Tổ 7 đợt 2 HSG 12 BINH THUAN 18 19

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô 7 l ân 19 Năm 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019
SỞ BÌNH THUẬN

Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho

x và y

là các số thực thỏa mãn

2 x ≥ y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

x 2 − xy + y 2
P= 2
.
x + xy + y 2
nhất của biểu thức
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

y = x3 − 3x 2 − 3mx + m

Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số

b) Cho dãy số

( vn ) thỏa mãn

v1 =

( un ) biết u1 = 2 và un+1 = 2un + 5, ∀ n ∈ ¥ *.

1 v = 2vn ,
, n+1 1 + 2018v2
*
n ∀ n∈ ¥ .
2018

Chứng minh rằng vn+1 ≥ vn , ∀n ∈¥
Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình

*

.

 2 xy ( x + y − 1) = x 2 + y 2

.

 x 2 y y 2 + 1 − x 2 + 1 = x 2 y − x

Bài 4 (5,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có AB <
tại H . Các đường tròn

B, C. Gọi D

( O1 ) , ( O2 )

AC và hai đường cao BE, CF cắt nhau

cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại

là giao điểm thứ hai của

( O1 )

và

( O2 ) .

AD đi qua trung điểm của cạnh BC;
b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy.
a) Chứng minh đường thẳng

-------------- HẾT ------------Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô 7 l ân 19 Năm 2019

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1a. Cho

x và y

biểu thức

P=

2 x ≥ y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

là các số thực thỏa mãn

x 2 − xy + y 2
.
x 2 + xy + y 2

Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lượng; Fb: luonghaihaubui

x 1
t2 − t + 1
t= ≥ .
P= 2
,
Ta có
y 2
t + t + 1 với
1
t2 − t +1
t≥ .
f ( t) = 2
Xét hàm số
t + t + 1 với 2
 f ′( t) = 0

⇔ t = 1.
f ′( t) =

, 1
2
2
t
≥

t + t +1  2
Tính được

2t 2 − 2

(

)

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của

P

1
bằng 3 , không có giá trị lớn nhất.

Câu 1b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

y = x 3 − 3x 2 − 3mx + m

có hai điểm

Lời giải
Tác giả: Phùng Đức Cường; Fb: Phùng Đức Cường
Tập xác định

D= ¡

.

Đạo hàm của hàm số là
Yêu cầu bài toán

y ( x1 ) . y ( x2 ) < 0.
Phương trình

y′ = 0

⇔

y ' = 3x 2 − 6 x − 3m .
Phương trình

y' = 0

có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

⇔ 1 + m > 0 ⇔ m > − 1 (*).

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) .

x1 , x2

thỏa mãn


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô 7 l ân 19 Năm 2019

 x 1
y =  − ÷. y′ − 2 ( m + 1) x
Ta có
.
 3 3
Do đó

y1 = y ( x1 ) = − 2 ( m + 1) x1 , y2 = y ( x2 ) = − 2 ( m + 1) x2 .

y ( x1 ) . y ( x2 ) < 0 ⇔ 4 ( m + 1) x1.x2 < 0
2

⇔ x1.x2 < 0 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0 .
Kết hợp với điều kiện (*) ta có

m > 0 thỏa mãn bài toán.

Câu 2a. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

( un )

biết u1 =

2 và un+ 1 = 2un + 5, ∀ n ∈ ¥ *.

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thanh Thủy ; Fb: Phạm Thủy

∀ n ∈ ¥ *,
Đặt

ta có

un+ 1 = 2un + 5 ⇔ un+ 1 + 5 = 2 ( un + 5 ) .

wn = un + 5, ∀ n ∈ ¥ * .

Khi đó

wn+ 1 = 2wn , ∀ n ∈ ¥ * .

Do đó

( wn )

Suy ra

wn = w1.q n− 1 = 7.2n− 1 , ∀ n ∈ ¥ *.

Vậy

là cấp số nhân có

w1 = u1 + 5 = 7,

công bội

q = 2.

un = 7.2n − 1 − 5, ∀ n ∈ ¥ * .

Câu 2b. Cho dãy số

( vn )

thỏa mãn

1 v = 2vn ,
v1 =
, n+1 1 + 2018v 2
*
n ∀ n∈ ¥ .
2018

vn+1 ≥ vn , ∀n ∈¥ *.

Chứng minh rằng

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng

Chứng minh được

Khi đó

vn +1 =

Mặt khác,

vn > 0, ∀ n ∈ ¥ * .

2vn
2vn
1
≤
=
, ∀ n ∈ ¥ *.
2
1 + 2108vn 2 2018.vn
2018

∀ n ∈ ¥ *,

ta có

2
2vn
vn − 2018vn3 vn ( 1 − 2018vn )
vn +1 − vn =

− vn =
=
≥0
1 + 2018vn2
1 + 2018vn2
1 + 2018vn2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô 7 l ân 19 Năm 2019

Câu 3.

Vậy vn+1 ≥ vn , ∀n ∈¥
Giải hệ phương trình

*

.

 2 xy ( x + y − 1) = x 2 + y 2
 2
2
2
2
 x y y + 1 − x + 1 = x y − x

( 1)
( 2) .

Lời giải

Điều kiện

xy ≥ 0 .

x2 + 1 − x > 0 , ∀ x ∈ ¡

Ta có

không thõa mãn
Nếu

x, y

( 1) .

cùng âm thì

( 2) ⇔
Khi đó
Xét hàm số

1
x2

(

f ( t ) = t 1+ t2 − t

( 3) ⇔

y = 0 không thõa mãn ( 2 ) . Do vậy y ≠ 0 . Suy ra x = 0

vô lí. Do đó

) (

f '( t ) = t +1 +

Khi đó
Thay

( 1)

x2 + 1 − x = y

2

Ta có

nên

t2
t +1
2

x, y

cùng dương.

)

y2 + 1 − 1 ⇔

trên khoảng

1
1 1
1 + 2 − = y y 2 + 1 − y ( 3)
.
x
x x

( 0;+∞ ) .

− 1 > 0, ∀ t > 0

. Suy ra hàm số

f ( t ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) .

1
 1
f  ÷ = f ( y ) ⇔ = y ⇔ xy = 1
.
x
 x

xy = 1 vào ( 1)

ta được:

2 ( x + y − 1) = x 2 + y 2 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = 0 ⇔ x = y = 1 .
2

2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Câu 4.

Cho tam giác

ABC

nhọn có

AB < AC

( x; y ) = ( 1;1) .

và hai đường cao

BE, CF cắt nhau tại H .

Các

( O1 ) , ( O2 ) cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B, C. Gọi D là
giao điểm thứ hai của ( O1 ) và ( O2 ) .
đường tròn

AD đi qua trung điểm của cạnh BC;

b) Chứng minh ba đường thẳng BC , EF , HD đồng quy.
a) Chứng minh đường thẳng

Lời giải
Tác giả: Trần Công Dũng ; Fb: Dung Tran


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô 7 l ân 19 Năm 2019

a. Gọi

I

Ta có

IB 2 = IA.ID = IC 2 .

là giao điểm của

Suy ra

IB = IC.

Do đó

I

là trung điểm của

AD

và

BC.

BC. Hay đường thẳng AD

b) Chứng minh ba đường thẳng

đi qua trung điểm

· = BDC
· . Suy ra tứ giác BCDH nội tiếp đường tròn ( O3 )
BHC

Ta có

·AFH = ·ADH = ·AEH = 900 . Suy ra tứ giác AFHD

Ta có

· = BEC
· = 900 . Suy ra tứ giác BFEC
BFC

Ta có

HD là dây cung chung của hai đường tròn ( O3 ) & ( O4 ) .

là trục đẳng phương hai đường tròn

( O3 ) & ( O4 )

EF

là trục đẳng phương hai đường tròn

( O3 ) & ( O5 )

BC

là trục đẳng phương hai đường tròn

( O5 ) & ( O4 )

BC , EF , HD

đồng quy

nội tiếp đường tròn

nội tiếp đường tròn

Tương tự ta được:

Suy ra ba đường thẳng

của

BC.

EF , BC , HD đồng quy.

Ta có

HD

I

( O4 )

( O5 ) đường kính BC