Cơ học kỹ thuật. Tập 1, phần tĩnh học và động học

G S. T SK H . Đ Ỗ SA N H

TT TT-TV * ĐHQGHN

N H À X U Ấ T B Ả N G I Á O D Ụ C V IỆ T N A M


GS. TSKH. ĐỖ SANH

Cơ HỌC KỸ THUẬT
■

■

TẬP MỘT

PHẦN TĨNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC
•

•

(T á i bản lần th ứ n h ấ t)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

• *


Công ty cổ phần sách Đạỉ học - Dạy nghể - Nhà xuất bản Giáo dục giữ quyển
công bố tác phẩm.
Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tóc phần dưới

chủ sở hữu quyền tác giả.
04 - 2009/CXB/240 - 2 1 17/GD

hình tíìùc phả' được sự đổng ý của

M ã số : 7B697y9 - D A I


LỜI GIỚI THIỆU
C ơ học là một trong những môn học nền tảng được giảng dạy trong các
trường đại học kỹ thuật. Nó không những là cơ sở cho hàng loạt các môn kỹ
thuật Cd sở và kỹ thuật chuyên ngành mà còn xây dựng tiềm lực tư duy khoa
học ch o các kỹ sư và cán bộ khoa học kỹ thuật tương lai.
V iệ c giảng dạy môn C ơ học trong các trưởng Đại học Kỹ thuật của nước ta
từng bước được nâng cao và chuẩn hoá. Từ năm 1969 trong điều kiện vô cùng
khó khăn của cuộc kháng chiến chống Mỹ cứu nước, Bộ Đại học và Trung học
chuyên nghiệp đã cho xuất bản giáo trình C ơ học lý thuyết do G iáo sư - Viện s ĩ
Nguyễn Văn Đ ạo chủ biên với tư cách là giáo trình chuẩn để giảng dạy trong
các trường Đại học Kỹ thuật. Giáo trình đó trong những năm qua đã góp phần
tích cực vào việc giảng dạy và học tập môn C ơ học.
Ngày nay, để đáp ứng những đòi hỏi mới của khoa học và thực tế sản xuất
của đất nước và của việc nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đ ào tạo
đang chỉ đạo các trường đại học tiến hành cải cách một cách sâu rộng việc dạy và
học theo quy trình đào tạo mới, trong đó môn C ơ học được đưa vào giảng dạy ở hai
năm đầu cho tất cả các ngành kỹ thuật của các trường đại học. Trong tình hình
nước ta bước vào hội nhập, cần thiết lựa chọn một sô' kiến thức cơ học cho những
kỹ sư. Tập hợp các kiến thức này theo xu hướng chung hiện nay đòi hỏi xây dựng
giáo trình

Cơ học kỹ thuật, nhằm trang bị những kiến thức nền tảng cho các kỹ sư

tương lai, chủ yếu gổm các kiến thức của cơ học vật rắn.
G iá o trình

Cơ học kỹ thuật (Cơ học vặt rắn) lần này được biên soạn dựa

vào chương trình khung của Bộ G iáo dục và Đ ào tạo gồm ba phẩn và được in
thành hai tập.

Tập một: Gổm hai phẩn - Tĩnh học và Động học.
Tập hai: Phần Động lực học
C u ốn sách được cấu trúc theo quan điểm

nhằm mục tiêu tiếp cận có hiệu

quả ca o nhất với các kiến thức cơ bản của cơ kỹ thuật trong tình hình thời lượng
dành cho mộn học này trong các trường Đại học Kỹ thuật giảm khá nhiều và áp
lực của việc ứng dụng các thành tựu công nghệ thông tin vào lĩnh vực này ngày
càng lớn. Nhằm thích ứng với tinh hình này tác giả đã tìm cách xây dựng nội
dung theo một cấu trúc thích hợp, cũng như đã triển khai một cách rộng rãi
phương pháp ma trận vào khảo sát các nội dung: thành lập các phương trình
cân bằng (thống nhất đối với hệ lực phẳng và hệ lực không gian), khảo sát động
học của vật rắn, đặc biệt bài toán tổng hợp và phân tích chuyển động của cơ
cấu, xây dựng một dạng mới của phương trình chuyển động động lực dạng ma
trận. C ách tiếp cận này cho phép sử dụng thuận lợi cá c phần mểm chuyên
dụng như Maple, Matlab, Mathcad trong việc giải các bài toán cơ kỹ ỉhuật, giúp

3

cho sinh viên tiếp cận tốt hơn với các thành tựu của cống nghệ thông tin. Hy
vọng đây sẽ là một phương hướng cải tiến mang hiệu quả cho môn học C ơ học
kỹ thuật.
Cuốn sách được viết nhằm phục vụ sinh viên các trường Đại học Kỹ thuật
với chương trình của môn C ơ học kỹ thuật có thời lượng 6 học trinh trở lẽn. Tuy
nhiên do cấu trúc khá mềm dẻo nên cũng có thể lựa chọn từ các nội dung để
thích hợp với thời lượng mà cá c ngành đào tạo yồu cầu. Cuốn sách cũng rất có
ích đối với các cán bộ kỹ thuật muốn nâng cao các hiểu biết của mình trong lĩnh
vực cơ học kỹ thuật.
Một số nội dung được trình bày là kết quả nghiên cứu của tác giả trong việc
thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học thuộc Chương trinh Nghiên cứu khoa học
cơ bản trong Khoa học tự nhiên - ngành

Cơ học "Động lực học của các hệ phức

tạp", của Bộ Khoa học và Công nghệ. Nhân dịp này tác giả chân thành cám ơn
Bộ Khoa học và C ô n g nghệ, chương trình Nghiên cứu khoa học cơ bản trong
Khoa học tự nhiên, Hội đồng ngành C ơ học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
là cá c cơ quan chủ trì và quản lý đề tài đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để chúng
tôi hoàn thành tốt đế tài.
Cám ơn Bộ môn C ơ học ứng dụng, Đại học Bách khoa Hà Nội và các đổng
nghiệp đâ giúp rất nhiều cho tác giả trong việc xây dựng nội dung cuốn sách.
Xin cám ơn Trung tâm Đ ào tạo Tài năng của Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội, nơi đã giúp tác giả suy ngẫm và triển khai c á c ý tưỏng biên soạn cuốn
sách hày.
Cuốn sách chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chân thành cám ơn các ý kiến
đóng góp của độc giả đối với nội dung cuốn sách. C á c ý kiến xin gửi vể: Công
ty CỔ phẩn sách Đại học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội.
Hoặc gửi trực tiếp đến tác giả: Đ ỗ Sanh, Bộ môn C ơ học ứng dụng, Trưởng
Đại học Bách khoa Hà Nội, Điện thoại (04) 8.693402,

DĐ: 01234154996.

E-mail: dosanh(G)mail.hut.edu.vn h oặc ơosanhbka @ gm all.com
T Á C G IẢ

4


J> J

K l> 4 H

MỞ ĐẦU

C ơ h ọ c lý thuyết là k h o a h ọ c n g h iê n cứu c á c q u y ỉuật về ch u y ể n đ ộ n g
c ơ h ọ c củ a các vật thể tro ng k h ô n g g ia n , theo th ờ i g ia n .
C h u y ể n đ ộ n g c ơ h ọ c đ ư ợ c h iểu là sự đ ổ i c h ỗ (b a o g ồ m c ả sự b iế n
d ạ n g ) c ủ a c á c vật thể so v ớ i vật thể đ ư ợ c c h ọ n là m c h u ẩ n g ọ i là hộ q u y
c h iế u . C á c vật thể tro n g c ơ h ọ c lý th u yết đư ợc x â y dự ng d ư ớ i c á c dạng
m ô h ìn h chất đ iể m , c ơ hệ (hệ c á c chất đ iể m rờ i rạc và liê n tụ c) v à m ột
d ạ n g rất qu an trọ ng c ủ a n ó là vật rắn tu yệt đ ố i.
K h ô n g g ia n tro n g c ơ h ọ c lý th u y ế t đ ư ợ c q u a n n iệ m k h ô n g phụ
th u ộ c v à o th ờ i g ia n và vật thể c h u y ể n đ ộ n g tro n g n ó . K h ô n g g ia n c ó
tín h c h ấ t đ ồ n g n h ấ t, đ ẳ n g h ư ớ n g và d o đ ó , th o ả m ã n c á c tín h ch ấ t c ủ a
k h ô n g g ia n ơ c l í t , tro n g đ ó c á c tiê n đề và c á c đ ịn h lý c ủ a h ìn h h ọ c
ơ c i í t đ ư ợ c sử d ụ n g .
T h ờ i g ia n cữ n g đ ư ợ c q u an n iệ m k h ô n g phụ th u ộ c v à o k h ô n g g ia n ,
v à o vật thể c h u y ể n đ ộ n g , trô i đ ề u từ q u á khứ , q u a h iệ n tại đ ế n tương la i,
đ ố i v ớ i m ọ i hệ q u y c h iế u .

K h ô n g g ia n và th ờ i g ia n nh ư v ậ y đ ư ợ c g ọ i là k h ô n g -

th ờ i g ia n

tu y ệ t đ ố i, c h ú n g là d ạ n g lý tư ởng h o á (m ô h ìn h ) c ủ a k h ô n g g ia n và
th ờ i g ia n thực.
C ơ h ọ c lý th u y ế t đ ư ợ c x â y dự ng theo p h ư ơ n g p h á p tiê n đ ề , c ơ sở
trên hệ tiê n đé d o N evvton đưa ra lần đầu tiê n tro n g tác p h ẩ m n ổ i tiến g
" C ơ s ở to án h ọ c c ủ a triết h ọ c tự n h iê n " - ( P h ilo s o p h ia e n tu ra lis P r in c ip ia
M a th e m a tic a , 1687). D o đ ó , C ơ h ọ c lý th u yết c ò n c ó tên g ọ i là C ơ h ọ c
N evvton.
C ơ h ọ c N e w to n c h ỉ k h ả o sát đ ố i v ớ i c á c vật thể c ó k íc h thư ớc hữu
h ạ n v à c h u y ể n đ ộ n g v ớ i v ậ n tốc nh ỏ h ơ n n h iề u lầ n v ậ n tố c ánh sáng. C ơ
h ọ c c ủ a c á c vật thể c ó k íc h thước v i m ô đ ư ợ c k h ả o sát trong c ơ h ọ c
lư ợ n g tử, c ò n c ơ h ọ c củ a c á c vật thể c h u y ể n đ ộ n g v ớ i vận tố c c ù n g c ỡ
v ậ n tố c ánh sáng đ ư ợ c k h ả o sát tro ng c ơ h ọ c tư ơng đ ố i c ủ a E in s t.

5


C ơ h ọ c lý th u yế t phát sin h và phát triể n gắn liề n v ớ i sự phát triển
c ủ a lự c lư ợ n g sản xuất xã h ộ i và tri thức v ă n h o á c ủ a nhân lo ạ i, đặc biệt
gắn liề n v ớ i sự phát triển củ a k ỹ thuật.
C ơ h ọ c lý th u y ế t là c ơ sở và x u ấ t ph át đ iể m c h o n h iề u b ộ m ô n c ơ
h ọ c k h á c như sức bền vật liệ u , lý th u y ế t đ à n h ồ i, th ủ y k h í đ ộ n g lực
h ọ c ..., c h ú n g đ ư ợ c x â y dự ng trên c á c đ ịn h lu ậ t c h u n g củ a c ơ h ọ c lý
th uyết v ớ i c á c đ ịn h lu ậ t b ổ su ng d o c á c tín h ch ấ t đ ặ c thù c ủ a thực thể
vật chất. T r o n g sức bền v ậ t liệ u và lỷ th u yế t đ à n h ổ i p h ả i n ó i đến b iế n
d ạ n g củ a vật thể v à đ ư ợ c b ổ su n g th êm c á c đ ịn h lu ậ t về q u an hệ giữa
b iế n d ạ n g và lự c. T r o n g th ủ y - đ ộ n g lự c h ọ c , p h ả i đề c ậ p đến v ậ n tốc

b iế n d ạ n g củ a thực thể vật ch ấ t v ớ i đ ịn h lu ậ t bổ su n g về sự liê n hệ giữa
vận tố c b iế n d ạ n g và lự c, c ò n tro n g k h í đ ộ n g lự c h ọ c n ó i thêm tính chất
n én đ ư ợ c c ủ a thể k h í.
T r o n g c á c trư ờng Đ ạ i h ọ c K ỹ thuật, m ô n C ơ h ọ c lý th u yế t là m nền
tảng c h o hà n g lo ạt c á c m ô n k ỹ thuật c ơ sở và k ỹ thuật c h u y ê n ngành
n h ư sức bền vật liệ u , n g u y ê n lý m á y , đ ộ n g lự c h ọ c m á y , đ ộ n g lự c họ c
c ô n g trìn h ...
C ơ h ọ c lý th uyết đã c ó lịc h sử phát triể n lâ u đ ờ i d o la o đ ộ n g củ a
n h iề u th ế hệ c á c n h à b ác h ọ c . N g a y tro n g th ờ i k ỳ c ổ đ ạ i n g ư ờ i ta cũ n g
đã biết áp d ụ n g n h iề u q u y lu ậ t c ủ a c ơ h ọ c , v í d ụ , q u y lu ậ t m ặt ph ẳn g
n g h iê n g , đ ò n b ẩ y ,... để x â y đự n g n h iề u c ô n g trìn h đ ồ sộ vẫn c ò n tổ n tại
đ ế n tận n g à y n a y ... D ư ớ i đ â y ch ứ n g ta sẽ nêu lê n m ộ t s ố g ia i đ o ạ n phát
triể n tiêu b iể u c ủ a c ơ h ọ c lý th u yế t.
Sự phát triển m ạ n h m ẽ c ủ a k h o a h ọ c tự n h iê n , tro n g đ ó c ó c ơ h ọ c ,
bất đ ẩ u từ th ờ i k ỳ P h ụ c h ư n g , đ ầ u tiê n ở Italia v à sau đ ó tại c á c nư ớc
k h á c . T r o n g th ời k ỳ n à y n ổ i bật lê n tên tu ổ i c ủ a h o ạ s ĩ th iê n tà i n g ư ờ i
Italia L ê ô n a đ ơ V a n h x i (1 4 5 2 - 1519) m ộ t nhà h ìn h h ọ c và k ỹ sư c ó tài,
c ó n h iề u k h ả o sát tro n g lĩn h v ự c c ơ cấ u , m a sát tro n g m á y và c h u y ể n
đ ộ n g trên m ặt p h ẳn g n g h iê n g . C ù n g th ờ i, p h ả i k ể đ ế n n h à b á c h ọ c B a
L a n n ổ i tiế n g , N ic o la i C o p e c n ic (1 4 7 3 -

154 3 ), n g ư ờ i đ ã x â y d ự n g lý

th u yế t về c h u y ể n đ ộ n g c ủ a c á c h à n h tin h tro n g th á i d ư ơ n g hệ. D ự a v ào
c á c c ô n g trìn h n à y và v à o c á c s ố liệ u q u a n sát c ủ a th iê n v â n m à K e p le
(1571 -

1630) đ ã ph át h iệ n ra ba đ ịn h lu ậ t n ổ i tiế n g c ủ a c h u y ể n đ ộ n g

c á c h àn h tin h , đ ó là c ơ

n ổ i tiến g .

6

sở c h o N e w to n tìm ra đ ịn h lu ậ t hấp d ẫ n v ũ trụ


C á c k h ả o sát c ó tầm quan trọng đặc biệt, có ý n g h ĩa nền tảng ch o sự
phát triể n c ơ họ c là các cô n g trình của nhà bác h ọ c th iên tài người Italia,
G a lilê (1 5 6 4 -

1642). T rư ớ c G a lilê , c ơ h ọ c được phát triển ch ủ yếu là

p h ầ n t ĩn h h ọ c . C h ín h G a lilê đã đề cập đến các đ ịn h luật c h u y ể n độ n g
dư ớ i tác đ ụ n g của lự c, tức p h ầ n đ ộ n g lự c h ọ c trong c á c n g h iê n cứu về sự
rơ i củ a vật h o ặc sự ném của vật làm với đư ờng nằm ngan g m ột góc a ,...
Đ ịn h lu ậ t n ổ i tiếng của đ ộ n g lực học, m ột trong nhữ ng phát m in h v ĩ đại
nhất c ủ a c o n n g ư ờ i, đ ịn h luật quán tính, thuộc về G a lilê . Ô n g cũ n g đặt
nhữ ng n ề n m ó n g đầu tiên về lý thuyết đ ộ bền của c á c c ô n g trình.
C á c c ô n g trìn h c ủ a Nevvton (1643 -

1727) đ ã h o à n tất th ờ i k ỳ đầu

c ủ a k h o a h ọ c tự n h iê n , N e w to n đã thống nhất, m ở rộ n g và x â y dự ng c ơ
s ở c h o c á c th àn h tựu h iệ n th ời của c ơ h ọ c n h ờ m ộ t hệ th ố n g c á c đ ịn h
lu ậ t m à n g à y n a y c h ú n g c ó tên là hệ tiê n đề đ ộ n g lự c h ọ c m ang tên
N e w to n .
T iế p th eo c ô n g trìn h đư ợc xây dựng m ột c á c h hệ th ốn g hoàn c h ỉn h
và c h ặ t c h ẽ c ủ a Nevvton, c ơ h ọ c lý th u yế t trải q u a m ộ t g ia i đ o ạ n phát
triể n h ế t sức sô i đ ộ n g và p h o n g phú từ th ế k ỷ thứ X V I I I - X I X và cả thế

kỷ X X .
Q u á trìn h phát triể n này đã dẫn đến v iệ c xuất h iệ n lý th uyết tương
đ ố i c ủ a E in s t .
Đ ó n g g ó p v ào sự pịiát triển c ơ học tro n g th ời k ỳ n à y c ó c á c nhà bác
h ọ c n h ư Đ a lă m b e (1717 - 1783) mà tên tu ổ i gắn liề n v ớ i n g u y ê n lý n ổ i
tiế n g m a n g tên ô n g , n g u y ê n lý Đ a lã m b e , n h ư ơ l e (1 7 0 7 -

1783), V iệ n

s ĩ V i ệ n h à n lâ m k h o a h ọ c N g a , người đã c ó n h iề u c ô n g tro n g v iệ c sử
d ụ n g c á c p h ư ơ n g p h áp g iả i tích để n g h iê n cứu c á c b ài toán đ ộ n g lự c họ c
vật rắ n . ơ l e là n g ư ờ i đầu tiên viết g iáo trìn h c ơ h ọ c th eo hư ớng g iả i tích
hoá

có

nhan

đề

"Đ ộng

lự c

học"

( M e lia m ic a

s iv e

m ô tu s

sc ie n tia ,

P e te c b u a 1 7 3 6 ),...
H ư ớ n g g iả i tích hoá c ơ học m à ngày nay được g ọ i là c ơ họ c g iả i tích
đư ợ c trình bày trong tác phẩm sáng lập ngành " C ơ học giải tích" (M ecanique
a n a ly tiq u e , 1788) của nhà bác học lớn ngư òi P háp L a g ra n c e , trong đ ó c ơ
h ọ c đ ã đư ợ c trình bày n h ờ phương pháp g iả i tích dựa vào m ột ng u yên lý
c h u n g , k h ô n g c ó m ộ t h ìn h vẽ nào. G ia i đo ạ n phát triển p h on g phú này của
c ơ h ọ c gắn liề n v ớ i tên tu ổi của nhiều nhà bác h ọ c, m à các cô n g trình

7

-


ng hiên cứu gắn liề n với tên tuổi của họ như H a m in tơ n (1805 -

1865),

Ja c ô b i ( 1 8 0 4 - 1851), G a o x ơ (1 7 7 7 - 1805)...
N g à y n a y , sự phát triển của c ơ h ọ c lý th uyết g ắn liể n v ớ i c á c v ấ n đề
c ủ a vật lý và k ỹ thuật h iên đại như c ơ h ọ c vũ trụ, đ iể u k h iể n tự đ ộ n g , k ỹ
thuật rô b ố t...
T r o n g g iá o trìn h n à y chỉ trình bày m ộ t số k iế n thức c ơ h ọ c (ch ủ yếu
c á c k iế n thức c ơ h ọ c vật rắn) rất cần thiết c h o c á c k ỹ sư đ ư ợ c g ọ i là m ô n
C ơ h ọ c k ỹ thuật, n ó g ồ m ba phần T ĩn h h ọ c , Đ ộ n g h ọ c và Đ ộ n g lự c h ọ c.

8

PHẦN MỘT

TĨNH HỌC
T ĩn h h ọ c là phần n g h iê n cứu trạng thái c â n b ằ n g củ a vật rấn (vật rắn
tuyệt đ ố i) d ư ớ i tác d ụ n g c ủ a c á c lực.
H a i vấn đé c h ín h đư ợ c n g h iê n cứu trong tĩn h h ọ c là:

T h u gọn h ệ lực, tức là biến d ổ i h ệ lực đ ã ch o thành m ộ t hệ lực
kh á c tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn. T h u gọn hệ lực v ề d ạ ng
1.

đơn giản nhấ t, được gọi là dạng tố i giản của h ệ lực. T ậ p cá c dạng tối
gián kh á c nhau của các h ệ lực được g ọ i là các d ạ n g ch u ẩ n của h ệ lực.
2.

T h iế t lậ p các đ iều kiện đ ố i với h ệ lực m à d ư ớ i tá c d ụ n g của nó vật

rắn cân bằng, được gọi tắ t là các đ iều kiện câ n b ằ n g củ a h ệ lực.
V iệ c n g h iê n cứu cá c n ộ i d u n g c ủ a tĩn h h ọ c đ ư ợ c dựa trẻn c á c đ ịn h
lu ậ t c ơ bản c ủ a tĩn h họ c (c ò n đư ợ c g ọ i là hệ c á c đ ịn h lu ậ t tĩn h h ọ c), và
c á c k h á i n iệ m c ơ bản, đ ố là nhữ ng k h á i n iệ m n ề n tảng đầu tiên đ ể x â y
dự ng n ộ i d u n g m ô n h ọ c.

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN
VÀ CÁC ĐỊNH
LUẬT

TlNH HỌC
•
•
•
1.1. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN
T ro n g tĩn h h ọ c c ó ba k h á i n iệ m c ơ bản sau đ â y : vật rắn tuyệt đ ố i, cân
b ằ n g và lự c.

1.1.1. Vật rắn tuyệt đối
V ậ t rắ n tu y ệ t đ ố i là m ộ t tậ p h ợ p vô hạn c á c c h ấ t đ iểm m à khoảng
cá c h giữa h a i c h ấ t đ iểm b ấ t k ỳ luôn luôn kh ô n g đ ổ i.

9


V ậ t rắn tuyệt đ ố i c h ỉ là m ồ h ìn h của các vật thể k h i c á c b iến dạng
củ a nó bỏ qu a đư ợc d o qu á bé hoặc k h ô n g đ ó n g v a i trò q u an trọng trong
qu á trìn h k h ả o sát. T r o n g c á c trường h ợ p k h i c á c b iế n d ạ n g tu y bé nhưng
đ ó n g vai trò qu an trọng , thậm c h í q u yế t đ ịn h , tức k h ô n g thể b ỏ qu a được,
th ì cần thiết phải b ổ sung nhữ ng g iả thiết, c ó n g h ĩa là x â y dự ng m ô hình
gần đú n g hơn. V ấ n đ ề n à y sẽ được x e m xét đến trong g iá o trìn h

Sức bển

v ậ t liệu và m ột số g iá o trìn h k h á c.
Đ ể đ ơ n giản, vật rắn tuyệt đ ố i thường đượe*gọi tắt là vật rắn. C ầ n nhấn
m ạnh rằng, m ô hình khảo sát là
cho

m ột vật rắn và các kết quả của nó ch ỉ đúng

m ột vật rắn. T ro n g khảo sát ch ỉ đề cập đến m ô h ìn h là m ột vật rắn.

T ro n g trường hợp m ở rộ ng c h o hệ vật rắn sẽ c ó ch ú thích riêng.

1.1.2. Cân bằng
V ậ t rắri được g ọ i là câ n bằng k h i v ị trí củ a n ó k h ô n g th ay đ ổ i so v ớ i
v ị trí củ a m ột vật n ào đ ó đ ư ợ c c h ọ n là m ch u ẩn , g ọ i là hệ q u y c h iế u . T ro n g
tĩn h h ọ c , hệ q u y c h iế u đư ợc c h ọ n là hộ q u y c h iế u trong đ ó đ ịn h luật quán
tín h đư ợc thoả m ãn, n ó đư ợ c g ọ i là hệ q u y c h iế u q u án tín h . V ấ n đề này sẽ
đư ợ c trìn h bày c h i tiết trong ph ần Đ ộ n g lực h ọ c. C â n bằn g đ ố i v ớ i hệ qu y
ch iế u q u án tính đư ợc g ọ i là cân bằng tuyệt đ ố i.
V ậ t lý h ọ c h iện đ ạ i đã chứ ng m in h rằng, k h ô n g tổn tại hệ q u y c h iế u
qu án tính. D o v ậ y , c h ỉ c ó thể ch ọ n c á c hệ q u y c h iế u gần đ ú n g hệ q u y
c h iế u q u án tín h . T ro n g k ỹ thuật, hệ q u y c h iế u q u á n tín h g ần đú n g đư ợc
c h ọ n là T r á i Đ ất. C h ú ý rằ n g , trong tính toán n g ư ờ i ta c h ọ n hệ trụ c toạ độ
gắn v ớ i hệ q u y c h iế u , đư ợ c g ọ i ỉà hô trục toạ đ ộ q u y c h iế u . V ớ i m ột hệ
q u y c h iế u c ố thể gắn v ớ i n h iề u hệ trục toạ đ ộ q u y c h iế u k h á c nhau.

1.1.3. Lực
T ừ những q u an sát tro n g đ ờ i sống, c ù n g v ớ i nhữ ng k in h n g h iệ m và
thực n g h iệ m n g ư ờ i ta đ i đ ế n nhận xét rầng: n g u y ê n n h â n g â y ra sự b iế n
đ ổ i củá trạng thái c h u y ể n đ ộ n g c ơ h ọ c, tức sự đ ờ i c h ỗ củ a c á c vật thể
(bao g ồ m c ả b iế n d ạ n g ) tro n g đ ố c a n bằn g c h ỉ là trư ờng h ợ p riê n g , c h ín h
là tác d ụ n g tương h ỗ giữ a c á c vật thể. T á c d ụ n g tư ơng h ỗ giữ a c á c vật m à
kết quả c ủ a n ổ g â y n ê íi c á c b iế n dạng h o ặ c sự th ay đ ổ i trạn g thái c h u y ể n
đ ộ n g củ a ch ú n g đư ợ c g ọ i là những tác d ụ n g c ơ h ọ c (phân b iệ t v ớ i c á c tác
d ụ n g tương hỗ k h á c như h o á , nh iệt, đ iện ...).

T á c d ụ n g tương h ỗ c ơ h ọ c ậược g ọ i là lực.

10


K h á i n iệ m lực được cả m nhận trong đ ờ i sống hằng n g ày như k h i xách
hoặc đ ẩ y m ột vật nào đ ó qu a sự căn g củ a cá c c ơ bắp.
T h ự c n g h iê m chứ ng m in h rằng, lực được đặc trưng b ở i các yếu tố sau:
-

Đ iểm đ ặ t của lực là đ iể m m à vật đư ợ c tru yền tác d ụ n g tương hỗ c ơ

họ c từ vật k h á c.

Phương và chiều củ a lực là ph ư ơ n g , ch iề u c h u y ể n đ ộ n g từ trạng

-

thái y ê n n g h ỉ củ a chất đ iể m (vật c ó k íc h thước bé) c h ịu tác d ụ n g của lực.
-

C ường đ ộ của lực là số đ o tác d ụ n g m ạnh , y ế u củ a lự c so v ớ i lực

đ ư ợ c c h ọ n là m ch u ẩn , g ọ i là đ ơ n v ị lự c. Đ ơ n v ị lự c là N e w to n , đư ợc k ý
h iệ u N .
Đ ịn h n g h ĩa vể đ ơ n v ị lực sẽ đư ợc trìn h b ày tro n g phần đ ộ n g lự c h ọ c.
D o đ ó c ó thể d ù n g v e c tơ b iể u d iễ n c á c đặc
trưng lự c, g ọ i là v e ctơ lự c, ch ẳ n g hạn, F .
Đ iể m

đặt của v e ctơ là đ iể m đạt củ a lực,

p h ư ơ n g ch iề u của v e ctơ b iể u d iễ n phương ch iều
c ủ a lự c , m ô đ u n củ a v e c tơ b iể u d iễ n cư ờn g đ ộ
c ủ a lự c. G iá m a n g v e ctơ lự c đư ợ c g ọ i là đư ờng

Hình 1.1

tác d ụ n g của lự c (h ìn h 1.1).

1.1.4. Các định nghĩa khác
1. M ỏ m e n c ủ a lự c đ ố i v ớ i m ộ t đ iể m
M ôm en

c ủ a lự c F

đ ố i v ớ i đ iể m

o,

ký

m0 (F)

h iệ u m 0 (F ) là m ộ t v e c tơ v u ô n g g ó c v ớ i m ặt
p h ả n g chứa đ iể m o và lự c F sao c h o k h i n h ìn
từ đ ẩ u

m út củ a nó x u ố n g thấy lự c F

vòng

q u a n h o theo c h iề u n g ư ợ c c h iề u k im đ ổ n g h ồ ,'
c ó m ô đ u n bằng F d , trong đ ó d là k h o ả n g cá c h
v u ô n g g ó c từ tâm m ô m e n o

đ ế n đư ờng tác

d ụ n g c ủ a lự c, đ ư ợ c g ọ i là tay đ ò n m ô m e n củ a

HJnh 1 2

lự c F đ ố i v ớ i tâm Ọ (h ìn h 1.2).
R õ ràng m 0 (F ) = 0 k h i F = 0 h o ặ c k h i đư ờ n g tác d ụ n g của lự c F
q u a tâm m ô m e n o .
N g o à i ra:

|m0 (F)| = 2 d t A O A B

11


D ễ dàng c h ỉ ra rằng:

m 0 (F ) = r x F

1

J

k

X

y

z

F.
T ro n g đó ĩ = O A

(1-1)

F.

là v e c tơ đ ịn h v ị của điểm A ; X, y, z là toạ đ ộ đ iể m

A ; F 7, F y, F z là c á c h ìn h ch iế u củ a lự c F trên các trục của hệ trục toạ độ
v u ồ n g g ó c O x y z ; i , j , k là các v e c tơ đơn vị trên các trục toạ độ. T ừ côn g
thức ( 1 - 1 )

tín h đ ư ợ c các h ìn h ch iếu trên ba trục toạ đ ộ của vectơ

m 0 ( F ) ,đ ó là :
m ox (F ) = y F , - z F y; m oy (F ) = z F x - xF/, m 0/ (F) = x F y - y F x

(1 -2 )

K h i c á c lự c c ù n g nằm trong m ộ t mặt phẳng với điểm o thì c á c vectơ
m ô m e n c ủ a c á c lự c đ ố i v ớ i đ iể m o

sẽ song song v ớ i nhau. T ro n g trường

h ợ p đ ó n g ư ờ i ta đư a ra k h á i n iệ m m ôm en đại sô' của lực F đ ố i v ớ i đ iể m
o , k ý h iệ u m 0 ( F ) , là lư ợng đ ạ i số ± F.d, có dấu dương khi lực F v ò n g
qu an h o theo c h iể u ng ư ợc ch iề u k im đồng hổ và có dấu âm trong trường
h ợ p n g ư ợ c lạ i.
2. H ệ lự c

H ệ lực là tậ p h ợ p nhiều lực cù n g tác dụng lên m ột vật rân. H ê lực
gổm

c á c lự c F ị , F 2......F n đư ợc k ý

hiệu là ( F , , F 2...... F „ ) . D ự a vào tác

d ụ n g c ơ h ọ c c ủ a hệ lự c tã cố.
H ệ lực (ỹ 1, ộ 2, . i . , ị m)đ ư ợ c gọi là tương đương với hệ lực ( F 1(F 2, . . . , F n),
k h i tác d ụ n g c ơ h ọ c c ù a hai hệ lự c n ẳ y lềh công một vật rắn là như nhau
(c ó thể thay th ế c h o n h au) và đư ợ c k ý hiệu như sau:

• ( F „ F 2, . . . , F n)
H ợ p lự c c ủ a hệ lự c là m ộ t lự c d u y nhất tương đương v ớ i hệ lự c ấy.
G ọ i R là h ợ p lự c củ a hệ lực ( F 1, F 2, . . . , F n), ta có;
R * ( F , , F 2, . . . , F b)
H ệ lự c câ n b ằn g là hệ lực nếu tác dụng lên vật rắn k h ô n g là m thay
đ ổ i trạng thái c h u y ể n độ n g của vật c ó được khi không chịu tác d ụ n g của
hệ lự c ấy. T r o n g trư ờ ng hợp riê n g , dư ới tác dụng của hệ lực vật rắn cân

12

băng thì hệ lực đư ợ c g ọ i là hệ lự c cân bằng. H ệ lực cân bằng cò n g ọ i là hệ
lục tương đư ơng v ớ i k h ô n g và đ ư ợ c k ý hiệu:
( F , , F 2, . . . , F n)= 0
D ự a v à o sự phân b ố củ a c á c đư ờng tác dụ n g c ủ a cá c lực thuộc hệ lực
ta có:
-

H ệ lực k h ô n g g ia n bất k ỳ k h i đư ờng tác d ụ n g nằm tuỳ ý trong

k h ô n g g ian .
- H ệ lực p h ẳn g bất k ỳ k h i đư ờng tác dụ n g c á c lự c n ằm tuỳ ý trong
cù n g m ột mặt phẳng.
- H ệ lực song so n g (hệ lự c song song p hẳng và hệ lự c song song
k h ô n g g ia n ) k h i đư ờng tác d ụ n g cá c lự c song song v ớ i nhau.
- H ệ lực đ ồ n g q u y (hệ lự c đ ồ n g q u y phẳng và hệ lự c đ ồ n g q u y k h ô n g
gian ) k h i đư ờng tác d ụ n g c á c lự c đ i qua cù n g m ột đ iể m .
- H ệ ngẫu lự c (hệ n g ẫ u lự c phẳng và hệ ng ẫu lự c k h ô n g gian ) k h i hệ
lực g ồ m c á c c ặ p lực (tức từng đ ô i m ột) song song ngược c h iề u và cùn g
cư ờn g độ.
3. N g ẫ u lự c

a) Đ ịn h n g h ĩa . N g ẫ u lực là h ệ lực gồm h a i lực song so n g ngược
ch iề u và cùn g cường độ.
b) C á c đ ặ c (r ư n g c ủ a n g ẫ u lự c, N g ẫ u lự c đư ợ c đ ặ c trưng b ở i m ật
p h ẳ n g tác d ụ n g củ a nó (m ặt p h ẳn g chứ a hai lực thành phần), c h iề u q u ay
c ủ a ngẫu lực tro n g m ặt p h ẳn g và cư ờn g đ ộ tác d ụ n g của ngẫu lực. C ư ờ n g
đ ộ tác d ụ n g n g ẫu lực p h ụ th u ộ c v ào g iá trị của c á c iực thành phần và tay
đ ò n ngẫu lực (k h o ả n g c á c h g iữ a hai đư ờng

tác d ụ n g củ a hai

ph ẩn ). N g ư ờ i ta đ ù n g tích s ố F d , đư ợ c g ọ i là

trịs ố m ô m e n

lực thành

củ a

ngẫu lự c,

để đ ặ c trưng c h o cư ờ n g đ ộ tác d ụ n g củ a ngẫu ỉực.
Đ ể b iểu d iễ n các đ ặ c trưng của ngẫu
lự c người ta d ù n g vectơ m ô m e n ngẫu lực,

1m

k ý hiệu m , c ó g ố c tại m ặt phẳng ngẫu lực,

^^

hư ớ ng vu ô n g g ó c v ớ i m ặt phẳng ngẫu lực
sao ch o k h i n h ìn từ đầu m ú t củ a vectơ ấy
xụống

m ặt phẳng ngẫu

lực

thấy

chiều

q u a y của ngẫu lực ngược ch iề u q u ay k im
đ ồ n g hồ và c ó m ôđu n bằng trị số m ôm en
n g ẫu lực, tức bằng F d (h ìn h 1.3).

Hinh 1-3

13


c) Đ ịn h lý liê n h ệ g iữ a ve ctơ m ô m e n n g ẫ u lự c và m ô m e n c ủ a lực
đ ố i với m ộ t đ iề m
M ô m en đ ố i với m ộ t đ iểm b ấ t k ỳ của ngẫu lực bằng vectơ
m ôm en ngẫu lực.
Đ ịn h lý .

m 0( F ) + m 0( F ') = m

(1 -3 )

C hứ ng m inh: T h e o đ ịn h n g h ĩa m ô m e n củ a
lực đ ố i v ớ i m ột đ iể m (h ìn h 1.4) ta có:
m 0 ( F ) = r x F ; m 0( F ’) = r ' x F
Vậy:
m 0(F ) + m 0( F ') = ĩ x F + r ' x F '
= r x F - r 'x F

= ( r - r ') x F

= px F = m
H lnh 1.4

T ừ đ ịn h lý trên ta rút ra:
Đ ịn h lý .

V e c tơ m ô m e n ngẫu lực b ằ n g m ô m en của m ộ t lực thành p hần

đ ố i với đ iể m nằm trên đường tá c d ụ n g của lực th à n h p h ẩ n kia.
4 . V ậ t tự d o v à v ậ t k h ô n g tự d o
V ậ t rắn c ó thể thực h iện m ọ i d i c h u y ể n vô c ù n g bé từ v ị trí đang xét
sang v ị trí lầ n cậ n c ủ a n ó , đư ợ c g ọ i là vật tự do . T r á i lạ i, n ế u m ột số d i
c h u y ể n c ủ a vật b ị cả n trở b ở i nhữ ng vật k h á c , thì vật xló đ ư ợ c g ọ i là vật
k h ổ n g tự d o . V í d ụ , q u ả b ó n g đư ợ c b ơ m c ả n g b a y lơ lử n g là vật tự d o , c ò n
m ộ t vật đan g nằm trên b àn là vật k h ô n g tự do.
N h ữ n g đ iều k iệ n cả n trở d i ch u yể n củ a vật k h ảo sát được g ọ i là nhũng
liê n kết đặt lên vật ấy. T ro n g tĩnh họ c c h ỉ khảo sát lo ạ i liê n kết được thực
hiện bằng sự tiếp x ú c h ìn h học giữa vật thể được kh ảo sát v ớ i các vật thể khác,

5 . L ự c lỉẻ n k ế t v à lự c h o ạ t đ ộ n g . P h ả n lự c liê n k ế t
N h ữ n g lự c đ ặ c trưng c h o tác d ụ n g tương h ỗ g iữ a c á c vật c ó liê n kết
v ớ i n h au q u a c h ỗ tiế p x ó c h ìn h h ọ c đ ư ợ c g ọ i là nh ữ ng lực liê n kết. C á c
ỉự c k h ô n g p h ả i là lự c liê n kết đ ư ợ c g ọ i ỉà lự c hoạt đ ộ n g , n ó c ò n đư ợ c g ọ i
là nhữ ng lự c đặt vào . N ó i k h á c đ i, lự c hoạt đ ộ n g là nh ữ ng lự c k h ô n g bị
b iế n m ất c ù n g v ớ i liê n kết, v í d ụ , trọng lự c th u ộ c lo ạ i lự c hoạt đ ộ n g . L ự c
liê n kết d o c á c vật g â y liê n kết tác d ụ n g lê n vật c h ịu H ên kết đư ợc g ọ i là
c á c p h ản ỉự c liê n kết, c ò n c á c ỉự c d o vật c h ịu liê n kết tác d ụ n g ỉên c á c vật
g â y liê n kết đư ợ c g ọ i là áp ỉự c.

14


1.2. CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC
Đ ịn h lu ậ t 1:

Đ ịnh lu ậ t v ề h a i lực cân bằng

Đ iều kiện cần và đủ đ ể cho vậ t rắn cân b ằ n g dưới tá c dụng của hệ
hai lự c là ch úng có cùng đường tá c dụng, hướng ngược ch iều nhau và có
cùng cường độ.
H a i lự c thoả m ãn đ ịn h luật 1 đư ợc g ọ i là

hai lực cân bằng (h ìn h 1.5). Đ ịn h lu ậ t 1 đưa ra
một

tiêu chu ẩ n v ề căn bằng. N ó i k h á c đ i, để

biết m ộ t hộ lực đ ã c h o c ó câ n bằng h a y k h ô n g ta
cần ch ứ n g m in h rằng hệ lự c ấy tương đư ơng v ớ i
hai lự c câ n bằng. D o đ ó , cần p h ải b iế n đ ổ i hệ
.„ I
, A,
, 1,
«
.
VI , I
lực đã c h o (b iến đ ổ i tương đư ơng) về h a i lự c.

_

H a i đ ịn h luật tiếp theo c h o hai p h ép b iến
Hlnh 1.5

đ ổ i tư ơng đư ơng.
Đ ịn h lu ậ t 2:

Đ ịn h lu ậ t thêm b ớ t h a i lực cân b ằ n g

T á c dụng của hệ lực lên vật rắn không thay đ ổ i nếu thêm hoặc bớt hai
lực cân bằng.
N h ư v ậ y , nếu ( F , F ) là hai lự c cân b ằn g thì:
( F u F 2 ,...,F n ) - ( F „ F 2, F 3. . . F P, ? ,? • ) ,
h o ặ c nếu hệ lực ( F I, F 2, F 3, . . . , F n) c ó hai lự c c â n bằng ( F i , F 2) thì:
( F „ F 2, F 3. . . . , F 11) « ( F j ..... F n)
H ệ qu ả ( Đ ịn h lý trượt lực)

T á c d ụn g cù a lực lên vậ t rắn khô n g th a y đ ổ i k h i trượt lực trên
tá c d ụ n g củ a nó.
T h ự c v ậ y , g iả sử lự c F A tác d ụ n g
lê n vật rắn tại A , áp d ụ n g đ ịn h lu ật 2,
th êm tại B hãi lự c cân bằng nhau (h ìn h
1.6) c ù n g đư ờng tác d ụ n g v ớ i lự c F A ,
Hlnh 1.6

v à F b = - F b = F a ta có:
F a s ( F a , F b , F b ) s F b, ở đ â y m ộ t lầ n nữa ta á p d ụ n g đ ịn h lu ậ t 2 để bỏ
đ i h a i lự c câ n bằng F A v à F b.

15


N h ư v ậ y , lự c tác d ụ n g lê n vật rắn đ ư ợ c b iể u d iễ n bằn g

vectơ trượt.

C ầ n ch ú ý rằng, tín h ch ấ t nêu trên c h ỉ c ó đ ố i v ớ i vật tuyệt đ ố i rắn.
Đ ịn h lu ậ t 3 :

Đ ịn h lu ậ t h ình bình hành lực

H ệ hai lực cùng đ ặ t tại m ộ t điểm của vật rắn
tương đương với m ột lực đ ặ t tại điểm đ ặ t chung và có
vectơ lực bằng vectơ chéo hình bình hành m à hai cạnh
là hai v e ctơ b iể u diễn h a i lực thành p h đ n (hình 1.7).
N h ờ hệ q u ả vừa n ê u trên, đ iề u k iệ n h a i lự c c ù n g
Hinh 1.7

đặt m ột điểm c ó thể thay thế bằng điều k iệ n hai đường
tác d ụ n g của hai lực gặ p nhau.

Đ ịn h lu ậ t 3 ch o p h é p đ ổ i tương đương v ề hợ p h a i lực đ ồ n g q u y và
p h â n tích m ộ t lực th ả n h h a i lực theo q u y tắ c h ìn h bình h à n h lực. N h ờ
địn h luật n à y đưa p h é p cộng ve ctơ vào p h ép tính lực. T u y n h iê n cầ n nhấn
m ạ n h rằng, hai p h ép tính đ ó k h ô n g đ ồ n g nhất v ớ i nh au, v ì phép cộng
v e c tơ đ ú n g c h o trư ờng h ợ p h a i v e c tơ tự d o , c ò n phép tín h h ợ p lự c theo
q u y tắc h ìn h b ìn h hàn h lự c c h ỉ đ ú n g c h o trư ờng hợp h a i v e c tơ lực có
đư ờng tác d ụ n g g ặp nhau.
Đ ịn h lu ậ t 4 :

Đ ịn h lu ậ t tá c d ụ n g và p h ả n tá c dụng

L ự c tá c dụng và lực p h ả n tác dụng giữa h a i vậ t có cù n g đường tác
dụng, hướng ngược ch iều nhau và có cù n g cường đ ộ (h ìn h 1.8).
C h ú ý rằng, lự c tác d ụ n g và phản
tác d ụ n g k h ô n g p h ả i là h a i lực cân
b ằn g

v ì ch ú n g

không

tác d ụ n g

c ù n g m ộ t vật rắn. Đ ịn h luật 4 là

ỉên

c ơ sở

d ể m ở rộng cấ c kế t q u ả k h ả o sá t đ ố i
với m ộ t vậ t sang kh ả o sá t h ệ vậ t và nó
đ u n g c h o hệ q u y c h iế u q u án tính cũ n g
như hệ q u y c h iế u k h ô n g q u á n tính.
Đ ỉn h lu ậ t 5:

Đ ịn h lu ậ t h o á rắ n

Hỉnh 1.8

M ộ t vật biến d ạ n g đ ã cân bằng dưới tá c d ụ n g của m ộ t h ệ lực th ì khi
hớá rắn lạ i nó vẩn cân bằng.
N ố i k h á c đ i, hệ lự c tác d ụ n g lê n vật b iế n
nhữ ng đ iể u k iệ n k h i n ố tác d ụ n g ỉê n vật rắn

d ạ n g đã câ n bằng thoả m ẫn
c â n bằng.

V ậ y, những điều

kiện cân b ằ n g của vậ t rắ n cũng là những đ iều kiện cẩn (như ng k h ô n g đủ )
củ a vật b iế n dạng câ n bằn g. Đ ể là m sáng tỏ đ iề u n à y ta xét trường h ợ p lò

16


XO (vật b iế n dạng). G iá sử lò x o cân bằng, k h i đ ó lò x o ở trạng thái nén
hoặc trạng thái kéo và hệ lực tác d ụ n g lên lò xo ớ trạng Ihái cân bằng kéo
hoặc nén đểu thoả m ãn d ịn h luật 1 như vật rắn cân bằng (h ìn h 1.9).
T u y nh iên, nếu tác dụng lên lò x o cân bằng

ở trạng thái nén bởi hai lực cân bằng ớ trạng
thái kéo thì lò x o sẽ không cân bằng được m à
sẽ bị dãn ra, trong k h i đ ó vật tuyệt đ ố i rắn vẫn
cân bằng dưới tác dụ n g của hai iực cãn bằng
như vậy.

N h ờ đ ịnh lu ậ t 5 có th ể sử dụng các kết

Hình 1.9

q u ả d ã nghiên cứu đ ố i với vật rắn cân bằng cho
trường hợp vật b iển dạng cân bằng. T u y nhiên, cá c kết q u ả đ ó chưa đủ đ ể
g iả i q u yế t bùi toán cân bảng của vật biển dạng m à cần p h ả i thêm các giá
th iế t về biến dạng ( v í dụ đ ịn h lu ậ l H ú c trong sức bền vật liệu ).
Đ ịn h lu ậ t 6:

Đ ịnh lu ậ t th a y t h ế tương đương liên kết (định luật giải

p h ó n g liên kết).
V ậ t kh ô n g tự d o (tức vật chịu liên kết) cân b ằ n g có th ể được xem là
vậ t tự do cân bằng nếu g iả i p h ó n g các liên kết, th a y th ế tác dụng của các
liê n kết được g iả i p h ó n g b ằ n g các p h ả n lực liên k ế t tương ứng.
N h ờ đ ịn h luật thay thế tương đư ơng liê n kết, cá c đ ịn h lý phát biểu
c h o vật rắn tự d o vẫn đ ú n g đ ố i v ớ i vật rắn c h ịu liê n kết, k h i xem nó là vật
tự do c h ịu tác d ụ n g của hệ lực g ồ m các lực hoạt đ ộ n g tác d ụ n g lên nó và
c á c phản lực liê n kết tương ứng v ớ i c á c liê n kết đư ợc thay thế.
C h ú ý rằng, đ ịn h luật thay th ế tương đư ơng liê n kết đ ú n g cả đ ố i v ớ i
b à i toán đ ộ n g lực h ọ c.
D ư ớ i đ â y sẽ trìn h b à y m ộ t số q u y tắc để tìm c á c đặc trưng của phản
lự c liê n kết của m ột số liê n kết thường gặp. T a c h ỉ g iớ i hạn đ ố i v ớ i các
liê n kết k h ô n g m a sát (nhẩn).
Đ ầ u tiên cầ n nhấn m ạ n h rằng, cá c phản lực liê n kết c ó tính chất thụ
đ ộ n g , ch ú n g phụ thuộc v ào c á c lự c hoạt đ ộ n g tác d ụ n g lê n vật k h ả o sát.
D o đ ó , v iệ c n g h iê n cứu cấ u trúc củ a c á c liê n kết k h ô n g c h o phép xác đ ịn h
c á c trị s ố củ a c á c phản lự c liê n kết m à c h ỉ c h o biết c á c đặc trưng phương,
c h iề u củ a ch ú n g .

L iên kết tựa: H a i vật liê n kết tựa k h i ch ú n g trực tiếp tựa lên nhau. G iả

Sỉử chỗ tiếp xúc giữa hai vật tựa lên nhau được thực hiện theo các bề mặt,

2- íCHKT T1-A

17


h o ặ c theo cá c đư ờ ng , h o ặc theo m ặt và đư ờng, h o ặ c theo đ iể m và bề mặt
h a y đ iể m và đư ờng là hoàn toàn n h ẵ n th ì ph ản lự c tựa c ó phư ơng vu ô n g
g ó c v ớ i m ặt tựa (hoặc đư ờ n g tựa) (h ìn h 1.10).

L iên kếi d â y m ềm , th ẳ n g : P h ả n lự c củ a d â y tác d ụ n g lên vật k h ả o sát
đặt v ào c h ỗ b u ộ c d â y vằ hư ớng v ào d â y . P h ả n lự c c ủ a d â y c ò n đ ư ợ c g ọ i là
sức căn g củ a d â y , k ý h iệ u là T (h ìn h 1.1 la ) . T r o n g trư òng h ợ p d â y vòn g
q u a vật thì phản lự c d â y hưứng d ọ c d â y và hư ớng ra đ ố i v ớ i m ặt cắt của
d â y (h ìn h 1.1 lb ) .

a)
Hỉnh 1.11

kết bản lề: H a i vật có
bẳn lề k h i chú ng c ó trục
(chốt) chung. T ro n g trường hợp
n à y h a i vật tựa v à o nhau theo
đường

nhưng

đ iể m

tựa

chưa

x á c đ ịn h .
P h ả n lự c liê n k ết R trong
trư ờ n g h ợ p n ày đ i qua tâm của
trụ c và c ó phư ơng, c h iề u chưa
x á c đ ịn h (h ìn h 1.12).

18

Hình 1.12

2-CMKT T l-B


V ì vậy chúng thường được phân thành hai thành phần vuông góc v ớ i nhau
Rx và R y , nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tầm của bản lể.

Liên kết gối-. Đ ể đ ỡ các dầm và khun g... n g ư ờ i ta dùng các liê n kết, có
dạng gối c ố đ ịn h (hình 1.13a) và g ố i c o n lăn (hình 1.13b). Phản lực liê n kết
của g ố i c ố đ ịn h được xác đ ịn h như liê n kết bản lề, c ò n phản lực liê n kết
của g ố i có con lãn đư ợc tìm theo q u y tắc của phản lực liê n kết tựa.

Va

(I

Nb

A

À

V ////M A
a)

iI

B

*

ì\

'/M ầ y /,
,

b)

Hình 1 .13

Liên kết gối cầu: L iê n kết g ố i cầu c ó thể thực h iện n h ờ quả cầu gắn
v ào vật c h ịu liê n kết và đư ợc đặt trong m ột v ỏ cầu gắn liề n v ớ i vật gây
liê n kết. P hản lực g ố i cầu đ i qua tâm o

củ a vỏ cầu , c ó p h ư ơ n g , ch iề u

chưa biết (h ìn h 1.14a).

T h ô n g thường ph ản lực g ố i cầu đư ợc ph ân thành ba thành p h ầ n v u ô n g
g ó c v ó i nhau.
T rư ò n g h ợ p tương tự liê n kết g ố i cầu là liê n k ế t c ố i (h ìn h 1.14 b ).

Hinh 1.14

Liên kết ngàm: H a i vật có liê n kết ngàm k h i vật ch ịu liên kết và vật gây
liê n kết nối cứng vớ i nhau, v í dụ m ột trụ đứng được chôn chật xuống nền.
T ro n g trường h ợ p n g àm p h ẳn g (h ìn h 1.15a) ph ản lự c liê n kết g ồ m hai
lự c thẳng g ó c v ớ i nhau và m ộ t ng ẫu lự c trong m ặt phẳng cù a h a i lực
thành phần. T ro n g trường h ợ p ng àm k h ô n g g ia n , ph ản lự c liê n kết g ồ m ba

19


thành phần lực thảng g ó c nhau và ba thành phần ngẫu lự c trong ba mặt
phảng loạ đ ộ (hình 1.15b).

yA

À
mA

a)

b)
Hình 1.15

L iên kết thanh: L iê n kết thanh được
thực hiện n h ờ các thanh, thoả m ãn các

đ iề u k iệ n sau: C h ỉ c ó lự c tác dụ n g ở hai
đầu, cò n d ọ c thanh k h ô n g c ó lực tác d ụ ng
và

trọng

lư ợ n g

thanh

không

đáng

kể.

N h ữ n g liê n kết tại hai đầu thanh được thực
h iệ n n h ờ bản lề trụ, c ầ u ,... D ự a theo đ ịn h
luật 1, phản lực liê n kết thanh nằm d ọ c
theo đư ờng n ố i hai đ iể m đặt lực liê n kết
tại hai đầu thanh (h ìn h 1.16).
N ó i chung, liên kết c ó thể có kết cấu đa
dạng. Đ ể xác định phương, chiểu của phản
lực liên kết trong trường hợ p chung, được
hư ớng dẫn theo q u y tắc sau: tương ứng v ớ i

Hỉnh 1.16

hướng d i chuyển thẳng b ị cản trở có phản lực ngược chiều , tương ứng với
hưứng d i chu yển quay bị cản trở c ó ngẫu phản lực ngược chiều.

1.3. CÁC HỆ QUẢ
T ừ hệ c á c đ ịn h ỉuật ta su y ra cá c kết qu ả sau.

1.3.1. Hợp các lực đồng quy
G iả sử c ó hệ lực đặt tại o (trường h ợ p hệ lự c c ó các đ ư ờ n g tác d ụ n g
đ i qu a o thì áp dụ n g hệ qu ả trượt lực c ó thể đưa về trư ờng h ợ p nà y). Á p

20


dụng trực tiếp địn h luật 3 ta tìm được hợp lực R , nó di qua d iêm d ổ n g
quy và có dạng (hình 1.17),
R = F , + F 2 +... + F n = Ỉ F K

(1

4)

k=l

Đ ê x ác đ ịn h phư ơng, ch iều và giá trị hợp lực R của hệ lực đồ n g qu y
có thể dùng phương pháp vẽ hoặc ch iế u (tức tìm các hình ch iếu của hợp
lực trên ba trục toạ đ ộ vu ô n g góc).

a)

b)
Hình 1.17

1. P h ư ơ n g p h á p vẽ
N h ư đã thấy trên h ìn h 1.17a, hợp lực R là v e c tơ khép k ín của đa g iá c
O A B C D , cá c cạnh của nó là những v ectơ song song, cù n g ch iều và có
cù n g trị sô' vớ i các v ectơ b iểu d iễ n các lực thành phần. Đ a g iá c O A B C D
đ ư ợ c g ọ i là đa g iá c lực.
C h ú ý rằng, đa g iá c lực đư ợ c vẽ k h ô n g bắt b u ộ c phải xuất phát từ
đ iể m d ồ n g q u y o

cua hệ iực m à c ó thé từ đ iể m 0| tu ỳ ý (h ìn h 1.17b).

H ợp lực của hệ lực đồng q u y được biểu d iễn bàng vectơ khép kín
c ủ a da g iá c lực đ ặ t tại đ iểm đồng quy.
Vậy:

2. P h ư ơ n g p h á p c h iế u
T ừ biểu thức (1 - 4), h ìn h c h iế u của h ợ p lực R trên ba trục toạ độ
v u ô n g g ó c c ó dạng:
R. = F „ +

+■■■ + F „ = £
V

f„

k =l

R y = F ly + F 2y +... + F ny = ẳ F ky
k=l

(1 - 5)

21


R / = F „ + F 2 / +... + Fn ỉ = 5 X

Từ đó dễ dàng xác định được phương, chiều và giá trị của hợp lực:

(1 - 6 )
cosa

'z~ ; cosp = ~ z r ; cosy =
R

R

(1-7)
R

trong đ ó a , p , Ỵ là góc hợp bởi vectơ R v ớ i cá c trục O x , O y , O z.
V e c t ơ R ’ = Z F k , vectơ khép kín của đa g iá c lự c, đư ợc g ọ i là v e c tơ
c h ín h của hệ lự c (F|, F 2.....F n).
Vậy:

H ợ p lực của hệ lực đổng quy được b iểu d iễn bằng ve c tơ ch ính

của hệ lực đ ặ t tạ i điểm đổng quy.

1.3.2. Các định lý về biến đổi tương đương ngẫu lực
Đ ịn h lý 1 -

1.

H ai ngẫu lực có vectơ m ô m en bằng nhau th ì tương

đương với n h a u .
Sự đứ ng đ ắ n của định lý vừa nêu được rút ra từ hai tín h chất sau:
1.

H a i n g ẫ u lự c cùng naằm trong m ột mặt ph ẳn g , c ó cù n g ch iề u q u a y

và c ù n g trị số mômen thì tương đương với nhau.

Fi A
m ôm en M , =

( F j , F'i) có m ô m e n M 2 = + F 2dj.

F2

F,d,« F A

'2
tác dụng của
nhau tại © v l

O ’ (hình 1.18).
T rư ợ t lự c F| đến 0 vài lực
F| đến O ’ , sau đ ó phân

tích

m ỗ i lự c th à n h h a i thành pihần,
m ộ t thành p h ầ n dọc 0 0 , còn
thành ph ần k ia nằm trên đurờng
tác dụ n g c ủ a n g ẫ u lực ( F 2, F â ) .

22

B

F jd , và ngẫui lực

Hlnh 1.18


V ì hai tam g iá c A O A B và A O ' A ' B '

b ằn g n h a u nên { ( ộ , ỹ ’) là hai

lực cân bằng, còn ( F , F ') tạo thành ngẫu lự c, tức là:

(F „ F ;)» (F ,F ,, ị , ỉ ,)* (F ,F )
D o d iệ n tích củ a h a i tam g iá c A O O ' C và A O O ' A

b ằn g nhau (có

cùng đ á y 0 0 ’ và cùn g c h iề u ca o h v ì C A song so n g v ớ i O O ’ ) nên hai
ngẫu lực ( F j , F j ) và ( F , F ) c ó m ô m e n bằn g nhau v à th eo g iả thiết, bằng
m ôm en ngẫu lực ( F i , F 2).

Vậy:

= F 2d 2 = F .d 2

T ừ đó:

F s F 2; F ' s F 2

N g h ĩa là ta đã b iến đ ổ i ng ẫu lự c ( F f, F j ) thành n g ẫ u lự c ( F , F ' ) tương
đư ơng với nó, m à ngẫu lự c sau c h ín h là ngẫu lự c ( F 2,F '2) .
T ro n g trư ờng h ợ p đư ờ ng tác d ụ n g hai ngẫu lự c k h ô n g g ặp nhau (tức
song song v ớ i nhau) thì áp d ụ n g đ ịn h luật 2 thêm v à o h a i lự c c â n bằng, ta
b iế n đ ổ i m ộ t ngẫu lực thành ng ẫu lự c k h á c tư ơng đ ư ơ n g v ớ i nó và có
dư ờng tác d ụ n g cắt đư ờ ng tác d ụ n g củ a ngẫu ỉự c k ia .
2.

Tác

d ụ n g củ a n g ẫu

lự c k h ô n g th ay đ ổ i k h i d ờ i
n g ẫu

lực

đế n

nhữ ng

m ặt

p h ẳn g so n g song
G iả sử n g ẫu lự c ( F , F ')
n ằ m trong m ặt ph ẳn g 71. L ấ y
m ặt phẳng 71, so n g so n g v ớ i
m ặt phẳng 71. T ạ i tâm I của
h ìn h ch ữ nhật A B B ị A i ta đặt
th ẽ m

hai

(<|>I»song

lự c
tro n g

song

cùng

câ n
đó

bằng
lự c

c h iề u

fị

với

lự c F ' và c ó g iá trị bằn g g iá

Hỉnh

19

trị lực F ' ( h ì n h 1.19).

23


N hư vậy

( F , F = ( F , ị ; F ộ , ) ^ ( F , ộ ’, ) và ( F ' , ệ , )

R õ ràng (F ,ộ 'j) và ( F ',ệ | ) là h a i ngẫu lự c. Á p d ụ n g lín h chất 1 của
đ ịn h lý 1, ta d ờ i các ngẫu lực (F ,ệ | ) và ( F ' , ộ ị ) tro n g mật phẳng tác dụng
của ch ú n g , ch ú n g ta c ó hai ngẫu lực ( F p <ị>ị) và ( F ị,ộ | ) tương đư ơng với
hai ngẫu lực trên.
C h ú ý, (<Ị),,<Ị>j) là hai lực cân b ằn g, ta có:
(F . F ' ) * ( F , ,

ị \ ) và (F; , ị , ) * ( F „ F ’„ ị „ ị ; ) * ( F „ F \)

N g ẫ u lực ( F p F ị ) c h ín h là ngẫu lực (F , F ) d ờ i đến mật phẳng 71,.
T ừ đ ịn h lý trên ta đ i đến các kết luận sau:
a) V e c t ơ m ô m e n củ a ngẫu lực m là

vectơ tự d o .

b) T á c dụng của ngẫu lực k h ô n g thay đ ổ i k h i tác đ ộ n g lên nó

các

p h ép biển d ổ i không làm thay đ ổ i ve ctơ m ô m en củ a nó (dời tuỳ ý ngẫu
lực trong mặt phẳng tác d ụ n g , d ờ i đ ế n các m ặt p h ẳ n g song song, th ay đổi
cán h tay đò n và lực thành phần).
c) T á c dụng củ a ngẫu lực đ ư ợ c đ ặ c trư n g h o à n toàn bằng

vectơ

m ôm en của nó.
H ợ p h a i ngẫu lực được m ộ t ngẫu lực có vectơ m ởm en
bảng tổng các vectơ m ỏm en cửa h a i ttịỊẩu lực d ã ch o .
Đ ịn h ỉý 1 - 2.

C hứng minh: G iả sử có
hai

ngẫu

lực

(F p F ,)

và

( F 2, F'2) nằm trong h a i m ặl

phẳng g ia o nhau th eo g iao
tuyến 0 0 ’ và c ó c á c vectơ
m ô m e n tương ứng là m| và

m 2 đạt tại o (hình í . 20).
B iến

đổi

hai

ngẫu

]ực

trên thành hai ngẫu lực có

các lực thành phần nằm trên
giao tuyến 0 0 ’ , ngược chiều
nhau và có cùng trị số:

24