DE THI HSG LOP 10 NAM 2009 TINH THAI NGUYEN

UBND TỉNH THáI NGUYÊN
Sở GD & ĐT
=@=
CộNG HOà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
***************
đề chính thức
Kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên
Năm học 2008 2009
Môn thi : toán học Lớp 10
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Đa thức
2
( )f x ax bx c= + +
thỏa mãn điều kiện
(0) 1; (1) 1; ( 1) 1f f f
CMR:
a.
3a b c+ +
;
b.
( ) 7 khi 2f x x
Bài 2: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó.
CMR:
3p p a p b p c p< + +
Bài 3: Không giải phơng trình
3
1 0x x + =
hãy tính tổng các lũy thừa bậc 8 các nghiệm
của nó.
Bài 4: Giải phơng trình

( )
2 3 2
3 2 2 10 2 2 1x x x x x+ + = + + +
Bài 5: Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho
ã
ã
ã
DAB DBC DCA

= = =
CMR:
a.
3
sin sin( ).sin( ).sin( ).A B C

=
b.
cot cot cot cotA B C

= + +
Bài 6: CMR trong 7 đoạn thẳng, mỗi đoạn có độ dài t tùy ý với
1 13t <
có thể chọn ra 3
đoạn để làm 3 cạnh của một tam giác.
HếT
Híng dÉn
Bµi 1:
a. Ta cã
(1) ( 1)
(1)

(0)
2
( 1)
(1) ( 1)
, (0)
(0)
2
f f
f a b c
a f
f a b c
f f
b c f
f c
+ −

= + +

= −

 
− = − + ⇒
 
− −
 
= =
=




Tõ gi¶ thiÕt
(1) 1, ( 1) 1, (0) 1f f f≤ − ≤ ≤
Ta cã:
(1) ( 1) (1) ( 1) (1) ( 1) (1) ( 1)
(0) (0) (0) (0)
2 2 2 2 2 2
4
f f f f f f f f
a b c f f f f
+ − − − − −
+ + = − + + ≤ + + + + +
≤
b. Ta cã
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(1) ( 1) (1) ( 1)
( ) (0) (0)
2 2
(1) ( 1)
(0) 1
2 2
(1) ( 1)
( ) . . (0) . 1
2 2
1 1

1
2 2
1
1
2


= (
f f f f
f x f x x f
f f
x x x x f x
f f
f x x x x x f x
x x x x x
x x x x x
+ − − −
   
= − + +
   
   
−
= + + − + −
−
⇒ ≤ + + − + −
≤ + + − + −
+ + − + − *)
Khi ®ã, xÐt
[
)

[
)
[ ]
2; 1 , 1;1 , 1;2x x x∈ − − ∈ − ∈
Ta cã KL:
[ ]
2;2
max ( ) 7f x
−
=
Bµi 2:
* ¸p dông B§T B.C.S , ta cã:
1 1 1 3p a p b p c p a p b b c p− + − + − ≤ + + − + − + − =
* MÆt kh¸c,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 2 2 2
p p a p b p c
p p a p b p c p a p b p b p c p c p a
p a p b p b p c p c p a
< − + − + −
⇔ < − + − + − + − − + − − + − −
⇔ < − − + − − + − − W