TỔNG ôn cực TRỊ OXYZ 2020

Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

1

TỔNG ÔN 12 DẠNG CỰC TRỊ OXYZ
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng và cách một điểm nằm
ngoài đường thẳng một khoảng lớn nhất.
Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; −2;1) , song song với đường thẳng
d:

x y −1
=
= z và cách gôc tọa độ một khoảng lớn nhất.
2
2

A. 11x − 16 y + 10 z − 53 = 0
C. −11x + 16 y + 10 z − 53 = 0

B. 11x + 16 y − 10 z − 53 = 0
D. 11x − 16 y + 10 z + 53 = 0

Câu 2: Viết phương trinhg mặt phẳng ( P ) đi qua O vuông góc với mặt phẳng

( Q ) : 2 x − y + z − 1 = 0 và cách điểm

1

M  ;0; 2  một khoảng lớn nhất.

2


A. x + y − 3z = 0
C. x − y − 3z = 0

B. − x − y − 3z = 0
D. − x + y − 3z = 0

Câu 3: Tìm a để khoảng cách từ M (1; 2; −2 ) tới mặt phẳng

( P ) : (1 − a ) x + ( 2 − 3a ) y + az + 1 = 0 đạt giá trị lớn nhất.
A. a = 1

B. a = 2

C. a = 3

D. a = 4

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d , tạo với đường thẳng d '
một góc lớn nhất.
Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm O vuông góc với mặt phẳng
( P ) : 2 x + y − z − 1 = 0 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
A. 2 x − 5 y − z = 0
B. 2 x + 5 y − z = 0
C. 2 x − 5 y + z = 0
D. −2 x − 5 y − z = 0
Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm O , song song với đường thẳng
x −1 y z − 2

và tạo với mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 một góc nhỏ nhất.
d:
= =
2
1
3
A. 12 x − 27 y − 17 z = 0
C. 12 x + 27 y − 17 z = 0

B. −12 x + 27 y − 17 z = 0
D. 12 x + 27 y + 17 z = 0

Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A (1; 2; −1) , B ( 2;1;3) tạo với trục Ox một góc
lớn nhất.
A. 17 x + y − 4 z − 23 = 0
C. 17 x + y − 4 z − 15 = 0

B. −17 x + y − 4 z − 23 = 0
D. 17 x − y − 4 z − 23 = 0

MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

2

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt

phẳng ( P ) , cách điểm M một khoảng nhỏ nhất.
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( −1;1;2 ) , vuông góc với đường thẳng
a:

x +1 y z − 3
và cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ nhất.
= =
2
2
4

 x = −1 + 5t
 x = −1 + 5t


A.  y = 1 + t
B.  y = 1 − t
 z = 2 − 2t
 z = 2 − 2t


 x = −1 + 5t
 x = −1 + t


C.  y = 1 − t
D.  y = 2 − 2t
 z = 2 + 2t
 z = −3 + t



Câu 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm O và song song với mặt phẳng
( P ) : 2 x − y − z + 1 = 0 và cách điểm M (1; −1; 2 ) một khoảng nhỏ nhất là:
 x = 1 − 4t

A.  y = −1 − 5t
 z = 2 + 13t


 x = 1 + 4t

B.  y = −1 + 5t
 z = 2 + 13t


 x = 1 + 4t

C.  y = −1 − 5t
 z = 2 − 13t


 x = 1 + 4t

D.  y = −1 − 5t
 z = 2 + 13t


Câu 3: Biết rằng tồn tại cặp số nguyên dương ( a; b ) nhỏ nhất để khoảng cách từ O tới
 x = a + 1 + at


d :  y = b + 2 + bt
( t  R ) nhỏ nhất. Khi đó −a + 2b = ?
 z = 1 + 2a − b + 2a − b t
(
)


A. 13
C. 14

B. 11
D. Đáp án khác

Tài liệu chất từ MathPro.
Muốn học giỏi thì Đăng Ký Kênh MathPro trên ziu túp.
Link: />Theo dõi Fanpage trên Phây Búc : />và Hỏi bài trong Gờ Rúp MathPro:
/>
MATHPRO_WE ARE CHAMPIONS
MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

3

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng
( P ) và cách điểm M một khoảng lớn nhất.
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O vuông góc với đường thẳng

x −1 − y −z
và cách điểm M ( 2;1;1) một khoảng lớn nhất.
d1 :
=
=
2
1
2

x = 2 − t

A.  y = 1 + 6t
 z = −1 − 4t


x = 2 − t

B.  y = 1 + 6t
 z = 1 + 4t


x = 3 − t

C.  y = −5 + 6t
 z = 5 − 4t


x = 2 − t

D.  y = 1 − 6t

 z = 1 − 4t


Câu 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1;0; 2 ) , song song với mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + z − 1 = 0 và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
 x = 1 − 2t

A.  y = −3t
z = 2 − t


 x = 1 + 2t

B.  y = −3t
z = 2 − t


 x = 1 + 2t

C.  y = 3t
z = 2 + t


 x = 1 − 2t

D.  y = −3t
z = 2 + t


 x = 1 − 2a + at

1

Câu 3: Tìm a để đường thẳng d :  y = −2 + 2a + (1 − a ) t cách điểm M  ;1; 4  một khoảng lớn
2

z = 1+ t


nhất.
A. 1

B. 2

C.

4
3

D.

2
3

Dạng 5: Cho mặt phẳng ( P ) và điểm A  ( P ) , đường thẳng d ( d cắt ( P ) ). Viết phương
trình đường thẳng d ' đi qua A , nằm trong ( P ) và tạo với d một góc nhỏ nhất .
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọc độ O , nằm trong mặt phẳng
x y −1 z + 1
một góc nhỏ nhất.

=
( P ) : 2 x + y − z = 0 và tạo với đường thẳng d : =
2
−1
2
A.

−x y
z
= =
10 7 −13

B.

x y
z
= =
10 7 −13

MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

4

x
−y

z
x
− y −z
D.
=
=
=
=
−10 7
−13
−10 7 13
Câu 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua O , vuông góc với đường thẳng
x −1 y −1 z + 1
và tạo với mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0 một góc lớn nhất.
d:
=
=
2
2
1

C.

x −y
z
−x
y
z
B.
=

=−
=
=
5 −13
16
5
−13 16
x
y
z
x + 5 y − 13 z + 16
C.
D.
=
=
=
=
−5 13 16
5
−13
16
Câu 3: Gọi d là đường thẳng đi qua A (1; −2;1) , vuông góc với trục Oy , và tạo với đường thẳng

A.

x = 2 − t

d :  y = 2t một góc nhỏ nhất. Hỏi d nhận vecto nào làm vecto chỉ phương.
z = 1 + t


A. u = ( −1;2; −1)

B. u = (1;0;1)

C. u = (1;0;2 )

D. u = ( −1;0;1)

Câu 4: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A (1;2;4 ) , nằm trong mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 3 = 0
và tạo với trục Oy một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào dưới đây.
A. M ( −1;6;4 )

B. M ( −1; −6;4 )

C. M ( −1;6; −4 )

D. M (1;2;6 )

Dạng 6: Cho mặt phẳng ( P ) và điểm A  ( P ) và đường thẳng d cắt ( P ) tại điểm M khác
A . Viết phương trình đường thẳng d ' nằm trong ( P ) , đi qua A và khoảng cách giữa d ' và

d lớn nhất.
x −1 y z
= = .
1
2 1
VIết phương trình đường thẳng d đi qua A , nằm trong ( P ) sao cho khoảng cách d ' và d lớn

Câu 1: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + z − 3 = 0 , điểm A ( 0; 2;1) và đường thẳng d ' :

nhất.
x y − 2 z −1
=
=
1
7
−9
−x y + 2 z −1
C.
=
=
1
7
−9

A.

x y+2
=
=
1
7
x y+2
D.
=
=
1
7

B.

z −1
9
z −1
−9

VIDEO BÀI GIẢNG VÀ CHỮA FILE BÀI TẬP SẼ LIVESTREAM TRÊN PAGE
MATHPRO or KÊNH YOUTUBE MATHPRO! KHÔNG THEO DÕI THIỆT CẢ ĐỜI =))
Link video chữa chi tiết: />MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion

5

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

Dạng 7: Cho mặt phẳng ( P ) và đường thẳng d / / ( P ) . Viết phương trình đường thẳng

d '/ / d và cách d một khoảng nhỏ nhất.
Câu 1: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong ( P )
song song với mặt phẳng ( Q ) : x − 2 y + z + 2 = 0 và cách gốc O một khoảng nhỏ nhất.
1

x = 2 + t

1

A.  y = − − t
4


1

 z = 4 − 3t

1

x = 2 − t

1

C.  y = − − t
4

1

 z = 4 − 3t


1

x = 2 + t

1

B.  y = − − t
4

1


 z = 4 + 3t

1

x = 2 + t

1

D.  y = − t
4

1

 z = 4 − 3t


x = 1 + t

Câu 2: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 1 = 0 và đường thẳng d :  y = 1 + t . Gọi d ' là đường
z = 1 − t

thẳng nằm trong ( P ) , song song với d và khoảng cách giữa d và d ' là nhỏ nhất. Hỏi d ' đi qua
điểm nào dưới đây?
 1 2 1
A. M  − ; ; − 
 3 3 3
2 7 5
C. M  ; ; 
3 6 6

4 4 2
B. M  ; ; 
3 3 3
2
2
D. M  ; −1; − 
3
3

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cách điểm M khác A một
khoảng lớn nhất.
Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1;0; −2 ) và cách điểm M ( 2;1;1) một
khoảng lớn nhất.
A. x + y + 3z + 6 = 0
C. x + y + 3z − 7 = 0

B. x + y − 3z + 5 = 0
D. − x − y − 3z − 5 = 0

Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1;2;3) và cách điểm N (1; −2;5) một
khoảng lớn nhất.

MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion
A. −4 y + 2 z − 2 = 0
C. 4 y − 2 z + 2 = 0

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

6

B. −2 y + z + 2 = 0
D. −2 y + z + 1 = 0

Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1;2;3) và cách gốc tọa độ O một khoảng
lớn nhất.
A. x + 2 y + 3z + 14 = 0
x y z
C.
+ + =1
1 2 3

B. x + 2 y + 3z − 14 = 0
x
y
z
D.
+
+
=1
−1 −2 −3

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d / / ( P ) đi qua điểm M nằm trong mặt cầu tâm I
và cắt mặt cầu theo một dây cung AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 1: Cho mặt cầu tâm I (1;1; −2 ) và điểm M ( 2; −1;1) nằm trong mặt cầu đó. Viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm M song song với mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + z − 1 = 0 và cắt mặt cầu
theo một dây cung AB có độ dài ngắn nhất.

 x = 2 + 7t

A.  y = −1 + 5t
z = 1 − t


 x = 2 + 7t

B.  y = −1 − 5t
z = 1 + t

 x = 2 + 7t
 x = −5 + 7t


C.  y = 1 + 5t
D.  y = −6 + 5t
z = 1 + t
z = t


Câu 2: Cho mặt cầu tâm I ( 0;2;1) và điểm M (1;1;3) nằm trong mặt cầu đó. Viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm M song song với mặt phẳng ( P ) : 2 y + z − 5 = 0 và cắt mặt cầu theo
một dây cung có độ dài ngắn nhất.

 x = 1 − 5t

A.  y = 1 + t
 z = 3 − 2t


 x = 1 + 5t

B.  y = 1 + t
 z = 3 − 2t


 x = 5t

C.  y = 2 + t
 z = 1 − 2t


 x = 1 + 5t

D.  y = 1 − t
 z = 3 − 2t


MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion

7

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

Câu 3: Cho mặt cầu tâm O và điểm A ( −1;2; −3) nằm trong mặt cầu đó. Viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm A song song với mặt phẳng ( P ) : x − z + 2 = 0 và cắt mặt cầu theo một

dây cung có độ dài ngắn nhất.

 x = −1 + t

A.  y = −2 + 2t
 z = −1 + t

x = 1 + t

C.  y = 2 + 2t
 z = −3 + t


 x = −1 − t

B.  y = 2 − 2t
 z = −3 + t

 x = −1 + t

D.  y = 2 − 2t
 z = −3 + t


MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!


Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

8

Dạng 10: Cực trị liên quan tới 2 điểm A,B
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A (1;1;0 ) , B ( 3; −1; 4 ) và mặt phẳng

( P ) : x − y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm

M  ( P ) sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất .

3 5 1
1 2 2
B. M  ; ; − 
C. M  ; ; − 
D. M ( 0; 2;1)
4 4 2
3 3 3
Câu 2: Trong không gian Oxyz A (1;0; 2 ) , B ( 0; −1; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 12 = 0 .

A. M (1;3; −1)

TÌm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất .
 7 7 31 
 6 18 25 
 2 11 18 
B. M  ; ; 
C. M  − ; − ; 
D. M  − ; − ; 
6 6 4 
 11 11 11 

 5 5 5
Câu 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 và hai điểm

A. M ( 2; 2;9 )

M ( 3;1;0 ) , N ( −9; 4;9 ) . Tìm điểm I ( a; b; c ) thuộc ( P ) sao cho IM − IN lớn nhất. Khi đó

a + b + c nhận giá trị là:
A. a + b + c = 21
B. a + b + c = 14
C. a + b + c = 5
D. a + b + c = 19
Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1;2; −1) , B ( 7; −2;3) và đường thẳng
d:

x +1 y − 2 z − 2
. Điểm I  d sao cho AI + BI nhỏ nhất. Khi đó xI = ?
=
=
3
−2
2

E. 2

F. 0
G. 4
H. 1
x +1 y −1 z + 2
Câu 5: Cho đường thẳng d :

và 2 điểm A (1;1;0 ) , B ( −1;0;1) , Biết điểm
=
=
1
−1
2
M ( a; b; c ) thuộc d sao cho biểu thức T = MA − MB đạt giá trị lớn nhất. Khi đó a − b + c bằng:
A. 8

B. 8 + 33

C. 8 +

33
3

D. 8 +

4 33
3

Dạng 11: Cực trị độ dài vecto
Câu 1: Cho 2 điểm A ( 0;0;3) , B (1; 4;0 ) và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 8 y + 2 z + 9 = 0 . GỌi M là
điểm thuộc mặt cầu ( S ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA − 2MB là:
C. 6
D. 3 6
A. 2 2
B. 3 2
2
2

2
Câu 2: Cho 2 điểm A ( 0;0;3) , B ( 4;1; −2 ) và mặt cầu ( S ) : x + y + z − 8 y + 2 z + 9 = 0 . Gọi M là
điểm thuộc mặt cầu ( S ) sao cho MA + 2 MB nhỏ nhất. Hoành độ của điểm M là:
A. xM = 2

B. xM = −3

C. xM = −

1
2

MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!

D. xM = 5


Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

9

Câu 3: Cho 3 điểm A ( 2; −3;7 ) , B ( 0; 4;3) , C ( 4; 2;3) . Biết M ( a; b; c ) thuộc mặt ( Oxy ) để biểu
thức T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a + b + c là:
A. 3
B. 6
C. 9
D. 0
Câu 4: Trong không gian Oxyz ,cho A (1; 2;3) , B ( 2;1; −3) , C ( 0; −1;1) và ( P ) : x + y − z = 0 .

Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( P ) thỏa mãn MA + 3MB − 2MC đạt giá trị nhỏ nhất . Giá trị của c là:
1
1
C. −
6
3
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho điểm B (1; 2;3) , C ( −2;1; 4 ) và mặt cầu

B. −

A. 1

D. −

1
2

2

11
10
( S ) : x + y +  z −  = . Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( S ) thỏa mãn
2
23

2

2

MO + 2MB + MO + MB − 5MC đạt giá trị lớn nhất . Giá trị của biểu thức a + b − 14c là:

A. −80
B. −81
C. −82
D. −83
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A ( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5 ) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 2 z − 5 = 0 . Gọi

M là điểm thuộc ( P ) sao cho biểu thức

S = MA − 4MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó xM = ?
A. xM = 3

B. xM = −1

C. xM = 1

D. xM = −3

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A (1;0;3) , B ( −3;1;3) , C (1;5;1) . Gọi M ( x0 ; y0 ; z0 )
thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho biểu thức T = 2 MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất. Khi đó
x0 − yo = ?

8
8
C. x0 − yo = −2
D. x0 − yo = 2
B. x0 − yo =
5
5

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A ( 0;0;4 ) , B ( 3;2;6 ) , C ( 3; −2;6 ) . Gọi M là điểm di

A. x0 − yo = −

động trên mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + MB + MC là:
A. 2 34

B. 6 5

C. 4 10

D. 2 29

Dạng 12: Cực trị bình phương vô hướng của vecto
Câu 1: Cho 3 điểm A (1;1;1) , B ( −1; 2;1) , C ( 3;6;5) . BIết M ( a; b, c ) thỏa mãn M  Oxy . Và biểu
thức T = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất . Giá trị của a + b + c bằng:
A. 3

B. 4

C. 5

MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!

D. 6


Mathpro_We Are Champion

Mathpro_Nói Không Với Điểm Dưới 9

10

Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z = 0 và các điểm

A (1; 2; −1) , B ( 3;1; −2 ) , C (1; −2;1) . Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( P ) sao cho MA2 − MB 2 − MC 2 lớn
nhất. Giá trị của a + b + c là:
D. −6
C. −4
x = 2 + t

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (  ) :  y = −1 + 2t ( t  R ) và hai điểm
 z = 3t

A. 0

B. −2

A ( 2;0;3) , B ( 2; −2; −3) . Điểm M thuộc đường thẳng (  ) . Giá trị nhỏ nhất của MA4 + MB 4 là:
A. 100

B. 200

C. 300
D. 400
x − 3 y −1 z − 3
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
và 2 điểm
=
=

1
2
3
A ( 2;0;3) B ( 2; −2; −3) . Biết điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc d thỏa mãn P = MA4 + MB 4 + MA2 .MB 2
nhỏ nhất. Tìm y0 .
A. y0 = 3

B. y0 = 2

C. y0 = 1

D. y0 = −1

MathPro_Nơi tinh hoa hội tụ-Nơi nhân tài tỏa sáng !!!