Tổ 19 đ2 đề HSG hà TĨNH 11 năm 2018 2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11-NGHỆ AN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN
TIME: 180 PHÚT

ĐỀ BÀI
Câu 1.
a. Cho phương trình

 sinx  cosx   sin2x  3  sin2x  cos2x +1  0
2sinx  2

Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

.
 2018 ; 2019 

?

b.Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn

lim



3

x ��

x 3  2 x 2  1  4 x 2  2 x  3  mx

.

Câu 2.
1
2
3
a. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn lần lượt là số hạng thứ
nhất, thứ 5 và thứ 15 của một cấp số cộng. Chứng minh rằng:
2
1
 �.   C22nn1   C4263
2
b. Cho lưới ô vuông như hình vẽ, có một con
kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng cách
di chuyển trên cạnh để đi qua các điểm nút của
lưới (điểm nút là đỉnh của các hình vuông nhỏ),
mỗi bước nó di chuyển xuống dưới hoặc di
chuyển sang phải để đến điểm nút gần nhất.
Biết rằng nếu đến điểm C thì kiến sẽ bị ăn thị.
Gỉa sử kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên và
nó không biết tại C sẽ gặp nguy hiểm. Tính xác
suất để kiến đến được điểm B.

C  C  C 
2
0

2 n 1

2
2
2 n 1

2
4
2 n 1

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh
AB  a, AD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC . Biết
 ABCD 
rằng SA  SB  SC  SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
�
là 60 .
a. Tính diện tích tam giác SBM theo a .

 SBD  .
b. Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 4

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

 un 

a. Cho dãy số

u1  1
�
�
2un
�
u 
, n �1, n ��
�n 1
5
u

1

1
n
thỏa mãn �
.

2
2
2
2
S
Đặt S n  u1  u2  u3  ....  un . Chứng minh dãy  n  có giới hạn hữu hạn và tính

giới hạn đó.

b. Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  sin A  sin B  4 12 sin C .
------------Hết----------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
;
Câu 1. (5.0 điểm)
 sinx  cosx   sin2x  3  sin2x  cos2x +1
2sinx  2

a. Cho phương trình

Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
b. Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn

lim



3

x ��

x 3  2 x 2  1  4 x 2  2 x  3  mx

0

.

 2018 ; 2019 

?

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Hữu ; Fb: Nguyễn Văn Hữu
 sinx  cosx   sin2x  3  sin2x  cos2x +1
a.

2sinx  2

Xét phương trình:
2sinx  2 �۹��
0 sin x

2
2

� 
x �  k 2
�
� 4
(k , l
�
�x �3  l 2
� 4

0

 1a 

�)

Điều kiện:
.
 1a  trở thành: (sin x  cos x)(sin 2 x  3)  sin 2 x  cos 2 x  1  0
Khi đó
� (sin x  cos x)(sin 2 x  3)  2sin x �
cos x  2sin 2 x  0
� (sin x  cos x)(sin 2 x  3)  2sin x(sin x  cos x)  0
� (sin x  cos x)(sin 2 x  2sin x  3)  0



�
sin x  cos x  0
 2a 
��
sin 2 x  2sin x  3  0  3a 
�
.
�

 2a  � sin �
�x  � 0 � x   k
4
� 4�
Phương trình

. Dựa vào điều kiện
x



5
 k 2 (k ��)
4
.

đầu bài ta được:
 3a  � sin 2 x  2 sin x  3 .
Phương trình

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X

.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

Vì 1 �sin2x �1 và 2 �sinx �2 nên 3 �sin 2 x  2sin x �3 .
Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi


�

� 
2 x   k 2
x   k
�
�
�
� 4
2
�
�
� x ��
�
�
sin 2 x  1
�


�x   l 2
�x   l 2
sin 2 x  2sin x  3 � �
�
� 2
2
�sin x  1
.
x

Vậy
Mà

5
 k 2 (k ��)
4
.

x �( 2018 ; 2019 ) � 2018 

5
5
 k 2  2019 � 2018   2k  2019
4
4
.

k � 1009, 1008, �,1008
Do k �� nên
suy ra ta có 2018 nghiệm.
b. Tính

lim



x ��

3

x 3  2 x 2  1  4 x 2  2 x  3  mx
lim



3

.

x3  2 x 2  1  4 x 2  2 x  3  3x



Nếu m  3 thì
 lim �3 x 3  2 x 2  1  x  4 x 2  2 x  3  2 x �
�
x ���
3
2
2 �
�
3 3
2
3
2
x

2
x

1

x

4
x

2
x

3
  2x  �
�
 lim �

2
�
x ��
3 3
3 3
2
2
2
4 x2  2 x  3  2 x �
� x  2x 1  x �x  2x 1  x
�
�
�
�
�
x3  2 x 2  1  x3
4x2  2x  3  4x2 �
 lim �


2
�
x � �
3 3
2
3 3
2
2
x �4  2  3 2  2 x �
� x  2x 1  x �x  2x  1  x
x
x
�
�
�
�
x2 2  1 2
x 2 3
x
x
�
 lim

2
x ��� �
2
1  1 3  3 1 2 �
1  1 3  1�  x 4  2 x  3 2  2
�x �3 1  2 �
�

x
x
x
x
x
�
� �
2 1
 
3 2
7

6.


x ��







 



























lim



3



x 3  2 x 2  1  4 x 2  2 x  3  mx

Nếu m  3 thì
 lim �3 x 3  2 x 2  1  x 
x ���
 �.
x ��

 



lim



3





 







4 x 2  2 x  3  2 x  (m  3) x �

�

x 3  2 x 2  1  4 x 2  2 x  3  mx

Nếu m  3 thì x ��
 lim �3 x3  2 x 2  1  x 
x ���
 �.



�
�
�
�
�
�





4 x 2  2 x  3  2 x  (m  3) x �
�


Câu 2.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

1
2
3
a. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn lần lượt là số hạng thứ
nhất, thứ 5 và thứ 15 của một cấp số cộng. Chứng minh rằng:
2
1
 �.   C22nn1   C4263
2
b. Cho lưới ô vuông như hình vẽ, có một con
kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng cách
di chuyển trên cạnh để đi qua các điểm nút của
lưới (điểm nút là đỉnh của các hình vuông nhỏ),
mỗi bước nó di chuyển xuống dưới hoặc di
chuyển sang phải để đến điểm nút gần nhất.
Biết rằng nếu đến điểm C thì kiến sẽ bị ăn thị.
Gỉa sử kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên và
nó không biết tại C sẽ gặp nguy hiểm. Tính xác
suất để kiến đến được điểm B.

 C  C  C 
2
0
2 n 1

2
2
2 n 1

2
4
2 n 1

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Hạnh, Fb: Nguyễn Công Hạnh

Cn2  Cn1 Cn3  Cn1
�

2
1
3
1
4
14
a. Theo giả thiết ta có Cn  Cn  4d ; Cn  Cn  14d
� 7  Cn2  Cn1   2  Cn3  Cn1  � 2Cn3  7Cn2  5Cn1  0 � 2

n(n  1)(n  2)
n(n  1)
7
 5n  0
6
2

n  11
�
�
�
5
�
n  (L)
2
� 2
� 2n  27 n  55  0
.
Với n  11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng.
Ta cần chứng minh

C  C  C 
0 2
23

2 2
23

2
1
 ...   C2322   C4623
2
.

C  C  C 
0 2

n

Ta sẽ chứng minh tổng quát
Xét khai triển

4 2
23

2 2
n

4 2
n

2
1
 ...   Cnn 1   C2nn
2
với n lẻ.

(1  x) 2 n  (1  x) n ( x  1) n   Cn0  Cn1 x  �  Cnn x n   Cn0 x n  Cn1 x n 1  �  Cnn 

n
Đồng nhất hệ số của x của đẳng thức trên ta có

C  C  C  C 
0 2
n

1 2

n

2 2
n

3 2
n

�   Cnn   C2nn
2

n 1

Do n lẻ và
Nên

n 1

Cn0  Cnn ; Cn1  Cnn 1 ;...; Cn 2  Cn 2

C  C  C  C 
0 2
n

(1)

1 2
n

Thay vào (1) ta có

2 2
n

3 2
n

2

C  C  C 
0 2
n



�   Cnn   2  Cn0    Cn2    Cn4   �.   Cnn 1 

2 2
n

4 2
n

2

2

2

2

.

2
1
 �.   Cnn 1   C2nn
2
(đpcm).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X

.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

b. Kiến muốn đi đến B thì bắt buộc phải qua D .
Gọi m là số cách đi từ A đến D.
Gọi n là số cách đi từ D đến B.
Gọi k là số cách đi từ D đến B mà không đi qua C
Ta có số cách đi từ A đến B là m.n ; số cách đi từ A
đến B mà không đi qua C là mk .
Ta có xác suất mà kiến đi được đến B là

p

mk k

mn n

Các cách đi từ D đến B mà có đi qua C là : DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy ra số
cách đi từ D đến B mà có đi qua C là 3.
Vì tính đối xứng của lưới ô vuông 2x2 nên số cách đi từ D đến B mà không
qua C là 3.
Suy ra k  3, n  6 . Do đó

p

k 1

n 2 .


Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh
AB  a, AD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC . Biết
 ABCD 
rằng SA  SB  SC  SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
�
là 60 .
a. Tính diện tích tam giác SBM theo a .

 SBD  .
b. Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
Lời giải
Tác giả: Đỗ Tiến Tuấn ; Fb: Đỗ Tiến Tuấn.

SO   ABCD 
a. Vì SA  SC nên SO  AC . Vì SB  SD nên SO  BD . Do đó
.
MH  AC  H �AC  � MH // SO � MH   ABCD 
Trong tam giác SAC ,
.
�
�
Theo giả thiết MNH  60 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Kẻ HQ //AB . Ta có

HQ 
2

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

3
a
a ; QN 
4
2
2

2
�3a � �a � 13a
a 13
NH 2  HQ 2  QN 2  � � � �
NH 
�4 � �2 � 16 . Suy ra
4 .

MH  NH tan 60�

Do đó

Ta có

S SMB 

Suy ra

a 39
a 39
SO  2 MH 
4 suy ra
2 .

1
1
39a 2
a 43
SSAB  SK . AB; SK  SO 2  KO 2 

 a2 
2
4
4
2

SSMB 

1
a 2 43
SK . AB 
4
8

b. Gọi P là trung điểm của SD , ta có tứ giác MPCN là hình bình hành suy
ra MN //CP .

 SBD  , ta thấy  bằng
Gọi  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
 SBD  .`
góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng
Kẻ

�
CI  BD � CI   SBD  �   CPI

.

Tam giác BCD vuông tại C có CI là đường cao, suy ra

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

1
1
1
1
1
5
2a


 2  2  2 � CI 
2
2
2
CI
CB
CD
4a
a
4a
5.

a 13
2 .

CP  MN  2 NH 

Ta có
sin  

CI
4

CP
65 .


u1  1
�
�
2un
�
un 1 
, n �1, n ��
�
5
u

1

1
n

thỏa mãn �
. Đặt

 un 

Câu 4a. Cho dãy số

S n  u12  u2 2  u32  ....  un 2 . Chứng minh dãy  S n  có giới hạn hữu hạn và tính
giới hạn đó.
Lời giải
Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un  0, n ��

2
2un

5un  1  1

un 1 
Ta có:



 � 5u

5un  1  1
5

25u 2 n1  20un1  4  20un  4 � u 2 n 1 

Do đó:

Thật vậy:
uk 1 

Vì

2



4
9 4
 u1  un    un
5
5 5 .

 un  là dãy giảm.

u2 

2



5



5

 u

6 1

5uk  1  1

và

1

 Sn 

. Giả sử uk  uk 1 . Ta sẽ chứng minh uk 1  uk  2

uk  2 

 un  là dãy giảm mà

Do đó dãy

 2  2 5un  1

4
 un  un1 
5

S n  u12  u2 2  u32  ....  un 2  u12 

Chứng minh

n 1

2



�

5uk 1  1  1
5

uk 1  uk  2 .

un  0, n �� nên tồn tại lim un  l ( l �0 và l hữu hạn).

có giới hạn hữu hạn.

Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức

5un 1  2  2 5un  1

ta có:

5l  2  2 5l  1 � l  0 .
Vậy

lim Sn 

9

5.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019

b. Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  sin A  sin B  4 12 sin C .
Lời giải
Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang
Ta có:



sin A  sin B



2

�2  sin A  sin B   4sin

A B
A B
C

A B
C
cos
 4 cos cos
�4 cos
2
2
2
2
2

C
C
P 2 cos
� sin A  sin B �2 cos  �
2
2

24

3
sin C
4

� C
2 2�
cos
�
� 2

�
3
sin C �
�
2
�

Ta lại có:
2

2
� C
� � 2C 3 2 �
3
3
8 3�
1� 8
2
cos 
sin C �
cos
 sin C � 1  cos C   1  cos C    �
cos C  ��
�
�
��2 �
2 4
2
3 2�
3� 3

�
� 2 2
� �

� cos

C
3
2

sin C �2
2
2
3

P 2 4

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là
�A  B
�
�
1
C  arccos
�
3
�

6
3

24

24

2
3

2
3 . Dấu "  " xảy ra khi:

---------Hết--------

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X