12 2 BG luyen tap quan he giua duong vuong goc va duong xien duong xien va hinh chieu 13903 1507956233

BÀI GIẢNG – LUYỆN TẬP
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC – ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
1. Lý thuyết
Ví dụ : Cho một đường thẳng d và một điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Trong các đường bất kì kẻ từ
A có những đường tạo với d một góc nhọn, và tạo với d một góc vuông.

AH được gọi là đường vuông góc
AB và AC được gọi là đường xiên
BH là hình chiếu của BA trên d
CH là hình chiếu của CA trên d

*Ta có AH là đoạn thẳng ngắn nhất : AH  AB ; AH  AC ( quan hệ giữa đường vuông góc và đường
xiên, đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên)
*Nếu AB  AC thì HB  HC ( đường xiên nào kẻ từ điểm A cố định xuống đường thẳng d nhỏ hơn thì
hình chiếu của nó nhỏ hơn hình chiếu của đường xiên còn lại. Và hình chiếu của đường xiên nào nhỏ
hơn thì đường xiên đó nhỏ hơn)
2. Bài tập
Bài tập 1:

ABC ; A  90 ; D  AB ; E  AC . Chứng minh rằng DE  BC
Giải
Ta có: BA là hình chiếu của BE trên BA
DA là hình chiếu của DE trên BA
Mà D  AB  AD  AB

 ED  EB ( định lý quan hệ đường xiên hình chiếu ) 1
Ta có: AE là hình chiếu của BE trên AC
AC là hình chiếu của BC trên AC
Mà E  AC  AE  AC

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – AnhSử - Địa – GDCD tốt nhất!

 BE  BC ( định lý quan hệ đường xiên hình chiếu )  2 
Từ 1 và  2   DE  BC .
Bài tập 2:

ABC ; C  B  90 ; AH  BC ; H  BC ; D  AH .
a) So sánh HB, HC
b) So sánh DBC và DCB
c) So sánh ADB và ADC
Giải
a) So sánh HB, HC
BH là hình chiếu của BA trên BC
CH là hình chiếu của CA trên BC
Ta có C  B  AB  AC ( quan hệ giữa cạnh và góc đối
diện trong tam giác)

 HB  HC ( quan hệ giữa đường xiên hình chiếu)

b) So sánh DBC và DCB
Ta có: HB  HC ( chứng minh trên )
DB là đường xiên có hình chiếu là BH
CD là đường xiên có hình chiếu là CH

 DB  DC ( định lý quan hệ đường xiên hình chiếu )
Mà trong DBC có DB  DC
 DCB  DBC ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

c) So sánh ADB và ADC
Ta có : D1  B2  90 ; D4  C2  90 ( định lý về quan hệ góc ngoài của tam giác)

Có C2  B2 ( chứng minh trên)  D4  D1
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – AnhSử - Địa – GDCD tốt nhất!


 ADB  ADC

Bài tập 3:

ABC ; A  90 ; AH  BC ; H  BC ; HC  HB  AB ; H  BE ; HB  HE
a) Chứng minh AEC cân
b) Chứng minh ABE đều
c) Chứng minh C  30
Giải
a) Chứng minh AEC cân
Xét ABH và AEH có:
AH chung

H  90
HB  HE ( giả thiết)

 ABH  AEH ( c.g.c)
 AE  AB 1
Ta có: HC  HB  AB ( giả thiết)

 AB  HC  HE
 AB  EC  2 
Từ 1 và  2   AE  EC

 AEC cân tại E.
b) Chứng minh ABE đều

Theo câu a) AE  AB  ABE cân tại A
Trong ABE có B  E1  C  A1 ( góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó)
Lại có AEC cân  B  E1  C  A1  2C
Mà B  C  90
 2C  C  90

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – AnhSử - Địa – GDCD tốt nhất!


 C  30 ( chứng minh câu c)
 B  60

 ABE đều
Bài tập 4:

ABC ; B  90 ; C  90 ; M  BC ; BH  AM ( H  AM ) ; CK  AM  K  AM 
Tìm M để BH  CK lớn nhất
Giải
Ta có : BH  BM ; CK  CM ( quan hệ đường
xiên đường vuông góc)

 BH  CK  BM  CM

 BH  CK  BC
Đẳng thức có khi : BM  AM và CM  AM
Điều này xảy ra khi AM  BC
Như vậy vị trí của M chính là chân đường vuông
góc kẻ từ A xuống thì BH  CK đạt giá trị lớn
nhất
Bài tập 5:

ABC ;dựng đường thẳng d qua B cắt AC sao cho các khoảng cách từ A và C đến D là bằng nhau
Giải

AH  CK
A1  C1 ( sole trong)

H  K  90

 MAH  MCK ( g.c.g)

 MA  MC
M là trung điểm của AC.

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – AnhSử - Địa – GDCD tốt nhất!