PHẦN I – ĐỀ BÀI
NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có:
n
(a + b) n = ∑ Cnk a n − k b k
k =0
2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
k n−k k
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n)
k
n− k
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn = Cn
0
n
k −1
k
k
5) Cn = Cn = 1 , Cn + Cn = Cn +1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn ⇒Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n
0 n
1 n −1
n
n
0
1
n
n
(x–1)n = Cn x − Cn x + ... + (−1) Cn ⇒Cn − Cn + ... + (−1) Cn = 0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
0
1
n
n
* Cn + Cn + ... + Cn = 2
0
1
2
n n
* Cn − Cn + Cn − ... + (−1) Cn = 0
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:
( ax
p
n
+ bx q ) = ∑ Cnk ( ax p )
n
k =0
n−k
n
( bx ) = ∑ C a
q k
k =0
k
n
n−k
bk x np − pk + qk
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = m .
m − np
Từ đó tìm k =
p−q
k n−k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.
m
Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P ( x ) = ( a + bx p + cx q ) được viết dưới dạng a0 + a1 x + ... + a2 n x 2 n .
n
Ta làm như sau:
n
p
q
k n −k
p
q
* Viết P ( x ) = ( a + bx + cx ) = ∑ Cn a ( bx + cx ) ;
n
k
k =0
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành một đa thức theo luỹ thừa
k
của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
A. −80 .
B. 80 .
C. −10 .
D. 10 .
n+6
Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + 2 ) , ( n ∈ ¥ ) . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
D. 12 .
5
Câu 3: Trong khai triển ( 3x 2 − y ) , hệ số của số hạng chính giữa là:
10
4
4
B. −3 .C10 .
4
4
A. 3 .C10 .
5
5
C. 3 .C10 .
Câu 4: Trong khai triển ( 2 x − 5 y ) , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:
A. −22400 .
B. −40000 .
C. −8960 .
5
5
D. −3 .C10 .
8
D. −4000 .
6
2
3
Câu 5: Trong khai triển x +
÷ , hệ số của x , ( x > 0 ) là:
x
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
D. 240 .
7
1
Câu 6: Trong khai triển a 2 + ÷ , số hạng thứ 5 là:
b
6 −4
A. 35.a .b .
B. −35.a 6 .b −4 .
C. 35.a 4 .b −5 .
6
Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là:
A. 2a 6 − 6a 5 + 15a 4 .
C. 64a 6 − 192a 5 + 480a 4 .
(
Câu 8: Trong khai triển x − y
A. −16 x y15 + y 8 .
)
D. −35.a 4 .b .
B. 2a 6 − 15a 5 + 30a 4 .
D. 64a 6 − 192a 5 + 240a 4 .
16
, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15 + y 4 .
B. −16 x y15 + y 4 .
D. 16 xy15 + y 8 .
6
1
Câu 9: Trong khai triển 8a 2 − b ÷ , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là:
2
9 3
A. −80a .b .
B. −64a 9 .b3 .
C. −1280a 9 .b3 .
D. 60a 6 .b 4 .
9
8
Câu 10: Trong khai triển x + 2 ÷ , số hạng không chứa x là:
x
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
10
Câu 11: Trong khai triển ( 2 x − 1) , hệ số của số hạng chứa x8 là:
A. −11520 .
B. 45 .
C. 256 .
Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
7
Câu 13: Trong khai triển ( 3 x − y ) , số hạng chứa x 4 y 3 là:
D. 43008 .
D. 11520 .
8
A. −2835 x 4 y 3 .
B. 2835x 4 y 3 .
C. 945x 4 y 3 .
Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là:
A. 0, 0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0, 0512 .
D. 70 .
D. −945 x 4 y 3 .
5
Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển ( 1 + x ) ( 1 + y ) là:
A. 20 .
B. 800 .
C. 36 .
4
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển ( 3 x + 2 y ) là:
6
2 2 2
A. C4 x y .
B. 6 ( 3 x )
2
( 2y)
2.
D. 0, 2048 .
6
2 2 2
C. 6C4 x y .
D. 400 .
2 2 2
D. 36C4 x y .
Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11
3
B. − C11 .
3
A. C11 .
5
C. −C11 .
8
D. C11 .
Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (1 − 2 x )10
A. −15360
B. 15360
C. −15363
D. 15363
9
7
Câu 19: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x) = x(2 + 3 x)
A. 489889
B. 489887
C. −489888
D. 489888
7
8
7
Câu 20: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x) + (1 − x) + (2 + x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
10
7
Câu 21: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (3 + 2 x )
A. 103680
B. 1301323
C. 131393
D. 1031831
9
7
Câu 22: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x) = x(1 − 2 x)
A. −4608
B. 4608
C. −4618
D. 4618
2
10
8
Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) = (3x + 1)
A. 17010
B. 21303
C. 20123
D. 21313
8
2
Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = − 5 x 3 ÷
x
A. 1312317
B. 76424
C. 427700
D. 700000
12
3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = + ÷
x 2
297
29
27
97
A.
B.
C.
D.
512
51
52
12
2 10
8
Câu 26: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) = (1 + x + 2 x )
A. 37845
B. 14131
C. 324234
D. 131239
8
8
Câu 27: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) = 8(1 + 8 x ) − 9(1 + 9 x) 9 + 10(1 + 10 x )10
0 8
1 8
8
8
A. 8.C8 .8 − C9 .9 + 10.C10 .10
0 8
1 8
8
8
B. C8 .8 − C9 .9 + C10 .10
0 8
1 8
8
8
C. C8 .8 − 9.C9 .9 + 10.C10 .10
0 8
1 8
8
8
D. 8.C8 .8 − 9.C9 .9 + 10.C10 .10
Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x )8 + 9(1 + 2 x)9 + 10(1 + 3 x)10
A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển ( x 3 + xy )
A. 2080 .
B. 3003 .
15
là:
C. 2800 .
D. 3200.
18
1
Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 + 3 là:
x
10 .
9 .
8
A. C18
B. C18
C. C18 .
3
D. C18 .
Câu 31: Khai triển ( 1− x) , hệ số đứng trước x 7 là:
12
A. 330 .
B. – 33.
C. –72.
D. –792 .
2 12
(x ≠ 0)
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x ) = ( x − )
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
D. 139412
1
4 3 17
( x > 0)
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x) = ( 3 2 + x )
x
A. 24310
B. 213012
C. 12373
D. 139412
n
1
5
8
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 + x ÷ biết
x
n +1
n
Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3) .
A. 495
B. 313
C. 1303
D. 13129
n
1
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức − ( x + x 2 ) với n là số
x
nguyên dương thoả mãn
Cn3 + 2n = An2+1 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. −98
B. 98
C. −96
D. 96
40
1
Câu 36: Trong khai triển f ( x ) = x + 2 ÷ , hãy tìm hệ số của x 31
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
18
1
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 + 3 ÷ số hạng độc lập đối với x
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
12
x 3
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển − ÷
3 x
55
13
621
A.
B.
C.
9
2
113
Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển ( x 3 + xy )
D. 1147
D. 48620
D.
1412
3123
15
A. 300123
B. 121148
C. 3003
D. 1303
2
20
Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x ) + ... + 20 ( 1 + x ) có dạng khai triển là
P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 .
Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995
B. 130414
Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
(
3+ 3 2
A. 8 và 4536
B. 1 và 4184
1 20
Câu 42: Xét khai triển f ( x) = (2 x + )
x
1. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển
k
20 − k 20 − k
A. Tk +1 = C20 .2 .x
k
20 − 4 k 20 − 2 k
.x
C. Tk +1 = C20 .2
)
C. 511313
9
D. 412674
là một số nguyên
C. 414 và 12
D. 1313
k
20 − k 20 − 2 k
B. Tk +1 = C10 .2 .x
k
20 − k 20 − 2 k
D. Tk +1 = C20 .2 .x
2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10
10 10
A. C20 .2
B. A20 .2
10 4
C. C20 .2
10 10
D. C20 .2
Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x ) = (3x 2 + 2 x + 1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
D. 11312
2n
7
Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2 − 3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa
1
3
5
2 n +1
mãn : C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 1024 .
A. 2099529
B. −2099520
C. −2099529
D. 2099520
9
10
14
9
Câu 45: Tìm hệ số của x trong khai triển f ( x) = (1 + x) + (1 + x ) + ... + (1 + x)
A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
5
10
2
5
Câu 46: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: x ( 1 − 2 x ) + x ( 1 + 3x )
A. 3320
B. 2130
C. 3210
8
Câu 47: Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f ( x) = 1 + x 2 ( 1 − x )
A. 213
B. 230
C. 238
D. 1313
8
D. 214
Câu 48: Đa thức P ( x ) = ( 1 + 3x + 2 x 2 ) = a0 + a1 x + ... + a20 x 20 . Tìm a15
10
10
5
5
9
6 3
8
7
A. a15 = C10 .C10 .3 + C10 .C9 .3 + C10 .C8 .3.
10
5
5
9
6 6
8
7 7
B. a15 = C10 .C10 .2 + C10 .C9 .2 + C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7 7
C. a15 = C10 .C10 .3 .2 + C10 .C9 .3 .2 + C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7
7
D. a15 = C10 .C10 .3 .2 + C10 .C9 .3 .2 + C10 .C8 .3.2
2 n
3
n −1
n −2
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x − ) , biết rằng Cn + Cn = 78 với
x
x>0
A. −112640
B. 112640
C. −112643
D. 112643
3
n
−
3
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n −3 là hệ số của x
trong khai triển thành đa thức của
( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm n để a3n−3 = 26n
A. n=5
B. n=4
C. n=3
D. n=2
n
1
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của 4 + x 7 ÷ , biết
x
1
2
n
20
C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
n
n
Câu 52: Cho n ∈ ¥ * và (1 + x) = a0 + a1 x + ... + an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) sao
a
a
a
cho k −1 = k = k +1 . Tính n = ? .
2
9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
1 2 10
Câu 53: Trong khai triển của ( + x) thành đa thức
3 3
2
9
10
a0 + a1 x + a2 x + ... + a9 x + a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 ≤ k ≤ 10 ).
210
210
210
210
B.
C.
D.
a
=
3003
a
=
3003
a
=
3003
5
4
9
315
315
315
315
n
2
n
Câu 54: Giả sử (1 + 2 x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x , biết rằng a0 + a1 + ... + an = 729 . Tìm n và số lớn
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. a10 = 3003
A. n=6, max { ak } = a4 = 240
C. n=4, max { ak } = a4 = 240
B. n=6, max { ak } = a6 = 240
D. n=4, max { ak } = a6 = 240
n
n
Câu 55: Cho khai triển (1 + 2 x) = a0 + a1 x + ... + an x , trong đó n ∈ ¥ * . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 + 1 + ... + nn = 4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127
n
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG
∑a C b
k =0
k
k
n
k
.
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a + b) n = Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + ... + b nCnn .
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
k
n− k
* Cn = C n
0
1
n
n
* Cn + Cn + ... + Cn = 2
n
*
∑ (−1) C
k
k =0
*
=0
n
n
k =0
k =0
∑ C22nk = ∑ C22nk −1 =
n
*
k
n
∑C a
k =0
k
n
k
1 2n k
∑ C2 n
2 k =0
= (1 + a ) n .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
0
1
2
3
n
Câu 1: Tổng T = Cn + Cn + Cn + Cn + ... + Cn bằng:
A. T = 2 n .
B. T = 2n – 1 .
C. T = 2n + 1 .
D. T = 4n .
0
1
6
Câu 2: Tính giá trị của tổng S = C6 + C6 + .. + C6 bằng:
A. 64 .
B. 48 .
C. 72 .
D. 100 .
5
0
1
5
Câu 3: Khai triển ( x + y ) rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S = C5 + C5 + ... + C5
A. 32 .
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
0
1
2
n n
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn = 243
A. 4
B. 11
C. 12
D. 5
5
0
1
5
x
,
y
Câu 5: Khai triển ( x + y ) rồi thay
bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S = C5 + C5 + ... + C5
A. 32 .
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
Câu 6: Khai triển ( 1 + x + x 2 + x3 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a15 x15
5
a) Hãy tính hệ số a10 .
0
4
4 3
A. a10 = C5 . + C5 + C5 C5
0
5
2 4
4 3
B. a10 = C5 .C5 + C5 C5 + C5 C5
0
5
2 4
4 3
C. a10 = C5 .C5 + C5 C5 − C5 C5
0
5
2 4
4 3
D. a10 = C5 .C5 − C5 C5 + C5 C5
b) Tính tổng T = a0 + a1 + ... + a15 và S = a0 − a1 + a2 − ... − a15
A. 131
B. 147614
C. 0
Câu 7: Khai triển ( 1 + 2 x + 3 x
a) Hãy tính hệ số a4
0
4
A. a4 = C10 .2
)
2 10
= a0 + a1 x + a2 x + ... + a20 x
4 4
B. a4 = 2 C10
20
b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + ... + 2 a20
A. S = 1710
B. S = 1510
2
D. 1
20
0
4
C. a4 = C10C10
0
4 4
D. a4 = C10 .2 C10
C. S = 17 20
D. S = 710
1 0 1 1 1 3 1 4
( −1) n n
S
=
C
−
C
+
C
−
C
+
...
+
Cn
Câu 8: Tính tổng sau:
n
n
n
n
2
4
6
8
2( n + 1)
1
A.
B. 1
C. 2
2(n + 1)
1 n −1
2 n−2
3 n −3
n
Câu 9: Tính tổng sau: S = Cn 3 + 2Cn 3 + 3Cn 3 + ... + nCn
A. n.4n −1
B. 0
C. 1
1 1 1 2
1
0
Cnn
Câu 10: Tính các tổng sau: S1 = Cn + Cn + Cn + ... +
2
3
n +1
2n +1 + 1
2n +1 − 1
2n +1 − 1
A.
B.
C.
+1
n +1
n +1
n +1
1
2
n
Câu 11: Tính các tổng sau: S 2 = Cn + 2Cn + ... + nCn
A. 2n.2n −1
B. n.2n +1
C. 2n.2n +1
D.
1
(n + 1)
D. 4n −1
D.
2n +1 − 1
−1
n +1
D. n.2n −1
2
3
4
n
Câu 12: Tính các tổng sau: S3 = 2.1.Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cn .
A. n(n − 1)2n − 2
B. n(n + 2)2n− 2
Câu 13: Tính tổng S = Cn0 +
C. n(n − 1)2 n −3
D. n(n − 1)2n + 2
32 − 1 1
3n +1 − 1 n
Cn + ... +
Cn
2
n +1
4n +1 − 2n +1
n +1
n +1
4 − 2n +1
C. S =
+1
n +1
4n +1 + 2n +1
−1
n +1
4n +1 − 2n +1
D. S =
−1
n +1
A. S =
B. S =
22 − 1 1
2 n +1 − 1 n
Cn + ... +
Cn
2
n +1
3n +1 − 2n +1
3n − 2n +1
3n +1 − 2n
3n +1 + 2n +1
A. S =
B. S =
C. S =
D. S =
n +1
n +1
n +1
n +1
1
2
2 3
n 2 n +1
Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − ... + (2n + 1)2 C2 n +1 = 2005
A. n = 1001
B. n = 1002
C. n = 1114
D. n = 102
0 n −1 n −1
1 n−2 n−2
n −1 0 0
Câu 16: Tính tổng 1.3 .5 Cn + 2.3 .5 Cn + ... + n.3 5 Cn
Câu 14: Tính tổng S = Cn0 +
A. n.8n −1
B. ( n + 1).8n −1
C. (n − 1).8n
2
3
4
n
Câu 17: Tính tổng S = 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n (n − 1)Cn
A. n(n + 1)2n − 2
B. n(n − 1)2n − 2
Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + ... + ( Cnn )
2
n
A. C2 n
2
2
n −1
B. C2 n
C. n(n − 1)2n
D. (n − 1)2n − 2
n
C. 2C2 n
n −1
D. C2 n −1
2
n 0
n −1
n −1
2 n −2
n−2
n 0
Câu 19: Tính tổng sau: S1 = 5 Cn + 5 .3.Cn + 3 .5 Cn + ... + 3 Cn
A. 28n
B. 1 + 8n
C. 8n −1
0
2 2
2010 2010
Câu 20: S 2 = C2011 + 2 C2011 + ... + 2 C2011
32011 + 1
3211 − 1
B.
2
2
1
2
Câu 21: Tính tổng S3 = Cn + 2Cn + ... + nCnn
A.
A. 4n.2n −1
B. n.2n −1
D. n.8n
C.
32011 + 12
2
C. 3n.2n −1
D. 8n
D.
32011 − 1
2
D. 2n.2n −1
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có:
n
(a + b) n = ∑ Cnk a n −k b k
k =0
2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
k n−k k
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n)
k
n−k
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn = Cn
0
n
k −1
k
k
5) Cn = Cn = 1 , Cn + Cn = Cn +1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn ⇒Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n
0 n
1 n −1
n
n
0
1
n
n
(x–1)n = Cn x − Cn x + ... + (−1) Cn ⇒Cn − Cn + ... + (−1) Cn = 0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
0
1
n
n
* Cn + Cn + ... + Cn = 2
0
1
2
n
n
* Cn − Cn + Cn − ... + (−1) Cn = 0
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:
( ax
p
+ bx
n
n
) = ∑ C ( ax ) ( bx ) = ∑ C a
q n
k =0
k
n
p n−k
q k
k =0
k
n
n −k
bk x np − pk +qk
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = m .
m − np
Từ đó tìm k =
p−q
k n −k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.
m
Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P ( x ) = ( a + bx p + cx q ) được viết dưới dạng a0 + a1 x + ... + a2 n x 2 n .
n
Ta làm như sau:
n
p
q
k n −k
p
q
* Viết P ( x ) = ( a + bx + cx ) = ∑ Cn a ( bx + cx ) ;
n
k
k =0
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành một đa thức theo luỹ thừa
k
của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
A. −80 .
B. 80 .
C. −10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
5
5
4
3
Ta có: ( 2a − b ) = C50 ( 2a ) − C51 ( 2a ) b + C52 ( 2a ) b 2 + ...
5
D. 10 .
Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C5 .8 = 80 .
2
n+6
Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + 2 ) , ( n ∈ ¥ ) . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n+6
Trong khai triển ( a + 2 ) , ( n ∈ ¥ ) có tất cả n + 7 số hạng.
Do đó n + 7 = 17 ⇔ n = 10 .
Câu 3: Trong khai triển ( 3 x 2 − y ) , hệ số của số hạng chính giữa là:
10
4
4
4
B. −3 .C10 .
4
A. 3 .C10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
5
5
C. 3 .C10 .
5
5
D. −3 .C10 .
Trong khai triển ( 3x 2 − y ) có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 .
10
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là −3 .C10 .
5
5
Câu 4: Trong khai triển ( 2 x − 5 y ) , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:
A. −22400 .
B. −40000 .
C. −8960 .
D. −4000 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
k
8− k
k
k
k 8 − k k 8− k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = (−1) C8 .(2 x) (5 y ) = ( −1) C8 .2 5 .x . y
8
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là: −22400 .
6
2
3
Câu 5: Trong khai triển x +
÷ , hệ số của x , ( x > 0 ) là:
x
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
D. 240 .
1
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T = C k .x 6− k 2k.x − 2 k
k +1
6
1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 − k − k = 3 ⇔ k = 3 .
2
3 3
3
Khi đó hệ số của x là: C6 .2 = 160 .
7
1
Câu 6: Trong khai triển a 2 + ÷ , số hạng thứ 5 là:
b
6 −4
A. 35.a .b .
B. −35.a 6 .b −4 .
C. 35.a 4 .b −5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k 14 − 2 k − k
.b
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C7 .a
D. −35.a 4 .b .
4 6 −4
6 −4
Vậy số hạng thứ 5 là T5 = C7 .a .b = 35.a .b
Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là:
6
A. 2a 6 − 6a 5 + 15a 4 .
C. 64a 6 − 192a 5 + 480a 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
6
Ta có: ( 2a − 1) = C60 .26 a 6 − C61 .25 a 5 + C62 .24 a 4 − ...
B. 2a 6 − 15a 5 + 30a 4 .
D. 64a 6 − 192a 5 + 240a 4 .
Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a 6 − 192a5 + 240a 4 .
(
Câu 8: Trong khai triển x − y
A. −16 x y15 + y 8 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(
Ta có: x − y
)
16
)
16
, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15 + y 4 .
B. −16 x y15 + y 4 .
15
= C160 x16 − C161 x15 . y + ... − C16
x
( y)
15
+ C1616
( y)
D. 16 xy15 + y 8 .
16
6
1
Câu 9: Trong khai triển 8a 2 − b ÷ , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là:
2
9 3
A. −80a .b .
B. −64a 9 .b3 .
C. −1280a 9 .b3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = ( −1) C6k .86−k a12−2 k .2− k b k
D. 60a 6 .b 4 .
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: −1280a 9 .b3 .
9
8
Câu 10: Trong khai triển x + 2 ÷ , số hạng không chứa x là:
x
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k 9 − k k −2 k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C9 .x 8 .x
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9 − k − 2k = 0 ⇔ k = 3 .
3 3
Khi đó số hạng không chứa x là: C9 .8 = 43008 .
Câu 11: Trong khai triển ( 2 x − 1) , hệ số của số hạng chứa x8 là:
A. −11520 .
B. 45 .
C. 256 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C10k .210− k .x10− k . ( −1)
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 − k = 8 ⇔ k = 2 .
2
8
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C10 .2 = 11520 .
D. 43008 .
10
Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C8k .a8−k . ( −2 ) .b k
D. 11520 .
8
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 4 .
4 4
Khi đó hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là: C8 .2 = 1120 .
D. 70 .
Câu 13: Trong khai triển ( 3 x − y ) , số hạng chứa x 4 y 3 là:
7
A. −2835 x 4 y 3 .
B. 2835x 4 y 3 .
C. 945x 4 y 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C7k .37 − k x 7 − k . ( −1) . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .
3 4 4
3
4
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 4 . y 3 là: −C7 .3 .x . y = −2835.x . y .
Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là:
A. 0,0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0, 0512 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
5− k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C5 .(0, 2) .(0,8)
D. −945 x 4 y 3 .
5
D. 0, 2048 .
3
2
3
Vậy số hạng thứ tư là T4 = C5 .(0, 2) .(0,8) = 0, 2028
Câu 15: Hệ số của x 3 y 3 trong khai triển ( 1 + x ) ( 1 + y ) là:
A. 20 .
B. 800 .
C. 36 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
k
m
m
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C6 .x .C6 . y
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = m = 3 .
3
3
Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 y 3 là: C6 .C6 = 400 .
6
6
D. 400 .
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển ( 3x + 2 y ) là:
4
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A. C4 x y .
B. 6 ( 3x ) ( 2 y ) .
C. 6C4 x y .
D. 36C4 x y .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
2
2
2
Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: C42 ( 3 x ) ( 2 y ) = 6 ( 3 x ) ( 2 y ) .
2
2
Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11
3
3
5
A. C11 .
B. − C11 .
C. −C11 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C11k .x11− k . ( −1) . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .
3
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là: −C11 .
Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (1 − 2 x )10
A. −15360
B. 15360
C. −15363
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
10
k =0
k =0
8
D. C11 .
D. 15363
k 10 − k
k
k
k k
Ta có f ( x ) = ∑ Cn 1 (−2 x) = ∑ C10 (−2) x
Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k = 7
7
7
Vậy hệ số của x 7 là: C10 (−2) = −15360 .
Câu 19: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) = x(2 + 3 x)9
A. 489889
B. 489887
C. −489888
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
D. 489888
9
9
k =0
k =0
9
k 9−k
k
k 9−k k k
Ta có (2 + 3x) = ∑ C9 2 (3 x) = ∑ C9 2 3 .x
9
⇒ h( x) = ∑ C9k 29− k 3k x k +1 .
k =0
Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k thỏa k + 1 = 7 ⇔ k = 6
6 3 6
Vậy hệ số chứa x 7 là: C9 2 3 = 489888 .
Câu 20: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x )7 + (1 − x)8 + (2 + x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
7
7
k k
7
Hệ số của x 7 trong khai triển (1 + x) = ∑ C7 x là : C7 = 1
k =0
8
8
k
k k
7
7
Hệ số của x trong khai triển (1 − x) = ∑ C8 ( −1) x là : C8 ( −1) = −8
7
k =0
9
9
k k
9
Hệ số của x 7 trong khai triển (1 + x) = ∑ C9 x là : C7 = 36 .
k =0
Vậy hệ số chứa x 7 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 29 .
Chú ý:
1
−n
* Với a ≠ 0 ta có: a = n với n ∈ ¥ .
a
m
a m = a n với m, n ∈ ¥ ; n ≥ 1 .
Câu 21: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) = (3 + 2 x)10
A. 103680
B. 1301323
C. 131393
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
* Với a ≥ 0 ta có:
n
10
10
k =0
k =0
D. 1031831
k 10 − k
k
k 10 − k
k k
Ta có f ( x) = ∑ Cn 3 (2 x) = ∑ C10 3 ( −2) x
Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k = 8
8
2
8
Vậy hệ số của x8 là: C10 .3 .(−2) = 103680 .
Câu 22: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x ) = x (1 − 2 x)9
A. −4608
B. 4608
C. −4618
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
9
9
k =0
k =0
D. 4618
9
k 9−k
k
k
k
k
Ta có (1 − 2 x) = ∑ C9 1 ( −2 x) = ∑ C9 ( −2) . x
9
⇒ h( x) = ∑ C9k (−2) k x k +1 .
k =0
Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa k + 1 = 8 ⇔ k = 7
7
7
Vậy hệ số chứa x8 là: C9 (−2) = −4608 .
Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = (3x 2 + 1)10
A. 17010
B. 21303
C. 20123
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
D. 21313
k k 2k
4
4
Ta có: f ( x ) = ∑ C10 3 x , số hạng chứa x8 ứng với k = 4 nên hệ số x8 là: C10 .3 = 17010 .
k =0
8
2
Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) = − 5 x 3 ÷
x
A. 1312317
B. 76424
C. 427700
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
8
D. 700000
8
k 8− k
k 4 k −8
Ta có: f ( x ) = ∑ C8 2 (−5) x
, số hạng chứa x8 ứng với k = 4 nên hệ số của x8 là:
k =0
C84 .2 4.(−5) 4 = 700000 .
12
3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) = + ÷
x 2
297
29
27
A.
B.
C.
512
51
52
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
8
D.
97
12
12
k 12 − k − k 2 k −12
Ta có: f ( x) = ∑ C12 3 .2 .x
, số hạng chứa x8 ứng với k = 10 nên hệ số của x8 là:
k =0
297
C1210 .32.2−10 =
.
512
Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = (1 + x + 2 x 2 )10
A. 37845
B. 14131
C. 324234
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
10
k =0
k =0 j =0
D. 131239
k
k
2 10 − k
k
k
j 10 − k 20 − 2 k + j
Ta có: f ( x ) = ∑ C10 (2 x ) (1 + x ) = ∑∑ C10Ck .2 x
0 ≤ j ≤ k ≤ 10
Số hạng chứa x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa:
j = 2k − 12
Nên hệ số của x8 là:
C106 C60 .24 + C107 C72 23 + C108 C84 22 + C109 C96 2 + C1010C108 = 37845
Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = 8(1 + 8 x )8 − 9(1 + 9 x) 9 + 10(1 + 10 x )10
0 8
1 8
8
8
0 8
1 8
8
8
A. 8.C8 .8 − C9 .9 + 10.C10 .10
B. C8 .8 − C9 .9 + C10 .10
0 8
1 8
8
8
C. C8 .8 − 9.C9 .9 + 10.C10 .10
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
0 8
1 8
8
8
D. 8.C8 .8 − 9.C9 .9 + 10.C10 .10
8
8
k 8− k 8− k
Ta có: (1 + 8 x) = ∑ C8 8 x
k =0
9
(1 + 9 x)9 = ∑ C9k 99 −k x9− k
k =0
10
(1 + 10 x)10 = ∑ C10k 1010 − k x10 − k
k =0
0 8
1 8
8
8
Nên hệ số chứa x8 là: 8.C8 .8 − 9.C9 .9 + 10.C10 .10
Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x )8 + 9(1 + 2 x)9 + 10(1 + 3 x)10
A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
k k k
k k
Ta có: ( 1 + ax ) = ∑ Cn a x nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1 + ax) n là Cn a . Do đó:
n
i =0
8
Hệ số của x8 trong khai triển (1 + x)8 là : C8
8 8
Hệ số của x8 trong khai triển (1 + 2 x)9 là : C9 .2
8
8
Hệ số của x8 trong khai triển (1 + 3x)10 là : C10 .3 .
8
8
8
8
8
Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8 + 9.2 .C9 + 10.3 .C10 = 22094 .
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển ( x 3 + xy )
15
là:
D. 3200.
A. 2080 .
B. 3003 .
C. 2800 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
k
45 − 3k
.x k . y k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C15 .x
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 10 .
(
)
Vậy hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x3 + xy
15
10
là: C15 = 3003 .
18
1
Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 + 3 là:
x
10 .
9 .
8
A. C18
B. C18
C. C18 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
54 − 3k
. x −3 k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C18 .x
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 − 3k − 3k = 0 ⇔ k = 9 .
9
Khi đó số hạng không chứa là: C18 .
3
D. C18 .
Câu 31: Khai triển ( 1− x) , hệ số đứng trước x 7 là:
12
A. 330 .
B. – 33.
C. –72.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C12k . ( −1) .x k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 7 .
7
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 7 là: −C12 = −792 .
D. –792 .
2 12
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x ) = ( x − )
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(x ≠ 0)
D. 139412
12
−1 12
k 12 − k
−1 k
Ta có: f ( x) = ( x − 2.x ) = ∑ C12 x .(−2 x )
k =0
12
∑C
k =0
k
12
( −2) k x12− 2 k
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k = 0
⇔ k = 6 ⇒ số hạng không chứa x là: C126 .26 = 59136 .
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x) = ( 3
A. 24310
B. 213012
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
3
−
1
4 3
Vì 3 2 = x 3 ; x = x 4 nên ta có
x
C. 12373
1
x
2
+ 4 x3 )17
( x > 0)
D. 139412
17 − k
k
17 k −136
17
−2
3
f ( x ) = ∑ C x 3 ÷ . x 4 ÷ = ∑ C17k .x 12
k =0
k =0
Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k − 136 = 0 ⇔ k = 8
8
Vậy hệ số không chứa x là: C17 = 24310 .
17
k
17
n
1
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 + x 5 ÷ biết
x
n +1
n
Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3) .
A. 495
B. 313
C. 1303
D. 13129
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n +1
n
n
n +1
n
Ta có: Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3) ⇔ ( Cn +3 + C n+3 ) − Cn +3 = 7 ( n + 3 )
⇔ Cnn++31 = 7 ( n + 3) ⇔
( n + 2 ) ( n + 3)
2!
⇔ n + 2 = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 .
= 7 ( n + 3)
12 − k
n
5
60 −11k
12
12
1
5
k
−3 k 2
k
+
x
=
C
x
.
x
=
C
x
Khi đó: 3
) ÷ ∑ 12 2 .
÷ ∑ 12 (
x
k =0
k =0
60 − 11k
=8⇔ k = 4.
Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa:
2
12!
4
= 495 .
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C12 =
4!( 12 − 4 ) !
n
1
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức − ( x + x 2 ) với n là số
x
nguyên dương thoả mãn
Cn3 + 2n = An2+1 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. −98
B. 98
C. −96
D. 96
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n ≥ 3
3
2
Ta có: Cn + 2n = An +1 ⇔ n ( n − 1) ( n − 2 )
+ 2n = ( n + 1) n
6
n ≥ 3
⇔ 2
⇔ n=8.
n − 9n + 8 = 0
Theo nhị thức Newton ta có:
8
8
1
1
2
0 1
1 1
x − ( x + x ) = x − x ( 1 + x ) = C8 x8 − C8 x 6 ( 1 + x ) +
1
1
2
3
4
8
+C82 4 ( 1 + x ) − C83 2 ( 1 + x ) + C84 ( 1 + x ) − ... + C88 x8 ( 1 + x )
x
x
Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức
1
3
4
−C83 2 ( 1 + x ) và C84 ( 1+ x ) .
x
3
2
4
0
Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: −C8 .C3 và C8 .C4
3
2
4
0
Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: −C8 .C3 + C8 .C4 = −98 .
40
1
Câu 36: Trong khai triển f ( x ) = x + 2 ÷ , hãy tìm hệ số của x 31
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
D. 1147
18
1
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 + 3 ÷ số hạng độc lập đối với x
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
C189 = 48620
D. 48620
12
x 3
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển − ÷
3 x
55
13
621
A.
B.
C.
9
2
113
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
55
(−3) 4 C124 =
8
3
9
4
Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển ( x 3 + xy )
A. 300123
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
C1510 = 3003
B. 121148
D.
1412
3123
15
C. 3003
Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x ) + ... + 20 ( 1 + x )
2
20
D. 1303
có dạng khai triển là
P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 .
Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
a15 =
20
∑ kC
k =15
15
k
B. 130414
A. 8 và 4536
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(
D. 412674
= 400995
Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
Ta có
C. 511313
3+3 2
(
)
9
là một số nguyên
B. 1 và 4184
) = ∑C ( 3) ( 2 )
9
3+ 3 2
9
k =0
k
9
k
3
C. 414 và 12
9− k
Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa:
k = 2m
9 − k = 3n ⇔ k = 0, k = 6
k = 0,...,9
Các số hạng là số nguyên: C90
( 2)
3
9
= 8 và C96
1 20
Câu 42: Xét khai triển f ( x) = (2 x + )
x
( 3) ( 2)
6
3
3
D. 1313
1. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển
k
20 − k 20 − k
A. Tk +1 = C20 .2 .x
k
20 − k 20 − 2 k
B. Tk +1 = C10 .2 .x
k
20 − 4 k 20 − 2 k
.x
C. Tk +1 = C20 .2
k
20 − k 20 − 2 k
D. Tk +1 = C20 .2 .x
2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10
10 10
10 4
A. C20 .2
B. A20 .2
C. C20 .2
Hướng dẫn giải:
k
20 − k 1
= C20k .220− k.x 20− 2 k
1. Ta có: Tk +1 = C20 (2 x)
k
x
2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20 − 2k = 0 ⇔ k = 10
10 10
Số hạng không chứa x: C20 .2
10 10
D. C20 .2
Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x) = (3x 2 + 2 x + 1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
10
f ( x ) = ( 1 + 2 x + 3 x 2 ) = ∑ C10k ( 2 x + 3 x 2 )
10
D. 11312
k
k =0
10
k
10
k
k =0
i =0
k =0
i =0
= ∑ C10k ∑ Cki (2 x) k −i .(3x 2 )i = ∑ C10k ∑ Cki 2 k −i.3i x k +i
với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 .
Do đó k + i = 4 với các trường hợp i = 0, k = 4 hoặc i = 1, k = 3 hoặc i = k = 2 .
4 4
0
2 1 3
1
2 2
2
Vậy hệ số chứa x 4 : 2 C10 .C4 + 2 3 C10 .C3 + 3 C10 .C2 = 8085 .
Câu 44: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2 − 3 x) 2 n , biết n là số nguyên dương thỏa
1
3
5
2 n +1
mãn : C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 1024 .
A. 2099529
B. −2099520
C. −2099529
D. 2099520
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2 n +1 k
2 n +1
∑ C2 n +1 = 2
n
k =0
⇒
C22ni ++11 = 22 n = 1024 ⇒ n = 5
Ta có: n
∑
n
i=0
C 2i +1 = C 2i
∑
∑
2 n +1
2 n +1
i =0
i =0
10
2n
k 10− k
k k
Suy ra (2 − 3 x) = ∑ C10 2 .( −3) x
k =0
7
3
10
7
Hệ số của x là C .2 .(−3) = −2099520 .
Câu 45: Tìm hệ số của x9 trong khai triển f ( x) = (1 + x )9 + (1 + x )10 + ... + (1 + x )14
A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
9
9
9
9
9
9
Hệ số của x9 : C9 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 = 3003 .
7
Câu 46: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3x )
A. 3320
B. 2130
C. 3210
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
5
10
Đặt f ( x) = x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3 x )
5
10
D. 1313
5
10
k
k
2
i
Ta có : f ( x) = x ∑ C5 ( −2 ) .x + x ∑ C10 ( 3x )
k
k =0
5
i
i =0
10
= ∑ C5k ( −2 ) .x k +1 + ∑ C10i 3i.xi + 2
k
k =0
i =0
Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k = 4 và i = 3 là:
4
C54 ( −2 ) + C103 .33 = 3320 .
5
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x) = 1 + x 2 ( 1 − x )
A. 213
B. 230
C. 238
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1
8
2
3
1 + x 2 ( 1 − x ) = C80 + C81 x 2 ( 1 − x ) + C82 x 4 ( 1 − x ) + C83 x 6 ( 1 − x )
8
D. 214
+C84 x8 ( 1 − x ) + C85 x10 ( 1 − x ) ... + C88 x16 ( 1 − x )
Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối
3
2
4
0
lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 .C3 , C8 .C4 .
4
5
8
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 1 + x 2 ( 1 − x ) là:
a8 = C83 .C32 + C84 .C40 = 238 .
Cách 2: Ta có:
8
8
8
n
n =0
k =0
1 + x 2 ( 1 − x ) = ∑ C8n x 2 n ( 1 − x ) = ∑ C8n ∑ Cnk ( −1) x 2 n + k
8
n
n =0
k
với 0 ≤ k ≤ n ≤ 8 .
Số hạng chứa x8 ứng với 2n + k = 8 ⇒ k = 8 − 2n là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được k = 0; n = 4 và k = 2, n = 3 .
3
2
4
0
Vậy hệ số của x8 là C8 .C3 + C8 .C4 = 238 .
Câu 48: Đa thức P ( x ) = ( 1 + 3 x + 2 x 2 ) = a0 + a1 x + ... + a20 x 20 . Tìm a15
10
10
5
5
9
6 3
8
7
A. a15 = C10 .C10 .3 + C10 .C9 .3 + C10 .C8 .3.
10
5
5
9
6 6
8
7 7
B. a15 = C10 .C10 .2 + C10 .C9 .2 + C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7 7
C. a15 = C10 .C10 .3 .2 + C10 .C9 .3 .2 + C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7
7
D. a15 = C10 .C10 .3 .2 + C10 .C9 .3 .2 + C10 .C8 .3.2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
Ta có: P ( x ) = ( 1 + 3 x + 2 x )
10
10
= ∑ C10k ( 3x + 2 x 2 )
k
k =0
10
k
10
k
k =0
i =0
k =0
i=0
= ∑ C10k ∑ Cki (3x) k −i .(2 x 2 )i = ∑ C10k ∑ Cki .3k −i.2i x k +i
với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 . Do đó k + i = 15 với các trường hợp
k = 10, i = 5 hoặc k = 9, i = 6 hoặc k = 8, i = 7
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7
7
Vậy a15 = C10 .C10 .3 .2 + C10 .C9 .3 .2 + C10 .C8 .3.2 .
2 n
3
n −1
n −2
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x − ) , biết rằng Cn + Cn = 78 với
x
x>0
A. −112640
B. 112640
C. −112643
D. 112643
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n −1
n−2
Ta có: Cn + Cn = 78 ⇔
n!
n!
+
= 78
(n − 1)!1! ( n − 2)!2!
n(n − 1)
= 78 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 ⇔ n = 12 .
2
12
12
3 2
Khi đó: f ( x ) = x − ÷ = ∑ C12k (−2) k x 36− 4 k
x
k =0
Số hạng không chứa x ứng với k : 36 − 4k = 0 ⇒ k = 9
9 9
Số hạng không chứa x là: (−2) C12 = −112640
⇔ n+
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n −3 là hệ số của x3n −3 trong khai triển thành đa thức của
( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm n để a3n−3 = 26n
A. n=5
B. n=4
C. n=3
D. n=2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1:Ta có :
(x
2
+ 1) = Cn0 x 2 n + Cn1 x 2 n − 2 + Cn2 x 2 n − 4 + ... + Cnn
n
( x + 2)
n
= Cn0 x n + 2Cn1 x n −1 + 22 Cn2 x n − 2 + ... + 2 n Cnn
Dễ dàng kiểm tra n = 1 , n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với n ≥ 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
x 3n −3 = x 2 n .x n −3 = x 2 n − 2 .x n −1
Do đó hệ số của x3n −3 trong khai triển thành đa thức của
(x
2
+ 1)
n
( x + 2)
n
3
0
3
1
1
là : a3n −3 = 2 .Cn .Cn + 2.Cn .Cn .
2n ( 2n2 − 3n + 4 )
Suy ra a3n −3 = 26n ⇔
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Ta có: ( x + 1)
2
n
( x + 2)
n
3
= 26n ⇔ n = −
n
7 hoặc n = 5
2
n
1 2
= x 1 + 2 ÷ 1 + ÷
x x
3n
i
k
n
n
1 n
2
= x ∑ C 2 ÷ ∑ Cnk ÷ =x3n ∑ Cni x −2i ∑ Cnk 2k x − k
x k =0 x
i=0
k =0
i =0
x
3
n
−
3
Trong khai triển trên, luỹ thừa của là
khi
−2i − k = −3 ⇔ 2i + k = 3 .
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i = 0, k = 3 hoặc
i = 1, k = 1 (vì i, k nguyên).
3n
n
i
n
Hệ số của x3n −3 trong khai triển thành đa thức của ( x 2 + 1)
n
( x + 2)
n
0
3 3
1
1
Là : a3n −3 = Cn .Cn .2 + Cn .Cn .2 .
Do đó a3n −3 = 26n ⇔
2n ( 2n 2 − 3n + 4 )
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.
3
7
= 26n ⇔ n = − hoặc n = 5
2
n
1
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 + x 7 ÷ , biết
x
1
2
n
20
C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
26
k
2 n +1− k
Do C2 n +1 = C2 n +1 ∀k = 0,1, 2,..., 2n + 1
⇒ C20n +1 + C21n+1 + ... + C2nn+1 = C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn++11
1
2
2 n +1
2 n +1
Mặt khác: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2
⇒ 2(C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 ) = 2 2 n +1
⇒ C21n +1 + C22n+1 + ... + C2nn +1 = 22 n − C20n +1 = 22 n − 1
⇒ 22 n − 1 = 220 − 1 ⇒ n = 10 .
10
10
10
10
k 11k − 40
1
Khi đó: 4 + x 7 ÷ = ( x −4 + x 7 ) = ∑ C10k ( x −4 )10 −k .x 7 k = ∑ C10 x
k =0
x
k =0
26
Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k − 40 = 26 ⇒ k = 6 .
6
Vậy hệ số chứa x 26 là: C10 = 210 .
n
n
Câu 52: Cho n ∈ ¥ * và (1 + x) = a0 + a1 x + ... + an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) sao
a
a
a
cho k −1 = k = k +1 . Tính n = ? .
2
9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
1
n!
1
2 (k − 1)!( n − k + 1)! = 9 ( n − k )!k !
k
Ta có: ak = Cn , suy ra hệ
n!
1
n!
1
=
9 (n − k )!k ! 24 (n − k − 1)!(k + 1)!
9k = 2( n − k + 1)
2n − 11k = −2
⇔
⇔
⇔ n = 10, k = 2 .
24(k + 1) = 9(n − k )
9n − 33k = 24
1 2 10
Câu 53: Trong khai triển của ( + x) thành đa thức
3 3
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a9 x 9 + a10 x10 , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 ≤ k ≤ 10 ).
210
210
210
210
B.
C.
D.
a
=
3003
a
=
3003
a
=
3003
5
4
9
315
315
315
315
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
15
15 − k
k
15
15
2k
1 2
2
k 1
Ta có: + x ÷ = ∑ C15 ÷ x ÷ = ∑ C15k 15 x k
3
3 3
3 3
k =0
k =0
1 k k
Hệ số của x k trong khai triển ak = 15 C15 2
3
k −1 k −1
k k
k −1
k
Ta có: ak −1 < ak ⇔ C15 2 < C15 2 ⇔ C15 < 2C15
32
⇔k<
⇒ k ≤ 10. Từ đó: a0 < a1 < ... < a10
3
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
32
ak −1 < ak ⇔ k >
⇒ a10 > a11 > ... > a15
3
210
210
Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = 15 C1510 = 3003 15 .
3
3
n
2
n
Câu 54: Giả sử (1 + 2 x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x , biết rằng a0 + a1 + ... + an = 729 . Tìm n và số lớn
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. a10 = 3003
A. n=6, max { ak } = a4 = 240
B. n=6, max { ak } = a6 = 240
C. n=4, max { ak } = a4 = 240
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
n
Ta có: a0 + a1 + ... + an = (1 + 2.1) = 3 = 729 ⇒ n = 6
D. n=4, max { ak } = a6 = 240
ak = C6k 2k suy ra max { ak } = a4 = 240 .
n
n
Câu 55: Cho khai triển (1 + 2 x) = a0 + a1 x + ... + an x , trong đó n ∈ ¥ * . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 + 1 + ... + nn = 4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
n
Đặt f ( x) = (1 + 2 x) = a0 + a1 x + ... + an x
a
a1
1
+ ... + nn = f ÷ = 2 n ⇒ 2n = 4096 ⇔ n = 12
2
2
2
k
k
k +1 k +1
Với mọi k ∈ { 0,1, 2,...,11} ta có: ak = 2 C12 , ak +1 = 2 C12
⇒ a0 +
ak
2k C k
k +1
23
< 1 ⇔ k +1 12k +1 < 1 ⇔
<1⇔ k <
ak +1
2 C12
2(12 − k )
3
Mà k ∈ Z ⇒ k ≤ 7 . Do đó a0 < a1 < ... < a8
ak
> 1 ⇔ k > 7 ⇒ a8 > a9 > ... > a12
Tương tự:
ak +1
⇔
8 8
Số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8 = 2 C12 = 126720 .
n
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG
∑a C b
k =0
k
k
n
k
.
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a + b) n = Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + ... + b nCnn .
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
k
n− k
* Cn = C n
0
1
n
n
* Cn + Cn + ... + Cn = 2
n
*
∑ (−1) C
k
k =0
*
=0
n
n
k =0
k =0
∑ C22nk = ∑ C22nk −1 =
n
*
k
n
∑C a
k =0
k
n
k
1 2n k
∑ C2 n
2 k =0
= (1 + a ) n .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
0
1
2
3
n
Câu 1: Tổng T = Cn + Cn + Cn + Cn + ... + Cn bằng:
A. T = 2 n .
B. T = 2n – 1 .
C. T = 2n + 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn.
0
1
6
Câu 2: Tính giá trị của tổng S = C6 + C6 + .. + C6 bằng:
A. 64 .
B. 48 .
C. 72 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
S = C06 +C16 +...+C66 = 26 = 64
D. T = 4n .
D. 100 .
5
0
1
5
Câu 3: Khai triển ( x + y ) rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S = C5 + C5 + ... + C5
A. 32 .
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
0
1
5
5
Với x = 1, y = 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 = (1 + 1) = 32 .
0
1
2
n n
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn = 243
A. 4
B. 11
C. 12
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
n
0
1
2 2
n n
Xét khai triển: (1 + x ) = Cn + xCn + x Cn + ... + x Cn
D. 5
0
1
2
n
n
n
Cho x = 2 ta có: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn = 3
Do vậy ta suy ra 3n = 243 = 35 ⇒ n = 5 .
5
0
1
5
Câu 5: Khai triển ( x + y ) rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S = C5 + C5 + ... + C5
A. 32 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
0
1
5
5
Với x = 1, y = 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 = (1 + 1) = 32 .
Câu 6: Khai triển ( 1 + x + x 2 + x 3 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a15 x15
5
a) Hãy tính hệ số a10 .
0
4
4 3
A. a10 = C5 . + C5 + C5 C5
0
5
2 4
4 3
B. a10 = C5 .C5 + C5 C5 + C5 C5
0
5
2 4
4 3
C. a10 = C5 .C5 + C5 C5 − C5 C5
0
5
2 4
4 3
D. a10 = C5 .C5 − C5 C5 + C5 C5
b) Tính tổng T = a0 + a1 + ... + a15 và S = a0 − a1 + a2 − ... − a15
A. 131
B. 147614
C. 0
Hướng dẫn giải:
Đặt f ( x) = (1 + x + x 2 + x 3 )5 = (1 + x)5 (1 + x 2 )5
D. 1
0
5
2 4
4 3
a) Do đó hệ số x10 bằng: a10 = C5 .C5 + C5 C5 + C5 C5
b) T = f (1) = 45 ; S = f (−1) = 0
Câu 7: Khai triển ( 1 + 2 x + 3 x 2 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20
10
a) Hãy tính hệ số a4
0
4
A. a4 = C10 .2
4 4
B. a4 = 2 C10
20
b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + ... + 2 a20
A. S = 1710
B. S = 1510
Hướng dẫn giải:
0
4
C. a4 = C10C10
0
4 4
D. a4 = C10 .2 C10
C. S = 17 20
D. S = 710
10
2 10
k k 2k
10− k
Đặt f ( x ) = (1 + 2 x + 3x ) = ∑ C10 3 x (1 + 2 x)
k =0
10
10 − k
k =0
i=0
= ∑ C10k 3k x 2 k ∑ C10i − k 210−k −i x10−k −i
10 10 − k
= ∑ ∑ C10k C10i − k 3k 210− k −i x10+ k −i
k =0 i =0
0
4 4
a) Ta có: a4 = C10 .2 C10 +
b) Ta có S = f (2) = 1710
1 0 1 1 1 3 1 4
( −1) n n
Cn
Câu 8: Tính tổng sau: S = Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
2
4
6
8
2( n + 1)
1
A.
B. 1
C. 2
2(n + 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1 0 1 1 1 2
(−1) n n
Cn ÷
Ta có: S = Cn − Cn + Cn − ... +
2
2
3
n +1
D.
1
(n + 1)
n
1
(−1)k k (−1) k k +1
(−1) k Cnk++11
Cn =
Cn +1 nên: S =
∑
2(
n
+
1)
k +1
n +1
k =0
n +1
−1
1
=
(−1) k Cnk+1 − Cn0+1 ÷ =
.
∑
2(n + 1) k =0
2(n + 1)
Vì
1 n −1
2 n−2
3 n −3
n
Câu 9: Tính tổng sau: S = Cn 3 + 2Cn 3 + 3Cn 3 + ... + nCn
A. n.4n −1
B. 0
C. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
D. 4n −1
k
1
Ta có: S = 3 ∑ kC ÷
3
k =1
n
n
k
n
k
k
1
1
Vì kC ÷ = n ÷ Cnk−−11 ∀k ≥ 1 nên
3
3
k
n
k
k
n
n −1
1 n −1
1
1
n −1
n −1
S = 3n.n∑ ÷ Cnk−−11 = 3n −1.n∑ ÷ Cnk−1 = 3 .n(1 + ) = n.4 .
3
k =1 3
k =0 3
1 1 1 2
1
0
Cnn
Câu 10: Tính các tổng sau: S1 = Cn + Cn + Cn + ... +
2
3
n +1
n +1
n +1
2 +1
2 −1
2n +1 − 1
A.
B.
C.
+1
n +1
n +1
n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
1
1
n!
1
(n + 1)!
Cnk =
=
k +1
k + 1 k !( n − k )! n + 1 (k + 1)![(n + 1) − (k + 1))!
1
=
Cnk++11 (*)
n +1
1 n k +1
1 n +1 k
2n +1 − 1
0
⇒ S1 =
C
=
C
−
C
=
.
∑ n+1 n + 1 ∑
n +1
n +1 ÷
n + 1 k =0
n +1
k =0
1
2
n
Câu 11: Tính các tổng sau: S 2 = Cn + 2Cn + ... + nCn
A. 2n.2n −1
B. n.2n +1
C. 2n.2n +1
D.
2n +1 − 1
−1
n +1
D. n.2n −1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
n!
n!
=
k !( n − k )! ( k − 1)![( n − 1) − ( k − 1)]!
(n − 1)!
=n
= nCnk−−11 , ∀k ≥ 1
(k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
k
Ta có: kCn = k .
n
n −1
k =1
k =0
⇒ S 2 = ∑ nCnk−−11 = n ∑ Cnk−1 = n.2n −1 .
2
3
4
n
Câu 12: Tính các tổng sau: S3 = 2.1.Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n( n − 1)Cn .
A. n(n − 1)2n − 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Ta có k (k − 1)Cn =
B. n(n + 2)2n − 2
C. n(n − 1)2n −3
n!
= n(n − 1)Cnk−−22
(k − 2)!(n − k )!
n
⇒ S3 = n(n − 1)∑ Cnk−−22 = n(n − 1)2n − 2 .
k =2
Câu 13: Tính tổng S = Cn0 +
4n +1 − 2n +1
n +1
n +1
4 − 2 n +1
C. S =
+1
n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A. S =
32 − 1 1
3n +1 − 1 n
Cn + ... +
Cn
2
n +1
4n +1 + 2n +1
−1
n +1
4n +1 − 2n +1
D. S =
−1
n +1
B. S =
D. n(n − 1)2n + 2
Ta có S = S1 − S2 , trong đó
32 1 33 2
3n +1 n
Cn + Cn + ... +
Cn
2
3
n +1
1
1
1
S 2 = Cn1 + Cn2 + ... +
Cnn
2
3
n +1
n +1
2 −1
Ta có S 2 =
−1
n +1
Tính S1 = ?
S1 = Cn0 +
Ta có:
3k +1 k
n!
3k +1
(n + 1)!
3k +1 k +1
Cn = 3k +1
=
=
C
k +1
(k + 1)!( n − k )! n + 1 (k + 1)![(n + 1) − ( k + 1)]! n + 1 n +1
⇒ S1 =
1 n k +1 k +1
1 n +1 k k
4n +1 − 1
0
0
0
3
C
−
2
C
=
3
C
−
C
−
2
C
−2.
∑ n+2 n n + 1 ∑
n +1
n ÷
n =
n + 1 k =0
n +1
k =0
4n +1 − 2n +1
Vậy S =
−1 .
n +1
Câu 14: Tính tổng S = Cn0 +
3n +1 − 2n+1
n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: S = S1 − S 2
A. S =
n
k
Trong đó S1 = ∑ Cn
k =0
22 − 1 1
2 n +1 − 1 n
Cn + ... +
Cn
2
n +1
3n − 2n +1
B. S =
n +1
C. S =
3n +1 − 2n
n +1
D. S =
3n +1 + 2n +1
n +1
n
Ck
2k +1
2 n +1 − 1
; S2 = ∑ n =
−1
k +1
n +1
k =0 k + 1
k +1
2
2k +1 k +1
3n +1 − 1
Cnk =
Cn +1 ⇒ S1 =
−1
k +1
n +1
n +1
3n +1 − 2n+1
Suy ra: S =
.
n +1
1
2
2 3
n 2 n +1
Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − ... + (2n + 1)2 C2 n +1 = 2005
A. n = 1001
B. n = 1002
C. n = 1114
D. n = 102
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Mà
2 n +1
k −1
k −1 k
Đặt S = ∑ (−1) .k .2 C2 n +1
k =1
k −1
k −1 k
k −1
k −1 k −1
Ta có: (−1) .k .2 C2 n +1 == ( −1) .(2 n + 1).2 C2 n
0
1
2 2
2 n 2n
Nên S = (2n + 1)(C2 n − 2C2 n + 2 C2 n − ... + 2 C2 n ) = 2n + 1
Vậy 2n + 1 = 2005 ⇔ n = 1002 .
0 n −1 n −1
1 n−2 n−2
n −1 0 0
Câu 16: Tính tổng 1.3 .5 Cn + 2.3 .5 Cn + ... + n.3 5 Cn
A. n.8n −1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
B. ( n + 1).8n −1
n
k −1 n − k
n−k
Ta có: VT = ∑ k .3 .5 Cn
k −1
Mà k .3 .5
k =1
n −k
n −k
n
C
= n.3k −1.5n − k .Cnk−−11
0 n −1 0
1 n−2 1
n −1 0 n −1
Suy ra: VT = n(3 .5 Cn −1 + 3 .5 Cn −1 + ... + 3 5 Cn −1 )
C. (n − 1).8n
D. n.8n