ĐỀ bài toán cực trị trong hình giải tích trong không gian có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE –TÌM ĐIỂM CÓ YẾU TỐ MIN - MAX
I. Mục tiêu đề thi:
Đề thi xét các bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt cầu để giá trị của
một biểu thức T nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
II. Nội dung đề thi
Câu 1. (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  2 z  6  0 . Tìm M  ( P)



sao cho xM2  yM2  zM2
A. M (1;3;1)



nhỏ nhất.
B. M (3;1;1)

C. M 1;1; 2 

1 7 5
D. M  ; ; 
3 3 3

Câu 2. (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1; 1), B(1;3; 1) và mặt phẳng

( P) : x  y  2 z  6  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  MB nhỏ nhất.
A. M (1;3;1)

B. M (0;0;3)

C. M (6;0;0)

D. M (2; 2;1)

Câu 3. (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1), B(1;3; 1), C (0, 2,5) và mặt
phẳng ( P) : x  y  2 z  6  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  MB  MC nhỏ nhất.
A. M (1;3;1)

B. M (3;1;1)

7 1 5
C. M  ; ; 
 3 3 3

1 7 5
D. M  ; ; 
3 3 3

Câu 4. (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1), B(1;3; 1), C (0, 2,3) và mặt
phẳng ( P) : x  y  2 z  6  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  MB  2MC nhỏ nhất.
A. M (1;3;1)

B. M (3;1;1)

7 1 5
C. M  ; ; 
 3 3 3

1 7 5
D. M  ; ; 
3 3 3

Câu 5. (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(1;3; 1), C (0, 2,3) và
mặt phẳng ( P) : x  y  2 z  6  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  2MB  3MC nhỏ nhất.

 1 43 16 
A. M   ; ; 
 18 18 9 

 1 43 16 
B. M  ; ; 
 18 18 9 

 1 4 16 
C. M  ; ; 
 18 9 9 

1 7 5
D. M  ; ; 
3 3 3

Câu 6: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 2;1) và B(2;0; 4) và ( P) : x  y  z  4  0 .
Tìm M  ( P) sao cho (MA+MB) min.
A. M  2; 2;0 

2 4 
B. M  ; ; 2 
3 3 

1 2 4
C. M  ; ; 

3 3 3

D. M (0;2;2)

Câu 7: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 2;1) và B(2;0; 4) và ( P) : x  y  z  0 .
Tìm M  ( P) sao cho (MA+MB) min.


2 2 
A. M  ;  ;0 
3 3 

2
2
B. M  ;0;  
3
3

 2 2
C. M   ;0; 
 3 3

 2 2 
D. M   ; ;0 
 3 3 

Câu 8: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;1) , B(1;1;0) và mặt phẳng
(P) có phương trình ( P) : x  y  z  1  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  MB max.

4 1


A. M  2; ;  
3 3


 2 4 1
B. M   ; ;  
 3 3 3

 2 4

C. M   ; ; 1
 3 3


4 1

D. M  2;  ;  
3 3


Câu 9: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;0) và B(1;0; 1) và mặt phẳng (P) có
phương trình ( P) : x  2 y  z  2  0 . Tìm M  ( P) sao cho MA  MB max.

1 3
A. M  ;0; 
2 2

B. M  3;0; 1

C. M  1;0;3

D. M  0;1;0 

Câu 10: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  2 y  3z và A(0;0;1), B(0;1;0) . Tìm

M  (d ) sao cho MA2  MB 2 min
A. M (6; 3; 2)

B. M (6;3; 2)

5 
 15 15
C. M   ;  ;  
 49 98 49 

 15 15 5 
D. M  ; ; 
 49 98 49 

Câu 11. (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) , B(2;0;1) . Tìm tọa độ
điểm M thuộc trong mặt phẳng (Oyz) sao cho : MA2  MB 2 đạt giá trị bé nhất.
A. M (0;1;0)

B. M (0; 2;1)

C. M (0;1; 2)

D. M (0; 1;1)

Câu 12: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  z và A(0;0;1), B(0;1;0) . Tìm

M  (d ) sao cho AM  BM min.
A. M (1; 1; 1)

B. M (1;1;1)

1 1 1
C. M  ; ; 
3 3 3

 1 1 1
D. M   ;  ;  
 3 3 3

Câu 13: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  z và A(0;0;1), B(0;1;0), C (1;0;0) .
Tìm M  (d ) sao cho AM  BM  CM min.
A. M (1; 1; 1)

B. M (1;1;1)

1 1 1
C. M  ; ; 
3 3 3

 1 1 1
D. M   ;  ;  
 3 3 3

Câu 14(thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;1), B(0;1;0), C (1;0;0) và phương trình

d : x  y   z . Tìm M  d sao cho MA  MB  MC min.

A. M (1; 1;1)

B. M (1;1; 1)

1 1 1
C. M  ; ;  
3 3 3

Câu 15. (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

M  d sao cho OM đạt giá trị nhỏ nhất.

 1 1 1
D. M   ;  ; 
 3 3 3
x 1 y  2 z  3
. Tìm


3
2
1


 8 4 16 
C. M   ; ;  
 7 7 7

 8 4 16 
B. M   ; ; 
 7 7 7

A. M (4;4;4)

D. M 1; 2;3

Câu 16. (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;3) và đường thẳng
x 1 y  2 z  3
. Gọi B là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oyz). Tìm M  d sao cho BM đạt giá
d:


3
2
1
trị nhỏ nhất.

 10 16 22 
A. M  ; ; 
7 7 7 

 4 12 20 
C. M  ; ; 
7 7 7 

 2 8 18 
B. M   ; ; 
 7 7 7

 8 4 16 
D. M   ; ; 
 7 7 7

Câu 17. (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  1  z  1 và
A(2;1;0), B(4; 5;3) . Tìm M  (d ) sao cho (MA+MB) nhỏ nhất.
A. M (1; 2;0)

B. M (1;0; 2)

D. M (0; 1;1)

C. M (2;1;3)

Câu 18. (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  1  z  1 và
A(2;1;0), B(4; 5;3) . Tìm M  (d ) sao cho MA  MB nhỏ nhất.
 1 3 1
B. M   ;  ; 
 2 2 2

1

A. M  1;0; 
2


1
 1
C. M   ; 1; 

2
 2

 1 3 1
D. M   ; ;  
 2 2 2

Câu 19. (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và mặt phẳng (P) có phương trình 2 x  y  2 z  14  0 . Tìm điểm M  ( S ) để
d ( M ; P) đạt GTLN.
A. M  2;1; 2 

C. M  2;1; 2 

B. M (1; 1; 3)

D. M (1;1;3)

Câu 20. (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
2

2

2

4 
2 
7 8


( S ) :  x     y     z    và mặt phẳng (P) có phương trình x  y  z  3  0 . Tìm điểm M  ( P)
3 
3 
3 3

để từ M kẻ được đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

 26 8 7 
A. M  ; ;  
 9 9 9

B. M (1;1;1)

C. M (2;1;0)

D. M (3;0;0)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1C
6B
11A
16B

2A
7C
12C
17D

3D
8A

13C
18B

4D
9B
14D
19B

5B
10D
15B
20A


HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
Phương pháp:







Vì xM2  yM2  zM2  OM 2  xM2  yM2  zM2 đạt giá trị nhỏ nhất  MO đạt giá trị nhỏ nhất  M là



hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).
Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).

Cách làm:
Ta có xM2  yM2  zM2  OM 2

  xM2  yM2  zM2  đạt giá trị nhỏ nhất  MO đạt giá trị nhỏ nhất
 M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).

x  t
 MO  nP  1;1; 2 

Ta có: MO : 
 MO :  y  t
O(0;0;0)
 z  2t

x  t
x  t
x  1
y  t
y  t
y 1



Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


 M 1;1; 2 
 z  2t
 z  2t

z  2
 x  y  2 z  6  0 6t  6  0 t  1
Chọn C
Câu 2.
Phương pháp:


Vì MA  MB  2MI  2MI (với I là trung điểm của AB)  MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất  MI đạt



giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Cách làm:
Gọi I là trung điểm của AB  I (0; 2; 1)
Ta có MA  MB  2MI  2MI

MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất  MI đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
x  t
 MI  nP  1;1; 2 

 MI :  y  2  t
Ta có: MI : 
 z  1  2t
 I (0; 2; 1)



x  t

x  t
x  1
y  2 t
y  2 t
y  3



Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


 M (1;3;1)
z


1

2
t
z


1

2
t
z

1




 x  y  2 z  6  0
6t  6  0
t  1
Chọn A
Câu 3.
Phương pháp:


Vì MA  MB  MC  3MG (với G là trọng tâm của  ABC)  MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất



 MG đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).
Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Cách làm:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  G(0; 2;1)
Ta có MA  MB  MC  3MG  3MG

MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất  MG đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).
x  t
u MG  nP  1;1; 2 

 MG :  y  2  t
Ta có: MG : 
 z  1  2t
G (0; 2;1)


1

x  3

x  t
x  t
y  7
y  2  t
y  2  t



1 7 5
3
Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


M ; ; 
3 3 3
 z  1  2t
 z  1  2t
z  5
 x  y  2 z  6  0 6t  2  0

3
 1
t 
 3
Chọn D
Câu 4.

Phương pháp:


Tính MA  MB  2MC =k.MJ với J là một điểm cố định.



Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).

Cách làm:
Gọi I là trung điểm của AB  I (0; 2; 1)


Ta có MA  MB  2MC  2MI  2MC  2 MI  MC
Gọi J là trung điểm của IC  J  0; 2;1
Ta có MI  MC  2MJ  2MJ
Suy ra MA  MB  2MC  4.MJ

MA  MB  2MC đạt giá trị nhỏ nhất  MJ đạt giá trị nhỏ nhất
 M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P).

x  t
 MJ  nP  1;1; 2 

Ta có: MJ : 
 MJ :  y  2  t
 z  1  2t
 J (0; 2;1)

1


x


3

x  t
x  t
y  7
y  2  t
y  2  t



1 7 5
3
Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


M ; ; 
3 3 3
 z  1  2t
 z  1  2t
z  5
 x  y  2 z  6  0 6t  2  0

3
 1
t 
 3

Chọn D
Câu 5.
Phương pháp:


Tính MA  2MB  3MC =k.MJ với J là một điểm cố định.



Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).

Cách làm:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  G  0; 2;1 .

I là một điểm nằm trên BC sao cho
1

x   3
 x  1  2x  0
3x  1 

7


 1 7 5
IB  2IC  0   y  3  2  y  2   0  3y  7   y 
 I ; ; 
3
 3 3 3


3z  5


 x  1  2  z  3  0
5

z  3


 1 13 4 
J là trung điểm của GI  J   ; ;  .
 6 6 3


Khi đó:


 

3MG   MI  IB   2  MI  IC   3MG  3MI  3  MG  MI   3.2.MJ  6MJ
MA  2MB  3MC  MA  MB  MC  MB  2MC

 MA  2MB  3MC  6 MJ  6MJ
Nên MA  2MB  3MC đạt GTNN khi M là hình chiếu của J trên  P  .

1

x   6  t
MJ  n P  1;1; 2  
13

13
4


 1

  y   t  M    t;  t;  2t 
Ta có: MJ :   1 13 4 
6
6
3
 6

J   6 ; 6 ; 3 


 
4

z  3  2t


1
13
4
2
4

 1 43 16 
M   P     t   t  2   2t   6  0    6t  0  t   M  ; ; 

6
6
3
9
3

 18 18 9 
Chọn B.
Câu 6.
Phương pháp:




Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P)
Nếu A, B khác phía với (P) thì MA+MB min khi A, B, M thẳng hàng.
Nếu A, B cùng phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có
MA+MB=MA’+MB. Khi đó MA+MB min khi A’, B, M thẳng hàng.

Cách làm:
Ta có ( xA  y A  z A  4)( xB  yB  zB  4)  (0  2  1  4)(2  0  4  4)  0
Suy ra A, B khác phía với (P)
Ta có: AM  MB  AB  Min( AM  MB )  AB  A,B,M thẳng hàng  M  AB  ( P)

 x  2t
 AB(2; 2;3)

 AB :  y  2  2t
Phương trình đường thẳng AB : 
 A(0; 2;1)

 z  1  3t

 1
t  3
 x  2t
 x  2t

2
 y  2  2t
 y  2  2t


 x 
2 4 
Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


3  M  ; ;2
3 3 
 z  1  3t
 z  1  3t

4
y

 x  y  z  4  0
3t  1  0

3


 z  2


Chọn B
Câu 7.
Phương pháp:




Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P)
Nếu A, B khác phía với (P) thì MA+MB min khi A, B, M thẳng hàng.
Nếu A, B cùng phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có
MA+MB=MA’+MB. Khi đó MA+MB min khi A’, B, M thẳng hàng.

Cách làm:
Ta có ( xA  y A  z A )( xB  yB  z B )  (0  2  1)(2  0  4)  0
Suy ra A, B cùng phía với (P)
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

x  t
AA '  (P)  AA '  n P  (1;1;1)


AA': 
 AA ' :  y  2  t

A(0; 2;1)
z  1  t


Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) ta có H  AA ' ( P) .

x  t
x  t
 x  1
y  2 t
y  2 t
y 1



Suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ 


 H (1;1;0)
z  1 t
z  1 t
z  0
 x  y  z  0
3t  3  0
t  1
Vì H là trung điểm AA’ nên ta có A '(2;0; 1)
Ta có: AM  MB  A ' M  MB  A ' B  min ( AM  MB )  A ' B  A’,B,M thẳng hàng  M  A ' B  ( P)

 x  2  4t
 A ' B(4;0;5)

 A' B :  y  0
Phương trình đường thẳng A ' B : 
 B(2;0; 4)

 z  4  5t

2

x   3
 x  2  4t
 x  2  4t

y0
y  0
y  0



 2 2
Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


2  M   ;0; 
 3 3
 z  4  5t
 z  4  5t
z  3
 x  y  z  0
9t  6  0

t   2

3
Chọn C

Câu 8.
Phương pháp:





Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P)
Nếu A, B cùng phía với (P) thì MA  MB max khi A, B, M thẳng hàng.



Nếu A, B khác phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có
MA  MB  MA ' MB . Khi đó MA  MB max khi A’, B, M thẳng hàng.

Cách làm:
Ta có ( xA  y A  z A  1)( xB  yB  zB  1)  (2  0  1  1)(1  1  0  1)  0
Suy ra A, B cùng phía với (P)
Ta có: MA  MB  AB  Max MAMB  AB  A,B,M thẳng hàng  M  AB  ( P)

 x  2  3t
 AB(3;1; 1)


Phương trình đường thẳng AB : 
 AB :  y  t

 A(2;0;1)
z  1 t


 x  2

 x  2  3t
 x  2  3t
y  4
y  t

3
4 1

y  t




Tọa độ của M là nghiệm của hệ 
1  M  2; ;  
3 3

z  1 t
z  1 t
z   3
 x  y  z  1  0 3t  4  0 
t  4
 3
Chọn A
Câu 9.
Phương pháp:



Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P)
Nếu A, B cùng phía với (P) thì MA  MB max khi A, B, M thẳng hàng.



Nếu A, B khác phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có
MA  MB  MA ' MB  A ' B . Khi đó MA  MB max khi A’, B, M thẳng hàng.

Cách làm:
Ta có ( xA  2 y A  z A  2)( xB  2 yB  zB  2)  (1  2.2  0  2)(1  2.0  1  2)  0
Suy ra A, B khác phía với (P)
Gọi A’ là điểm đối xứng của A(1; 2;0) qua ( P) : x  2 y  z  2  0
Gọi H là hình chiếu của A trên (P). Ta có:

x  1 t
 AH  nP  (1; 2;1)

AH : 
 AH :  y  2  2t
 A(1; 2;0)
z  t



Tọa độ của H là nghiệm của hệ

1

x



2
x  1 t
x  1 t

y

1
 y  2  2t

1

 y  2  2t

1





1  H  ;1;  
2
2
z  t
z  t
z   2
 x  2 y  z  2  0
6t  3  0


t   1

2
H là trung điểm của AA’. Suy ra A '  0;0; 1
Ta có: MA  MB  MA ' MB  A ' B  max MA MB  A ' B  A’,B,M thẳng hàng  M  A ' B  ( P)

x  1 t
 A ' B 1;0;0

Phương trình đường thẳng A ' B : 
 A'B :y  0
 B(1;0;  1)
 z  1

x  1 t
x  1 t
x  3
y  0
y  0
y  0



Tọa độ của M là nghiệm của hệ 


 M  3;0; 1
 z  1
 z  1
 z  1

 x  2 y  z  2  0
t  2  0
t  2
Chọn B
Câu 10.
Phương pháp:




Lấy M  d
Tính biểu thức MA2  MB 2
Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:

 x  6t

Phương trình tham số của d : x  2 y  3z là:  y  3t
 z  2t

Lấy M  d  M  6t ;3t ;2t 
Ta có

AM   6t;3t; 2t  1 ; BM   6t;3t  1; 2t 
2
2
2
2
2

2
 MA2  MB 2   6t    3t    2t  1    6t    3t  1   2t  

 




 

 



 49t 2  4t  1  49t 2  6t  1  2 49t 2  5t  1


2
2


5  5   171
5   171 171
2
 2  7t   2.7t.     
 2  7t    

14
14
98

14
98
98









Dấu = xảy ra khi 7t 

5
5
 15 15 5 
0t 
M ; ; 
14
98
 49 98 49 

Chọn D
Câu 11.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1 ; a2 ; a3 ) và B(b1 ; b2 ; b3 ) ta có: AB | AB |  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 ) 2
Cách làm:
M thuộc trong mặt phẳng (Oyz), giả sử M (0; m; n) .

Ta có

MA  (0  0)2  (m  2) 2  (n  1) 2  (m  2) 2  (n  1) 2
MB  (0  2) 2  (m  0) 2  (n  1) 2  m2  (n  1) 2  4
Suy ra
MA2  MB 2  (m  2) 2  (n  1) 2  m2  (n  1) 2  4
 2m2  4m  2n 2  10  2(m2  2m  1)  2n 2  8
 2(m  1) 2  2n 2  8  8
m  1  0
m  1
.
min( MA2  MB 2 )  8  

n  0
n  0

Vậy M (0;1;0)
Chọn A
Câu 12.
Phương pháp:


Lấy M  d



Tính giá trị của AM  BM



Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:
Lấy M  (d )  M (t; t; t ) . Khi đó ta có:


 AM   t ; t ; t  1
 AM  BM   2t ; 2t  1; 2t  1

 BM   t ; t  1; t 
 AM  BM 

 2t 

2

2 1
2
 2  2t  1  12t 2  8t  2  2 3. t 2  t 
3 6
2

2 1 1
1 2 3
 1
 2 3. t  t  
 2 3.  t    
3 9 18
 3  18 3 2
2

1
1 1 1
Dấu = xảy ra khi t  . Suy ra M  ; ; 
3
3 3 3
Chọn C
Câu 13.
Phương pháp:


Lấy M  d



Tính giá trị của AM  BM  CM



Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:
Lấy M  (d )  M (t; t; t ) . Khi đó ta có:

 AM   t ; t ; t  1

 BM   t ; t  1; t   AM  BM   3t  1;3t  1;3t  1

CM   t  1; t ; t 
 AM  BM  CM  3  3t  1  3.  3t  1  0

2

1
1 1 1
Dấu = xảy ra khi t  . Suy ra M  ; ; 
3
3 3 3
Chọn C
Câu 14.
Phương pháp:


Lấy M  d



Tính giá trị của MA  MB  MC



Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:
Lấy M  (d )  M (t; t; t ) . Khi đó ta có:

2


 AM   t ; t ; t  1


 BM   t ; t  1; t   AM  BM  CM   t  1; t  1; 1  t 

CM   t  1; t ; t 
 MA  MB  MC  AM  BM  CM  2  t  1   t  1
2

2

2

2
 1 8 2 6
 3t  2t  3  3. t  t  1  3.  t    
3
3
 3 9
2

2

1
 1 1 1
Dấu = xảy ra khi t   . Suy ra M   ;  ; 
3
 3 3 3
Chọn D
Câu 15.
Phương pháp:





Lấy M  d
Tính giá trị của OM
Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:

 x  1  3t

Phương trình tham số của đường thẳng d là d :  y  2  2t
z  3  t

Lấy M  (d )  M (1  3t;2  2t;3  t) . Khi đó ta có:

OM  1  3t; 2  2t;3  t 
 OM 

1  3t    2  2t    3  t 
2

2

2

 14t 2  20t  14

2

 14. t 2 

10
48
 5  24
t  1  14.  t   

7
7
 7  49

5
 8 4 16 
Dấu = xảy ra khi t   . Suy ra M   ; ; 
7
 7 7 7
Chọn B
Câu 16.
Phương pháp:





Tìm tọa độ điểm B là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oyz)
Lấy M  d
Tính giá trị của BM
Biến về bài toán Min, Max


Cách làm:



B là điểm đối xứng của A(1; 2;3) qua mặt phẳng (Oyz)  B(1; 2;3)



 x  1  3t

Phương trình tham số của đường thẳng d là d :  y  2  2t
z  3  t


Lấy M  (d )  M (1  3t;2  2t;3  t) . Khi đó ta có:

BM   2  3t; 2t; t 

 2  3t    2t    t 

 BM 

2

2

2

 14t 2  12t  4
2

6 2

5
10
 3
 14. t  t   14.  t   

7 7
7
 7  49
2

3
 2 8 18 
Dấu = xảy ra khi t   . Suy ra M   ; ; 
7
 7 7 7
Chọn B
Câu 17.
Phương pháp:




Lấy M  d
Tính biểu thức MA+MB
Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:

x  t


Phương trình tham số của d : x  y  1  z  1 là:  y  1  t
z  1 t

Lấy M  d  M t ; 1  t ;1  t 
Ta có

AM   t  2; 2  t; t  1  MA  2  t  2    t  1  3t 2  6t  9  3. t 2  2t  3
2

2

BM   t  4; t  4; t  2   MB  2  t  4   (t  2) 2  3t 2  12t  36  3. t 2  4t  12
2

 MA  MB  3. t 2  2t  3  3. t 2  4t  12  3.
Xét hàm f  t   t 2  2t  3  t 2  4t  12, t  R ta có:



t 2  2t  3  t 2  4t  12




t 1

f ' t  
f ''  t  



t 2  2t  3
2

t2
t 2  4t  12

t 2  2t  3  t 2  2t  3



t

8

2

 4t  12  t 2  4t  12

 0, x

Do đó f '  t  đồng biến trên R .
Mà t  0 là một nghiệm của f '  t   0 nên phương trình f '  t   0 có nghiệm duy nhất t  0 .
Bảng biến thiên:

 MA  MB  3





3  12  9 .

Dấu “=” xảy ra khi t  0  M  0; 1;1
Chọn D
Câu 18.
Phương pháp:


Lấy M  d



Tính biểu thức MA  MB



Biến về bài toán Min, Max

Cách làm:

x  t

Phương trình tham số của d : x  y  1  z  1 là:  y  1  t
z  1 t

Lấy M  d  M t ; 1  t ;1  t 
Ta có

AM   t  2; 2  t ; t  1 ; BM   t  4; t  4; t  2 
 AM  BM   2t  2; 2t  2; 2t  1
 MA  MB  AM  BM  2  2t  2    2t  1
2

2

2

3
1
 1 1
 12t  12t  9  2 3 t  t   2 3  t     2 3.
 6
4
2
 2 2
2

2

1
 1 3 1
Dấu “=” xảy ra khi t    M   ;  ; 
2
 2 2 2
Chọn B
Câu 19.
Phương pháp:
Đổi hệ trục tọa độ và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopki.

Cách làm:
(S) có tâm I 1; 2; 1 và bán kính R  3

 X  x 1

Đổi hệ trục tọa độ với Y  y  2
Z  z  1

Khi đó, ta có phương trình mặt phẳng (P) là 2 X  Y  2Z  12  0
Phương trình mặt cầu (S) trở thành X 2  Y 2  Z 2  9
Lấy M (a; b; c) (S ) . Khi đó ta có: a 2  b2  c 2  9
Ta có: d (M , P) 

2a  b  2c  12
3

Theo bất đẳng thức Bunhiacopki ta có:

 2a  b  2c 

2

  22  12  22  a 2  b 2  c 2   9.9  81

 9  2a  b  2c  9
 9  12  2a  b  2c  12  9  12
 21  2a  b  2c  12  3
 2a  b  2c  12  21

a  2

a b c

 

 b  1  M  2;1; 2 
Dấu = xảy ra khi  2 1 2
2a  b  2c  9 c  2



x  a 1

Tọa độ điểm M trong hệ trục tọa độ Oxyz là  y  b  2  M (1; 1; 3)
z  c 1

Chọn B
Câu 20.
Phương pháp:
Ta có MN 2  IM 2  IN 2  IM 2  R2  MNmin  IM min  M là hình chiếu của I trên (P).
Cách làm:


4 2 7
(S) có tâm I  ;  ;   .
3 3 3



 MN  IN
MN tiếp xúc với (S) tại N ta có 

 IN  R

Theo định lý Pitago ta có MN 2  IM 2  IN 2  IM 2  R2  MNmin  IM min  M là hình chiếu của I trên (P).
Ta có

4

x  3  t
 MI  nP  1;1;1

2


MI :   4 2 7   MI :  y    t
3
I  ;  ;  

 3 3 3
7

z   3  t

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình

4
26


4
x  t

x



3
9
x  3  t



y   2  t
y  8
 y   2  t


 26 8 7 
3
9


 M  ; ; 
3

 9 9 9

z   7  t
z   7
7
z    t



3
9
3



14
14
 x  y  z  3  0
3t   0
t 
3
9


Chọn A