phép tịnh tiến-đối xứng trục

Chuyên đề toán 11
Chuyên đề: Phép tịnh tiến
A.Kiến thức cần nhớ
1.Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho véctơ
uuu r
u ur
MM / = v

đợc gọi là phép tịnh tiến theo véctơ

-Kí hiÖu:
Nh vËy:

r
v

r
Tv

uuu r
u ur
r
M / = T v( M ) MM / = v

r
v

.Phép biến hình biến 1 điểm M thành điểm M/ sao cho

.

.

r
r
M / = T v( M ) ⇔ M = T v( M / )

2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

r
v = (a; b); M ( x; y )
r
M / ( x / ; y / ) = T v(M )

x/ = x + a

/
y = y + a


Trọng mặt phẳng toạ độ cho
, ta có:
3. Tính chất;
+) Biến đờng thẳng thành một đờng thẳng song song hoặc trùng với đờng thẳng đà cho.
+) Biến tia thành tia.
+)Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
+)Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
+)Biến góc thành góc bằng nó.
+)Biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính.
B.Các dạng toán cơ bản.
Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm, của một hình qua một phép tịnh tiến.

*Phơng pháp: sử dụng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.
Ví dụ 1: Cho
qua BC.

ABC

nội tiếp đờng tròn (O). Gọi H là trực tâm của

a.Tìm ảnh của điểm O là phép tịnh tiến theo véc tơ

uu
ur
AH

b.Tìm ảnh của điểm H qua phép tịnh tiến theo véc tơ

ABC

.

uu
ur
AO

.

c.Xác định ảnh của đờng tròn (O) qua phép tịnh tiến theo véc tơ
Giải:
a). +)Vẽ đờng kính BB/ của (O) ta có:

Trang-1

, O/ là điểm đối xứng của O

uu
ur
AO

.


Chuyên đề toán 11
B / A AB
/
B A // CH
CH ⊥ AB 

(1)

AH ⊥ BC 
/
 ⇒ AH // B C
/
B C ⊥ BC 
(2)
+) Tõ (1) và (2) AHCB/ là hình bình hành.
+)Gọi I là giao điểm của OO/ với BC.
Do đó:

u u u ur u ur

uu uu
u r u ur
u
2OI = B / C ⇒ OO / = B / C

+)Tõ (3) vµ (4)

u ur u u
uu ur
⇒ OO / = AH

u u u ur
ur uu
⇒ AH = B / C

⇒ OI ⊥ CB

(3)

và I là trung điểm của BC.

(4)

r
Tuuuu (O ) = O /
AH

hay O/ là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo

Do đó,

b). Theo câu a,

u ur u u
uu ur
OO / = AH ⇒

u ur u u
uu
ur
⇒ HO / = AO

uu
ur
AH

.

AHO/O là hình bình hành.

Tuuur ( H ) = O /
AO
uu
ur
AO
hay O/ là ảnh của H qua phép tịnh tiếnthéo véc tơ

uu
ur
AO

c). Phép tịnh tiến theo véc tơ

.

biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O1) có bán kính bằng bán kính đờng tròn (O)

u ur u u
u u ur
OO1 = AO

và tâm O1 xác định nh sau:

O1 là điểm ®èi xøng cđa A qua O.

r
v = (2; −3)

VÝ dơ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véc tơ
và điểm M (5;-4),
2
2
đờng thẳng d: 2x-5y+6=0, đờng tròn (C): x +y +4x-6y+9=0. Tìm ảnh của điểm M, d , (C) qua phép
r
v

tịnh tiến theo véc tơ .
Giải
+)Gọi M/(x/;y/) là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ
x/ = 5 + 2 = 7


⇒ /
⇒ M / (7; −7)
 y = −4 − 3 = −7


Trang-2

r
v


Chuyên đề toán 11
+) Gọi d/ là ảnh của d qua phép tịnh tiến théo véctơ


d/// d và có dạng : 2x – 5y + C = O (d/)

+) Gäi ®iĨm A(-3;0)
⇒

∈

d

r
⇒ A/ = T v( A)

A/(-1; -3)

-Thay to¹ ®é A/ (-1; -3; ) vµo d/ tao cã:

⇒

r
v

-2 + 5 + C = 0

⇔

C = -13

(d/) cã d¹ng: 2x – 5y – 13 =0
r
T v (C )

+) Gäi (C/) =
.
-§êng trßn (C) cã: x2 + y2 +4x -6y + 9= 0
⇔

⇒

(x + 2)2 + (y- 3)2 =4

(C) cã t©m I (-2; 3) và bán kính R = 2

- Gọi I/ =
⇒

r

T v( I ) ⇒

I/ (0;0)

(C/) cã d¹ng : x2 + y2 = 4.

Dạng 2: Sử dụng phép tịnh tiến để chứng minh tính chất hình học.
*Phơng pháp: sử dụng định nghĩa và tính chất của phép tịnh tiến.
Ví dụ 1: Cho 2 đờng tròn (I) và (J) có cùng bán kính R và tiếp xúc ngoài với nhau tại M. Cho Avà B
là 2 điểm di động lần lợt trên các đờng tròn (I); (J) sao cho
A

Ã
AMB = 900

. Chøng minh: AB = 2R

≡

A/ B
M
I.
+) XÐt phÐp tÞnh tiÕn theo vÐc t¬

.J

N

ur
u

IJ

r
Tuu ( A) = A/
IJ

Trang-3


Chuyên đề toán 11
r
Tuu ( M ) = N
IJ

Phép tịnh tiến


u
Tur
IJ

biến (I) thành (J)





A/ , N đờng tròn (J) (vì A, M đờng tròn (I)).
Và I, M , J, N thẳng hàng , AM // A/N
AM MB A/ N ⊥ MB

+) L¹i cã:
BN ⊥ MB, A/ , B, N ∈ ( J )
⇒ A/ ≡ B

u u ur
ur u
r
Tuu ( A) = B ⇒ AB = IJ ⇒ AB = 2 R
IJ

Dạng 3:Dùng phép tịnh tiến để giải bài toán dựng hình.
*Phơng pháp: để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó nh là ảnh của một điểm đà biến qua một
phép tịnh tiến.
Ví dụ 1: Cho 2 đờng tròn (O) và (O/) và 2 điểm cố định A, B. Xác định điểm M thuộc đờng tròn (O) và
điểm M/ thuộc (O/) sao cho

uuu uu
u ur ur
MM / = AB

M/
hf
M

O1

.O

B

A

Trang-4

.O


Chuyên đề toán 11
*, Giả sử đà dựng đợc điểm M thuộc đờng tròn (O), M/ thuộc đờng tròn (O/) sao cho:
r
Tuuu ( M ) = M /
AB

uuu uu
u ur ur
MM / = AB

, do đó

.
r
Tuuu
AB

+) Vì M thuộc đờng tròn (O) nên M/ thuộc (O1) là ảnh của (O) qua
là giao điểm của (O1) và (O/).
*)Từ đó suỷa cách dựng :

, M M/



đờng tròn (O/) nên M/

r
Tuuu
AB

+) Dựng đờng tròn (O1) là ảnh của (O) qua
+) M/ là giao điểm của (O1) và (O/)
-Dựng M là ảnh của M/ qua
* Râ rµng :

r
Tuuu
BA

uuu uu
u ur ur
MM / = AB

.

.

r
Tuuu
BA

∈

u u u uu
u uu u
r
r
M / M = BA

∈

biÕn ®êng tròn (O1) thành (O), M/ (O1),
M (O).
* Số nghiệm hình của bài toán bằng số giao điểm của (O1) và (O/).
Dạng 4: Dùng phép tịnh tiến để giải bài toán tìm tập hợp điểm.
*Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một đờng đà biết qua một phép tịnh
tiến.
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O) và 1 điểm cố định A ở trên đờng tròn. B là một điểm thay đổi trên (O). Các
ABC

tiếp tuyến với đờng tròn tại A và B cắt nhau tại C. Chứng minh rằng trực tâm H của
trên một đờng tròn.
+) Ta cã:
OA ⊥ AC ( gt )
⇒ OA // BH

 BH ⊥ AC (tructamH )

+) Chøng minh t¬ng tù OB // AB
OAHB là hình bình hành.

u u uu uu
u r ur ur
BH = OA OA

(

là véc tơ không đổi).

phép tịnh tiến theo véc tơ

uu
ur
OA

biến điểm B thành điểm H.
Trang-5

di ®éng


Chuyên đề toán 11
+) Vì B di động trên đờng tròn (O) nên H di động
r
Tuuuu
/

trên đờng tròn (O/) là ¶nh cđa (O) qua
+)XÐt ®iĨm O/:

u ur u u

u u ur
OO / = OA ⇒ O / ≡ A

OA

, b¸n kÝnh (O/) lµ OA.

Trang-6


Chuyên đề toán 11
Ví dụ2: Cho hình bình hành ABCD, 2 điểm A, B cố định tâm I thay đổi trên đờng tròn (O).Tìm tập hợp
trung điểm M cạnh BC.
+) Ta có: IM là đờng trung bình
nên

uu 1 uu
ur
ur
IM = DC
2

mà

uu uu
ur ur
AB = DC
ur
1 uu
AB

2

BCD

nên

uu 1 uu
ur
ur
IM = AB
2

.

+)Phép tịnh tiến theo
biến I thành M.
+)Vì I di động trên đờng tròn (O) nên M di động
trên đờng tròn (O/) là ảnh của (O) qua phép tịnh
tiến theo

ur
1 uu
AB
2
u ur 1 u u
uu
ur
OO / = AB
2

-.điểm O/ xác định:
, bán kính (O/) bằng
bán kính trên đờng tròn (O).
tập hợp các điểm M là đờng tròn (O/).
BTVN:
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho M(2;-6);

r
v = (1; 3)

r
Tv

, đờng thẳng d: 4x-5y-8 =0, đờng tròn (C):

(x+2)2 + (y-3)2 = 16. Tìm ảnh của M, d, (C) qua .
Bài 2: Cho 1 điểm O cố định và một đờng thẳng a cố định. Xét các đờng tròn (I; R) sao cho BB/ // a
Tìm quỹ tích các điểm B và B/.

Trang-7


Chuyên đề toán 11
Phép đối xứng trục
*)Chữa bài tập về nhà.
Bài 2: : Cho 1 điểm O cố định và một đờng thẳng a cố định. Xét các đờng tròn (I; R) sao cho BB/ // a
Tìm quỹ tích các điểm B và B/.
Bài giải
r
v =R

+)Do OI=R, tập hợp điểm I là đờng tròn tâm O bán
kính R. u u
ur
r ur
u
r
⇒ v = IB; IB / = −v

hc

ur
u
r ur r
u
IB = v; IB = v

r
v

+) Do đó phép tịnh tiến theo biến I thành B hoặc I
thành B/.
+) Vì I chạy trên (O;R) nên B và B/ chạy trên 2 đờng
tròn là ảnh của đờng tròn O qua 2 phép tịnh tiến trên .
A).Lý thuyết
1.Định nghĩa: trong mặt phẳng cho 1 đờng thẳng d phép biến hình biến một điểm thuộc d thành chính
nó, biến 1 điểm M không thuộc d sao cho d lµ trung trùc cđa MM/.
M
-KÝ hiƯu: §d
-Nh vËy: M/=§d(M)

u u ur
uuu
uuu
u uu
r
⇔ M 0 M / = −M 0 M (M 0 ∈ d )

M0

d
M/

2.)BiÓu thøc toạ độ của phép đối xứng trục

+)Oxy, M(x;y), Đox(M)=M/(x/;y/) thì

x/ = x

 /
y = −y

 x/ = − x

 /
y = y


+)Oxy, M(x;y), Đoy(M)=M/(x/;y/) thì
3).Tính chất: phép đối xứng trục:

-biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia.
-đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
-biến tam giác thành tam giác b»ng nã; biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã.
Trang-8


Chuyên đề toán 11
-biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính.
B ).Các dạng toán cơ bản.
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục.
-Phơng pháp: dùng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ qua phép đối xứng trục.
Ví dụ 1: Qua phép đỗi xứng trục d, đờng thẳng a biến thành đờng thẳng a/.HÃy trả lời các câu hỏi sau:
a).Khi nào a // a/.


b).Khi nào a a/
c).Khi nào a cắt a/, giao điểm của a và a/ có tính chất gì?
d).Khi nào a
Giải:



a/

a).Dựa vào cách xác định của một đờng thẳng a // a/




a // d

b). a d hoặc a
d
c). a cắt d và a không vuông góc d.
giao điểm I của a và a/



d



d). a a/ khi góc giữa a và d bằng 450 (vì d là phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng a và a/).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;-2); d: 3x-2y+1=0; đờng tròn (C): x2+y2-4x+5y+1=0.
Tìm ảnh của A, d, (C)qua phép đối xứng Oy.
+)Gäi A/= §oy(A) ; A/ (x/; y/)
 x/ = − x
 x / = −3


⇔ /
⇒ A/ (−3; −2)
 /
y = y
y = 2

+)Gọi d/ là ảnh của d qua phép đối xứng Oy.


Chọn B d, gọi B/ là ¶nh cđa B qua phÐp ®èi xøng trơc Oy.
 x/ = − x
x = −x/


⇔
 /
/
y = y
y = y



B/ có toạ độ
-3x/ - 2y/ +1 =0
d/ có dạng: -3x 2y +1 =0

thay vào d ta đợc:



+) (C) cã: x2 +y2 -4x + 5y +1 =0 cã t©m I(2;

5
2

) b¸n kÝnh R=

Trang-9

37
4


Chuyên đề toán 11

-Gọi I/ là ảnh của I qua phép đối xứng Oy





I/ (-2;

5
2

)
5
2

37
4

(C/) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy có dạng: (x+2)2 + ( y+ )2 =
Ví dụ 3: trong mặt phẳng Oxy cho M(3; -5), đờng thẳng d: 3x + 2y -6 =0 và đờng tròn
(C): x2+y2-2x +4y -4 =0. Tìm ảnh của M, d, (C) qua phÐp ®èi xøng trơc d1: 2x-y +1 =0

Trang-10


Chuyên đề toán 11


+)Gọi M/=Đd1(M) ta có: MM/ d1 tại M0, M0 là
trung điểm của MM/ đờng thẳng d/ đi qua M vµ M/
u
r
u1 = (1; 2)

vµ nhËn VTCP cđa d1 là
là VTPT nên có
phơng trình là: 1.(x-3) + 2.(y+5) = 0
hay: x + 2y + 7 =0
-Toạ độ điểm Mo lµ nghiƯm cđa hƯ:

d
I
M

M0
dA

M/
da/

9


x = − 5
2 x − y + 1 = 0
9 13

⇔
→ M 0 (− ; − )

5 5
x + 2 y + 7 = 0
 y = − 13

5

9
33

 xM / = 2.( − 5 ) − 3 = − 5
33 1

→
⇒ M / (− ; − )
5
5
 y / = 2.( − 13 ) + 5 = 1
M

5
5

3 2

2 1

+) Vì
nên d và d1 cắt nhau tại điểm I có toạ
độ là nghiệm hÖ:
4

x=

3 x + 2 y − 6 = 0
4 15

7
⇔
⇒ I( ; )

7 7
2 x − y + 1 = 0
 y = 15

7

∈

+) LÊy A(2;0) d; A
⊥

≠

I; A/ = Đd1(A).

-Vẽ AA/ d1 cắt d1 tại J là trung điểm của AA/.
PT đờng thẳng AA/: 1.(x-2) +2.(y-0) = 0


x+2y-2 = 0.
+) Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ:
2 x − y + 1 = 0
x = 0
⇔
⇒ J (0;1)

x + 2 y − 2 = 0
y =1

- A/ ®èi xøng víi A qua J
 x A/ = 2 xJ − xA = 2.0 − 2 = −2

⇒
⇒ A/ (−2; 2)
y A/ = 2 yJ − yA = 2.1 − 0 = 2



Trang-11


Chuyên đề toán 11

-d/ là ảnh của d qua phép đỗi xứng trục d1, d/ đi qua
r
ur
u
I và A nên cã VTCP
PT d/ cã d¹ng:
/

u = 7.IA = ( −18; −1)

x+2 y−2
=
18
1
⇔ x − 18 y + 38 = 0

+) (C): (x-1)2 + (y+2)2 =9
⇒

(C) cã t©m H (1; -2) và bán kính R = 3

+) Gọi H/ = Đd1(H), ta có:

HH / d1



tại E, PT HH/

là: 1.(x-1) + 2.(y+2) =0

x + 2y + 3 =0
+) Toạ độ điểm E lµ nghiƯm cđa hƯ:
x + 2 y + 3 = 0
 x = −1
⇔

2 x − y + 1 = 0
 y = −1
 xH / = 2.(−1) − 1 = −3

⇒ H / (−3; 0)

 yH / = 2.(1) + 2 = 0




phơng trình đờng tròn (C/) là ảnh của (C) qua
phép đối xứng trục d1 là: (x+3)2 +y2 =9
Dạng 2: Dùng phép đối xứng trục chứng minh tính chất hình học.
-Phơng pháp: sử dụng định nghĩa, tính chÊt cđa phÐp ®èi xøng trơc.
VÝ dơ 1: Cho tam giác ABC với trực tâm H.
HAB, HBC , HCA

a).Chứng minh rằng: các đờng tròn ngoại tiếp
có bán kính bằng nhau.
b).Gọi O1;O2;O3 lần lợt là tâm các đờng tròn nội tiếp trên .Chứng minh đờng tròn đi qua 3 điểm
O1;O2;O3 bằng đờng tròn ngoại tiếp

ABC

.

a)+) Gọi A/ là giao điểm của AH víi (O) ngo¹i tiÕp
+) Ta cã:

·
·
BAA/ = BCA

·
·
HCB = BAH

(góc nội tiếp cùng chắn

ẳ
BA/

ABC

)

(góc có cạnh tơng ứng vuông gãc)

Trang-12

.

Chuyên đề toán 11
Ã
Ã
HCB = BCA/

HCA/

HCA/

+)
có BC là đờng cao,đờng phân giác
cân tại
/
/
C. A đối xứng với H qua đờng thẳng BC hay ĐBC(A )=H
ĐBC biến

A/ BC

A BC

thành

HBC

nên ĐBC biến đờng tròn ngoại

/

tiếp

ngoại tiếp

là đờng tròn ngoại tiếp

HBC

(1)

ABC

thành đờng tròn

HBC

bán kính đờng tròn ngoại tiếp
bằng bán kính đờng
tròn (O).
+) chứng minh tơng tự ta có đờng tròn ngoại tiếp các
HAB, HAC

lần lợt là ảnh của đờng tròn (O) qua các phép
đối xứng trục AB, AC (2)
+) Từ (1) & (2) đpcm.
b).+) Gọi I, J, K lần lợt là trung điểm BC, CA, AB.
-IJ là đờng trung bình cđa

∆ABC ⇒

IJ // AB vµ IJ =

1
AB
2

∆OO2O3
- IJ cịng lµ đờng trung bình của
AB = O2O3
+) Chứng minh tơng tự: AC = O1O2
BC = O1O3
ABC OO2O3



nên IJ // AB và IJ=

1
O2O3
2

=

OO2O3

đờng tròn ngoại tiếp
ABC
ngoại tiếp
.

có bán kính bằng bán kính đờng tròn

Dạng 3: Dùng phép đối xứng trục để giảI bài toán tìm tập hợp điểm.
-Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình ®· biÕt qua phÐp ®èi xøng trơc.
VÝ dơ 1: Cho
hỵp sau:

ABC

cân tại A với đờng cao AH, biết A, H cố định.Tìm tập hợp điểm C trong mỗi trờng


a. B di động trên đờng thẳng
b. B di động trên đờng tròn tâm I, bán kính R.
Trang-13


Chuyên đề toán 11
A
/



B

H

C

a). +) phép đối xứng trục AH biến B thành C (do
trên đờng thẳng

/

là ảnh của



ABC

cân) B di động trên đờng thẳng

qua phép đối xứng ĐAH.

Vậy tập hợp điểm C là đờng thẳng C/.

Trang-14



nên C di động