (SBC) và (ABC)
Giao tuyến BC.
SA   ABC 

AB  BC
   SAB  ;  ABC    ABS  300
+) Đặt A  0;0;0 
Kẻ thêm Cy  Cx (Vẽ song song với đường vuông góc sẵn với
Ox)
+) Vẽ BH  Ox , Oy / / BH
+) Xét tam giác vuông SAB có
SA  a.tan 300 


a 3
3
 S  0;0;

3
3 


+) Xét tam giác vuông cân ABC có AC  a 2  C
+) AH  BH 

+) MH 



2;0;0



 2 2 
1
a 2
AC 
 B 
;
;0 
2
2
 2 2


 2
1
a 3
3
SA 
 M 
;0;

2
6
6 
 2

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB   BCD  . Tam giác BCD đều cạnh a. Góc giữa (ACD) và (BCD) bằng
600. Đặt hệ trục tọa độ và tìm tọa độ các đỉnh.
Hướng dẫn giải
+) Góc giữa (ACD) và (BCD)
Giao tuyến CD.

AB   BCD 
BH  CD

 ACD  ;  BCD   BHA  60

0

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


+) Đặt B  0;0;0 
+) Chọn Bx  BD
+) Kẻ CK  Bx, By / /CK  By  Bx
A  0;0; AB  ; D  BD;0;0  ; C  BK ; CK ;0 

Tam giác BCD đều cạnh
a 3
a 3
3a
3a 

a  BH 
 AB 
.tan 600 
 A  0;0; 
2
2

2
2 

a a 3 
D  a;0;0  ; C  ;
;0 
2 2


Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  300 , SBC là tam giác đều cạnh a và
mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng (SAB)?
Hướng dẫn giải
+) Đặt H  0;0;0 
+) Dựng AM  Ox
+) Vẽ Oy / / AM  Oy  Ox

a 3 a
  a

+) S  0;0;
 ; C  ;0;0  ; B   ;0;0 
2  2
  2


A  MH ; AM ;0 

Xét tam giác vuông ABC có

a 3
a 3
 AM  AB.sin 300 
2
4
3a
a 3a
a
BM  AB.cos 300 
 MH  

4
2 4
4
AB  BC.cos 300 

 a a 3 
 A  ;
;0 
4
 4



 a a 3
a 3
a
;
 SA    ;
   1;  3; 2 3

2 
4

 4 4
Ta có: 
 a
a 3
a

 SB    2 ; 0;  2    2 1; 0; 3 .








3





Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!






 n SAB    SA, SB   3; 3; 3   3
  SAB  :





3; 1; 1 .


a 3
3 x  y   z 
0
2 


 2 3 x  2 y  2 z  a 3  0.
 d  C ;  SAB   

a
2 3.  a 3
2

2 3

2



 22  22

2 3a
2 5

15
a.
5



Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C  a và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a?
A.

a 5
6

B.

a 6
3

C.

a 6
6

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông cân A’AC có AA '  AC 
Xét tam giác vuông cân ABC  AB  BC 

a
2

a
.
2

+) Đặt A  0;0;0 

a 

a
  a  a a 
+) A '  0;0;
 ; D  2 ;0;0  ; B  0; 2 ;0  ; C  2 ; 2 ;0 
2

 
 


Cách 1: Nhanh (Hình lăng trụ đứng)

 Điểm B’ giống B ở x, y, thêm trục Oz.
a 
a
 a a 

a a a 
 D '  ;0;
; B '  0; ;
; C ' ; ;



2
2
 2 2
2 2 2

a a a 
a

BC   ;0;0  ; BD '   ;  ;

2

2 2 2

a2 2 a2 
a2
  BC ; BD '   0; 
;    
0; 2;1
4
4
4








a
a 2

 pt  BCD ' : 0  x  0   2  y    1 z  0   0  2 y  z 
0
2
2

 d  A;  BCD '  

a 2
2
2 1



a 6
6

Chọn đáp án C.

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử

- Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB  2 3; AA '  2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng:
Hướng dẫn giải

A  0;0;0 
A '  0;0; 2 


B





C 2 3;0;0  C 2 3;0; 2



3;3;0  B '



 3 3 
M 
; ; 2  ; N
2
2 



3;3; 2







3 3 3 
3;0; 2 ; P 
; ;0 
2
2 




+) Góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP)

n1   AB '; AC '
AB ' 







3;3;0 ; AC '  2 3;0; 2



 n1  6; 2 3; 6 3



n2   MN ; MP 
 3 3 
MN  
;  ;0  ; MP 
2 
 2





3;0; 2




3 3
 n2   3; 3;

2 








 3 23

6.3  2 3 . 3  6 3 .
 cos  

n1.n2
n1 n2





6  2 3
2

  6 3  .
2

2

3 
2

 3

2

3 3


 2 

2



15
15
13


5 3 15 13 13
2 39.
2

Câu 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC  2a . Hình chiếu vuông
góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC)
góc 450. Tính góc giữa A’B và B’C?
A. 600

B. 300

C. 900

Hướng dẫn giải

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


) H  0;0;0 
) C 1;0;0  ; A  1;0;0  ; B  0;1;0  ; A '  0;0;1
) A ' C '  AC
 C ' A '   2;0;0 
 C '   2;0;0    0;0;1   2;0;1
) A ' B '  AB
 B ' A '  1;1;0 
 B '  1;1;0    0;0;1  1;1;1
) A ' B   0;1; 1 ; B ' C   0; 1; 1
 cos  A ' B; B ' C  

A ' B.B ' C
A ' B . B 'C

 0  s  A ' B; B ' C   900

Chọn đáp án C.

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

BÀI GIẢNG: MỘT SỐ KỸ NĂNG BẤM MÁY TÍNH
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
Câu 1: Vectơ a  1; 3; 4  có độ dài là:
A. a  21

B. a  22

C. a  23

D. a  26

Hướng dẫn giải
+) Chuyển máy về chế độ Vectơ : MODE + 8

Nhập vectơ a :

 a  26

+) Shift + 5 + Shift + Hyp
Chọn đáp án D.

Câu 2 : Cho a   5; 2;1 ; b   2;3; 1 ; c  3;3;1 . Vectơ u  5a  3b  2c có tọa độ là :
A. u   25; 7;0 

B. u   6; 7;5

C. u   26; 7;5

D. u   6; 7;15

Hướng dẫn giải

Nhập a : Mode + 8 + 1 + 1

Nhập b : Shift + 5 + 1 + 2 + 1

Nhập c : Shift + 5 + 1 + 3 + 1

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 Chọn đáp án A.

Tính :

Câu 4: Cho a  1; 2;1 ; b   2; 4;1 ; c  3;1; 2  . Biểu thức P  a.b  a.c có giá trị bằng:
A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Hướng dẫn giải
Nhập các vectơ a, b, c .
Shift + 5 + 7 (Dot): Nhân vô hướng

 Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho a   3; 2;1 ; b  1; 1;5 . Góc giữa hai vectơ a, b là:
A. 710

B. 720

C. 730

D. 740

Hướng dẫn giải

 

a.b

cos a; b 

a.b

Nhập các vectơ a, b .

 a.b  6

 a . b  19, 44  378

 

 cos a; b 

 

6
 a; b  720
378

Chọn đáp án B.
Câu 3 : Cho a  1;1;3 ; b   2; 4;5 . Tích có hướng a;b  có tọa độ là :

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


A. 17; 11; 2 

B.  17;11; 2 

C. 17;11; 2 

D.  17;11; 2 

Hướng dẫn giải
Nhập các vectơ a, b .

 Chọn đáp án A.
Câu 6 : Cho a   2;1;3 ; b   3; 4; 1 ; c  1;1; 2  . Biểu thức a;b  .c có giá trị bằng :
A. -9

B. -10

C. -11

D. -12

Hướng dẫn giải

 Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho ba điểm A  3;1; 4  ; B  5; 1; 2  ; C  3; 2;1 . Diện tích tam giác ABC là:
A.

25

B.

26

C.

27

D.

28

Hướng dẫn giải

1
 AB; AC 

2
AB   2; 2; 2  ; AC   0;3; 1

SABC 

Nhập AB; AC

 26 .

Tính:
Chọn đáp án B.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO – TIẾT 1
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
* Các dạng bài:
+) Lập phương trình

+) Min, max
+) Đếm
Biết: Vẽ hình + Cơ bản
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai
x2 y z
x y 1 z  2
đường thẳng d1 :
  ; d2 : 

1
1 1
2
1
1
A.  P  : 2x  2z  1  0

B.  P  : 2y  2z  1  0

C.  P  : 2x  2y  1  0

D.  P  : 2y  2z  1  0

Hướng dẫn giải

) n  P    u1; u 2 
u1   1;1;1 ; u 2   2; 1; 1
 n  P    0;1; 1
 1 
Chọn A  2;0;0  ; B  0;1; 2   M 1; ;1
 2 

1

  P  :  y     z  1  0  2y  2z  1  0
2


Chọn đáp án B.

 x  2  3t
x  4 y 1 z

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y  3  t và d ' :
.


3
1

2
z  4  2t

Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’, đồng thời cách đều
hai đường thẳng d và d’?
A.

x 3 y  2 z 2


3
1

2

1

B.

x 3 y2 z2


3
1
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


C.

x 3 y2 z2


3
1
2

D.

x 3 y 2 z 2



3
1
2

Hướng dẫn giải
Nhận thấy d // d’.

) u   u d   3;1; 2 
Lấy A  2; 3; 4   d; B  4; 1;0   d '  M  3; 2; 2   

  :

x 3 y  2 z 2


3
1
2

Chọn đáp án A.
 8 4 8
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  2; 2;1 ; B   ; ;  . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn
 3 3 3
nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là:

A.

x 1 y  3 z 1



1
2
2
1
5
11
y
z
3
3
6
1
2
2

B.

x

C.

x 1 y  8 z  4


1
2
2
2
2

5
y
z
3
3
3
1
2
2

x

D.

Hướng dẫn giải:
4 loại:
+) Trọng tâm
+) Ngoại tiếp
+) Trực tâm
+) Nội tiếp
+) Bước 1: Tìm D  a; b;c 
Do OD là phân giác
OA AD 3
AD
3


 

OB BD 4

4
BD
 4AD  3BD

8
4
8

 4  a  2; b  2;c  1  3  a  ; b  ;c  
3
3
3

  4a  8; 4b  8; 4c  4    3a  8; 3b  4; 3c  8 

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



a  0
4a  8  3a  8

12


 12 12 
 4b  8  3b  4  b   D  0; ; 

7
 7 7
4c  4  3c  8


 12
c  7
+) Bước 2: Tìm điểm I
Tương tự bước 1 với tam giác OAD. Gọi I  x; y; z 

OA OI 7
OI
7

 

AD DI 5
5
DI
 5OI  7DI
12
12 

 5  x; y; z   7  x; y  ; z  
7
7

5x  7x
x  0



 5y  7y  12   y  1  I  0;1;1
5z  7z  12
z  1



 Phương trình đường thẳng cần tìm:

x 1 y  3 z 1


1
2
2

Chọn đáp án A.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  4;6; 2  ; B  2; 2;0  và mặt phẳng

 P  : x  y  z  0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó?
A. R  6

B. R  2

C. R  1

D. R  3

Hướng dẫn giải

+) Dựng AK   P 

x  4  t

) AK :  y  6  t
z  2  t


P : x  y  z  0

 4  t  6  t  2  t  0  3t  12  0  t  4  K  0; 2; 2 

d  AH
) 
 d   AHK   d  HK
d  AK
 HB  HK

 HBK vuông tại H.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 H thuộc đường tròn đường kính BK  R 

BK 2 6


 6
2
2

Chọn đáp án A.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  3; 2;6  ; B  0;1;0 và mặt cầu

 S :  x  1

2

  y  2   z  3  25 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt  S  theo
2

2

giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c ?
A. T  3

B. T  5

C. T  2

D. T  4

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pytago ta có: r 2  IH 2  25 , r nhỏ nhất  IH lớn nhất  d  I;  P   lớn nhất.
+) Dựng IK  AB  IHK vuông tại H.
 IH max  IK  IH  IK

 x  3t

+) Phương trình AB:  y  1  3t  K  3t;1  3t;6t 
z  6t

) IK   3t  1; 3t  1;6t  3 ; AB   3;3; 6 
IK.AB  0  9t  3  9t  3  36t  18  0  t 

1
3

 IK   0; 2; 1

IK   P   IK / /n  P   a; b;c   a  0

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


3a  2b  6c  2  0 a  0

A   P  

) 
 0a  b  0c  2  0  b  2  T  a  b  c  3

a  0

c  1
B   P 


Chọn đáp án A.

 P  : x  2y  2z  3  0 và mặt cầu
N   S sao cho vecto MN cùng phương

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

S : x 2  y2  z2  2x  4y  2z  5  0 . Giả sử điểm M   P  và
với vecto u  1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN?
B. MN  1  2 2

A. MN  3

C. MN  3 2

D. MN  14

Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2;1 ; R  1

d  I;  P   

) cos  

1  4  2  3
2

3

1; 2; 2  . 1;0;1



1  2  2 . 1  0 1
NH
NH
) cos  
 MN 
 2NH
MN
cos 
2

2

2

2

2

2

1
   450
2

+) MN max  NH max (như hình vẽ)

NH  NI  IH  1  2  3  MN  3 2
1 3 
S : x 2  y 2  z 2  8 . Đường thẳng d
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm M  ;
 2 2 ;0  và mặt cầu  


thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu  S  tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác
OAB?
A. S  2 2

5

B. S  2 7

C. S  4

D. S  7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Hướng dẫn giải

1
SOAB  OH.AB  AH.OH
2

Áp dụng định lí Pytago ta có
AH 2  OH 2  8  AH  8  OH 2
 SOAB  8  OH 2 .OH

Xét hàm số y  8  x 2 .x  0  x  1 (Do OH  OM )
Sử dụng MTCT  SOAB max  7 .
Chọn đáp án D.

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!