Tổ 16 đ2 HSG toan 10 nam 2018 2019 THPT thuận thành 2

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT THUẬN THÀNH 2
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN TIME: 150 PHÚT

ĐỀ BÀI
Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với .
b) Tìm m để cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn
Câu 2. (3.0 điểm)

Cho và là hai nghiệm của phương trình ; và là hai nghiệm của phương trình .

Biết rằng . Tìm a và b.
Câu 3. (6.0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Câu 4. (3.0 điểm)
a) Cho tam giác OAB. Đặt . Gọi C, D, E là các điểm sao cho . Hãy biểu thị các vectơ theo các
vectơ . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh
Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm .
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-----------------Hết-----------------

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VDVDC
Câu 1.

Cho hàm số

y  x 2  4 x  4  m;

 Pm  .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 .

P 
 1; 4 .
b) Tìm m để m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Linh
a) Với m  1 hàm số trở thành
TXĐ: D  �.
Đồ thị
BBT

Đồ thị

y  x 2  4 x  3;

 P1  .

 P1 

là một parabol có đỉnh

I  2; 1

 P1 

cắt trục hoành tại điểm

A  1; 0  , B  3; 0 

và hệ số a  1  0 nên bề lõm của parabol hướng lên trên.

, cắt trục tung tại điểm

C  0;3

và nhận đường

thẳng x  2 làm trục đối xứng.
Đồ thị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của

 Pm 

x  4 x  4  m  0 � x  4x  3  m 1
2

2

Dựa vào đồ thị ta thấy,

Câu 2.

và trục hoành:

 1 .

 1 có 2 nghiệm cùng thuộc đoạn  1; 4

khi và chỉ khi 1  m  1 �3 hay

0  m �4 .
2
x
x
x
x
Cho 1 và 2 là hai nghiệm của phương trình x  3 x  a  0 ; 3 và 4 là hai nghiệm của
x2 x3 x4


2
x

x
x3 . Tìm a và b.
x

12
x

b

0
1
2
phương trình
. Biết rằng
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb:Nguyễn Văn Phu
Phương trình x  3 x  a  0 có hai nghiệm
2

��
�9  4a

0

2
�
' 36
 b
Phương trình x  12 x  b  0 có hai nghiệm ��

a
0

b

9
4 . (1)
36 . (2)

�x1  x2  3
�x .x  a
�1 2
(I )
�
�x3  x4  12
�x .x  b
Với điều kiện trên, theo Viet ta có: �3 4

�x2  tx1
x2 x3 x4
�



 t � �x3  tx2  t 2 x1
x1 x2 x3
�
3
�x4  tx3  t x1 .
Đặt
�x1  tx1  3
�x1  tx1  3
�
�x .tx  a
�x1 .tx1  a
1
1
�
� �2
�2
3
t x1  t x1  12
t ( x1  tx1 )  12
�
�
2
3
�
�
t x1 .t x1  b
t 2 x1 .t 3 x1  b
�
�
Thế vào hệ (I) ta được:

 3
 4
 5
 6

2
Thế (3) vào (5) ta được t  4 � t  �2 .

x  1 � x2  2; x3  4; x4  8
Với t  2 thay vào (3) ta được 1
.

Khi đó

a  x1 .x2  1.2  2
�
�
b  x3 .x4  4.8  32
�

(t/m)

x  3 � x2  6; x3  12; x4  24
Với t  2 thay vào (3) ta được 1
.

Khi đó

a  x1 .x2  3.6  18

�
�
b  x3 .x4  12.24  288
�

(t/m)

�a  2
�a  18
�
�
b  32 hoặc �
b  288 .
Vậy �
Câu 3.

2
a) Giải phương trình: ( x  x  2) x  1  0 .
Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đông ; Fb: Nguyễn Đông
Điều kiện phương trình có nghĩa: x �1 .
x  1
�
�
x2  x  2  0
�
( x  x  2) x  1  0 � �
��
x2

� x 1  0
�
x 1
�
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là:

S   1; 2

.

3
2
3
�
�x  3 x  4 x  2  y  y
�
4 x  6 x  1  7   4 x  1 y
b) Giải hệ phương trình �
.

Lời giải

Tác giả: Quốc Vương; Fb: Quốc Vương
3
2
3
�
 1
�x  3x  4 x  2  y  y
�
4 x  6 x  1  7   4 x  1 y  2 
b) Giải hệ phương trình �
.

 1 �  x  1
Phương trình

3

2
0
 x  1   x  1 y  y 2  1�
  x  1  y 3  y �  x  1  y  �
�
�

2

y � 3y2
2
�
2

x

1

x

1
y

y

1

x

1

 1  0 x, y
   
�
�
� y  x  1 (vì
2� 4
�
).
4 x  6 x  1  7   4 x  1  x  1
2
Thay y  x  1 vào phương trình   , ta được:
� 3
�x �1

�x �2
x
�
1
�
�
�
� x 2� y 3
�
��
��
2
2
2
�
x 1  3  4x
� x 1  3  2x
�
�x  1   2 x  3
�
.





x; y    2;3
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
.
uuu

r r uuu
r r
uuur
uuu
r
Câu 4. a. Cho tam giác OAB . Đặt OA  a , OB  b . Gọi C , D , E là các điểm sao cho AC  2 AB ,
uuur 1 uuu
r uuur 1 uuu
r
uuur uuur uuur
r r
OD  OB OE  OA
2
3
,
. Hãy biểu thị các vectơ OC , CD , DE theo các vectơ a , b . Từ đó chứng
minh C , D , E thẳng hàng.
Lời giải
Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin

uuur
uuu
r uuu
r
r r
OC  2OB  OA   a  2b .
uuur uuur uuur 1 r
r
r r 3r
CD  OD  OC  b   a  2b  a  b

2
2
(1).





Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

uuur uuur uuur 1 r 1 r
DE  OE  OD  a  b
3
2

(2).

Từ (1) và (2) ta được . Vậy 3 điểm C , D , E thẳng hàng.
Câu 4. b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm G . Gọi E , H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC ; D là điểm đối xứng với H qua A . Chứng minh EC  ED .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hương ; Fb: NT Hương
Cách 1:

uuu

r uuur
Vì AB  AC � AB. AC  0 .
uuur uuur uuur uuur 1 uuu
r
EC  AC  AE  AC  AB
2
Ta có
.

uuur uuur uuur
uuur 1 uuur
r
1 uuur uuur
�1 uuur 1 uuur � 1 uuu
ED  AD  AE   AH  AB   � AB  AC � AB   AC  AB.
2
2
2
�2
�2
uuur uuur �uuur 1 uuur �
uuur uuu
r
uuu
r uuur
� 1 uuur uuur � 1
EC.ED  �AC  AB �
 AC  AB �  AC 2  AC. AB  1 AB. AC  1 AB 2
�
2

�
�
�2
� 2
4
2
Suy ra


1
AB 2  AC 2   0.

2
Vậy EC  ED .

Cách 2:
Xét hai tam giác EHC và EAD có:
EH  AE 

AC
2 (1).

�  EAD
�  135�
EHC
(2).
AD  AH 

BC
BC

CH 
2 và
2 nên CH  AD (3).

�
�
Từ (1), (2), (3) suy ra EHC  EAD . Suy ra HEC  AED . Mà EH  AE � EC  ED .
Cách 3:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

A  0; 0  , B  a;0  , C  0; a 
Chọn hệ trục tọa độ Axy sao cho:
với a  0 .
uuur � a � uuur �
a�
�a � �a a � � a a �
E � ;0 �
,H � ; �
, D�
 ; �
EC  �
 ; a � ED  �a ;  �
2 �.
� 2 �,
�

Khi đó �2 � �2 2 � � 2 2 �. Suy ra
uuur uuur
a
�a�
EC.ED   .  a   a. �
 � 0
2
� 2 � . Vậy EC  ED .

Câu 5.

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm

A  1;1

và

B  2; 4 

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B .

Lời giải
Tác giả: Cao Hoàng Đức ; Fb: Cao Hoang Duc

C  x ;0 
a) Vì C thuộc trục Ox nên
.

uuuvuuuv
� 3  x  2   12  0 � x  6

Tam giác ABC vuông tại B , do đó: AB .BC  0
.
C  6;0 
Vậy
.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Thiện , Fb: Nguyễn Công Thiện
uuu
r uuur
�AB. AD  0
�
D  x; y 
AB  AD
Gọi
là điểm cần tìm. Để tam giác ABD vuông cân tại A thì: �
(1)
uuu
r
uuur
AB   3;3 , AD   x  1; y  1
Ta có:
. Từ (1) suy ra:
�
3 x  1  3  y  1  0
�
�
2
2
�

� 18   x  1   y  1

�
�x  2
�y   x
�
�
�y   x
�
�
�y  2
�
��
� ��
x2 �
2
2
 x  1    x  1  18 ��x  4 �
�x  4
�
�
�
��
�
�y  4

D  2; 2 
D  4; 4 
Vậy có hai điểm D thỏa điều kiện bài toán là:
hoặc

.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

Câu 6.

Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

P

2019 x



y
2019 y .
Lời giải

Cách 1:
Tác giả: Nguyễn Thị Xuân Trinh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh
Ta có
x

P

2019 x



y
2019 y



�1
2019 y 2019  x
1 �

 2019� 

�
�x
y
x
y�
�
�

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:



x y



x  y �  1 1  x  y  2.2019  4038

1
1
4
4
1 1
4

�
�
 �
y
x y
4038
Áp dụng bất đẳng thức a b a  b , ta có: x
P �2019.
Vậy

4
 4038  4038
4038
.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

�x
y

2019
� 
1 � x  y
�1
2
�x y
�

.

Cách 2:
Tác giả: Cô Lê Minh Huệ - QTV Strong Team Toán VD – VDC.
Ta có
P

x
2019 x



y
2019 y



x
y



y
x



x2
x y



y2
y x

 x  y 
x2
y2

�
x y y x x y y x
2

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số, ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

20192

xy



x y



x  y �  1 1  x  y  2.2019  4038

x  y 2019
xy �

2
2

20192
P�
 4038
2019
. 4038
2
Vậy
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh năm 2018-2019

y
�x
�x y  y x
�
�
y
2019
�x
� x  y
� 
1
2
�1
�x y
�
�
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi �
.
Câu 6.1. ( đề xuất)
Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x  y z  2019 . Tìm giá trị nhỏ

P
nhất của biểu thức

y z
2019 y z

x z



2019 x  z



x y
2019 x  y .

Lời giải
Tác giả: Trần Thế Mạnh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh
Ta có

P

y z
2019 y  z



x z
2019 x  z

�1
1
1
 2019. � 

�x
y
z

�

�

�
�
�





x y
2019 x  y

x y z



2019 x 2019 y 2019 z


x
y
z



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

x  y  z �  1 1 1  x  y  z  3.2019  6057
1
1
1
9
9
1 1 1
9


�
�
  �
y
z
x  y z
6057
Áp dụng bất đẳng thức a b c a  b  c , ta có: x
P �2019.
Vậy

9
6057

 6057  6. 673

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

.

�x
y
z

2019
� 
1
1 � x y z
�1
3
�x y z
�

.

Vậy Pmin  6. 673 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8