Đề thi olympic toán 10 năm 2018 – 2019 trường THPT kim liên – hà nội

8 - 2019

Câu 1 (

).
x 3

a)

i

18 3 x x 2

6 x

m

m, (1) ,

(1) khi m 3.
.

m

b)
Câu 2 (5
x4

x3 y 1
.
x3 y xy x 2

1

a)

x2 y 2

ây truy

b)

là

Parabol ACB

u,

cu i c

cg

m

A , B trên m i tr c AA và BB
v

cao 30 m . Chi

n

A B trên n n c u b ng 200 m .

G iQ , P,
th

, C’, I , J , K

dài c a các dây cáp treo?
M

BC

a, CA b, AB

c.

b 2 c 2 cos A a c.cos C b.cos B .

minh r

b) Tìm t p h p các i
Câu 4

Tr

a)

N

M sao cho MB 2

MC 2

Ox

AN

d:y

M

Q

Cho x, y , z

x

MA2 .
Oxy , cho A(3;1), B( 1; 2) .

MB

Câu 5

thành các ph n b ng nhau. Các thanh

n: QQ , PP , HH , CC ' , II , JJ , KK g i là các

Cho tam giác ABC

Câu 3 (4

b)

n

ng n i n n c u v

dây cáp treo. Tính t

a) Ch

cao ng n nh t c a dây truy n trên c u là CC ' 5 m.

y z

x

MA
PQ

: x2

y2

2 xyz .
----------------------

P và

-------------------------

z2

4 xyz .


ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
Năm học 2018 - 2019
Đáp án

Câu

Điểm

a) Đặt t =

3 + x + 6 − x Đk : 3 ≤ t ≤ 3 2 .
t = −1(l )
Phương trình có dạng: t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔ 
 t =3
Giải ra nghiệm x=-3 và x=6

1.0
1.0
1.0

b) (1) có nghiệm khi có phương trình t 2 − 2t =9 − 2m có nghiệm t ∈ 3;3 2 
Xét hàm số f (t =
) t 2 − 2t với t ∈ 3;3 2  , sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK
Câu 1
−9 + 6 2

phương trình có nghiệm 3 ≤ 9 − 2m ≤ 18 − 6 2 ⇔
≤ m ≤ 3.
2

a) Ta có: x 4 + x 2 y 2 =( x 2 − xy ) 2 + 2 x3 y. Đặt a =
x 2 − xy; b =
x 3 y.

Câu 2

1,0

6,0

1.0
1.0

1,0

a 2 + b =
1
 a = 1.
Ta có hệ phương trình: 
. Suy ra, a 2 − a − 2 = 0 ⇔ 
 a = −2.
−a + b =−1
  x 2 − xy =
1 x =
±1
⇔

 3
y = 0
  x y = 0

 2 3

−2
Khi đó:   2
 x + x 2 =
(v n).
  x − xy =−2 ⇔ 
−
3



y= 3

x

  x3 y = −2
 

1,0

1,0

( x; y ) ∈ {(1;0 ) , ( −1;0 )} .

5,0

y

B
Q

A
K

P
I

H C

5m y1

B′

Q′

P′ H ′ O

I′

J

y2
J′

y3
K′

30m

A′

x

200m

Giả sử Parabol có dạng: y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 .
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A (100; 30 ) , và có đỉnh

30= 10000a + 100b + c
 −b
1 2

C ( 0;5 ) . Suy ra:  = 0
⇒ ( P) : y =
x + 5 . Đoạn AB chia
400
 2a
5 = c

1,0


làm 8 phần, mỗi phần 25 m .
1,0

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng OC + 2 y1 + 2 y2 + 2 y3

 1
  1
  1

=5 + 2 
.252 + 5  + 2 
.502 + 5  + 2 
.752 + 5  = 78, 75 ( m )
 400
  400
  400

 a 2 + b2 − c2
a 2 + c2 − b2 
(b 4 − c 4 ) − a 2 (b 2 − c 2 )
− b.
=
=
VP =
a.  c.
...

2ab
2ac
2bc


a)
(b 2 − c 2 )(b 2 + c 2 − a 2 )

=
= (b 2 − c 2 ).c osA.
2bc
   
b) Gọi D là đi xác định bởi hệ thức: DB + DC − DA =
0. Ta có:
Câu 3

1,0

1,0

MB 2 + MC 2 − MA2 = MD 2 + DB 2 + DC 2 − DA2 =
  2
= MD 2 + DB 2 + DC 2 − DB + DC = ... = MD 2 − 2 AB.AC.cosA.

(

4,0

)

1,0

Nếu A tù, tập hợp các điểm M là tập ∅ .

1,0

Nếu A vuông, tập hợp các điểm M là { D} . .

(

)

Nếu A nhọn, tập hợp các điểm M là đường tròn D; 2 AB. AC.cos A .
a) N ∈Ox sao cho AN nhỏ nhất khi N là hình chiếu của A lên Ox khi N là hình
2.0

chiếu của A lên Ox.Vậy N(3;0)
b) M ∈ d : y =
x ⇒ M (m; m)
Đường thẳng AM có phương trình (m − 1) x − my − 2m =
0
AM cắt trục hoành tại P(
Câu 4

2m
;0)
m −1

1,0

Đường thẳng MB có phương trình: (m − 2) x − (m + 1) y + 3m =
0
4,0
3m
MB cắt trục tung tại Q(0;
)
m +1

Phương trình PQ:

m −1
m +1
x+
y 1(m ≠ ±1; m ≠ 0)
=
2m
3m

PQ đi qua I ( x0 ; y0 ) cố định ⇔ (3 x0 + 2 y0 − 6)m − 3 x0 + 2 y0 = 0∀m ≠ ±1;0

1,0

6
 3 x + 2 y0 =
3
⇔ 0
⇔ I (1; )
0
2
−3 x0 + 2 y0 =
Áp dụng BDDT Cauchy cho 6 số dương: x 2 , y 2 , z 2 , x, y, z ta được:
x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 6 6 x3 y 3 z 3 =
6 xyz . Vì x 2 + y 2 + z 2 =
4 xyz nên ta có:

Câu 5

0,5

x + y + z ≥ 2 xyz . Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = x = y = z ⇒ x = y = z = 1 .
2

Trái với giả thiết: x 2 + y 2 + z 2 =
4 xyz .

2

2

0,5

1,0

Vậy x + y + z > 2 xyz .
Ghi chú: Học sinh làm theo các cách khác vẫn được chấm điểm theo từng bước có lời giải đúng.