Bài Tập Đại số 10

Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HP
§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đònh nghóa :
Mệnh đề là một câu khẳng đònh Đúng hoặc Sai .
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2.Mệnh đề phủ đònh:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ đònh của P
Ký hiệu là
P
. Nếu P đúng thì
P
sai, nếu P sai thì
P
đúng
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì
P
: “ 3
≤
5 ”
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P ⇒ Q. Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q
4. Mệnh đề tương đương
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương
đương , ký hiệu P ⇔ Q.Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5. Phủ đònh của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∃x∈X,
P(x)
”
Phủ đònh của mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∀x∈X,

P(x)
”
Ví dụ:
Cho x là số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3”
Ta có : • P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng
• ( )P x : “ x không chia hết cho 6”
• Mệnh đề kéo theo P(x)⇒ Q(x) là mệmh đề đúng.
• “∃x∈ N
*
, P(x)” đúng có phủ đònh là “∀x∈ N
*
,
P(x)
” có tính sai

B: BÀI TẬP

B.1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM :
Câu 1: Cho A = “∀x∈R : x
2
+1 > 0” thì phủ đònh của A là:
a) A = “ ∀x∈R : x
2
+1 ≤ 0” b) A = “∃ x∈R: x
2
+1≠ 0”
c) A = “∃ x∈R: x
2
+1 < 0” d) A = “ ∃ x∈R: x
2

+1 ≤ 0”
Câu 2:Xác đònh mệnh đề đúng:
a) ∃x∈R: x
2
≤ 0 b) ∃x∈R : x
2
+ x + 3 = 0
c) ∀x ∈R: x
2
>x d) ∀x∈ Z : x > - x
Câu 3:Phát biểu nào sau đây là đúng:
a) x ≥ y ⇒ x
2
≥ y
2
b) (x +y)
2
≥ x
2
+ y
2
c) x + y >0 thì x > 0 hoặc y > 0 d) x + y >0 thì x.y > 0
Câu 4:Xác đònh mệnh đề đúng:
a) ∀x ∈R,∃y∈R: x.y>0 b) ∀x∈ N : x ≥ - x
c) ∃x∈N, ∀y∈ N: x chia hết cho y d) ∃x∈N : x
2
+4 x + 3 = 0
Câu 5: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng :
a) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC ⊥ BD
b) Nếu 2 tam giác vuông bằng nhau thì 2 cạnh huyền bằng nhau

c) Nếu 2 dây cung của 1 đường tròn bằng nhau thì 2 cung chắn bằng nhau
d) Nêu số nguyên chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
Câu 6: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng :
a)Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau
b)Nếu a = b thì a.c = b.c
c)Nếu a > b thì a
2
> b
2

d)Nếu số nguyên chia hết cho 6 thì chia hết cho 3 và 2
Câu 7: Xác đònh mệnh đề sai :
a) ∃x∈Q: 4x
2
– 1 = 0 b) ∃x∈R : x > x
2
c) ∀n∈ N: n
2
+ 1 không chia hết cho 3 d) ∀n∈ N : n
2
> n
Câu 8: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai :
a)Một tam giác vuông khi và chỉ khi nó có 1 góc bằng tổng 2 góc kia
b) Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có 2 trung tuyến bằng nhau và 1 góc = 60
0
c) hai tam gíac bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dang và có 1 cạnh bằng nhau
d) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông

Câu 9: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng :
d) Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau

e) Nếu a = b thì a.c = b.c c)Nếu a > b thì a
2
> b
2

d)Nếu số nguyên chia hết cho 10 thì chia hết cho 5 và 2
Câu 10: Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề phủ đònh đúng :
a) ∃x∈ Q: x
2
= 2 b) ∃x∈R : x
2
- 3x + 1 = 0
c) ∀n ∈N : 2n ≥ n d) ∀x∈ R : x < x + 1
B2: BÀI TẬP TỰ LUẬN :

Bài 1: Các câu sau dây, câu nào là mệnh đề, và mệnh đề đó đúng hay sai :
a) Ở đây là nơi nào ?
b) Phương trình x
2
+ x – 1 = 0 vô nghiệm
c) x + 3 = 5
d) 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ đònh của các mệnh đề sau :
a) “Phương trình x
2
–x – 4 = 0 vô nghiệm ”
b) “ 6 là số nguyên tố ”
c) “∀n∈N ; n
2
– 1 là số lẻ ”

Bài 3: Xác đònh tính đúng sai của mệnh đề A , B và tìm phủ đònh của nó :
A = “ ∀x∈ R : x
3
> x
2
”
B = “ ∃ x∈ N , : x chia hết cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 45
0
”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng 2 cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P : “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 9
2
+ 1 là số nguyên tố ”
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD”
b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác đều”
c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo :
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A ⇒ B

Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x
2
” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) P(1)
b) P(
1
3
)
c) ∀x∈N ; P(x)
d) ∃x∈ N ; P(x)
Bài 8: Phát biểu mệnh đề A ⇒ B và A ⇔ B của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai
a) A : “Tứ giác T là hình bình hành ”
B: “Hai cạnh đối diện bằng nhau”
b) A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ”
B: “ tứ giác có 3 góc vuông”
c) A: “ x > y ”
B: “ x
2
> y
2
” ( Với x y là số thực )
d) A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy ”
B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập phủ đònh của nó :
a) ∀x∈N : x
2
≥ 2x
b) ∃x∈ N : x
2
+ x không chia hết cho 2
c) ∀x∈Z : x
2
–x – 1 = 0

Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng
a) A : “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác đều ”
c) C: “ Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương ”
d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 11:Phát biểu thành lời các mệnh đề ∀x: P(x) và ∃x : P(x) và xét tính đúng sai của chúng :
a) P(x) : “x
2
< 0” b)P(x) :“
1
x
> x + 1”
c) P(x) : “
2
x 4
x 2
−
−
= x+ 2” x) P(x): “x
2
-3x + 2 > 0”

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1:Trong toán học đònh lý là 1 mệnh đề đúng
Nhiều đònh lý được phát biểu dưới dạng “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)”
2: Chứng minh phản chứng đinh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” gồm 2 bước sau:

- Giả sử tồn tại x
0
thỏa P(x
0
)đúng và Q(x
0
) sai
- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn
3: Cho đònh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” . Khi đó
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
4: Cho đònh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” (1)
Nếu mệnh đề đảo “∀x∈X , Q(x) ⇒ P(x)” đúng được gọi là dònh lý đảo của (1)
Lúc đó (1) được gọi là đònh lý thuận và khi đó có thể gộp lại
“∀x∈X , P(x) ⇔ Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
B: BÀI TẬP :
Bài 1: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ”
a) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cùng diện tích
b) Số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
c) Mộthình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân
Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n là số nguyên dương, nếu n
2
chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng
2
là số vô tỷ
c) Với n là số nguyên dương , nếu n
2
là số lẻ thì n là số lẻ

Bài 3: Phát biểu các đònh lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng
thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c)Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d)Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau
Bài 4: Phát biểu các đònh lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”

a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng
thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c)số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d)Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau
Bài 5: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu a≠b≠c thì a
2
+b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x
2
+ y
2
= 0 thì x = 0 và y = 0
Bài 6 :Cho các đinh lý sau, đònh lý nào có đònh lý đảo, hãy phát biểu :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”

c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n
2
chia 3 dư 1”