Trường điện từ kỹ thuật siêu cao tần

TRƯ NG Đ I H C C N THƠ
KHOA CÔNG NGH THÔNG TIN VÀ TRUY N THÔNG

TRƯ NG ĐI N T
ThS. ĐOÀN HÒA MINH

NĂM 2006


M cl c

M CL C
M

Đ U ………………………………………………………………………………1
0.1. GI I THI U MÔN H C TRƯ NG ĐI N T ………………………………1
0.2. PHƯƠNG PHÁP H C VÀ THI ………………………………………………2
0.3. TÀI LI U THAM KH!O ……………………………………………………..2

CHƯƠNG 1 : LÝ THUY T TRƯ NG ......................................................................3
1.1. TRƯ NG VÔ HƯ NG (Scalar field) ...............................................................3
1.1.1. Đinh nghĩa..................................................................................................3
1.1.2. M2t ñ5ng tr6................................................................................................4
1.1.3. Gradient......................................................................................................4
1.2. TRƯ NG VECTƠ (VECTOR FIELD)..............................................................6
1.2.1. Đinh nghĩa..................................................................................................6
1.2.2. Đư=ng dòng ...............................................................................................7
1.2.3. Thông lưAng (Flux)....................................................................................7
1.2.4. Đinh lý Green – Đ6nh lý Stokes – Đ6nh lý Ôxtrôgratxki ...........................7
1.2.5. Divergence……………………………………………………………….10
1.2.6. Trư=ng Kng................................................................................................10

1.2.7. Lưu sK (Circulation) và vectơ xoáy...........................................................12
1.3. TOÁN TP HAMILTON VÀ TÓAN TP LAPLACE........................................13
1.3.1. Tóan tS Hamilton ......................................................................................13
.. ,
,
bZng tóan tS ∇ .........................................13
1.3.2..BiVu diWn
1.3.3. Tóan tS Laplace.........................................................................................14
1.4. TRƯ NG ĐI N T ..........................................................................................14
1.4.1. Khái ni\m..................................................................................................14
1.4.2. Hai m2t ñi\n và t] c^a trư=ng ñi\n t] ......................................................15
1.4.3. Các ñ_i lưAng cơ b`n ñ2c trưng cho trư=ng ñi\n t]..................................16
BÀI TaP ..................................................................................................................18
CHƯƠNG 2 : TRƯ NG ĐI N TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG ...........................20
2.1. TRƯ NG ĐI N TĨNH......................................................................................20
2.1.1. Khái ni\m..................................................................................................20
2.1.2. Đ6nh ludt Coulomb....................................................................................20
2.1.3. Các hình thfc phân bK ñi\n tích................................................................22
2.1.4. Các tính chit c^a trư=ng ñi\n tĩnh ............................................................24
2.1.5. Đi\n thj (Potential) ...................................................................................27
2.1.5.1. Khái ni\m vk ñi\n thj. ....................................................................27
2.1.5.2. Đi\n thj t_i mlt ñiVm trong ñi\n trư=ng.........................................27
2.1.5.3. Hi\u ñi\n thj ...................................................................................30
2.1.5.4. Phương trình Poisson và phương trình Laplace cho ñi\n thj..........31
2.1.6. Mô t` hình hmc c^a trư=ng ñi\n ................................................................40
2.2. TRƯ NG T TĨNH..........................................................................................41
2.2.1. Đ6nh nghĩa.................................................................................................41
2.2.2 Các nguyên lý và ñ6nh ludt vk t] trư=ng ....................................................41
2.2.3. Các tính chit c^a trư=ng t] tĩnh................................................................46

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


M cl c

2.2.4 T] thj Vectơ ..............................................................................................48
2.4.5 BiVu diWn hình hmc c^a t] trư=ng...............................................................51
BÀI TaP .........................................................................................................................51
CHƯƠNG 2 : TRƯ NG ĐI N T TĨNH TRONG MÔI TRƯ NG CH T .......58
3.1. ĐI N MÔI (DIELECTRIC MATERIALS) .......................................................58
3.1.1. Khái ni\m..................................................................................................58
3.1.2. So phân coc (Polarization)........................................................................58
3.1.3. Đi\n tích liên kjt (Bound Charges)...........................................................60
3.1.4. Đi\n trư=ng trong chit ñi\n môi ...............................................................62
3.2. T MÔI (MAGNETIC MATERIALS).............................................................63
3.2.1. Khái ni\m..................................................................................................63
3.2.2. Dòng ñi\n liên kjt (Bound Current) .........................................................65
3.2.3. T] trư=ng trong t] môi .............................................................................67
3.3. VaT DqN ĐI N (ELECTRICAL CONDUCTORS) .......................................69
3.3.1. Khái ni\m..................................................................................................69
3.3.2. Phương trình lien tsc.................................................................................71
3.3.3. Nghi\m xác ldp c^a phương trìng Laplace ...............................................72
3.4. ĐItU KI N B .................................................................................................73
và . .......................................................73
3.4.1. Điku ki\n b= vui các vectơ
3.4.2. Điku ki\n b= vui các vectơ
và . .......................................................75
3.4.3. Tvng kjt các ñiku ki\n b= .........................................................................76

3.5. NĂNG LƯxNG CyA TRƯƠNG ĐI N T .....................................................77
2.5.1. Năng lưAng trư=ng ñi\n ñưAc tích lũy b|i ts ñi\n....................................77
2.5.2. Năng lưAng trư=ng t] ñưAc tích lũy b|i culn c`m ...................................78
2.5.3. Năng lưAng t] trư=ng................................................................................79
BÀI TaP ...................................................................................................................79
CHƯƠNG 4 : TRƯ NG ĐI N BI N THIÊN ..........................................................82
4.1. ĐI N TRƯ NG XOÁY....................................................................................83
4.1.1. Sfc ñi\n ñlng............................................................................................83
4.1.2. Đinh ludt Faraday......................................................................................84
4.1.3. Đi\n trư=ng xoáy ......................................................................................86
4.2. DÒNG ĐI N D€CH...........................................................................................86
4.3. H PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL..................................................................88
CÂU H„I ÔN TaP...................................................................................................88
CHƯƠNG 5 : SÓNG ĐI N T ...................................................................................90
5.1. KHÁI NI M.......................................................................................................90
5.2. SÓNG PH…NG TRONG CHÂN KHÔNG HAY ĐI N MÔI KHÔNG
T†N HAO...........................................................................................................91
5.3. SÓNG PH…NG TRONG ĐI N MÔI CÓ T†N HAO.......................................96
5.4. DÒNG CÔNG SU‡T – VECTƠ POYNTING..................................................100
5.5. SÓNG PH!NG TRONG VaT DqN ĐI N TˆT .............................................102
5.6. S‰ PH!N XŠ, KHÚC XŠ CyA SÓNG ĐI N T .........................................106
5.7. HI N TƯxNG SÓNG ĐŒNG – T• Sˆ SÓNG ĐŒNG....................................112
5.8. TRŽ KHÁNG VÀO CyA MÔI TRƯ NG NHÌN T NGU•N......................114
5.9. MaT Đ• DÒNG CÔNG SU‡T CyA SÓNG T I, SÓNG PH!N XŠ VÀ
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


M cl c

SÓNG KHÚC XŠ...........................................................................................115
5.10 BÀI TÓAN HAI M‘T PHÂN CÁCH..............................................................116
5.11 SÓNG T I CÓ PHƯƠNG TRUYtN VUÔNG GÓC V I M‘T CyA
M•T VaT DqN ĐI N TˆT............................................................................117
5.12 VaN TˆC SÓNG, VaN TˆC NHÓM, VaN TˆC PHA................................119
CÂU H„I ÔN TaP...................................................................................................121
BÀI TaP ...................................................................................................................123
PH L C.......................................................................................................................126
TÀI LI U THAM KH*O ............................................................................................127

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


L i nói ñ u

L I NÓI Đ U
Trư ng ñi n t là m t môn h c cơ s cho nhi u ngành khoa h c k thu t như V t
lý, Đi n k thu t, Đi n t#, Vi$n thông, K thu t ñi u khi&n,…Trư ng ñi n t
không ph)i là m t môn h c m*i l+ b c ñ+i h c, các khái ni m và m t s/ ñ0nh
lu t cơ b)n v Trư ng ñi n t ñã gi)ng d+y t b c ph4 thông trung h c. Vào ñ+i
h c, sinh viên l+i m t l7n n8a ti9p c n v*i m t s/ khái ni m và ñ0nh lu t v
Trư ng ñi n t trong môn V t lý ñ+i cương. Đây là l7n th; ba, sinh viên tr l+i
v*i Trư ng ñi n t . Tuy không ph)i là hoàn toàn m*i l+, nhưng Trư ng ñi n t
vcách là m t môn h c, sinh viên có m t cách ti9p c n m*i. ? ñây, môn Trư ng
ñi n t là h th/ng hoàn ch@nh, v a có tính t4ng quát cao l+i v a ñi sâu chi ti9t,
v*i phương pháp tính toán m*i, ñòi hCi k năng toán h c cao hơn, ñòi hCi kh)

năng trù tưFng hóa và khái quát hóa cao hơn. Hơn n8a, ñây là m t môn cơ s ,
sinh viên chưa th& ;ng dHng ngay và chưa thIy h9t các ;ng dHng cJa nó vào
chuyên ngành, ñi u này cũng là m t nguyên nhân làm cho ngư i h c kém h;ng
thú.
N i dung cJa môn Trư ng ñi n t khá l*n, bao gOm ph7n lý thuy9t t4ng quát và
các ph7n v n dHng trong các lĩnh vQc cH th&. Khi tham kh)o nhi u giáo trình cJa
các trư ng ñ+i h c, ta sS thIy có sQ khác nhau v vi c ch n lQa n i dung lti9p c n.
T4ng quát, môn Trư ng ñi n t bao gOm các n i dung sau:
U
U
U
U
U
U
U
U
U

Các cơ s toán h c c7n cho môn h c này;
Trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong chân không và trong các môi trư ng:
các khái ni m, ñ0nh lu t, ñ0nh lý, phương trình;
V t li u ñi n t ;
Các phương pháp gi)i các bài toán trư ng ñi n t ;
Trư ng ñi n t bi9n thiên và h phương trình Maxwell;
Sóng ñi n t ; nhi$u x+ sóng ñi n t ;
Các ph7n t# b;c x+ sóng ñi n t và anten;
Đư ng truy n sóng, /ng dCơ s thuy9t tương ñ/i v trư ng ñi n t .

Nói chung, có hai cách ti9p c n khác nhau:
U

Đi t t4ng quát ñ9n cH th&:

Trong cách ti9p c n này, cIu trúc chương trình môn h c ñưFc s]p x9p theo th; tQ
kh i ñ7u là các nguyên lý và ñ0nh lu t, h th/ng phương trình maxwell, sau ñó
tri&n khai ;ng dHng các nguyên lý và ñ0nh lu t này cho trư ng ñi n t tĩnh và
d ng, các phương pháp gi)i các bài toán trư ng ñi n t , trư ng ñi n t bi9n
thi9n, sóng ñi n t , ñư ng truy n sóng, /ng dU

Đi t cH th& ñ9n t4ng quát và tr v cH th&:

Trong cách ti9p c n này, cIu trúc chương trình môn h c ñi ngay vào phân tích
trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong chân không, thông qua ñó ñưa vào các nguyên
lý, ñ0nh lu t, phương trình. Sau ñó phân tích trư ng ñi n t trong các môi trư ng
Giáo trình Trư ng ñi n t

ThS. Đoàn Hoà Minh


L i nói ñ u

chIt: ñi n môi, t môi và v t dnguyên lý, ñ0nh lu t thành h phương trình Maxwell cho trư ng ñi n t tĩnh và
d ng. Bư*c k9 ti9p là hình thành các khái ni n ñi n trư ng xoáy và dòng ñi n
d0ch, thông qua ñó thành l p h phương trình Maxwell cho trư ng ñi n t bi9
thiên. T*i ñây, trư ng ñi n t ñã ñưFc xây dQng thành m t h th/ng hoàn ch@nh
ñJ ñ& v n dHng vào vi c phân tích quá trình truy n sóng ñi n t trong các nôi

trư ng chIt và các ;ng dHng khác.
Vi c ch n lQa n i dung và cách ti9p c n tùy thu c vào chuyên ngành và mHc tiêu
môn h c. Giáo trình này ñưFc biên so+n chJ y9u cho các chuyên ngành K thu t
ñi n, Đi n t#, Vi$n thông và K thu t ñi u khi&n. Đ& ngư i h c không b ng ,
d$ ti9p thu và có th& t n dHng th i gian dành cho môn h c, nhưng vñJ lưFng ki9n th;c và rèn luy n ñưFc các k năng c7n thi9t cho sinh viên cJa các
chuyên ngành này, chúng tôi ch n cách ti9p c n th; hai và ch n m t n i dung t/i
thi&u cho giáo trình. Giáo trình bao gOm 5 chương và các phHc lHc:
Chương 1: Lý thuy9t trư ng. Chương này nhdm ôn l+i các ki9n th;c toán h c và
k năng c7n thi9t cho môn h c, hình thành khái ni m t4ng quát v trư ng ñi n t ,
làm n n t)ng cho các chương sau.
Chương 2: Trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong chân không. Chương này nhdm
hình thành các khái ni m, các nguyên lý, ñ0nh lu t cơ b)n v trư ng ñi n t ; gi*i
thi u các phương pháp và rèn luy n k năng gi)i các bài toán v trư ng ñi n t .
Chương 3: Trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong các môi trư ng. Chương này nhdm
phân tích cho ngư i h c hi&u ñưFc sQ tương tác gi8a trư ng ñi n t và các môi
trư ng chIt. Khái quát hóa các khái ni m và các ñ0nh lu t v trư ng ñi n t trong
m i trư ng chIt. T ñó t4ng k9t thành h phương trình Maxwell cho trư ng ñi n
t tĩnh và d ng.
Chương 4: Trư ng ñi n t bi9n thiên. Chương này hình thành các khái ni m ñi n
trư ng xoáy, dòng ñi n d0ch và xây dQng h phương trình Maxwell cho trư ng
ñi n t bi9n thiên.
Chương 5: Sóng ñi n t . Đây là chương quan tr ng vì có nhi u ;ng dHng trong
chuyên ngành, kh)o sát sóng ñi n t truy n trong các môi trư ng ñi n môi và
dCác phH lHc nhdm ôn l+i m t s/ ki9n th;c toán h c c7n thi9t như: các h t a ñ
trQc chuhn, trH và c7u; sQ chuy&n ñ4i gi8a các h t a ñ ; vi phân ñư ng, vi phân
mit, vi phân kh/i trong các h t a ñ ; các toán t# Gradient, Divergence, Curl
trong các h t a ñ …
Đ& rút ng]n ph7n lý thuy9t, các phương pháp gi)i các bài toán trư ng ñi n t

ñưFc hình thành trong ph7n bài t p. Ph7n ki9n th;c v ñư ng truy n truy n sóng,
/ng dsóng.
Tuy ñã có nhi u năm kinh nghi m trong gi)ng d+y môn Trư ng ñi n t , nhưng
sau khi hoàn thành giáo trình này, tôi vthi9u sót. Tôi mong nh n ñưFc ý ki9n ñóng góp cJa quí th7y, cô, cJa sinh viên và
các b+n ñ c ñ& ti9p tHc c p nh t và hoàn ch@nh giáo trình.
Giáo trình Trư ng ñi n t

ThS. Đoàn Hoà Minh


L i nói ñ u

Xin chân thành cám ơn quí th7y cô trong b môn Vi$n thông và K thu t ñi u
khi&n, khoa Công ngh Thông tin và Truy n thông ñã giúp ñn tôi hoàn thành
giáo trình này.
Đic bi t cám ơn K sư Nguy$n cao Quí ñã ph)n bi n và giúp ñ tôi trong vi c
s#a lpi và in In giáo trình.
Tác gi)
ĐOÀN HÒA MINH

Giáo trình Trư ng ñi n t

ThS. Đoàn Hoà Minh


Trang

M Đ U

M
0.1.

1

Đ U

GI I THI U MÔN H C TRƯ NG ĐI N T
Mã môn: TH525
S ĐVHT: 3
S ti%t: 45

0.1.1. M'c tiêu
Trư ng ñi n t là m t môn h c cơ s cho nhi u ngành khoa h c k thu t như V t lý, Đi n
k thu t, Đi n t$, Vi%n thông, K thu t ñi u khi'n,…m)c tiêu chính c,a môn h c là giúp
cho sinh viên “ có ki%n th/c cơ b2n v4 trư7ng ñi:n t; và sóng ñi:n t; m>t cách có h:
th ng; vAn d'ng ñưCc các phương pháp phân tích, tính toán v4 trư7ng và sóng ñi:n
t; trong chuyên ngành”. Đ' ñ1t ñư2c m)c tiêu này, sinh viên c4n ph5i th6a mãn các yêu
c4u c) th' sau:
Có các k năng toán h c c4n thi=t: vi tích phân, hình h c gi5i tích, ñ1i s@ tuy=n
tính, hàm bi=n phBc,... và các ki=n thBc cơ b5n v v t lý ñ1i cương.
Hi'u và v n d)ng ñư2c các khái ni m, ñEnh lý, mô hình v lý thuy=t trư ng nói
chung và trư ng ñi n t nói riêng.
Có kh5 năng h th@ng hóa toàn b ki=n thBc v trư ng ñi n t bao gFm: các khái
ni m ñGc trưng cho trư ng ñi n t và dòng ñi n; các ñEnh lu t và ñEnh lý v
trư ng ñi n t ; sJ hình thành trư ng ñi n, trư ng t , dòng ñi n và các thông sF
ñGc trưng cho sJ tương tác giKa trư ng ñi n t vLi các môi trư ng chMt như ñi n
môi, t môi, v t dNn.
Hi'u ñư2c cơ ch= hình thành sóng ñi n t , thành l p ñư2c phương trình truy n

sóng trong các môi trư ng và v n d)ng chúng ñ' gi5i các bài toán v sJ truy n
sóng trong các môi trư ng chMt.
Có kh5 năng tOng h2p các phương pháp gi5i các bài toán v trư ng ñi n t và
sóng ñi n t như v n d)ng các ñEnh lu t Coulomb, AmpereRBiotRSavart, Gauss,
Ampere lưu s@, Faraday, ñEnh lý UmopRPoynting,…; v n d)ng các phương trình
Poisson, Laplace và các ñi'u ki n b , h phương trình Maxwell dưLi các d1ng
tích phân, vi phân (ñi'm) và phasor; và m t s@ phương pháp ñGc bi t khác.
Có kh5 năng gi5i các bài toán sóng truy n trong v t dNn, truy n qua nhi u môi
trư ng có các thông s@ ñi n t khác nhau. Có kh5 năng phân tích các hi n tư2ng
ph5n x1, khúc x1 và sóng ñBng.
0.1.2. Ki%n th/c n4n:

STT

N>i dung ki%n th/c n4n

1

Vi tích phân A1 & A2

2

Đ1i s@ tuy=n tính

3

Hàm bi=n phBc

Giáo trình Trư ng Đi n T

Tiên
quy=t
X
X

M/c ñ> yêu cLu
V n d)ng khái V n d)ng k năng/
ni m/ mô hình
phương pháp
X
X
X

X

X

X

ThS. Đoàn Hoà Minh


Trang

M Đ U

4

Hình h c gi5i tích

5

Cơ nhi t ñ1i cương

6

Đi n & quang ñ1i cương

7

V t lý lư2ng t$

8

Toán k thu t

X

X
X

X
X

X

X

X

X

X

X

X

X

2

0.1.3. N>i dung cMa môn hOc:
Ôn t p: các h t a ñ trJc chukn, tr) và c4u; sJ chuy'n ñOi t a ñ ñi'm và bi'u di%n
các vectơ trong các h t a ñ ; bi'u di%n các vi phân dài, vi phân mGt và vi phân kh@i
trong các h t a ñ ;
Lý thuy=t trư ng và khái ni m tOng quát v trư ng ñi n t .
Trư ng ñi n tĩnh và trư ng t d ng trong chân không.
Trư ng ñi n tĩnh và trư ng t d ng trong các môi trư ng chMt.
Trư ng ñi n t bi=n thiên.
Sóng ñi n t phmng trong chân không và trong các môi trư ng chMt.
Các phương pháp gi5i các bài toán v trư ng ñi n t và sóng ñi n t (thJc hi n và
tOng k=t thông qua vi c gi5i bài t p, không trình bày trong ph4n lý thuy=t).
0.2. PHƯƠNG PHÁP H C VÀ THI
HưLng tLi các phương pháp d1y h c lMy sinh viên làm trung tâm:
ĐGc vMn ñ và cùng gi5i quy=t vMn ñ trên lLp.
GV cho trình bày trên lLp các khái ni m, nguyên lý, ý tư ng. SV tJ h c các n i
dung có tính suy lu n và Bng d)ng.
Ki'm tra vMn ñáp ñ4u các buOi h c.
Cho ñEnh n i dung SV ph5i chukn bE cho buOi h c k= ti=p.

Thi tJ lu n hoGc làm bài t p lLn, có tính ñi'm ki'm tra thư ng xuyên trên lLp.
0.3.TÀI LI U THAM KHVO
Tài li:u tham kh2o chính:
[1] Đoàn Hòa Minh – GIÁO TRÌNH TRƯzNG ĐI{N T| – ĐHCT – 2006.
[2] Richard E.DuBroff…. Electromagnetic Concepts and ApplicationsR Prentice Hall
International, Inc.
Tài li:u tham kh2o thêm:
[1]. Ngô NhAt Vnh_ Trương TrOng Tu`n Ma R Trư ng Đi n T R Trư ng ĐHKT
TPHCMR2000.
[2]. Ki4u Khbc Lâu – Lý Thuy=t Trư ng Đi n T R NXB Giáo D)cR1999.
[3]. Nguycn Bình Thành_ Nguycn TrLn Quân_ Lê Văn B2ng R C S Lý Thuy=t
Trư ng Đi n T R NXB ĐH&THCNR1969.
[4]. Nguycn Đình Trí – Th Quang Đĩnh – Nguycn Hj Quỳnh – Toán h c cao
cMp – NXB Giáo D)c R 2003
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hoà Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

3

Chương 1

LÝ THUY T TRƯ NG
M c tiêu:
Chương này giúp cho ngư i h c:

− Hi u ñư c các khái ni n chung v trư ng vô hư ng và trư ng vectơ.
− Ôn l%i m't s) ki*n th+c và rèn luy n các k- năng toán h c c/n thi*t, làm n n
t1ng cho các chương sau.
− Hình thành khái ni m chung v trư ng ñi n t4, hi u v5n d7ng ñư c m't s) ñ%i
lư ng ñ8c trưng cơ b1n c:a trư ng ñi n t4.
Ki
−
−
−

n th c n n:
Các ki*n th+c và k- năng toán h c ñã yêu c/u = ph/n m= ñ/u.
Các ki*n th+c v5t lý ñ%i cương.
Xem các ph7c l7c.

1.1. TRƯ NG VÔ HƯ)NG (Scalar field)
1.1.1. Đ"nh nghĩa:
Trư ng vô hư ng là m t ph n không gian mà t i m i ñi m c a nó tương ng m t ñ i
lư ng vô hư ng xác ñ"nh (bi u di'n b(ng m t con s+).
Ví d7: B SD phân b) nhi t trong m't v5t th .
B Trư ng ñi n th*.
M't trư ng vô hư ng hoàn toàn xác ñInh n*u ta có hàm c:a trư ng:
u = u(x,y,z) = u( r ) = u(M) xác ñInh trong mi n không gian

.

M là ñi m ñư c xác ñInh b=i các t a ñ' x,y,z ho8c vectơ r trong h qui chi*u vuông góc
(dĩ nhiên, cũng có th xác ñInh bRng các t a ñ' tr7 ho8c c/u).
Nói cách khác, t%i m i ñi m M trong mi n
u(M).

tương +ng v i m't giá trI xác ñInh c:a hàm

N*u mi n xác ñInh là m't m8t phTng P, khi ñó hàm c:a trư ng là hàm 2 bi*n:
u = u(x,y) = u( r ) = u(M), v i M ∈ P, ta có m't trư ng phTng.
Sau ñây, ta chW nghiên c+u các trư ng vô hư ng mà giá trI c:a hàm u(M) không ph7
thu'c vào th i gian t, v i m i ñi m M(x,y,z), g i là trư ng .n ñ"nh hay trư ng d/ng.

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

4

1.1.2. M2t ñ4ng tr" (Level surface)
Xét m't trư ng vô hư ng u = u(x,y,z) xác ñInh trong mi n . Qu1 tích nh3ng ñi m mà
t i ñó giá tr" c a trư ng b(ng m t h(ng s+ C nào ñó ñư c g5i là m6t ñ7ng tr" c a trư ng
ng v i giá tr" C.
T4 ñInh nghĩa trên, ta có phương trình c:a m8t ñTng trI là:
u(x,y,z) = C

(1.1)

Ví d7: B M8t ñTng nhi t.
B M8t ñTng th*.

Đ)i v i trư ng phTng, qu- tích nh\ng ñi m có trI c:a trư ng bRng nhau g i là ñư ng
ñTng trI, có phương trình là:
u(x,y) = C

(1.2)

1.1.3. Gradient
1.1.3.1. Đ"nh nghĩa Gradient: T%i m]i ñi m trong trư ng vô hư ng cho b=i hàm
u=u(x,y,z) n*u ta xác ñInh ñư c m't vectơ G = G(M) có các thành ph/n là:
 ∂u ∂u ∂u 
 , , 
 ∂x ∂y ∂z 

(1.3)

G ñư c g i là Gradient c:a trư ng t%i ñi m M. Ký hi u là gradu . V5y:
grad u =

∂u
∂u
∂u
i+
j+
k
∂z
∂x
∂y

(1.4)

v i i , j , k l/n lư t là các vectơ ñơn vI trên các tr7c x, y, z. Rõ ràng ta thcy grad u ph7
thu'c ñi m M. V5y t8i m:i ñi;m cng.
1.1.3.2. Vi phân toàn phFn cTrong m't trư ng vô hư ng, t4 m't ñi m M( r ) ta di chuy n ñ*n ñi m M'( r ), gi1 se 2
ñi m này rct g/n nhau, khi ñó ño%n dIch chuy n có th bi u difn bRng vectơ d hư ng t4
M ñ*n M' (hình 1.1), ta có:
dr = r' B r =

+ jdy + k dz

i dx
z

(1.5)

M dr
M

r
r'

C

C’

y

x

Hình 1.1

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

5

Nói chung, M và M' nRm trên 2 m8t ñTng trI khác nhau, nghĩa là khi ñi t4 M ñ*n M' giá
trI c:a trư ng thay ñii m't lư ng là:
du( r ) = C' B C

(1.6)

k ñây C' và C là 2 hRng s) +ng v i 2 m8t ñTng trI ch+a M và M' , và du( r ) chính là vi
phân toàn ph%n c:a trư ng vô hư ng.
V m8t toán h c ta có th vi*t:
du (r ) =

∂u (r )
∂u (r )
∂u (r )
dx +
dy +
dz

∂x
∂y
∂z

(1.7)

Đây chính là tích vô hư ng c:a 2 vectơ grad u( r ) và d r , ta vi*t l%i:
du (r ) = gradu (r ).d r

(1.8)

1.1.3.3. Đ8o hàm theo hư?ng (Directional Derivatives)
G i t là vectơ ñơn vI theo hư ng t4 M ñ*n M' , dl là kho1ng cách t4 M ñ*n M', ta có:
d r = dl t .

(1.9)

Bi u th+c (1.8) ñư c vi*t l%i:
du (r ) = [ gradu (r ).t ]dl

(1.10)

Đ%o hàm theo hư ng c:a trư ng vô hư ng u( r ) là:
∂u (r )
= gradu (r ).t
∂l

(1.11)

∂u (r )

∂u (r )
ph7 thu'c vào hư ng t , giá trI c:a
bi u difn t)c ñ' bi*n thiên
∂l
∂l
c:a hàm u( r ) t%i ñi m M khi di chuy n theo hư ng t .

Nói chung

T4 pt(1.11) ta thcy rRng: ñ'o hàm theo hư*ng c,a trư ng u( r ) ñúng b1ng hình chi u
c,a vectơ grad u( r ) theo hư*ng ñó.
1.1.3.4. TJc ñA bi n thiên cLc ñ8i cHình1.2 vs gradient c:a u( r ) = ñi m M v i m't ñư ng thTng ñi qua theo m't hư ng bct
kỳ t . G i α là góc gi\a t và grad u( r ) = ñi m M. Phương trình (1.11) có th vi*t l%i:
∂u (r )
= gradu (r ).t = gradu (r ) t cos(α ) = gradu (r ) cos(α )
∂l

(1.12)

Rõ ràng, t4 phương trình này, ta thcy t3c ñ4 bi n thiên c,a trư ng vô hư*ng (chính là
giá tr" c a ñ o hàm theo hư ng) có giá tr7 c8c ñ'i khi α = 0, nghĩa là khi t cùng
hư*ng v*i grad u( r ).

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

6

Ý nghĩa: Vectơ Gradient t%i m]i ñi m trong trư ng vô hư ng u cho bi*t phương mà d c
theo phương cy t)c ñ' bi*n thiên c:a trư ng có giá trI tuy t ñ)i cDc ñ%i.

1.1.3.5. Hư?ng cTrư ng h p M và M’ cùng nRm trên m't m8t ñTng trI, khi ñó vectơ d r có phương là ti*p
tuy*n v i m8t ñTng trI t%i M và:
du (r ) = gradu (r ).d r = u ( M | ) − u ( M ) = 0

(1.13)

Tích vô hư ng gi\a 2 vectơ grad u( r ) v i d r bRng 0 ch+ng tw rRng chúng vuông góc v i
nhau, nhgĩa là: Gradient c,a m4t trư ng u t'i mAi ñiBm M luôn cùng hư*ng v*i pháp
tuy n c,a mCt ñDng tr7 ñi qua ñiBm ñó (Hình 1.2).
1.1.3.6. Tích phân ñư=ng cGradient c:a m't trư ng vô hư ng là m't vectơ, tích phân ñư ng c:a nó là:

∫

b

a

b
b  ∂u ( r ) 
gradu (r ).d l = ∫ [gradu (r ).t ]dl = ∫ 

 dl = u (r )
a
a
 ∂l 

b

− u (r )

a

(1.14)

Pt(1.14) cho phép ta tính tích phân ñư ng c:a Gradient c:a m't trư ng vô hư ng bRng
hi u s) giá trI c:a trư ng u( r ) = ñi m cu)i và ñi m ñ/u c:a ñư ng cong ñó.
1.2. TRƯ NG VECTƠ (Vector field)
1.2.1. Đ"nh nghĩa :
Trư ng vectơ là m t ph n không gian mà tương ng t i m i ñi m c a nó có m t ñ i
lư ng vectơ xác ñ"nh (bi u ñi'n bVí d7: B Đi n trư ng; t4 trư ng.
B Trên m't dòng nư c ch1y (v5n t)c không ñii theo th i gian), t%i m]i ñi m
trong dòng nư c cũng có m't vectơ v5n t)c xác ñInh. V5y trư ng v5n t)c dòng nư c
cũng là m't trư ng vectơ.
M't trư ng vectơ hoàn toàn xác ñInh n*u ta bi*t hàm vectơ c:a trư ng:
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

V = V (x,y,z) = V ( r ) = V (M)

7

(1.15)

k ñây, M ∈ và t a ñ' c:a M ñư c bi u difn bRng các thành ph/n x, y, z ho8c r . Trong
h qui chi*u vuông góc ta có th bi u difn:
V = P(x,y,z) i + Q(x.y,z) j + R(x,y,z) k

(1.16)

Sau ñây ta chW xét các trư ng vectơ dRng hay Sn ñ"nh t+c là nh\ng trư ng vectơ mà hàm
V (x,y,z) c:a nó không ph7 thu'c th i gian t.
N*u mi n xác ñInh c:a hàm V (x,y,z) là m't mi n phTng P và V chW ph7 thu'c 2 bi*n x,
y , ta có m't trư=ng ph4ng.
1.2.2. Đư=ng dòng:
Trong m't trư ng vectơ, ñư ng dòng c a trư ng là các ñư ng cong C mà m5i ti>p ñi m
trên ñư ng cong ñó, ti>p tuy>n c a nó cùng phương v i vectơ c a trư ng t i ñi m ñó
(hình 1.3).

Ví d7: B Các ñư ng s+c trong ñi n trư ng hay t4 trư ng.
B Đư ng dòng ch1y c:a dòng nư c.
Chi u c:a ñư ng dòng là chi u c:a vectơ trư ng t%i m]i ñi m.
1.2.3. Thông lưUng (Flux)
1.2.3.1. MCt ñ7nh hư*ng.
Xét m't m8t cong có tên và di n tích là S, n*u m8t S không kín nó có phía l|i và phía

lõm, n*u m8t S kín nó có phía trong và phía ngoài.
M6t cong S trên ñó ñã ch5n m t phía xác ñ"nh, b(ng cách chG rõ pháp tuy>n dương tương
ng c a nó, g5i là m6t ñ"nh hư ng.
Ta qui ư c pháp tuy*n dương c:a m8t S t%i m't ñi m M trên m8t S là pháp tuy*n hư ng
ra phía l|i ñ)i v i m8t không kín và hư ng ra phía ngoài ñ)i v i m8t kín. N*u S là m8t
phTng thì chi u pháp truy*n dương là chi u c7 th mà ta ph1i chW ra.
1.2.3.2. Đ7nh nghĩa thông lưHng.
Xét m't m8t S trong m't trư ng vectơ V , t%i m]i ñi m M(x,y,z) trên S tương +ng m't
vectơ V (M) = V (x,y,z) = V ( r ).
Trư c tiên, ta gi1 se S là m't m8t phTng v i pháp tuy*n dương là n và vectơ V không
ñii trên m8t S. Thông lư ng qua m8t S, ký hi u là Φ ñư c ñInh nghĩa b=i bi u th+c:
Φ = S.| V |.cos( n , V ) = V . S
Giáo trình Trư ng Đi n T

(1.17)
ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

8

k ñây, vectơ S = S. n là vectơ ñ8c trưng cho m8t ñInh hư ng S. Sau này, khi ñ c8p ñ*n
m't m8t ñInh hư ng S, ta chW c/n nói m8t S là ñ:.
Bây gi , gi1 se S là m't m8t cong và V bi*n thiên theo M, trong h qui chi*u vuông
góc, ta bi u difn V dư i d%ng:
V = P(x,y,z) i + Q(x.y,z) j + R(x,y,z) k

(1.18)

Ta chia m8t S ra thành n m1nh vô cùng nhw nhw không d}m lên nhau. G i tên và c1 di n
tích c:a các m1nh cy là dS1 ,..., dSn. N*u các m1nh dSi ñ: nhw, sao cho có th coi chúng
như các m8t phTng và vectơ V tương +ng v i m i ñi m trên dSi là không ñii. Do ñó
thông lư ng dΦi qua m8t dSi xcp xW bRng
:
dΦi ≈ d S i.| V (Mi)| cos( n (Mi), V (Mi)) = V (Mi).d S i
Trong h t a ñ' trDc chu•n dS i = dydz. i + dxdz. j + dxdy.k , khai tri n tích vô hư ng ta
ñư c:
dΦi ≈ P(xi,yizi)dydz + Q(xi,yizi)dzdx + R(xi,yizi)dxdy

(1.19)

và thông lư ng c:a V (M) ñi qua m8t S là:
n

n

i =1

i =1

Φ ≈ ∑ Φ i = ∑ P(x i , y i , z i )dydz + Q(x i , y i , z i )dzdx + R(x i , y i , z i )dxdy

(1.20)

Phép tính g/n ñúng này càng chính xác n*u n càng l n và các m1nh dSi càng nhw. Do ñó,
n*u n →∞ , tương +ng dSi → 0 và v* ph1i c:a pt(1.20) d/n t i m't gi i h%n xác ñInh
không ph7 thu'c cách chia m8t phTng S và cách ch n ñi m M trên dSi thì gi i h%n ñó

bRng thông lư ng qua m8t S. Trong toán h c, gi i h%n trên chính là tích phân mCt lo'i
hai c,a 3 hàm P(x,y,z); Q(x,y,z) và R(x,y,z) trên mCt S, ký hi u là:
Φ = ∫∫ P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy = ∫∫ Vd s
S

(1.21)

S

Ngư i ta ch+ng minh ñư c rRng, n*u S là m8t ñInh hư ng, liên t7c và có pháp tuy*n bi*n
thiên liên t7c, n*u các hàm P; Q; R liên t7c trên m8t S thì t|n t%i tích phân lo%i hai (1.21).
1.2.4. Đ"nh lý GreenYĐ"nh lý StokesYĐ"nh lý Ôxtrôgratxki
Các ñInh lý này ñã ñư c ch+ng minh trong giáo trình toán cao ccp [4], nên = ñây ta chW
nh€c l%i, không ch+ng minh, nh/m ñ v5n d7ng trong các ph/n sau.
1.2.4.1. Đ7nh lý Green.
ĐInh lý Green bi u difn m)i quan h gi\a tích phân ñư ng lo%i hai d c theo m't ñư ng
cong kín L và tích phân kép trong mi n D phTng gi i h%n b=i ñư ng L.
Đ"nh lý: N>u các hàm P(x,y), Q(x,y) và các ñ o hàm riêng cKp m t c a chúng liên tMc
trong miNn D thì ta có công th c:
∂Q

∂P

∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy
D

(1.22)

L

trong ñó L là biên c a miNn D, tích phân d5c theo L lKy theo hư ng dương (ngư c chiNu
kim ñSng hS).
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

9

Ta cũng có ñInh lý rRng: N>u P(x,y), Q(x,y) liên tMc cùng v i các ñ o hàm riêng cKp m t
c a chúng trong m t miNn ñơn biên D, thì ñiNu kiTn Ut có và ñ ñ tích phân ñư ng
∫ Pdx + Qdy trong ñó AB là ñư ng n(m trong D, không phM thu c ñư ng lKy tích phân,
AB

trong miNn D ta có:
∂P ∂Q
=
∂y ∂x

(1.23)

Pt(1.23) cũng là ñi u ki n €t có và ñ: ñ bi u th+c Pdx + Qdy là vi phân toàn ph/n c:a
m't hàm u(x,y) nào ñó trong mi n D.
1.2.4.2. Đ7nh lý Stokes
ĐInh lý Stokes bi u difn m)i quan h gi\a tích phân ñư ng lo%i hai d c theo m't ñư ng
cong kín L và tích phân m8t trên di n tích S (phTng ho8c cong) có biên là ñư ng L. Nó là

sD m= r'ng c:a ñInh lý Green.
Đ"nh lý: N>u các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñ o hàm riêng cKp m t c a
chúng liên tMc trên m6t S thì ta có công th c:
 ∂R

∂Q 

 ∂P

∂R 

 ∂Q

∫∫  ∂y − ∂z dydz +  ∂z − ∂x dxdz +  ∂x

−

∂P 
dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂y 
L

(1.24)

trong ñó L là biên c a m6t S, chiNu lKy tích phân trên L ñư c ch5n sao cho m t ngư i
ñ ng trên S, hư ng c a pháp tuy>n dương ñi t/ chân ñ>n ñ u nhìn thKy chiNu trên L là
ngư c chiNu kim ñSng hS.
N*u S là m't m8t phTng song song v i m't m8t phTng t a ñ', chTn h%n n*n S song song
v i m8t phTng Oxy, ta có z = hRng s), nên dz = 0. Khi ñó, pt(1.24) tr= thành phương trình
(1.22).

1.2.4.3. Đ7nh lý Ostrogradski
ĐInh lý Ostrogradski bi u difn m)i quan h gi\a tích phân b'i ba và tích phân m8t .
Đ"nh lý: N>u các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñ o hàm riêng cKp m t c a
chúng liên tMc trên miNn V thì ta có công th c:
 ∂P

∂Q

∫∫∫  ∂x + ∂y

+

W

∂R 
dxdydz = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
∂z 
S

(1.25)

trong ñó S là biên c a miNn V, tích phân m6t lKy theo m6t ngoài c a S (Vectơ pháp tuy>n
dương hư ng ra ngoài).
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

10

1.2.5. Divergence.
Gi1 se cho m't trư ng vectơ xác ñInh b=i hàm vectơ: V = Vx i + Vy j + Vz k . Xét m't
m8t cong hai phía trong trư ng cy, thông lư ng qua m8t cong S ñư c xác ñInh b=i công
th+c (1.21), ta vi*t l%i:
Φ = ∫∫ (Vx dydz + Vy dzdx + Vz dxdy)
(1.26)
S

Trư ng h p S là m't m8t cong kín, n*u ch n pháp tuy*n dương n hư ng ra ngoài thì:
Φ = ∫∫ (Vx dydz + Vy dzdx + Vz dxdy) = ∫∫ Vn ds =
S

S

∫∫V ds

(1.27)

S

trong ñó, Vn là hình chi*u c:a vectơ V lên hư ng n , Φ là m't s) ñ%i s).
Đ thcy rõ ý nghĩa c:a thông lư ng, ta xét trư ng h p V là trư ng v5n t)c dòng nư c,
thì Φ ñ8c trưng lưu lư ng c:a lu|ng nư c qua m8t cong S.
G i W là mi n gi i h%n b=i m8t cong S, theo ñInh lý Ôxtrôgratxki ta ñư c:
∂Vy ∂Vz 
 ∂V

dxdydz
+
Φ = ∫∫ Vx dydz + Vy dzdx + Vz dxdy = ∫∫∫  x +

∂
∂
∂
x
y
z

S
W 

(1.28)

Đ"nh nghĩa Dirvergence:
T%i m]i ñi m M(x,y,z) c:a trư ng tương +ng m't ñ%i lư ng vô hư ng
 ∂V x ∂V y ∂V z 


 ∂x + ∂y + ∂z  , ñ%i lư ng này g i là Divergence c,a V t'i ñiBm M, ký hiTu là:



div V (M). V5y:
 ∂V x

Div V (M) = 

 ∂x

+

∂V y
∂y

+

∂V z
∂z






(1.29)

Công th+c (1.28) ñư c vi*t l%i:
Φ = ∫∫ Vx dydz + Vy dzdx + Vz dxdy = ∫∫∫ divVdxdydz
S

Vi*t g n l%i:

(1.30a)

W

Φ = ∫∫ VdS = ∫∫∫ divVdW

S

(1.30b)

W

pt(1.30a) và (1.30b) chính là n'i dung c:a ñInh lý Divergence.
1.2.6. Trư=ng Jng:
Y Đi;m ngu[n: Gi1 se div V (M) > 0, vì div V (M) liên t7c, ta có th tìm m't mi n lân
c5n khá bé c:a M, trong ñó div V > 0. Gi1 se W là m't mi n trong lân c5n ñó và S là
biên c:a nó. T4 pt(1.30) ta suy ra thông lư ng Φ qua m8t S theo chi u t4 trong ra ngoài
là m't s) dương. Nói cách khác, thông lư ng ñi vào m8t S ít hơn thông lư ng xuct phát
t4 M ñi ra qua m8t S. Đi m M lúc ñó ñư c g i là ñi m ngu|n.

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

11

Y Đi;m rò: N*u div V (M) < 0 thì thông lư ng qua m8t S theo hư ng ñi vào l n hơn ñi ra.
Trư ng h p này, M là ñi m rò.
Đ thcy rõ ý nghĩa c:a divergence, ta kh1o sát m't lu|ng nư c ch1y. Ta hình dung có
m't m8t cong kín trong lu|ng nư c, kh1o sát lư ng nư c vào và ra xuyên qua m8t kín ñó.
N*u m8t kín có bao b c m't ñi m ngu|n nư c, thì lư ng nư c ch1y ra nhi u hơn lư ng

nư c ch1y vào (div V > 0); còn n*u m8t kín có l] rò thì lư ng nư c ch1y vào nhi u hơn
lư ng nư c ch1y ra; n*u m8t kín không có ñi m ngu|n và cũng không có l] rò thì lư ng
nư c ñi vào ss bRng lư ng nư c ñi ra khwi m8t kín.
Y Trư=ng Jng: M't trư ng vectơ V = {Vx, Vy, Vz} mà m\i ñi;m ñ u có div V =0 ñư c
g i là trư ng )ng. Nói cách khác, trư ng )ng là m't trư ng vectơ không có ñi m ngu|n
và ñi m rò.
Đ hi u ý nghĩa c:a khái ni m trư ng )ng, ta xét m't )ng dòng, t+c là ph/n không gian
gi i h%n b=i m8t cong sinh b=i các ñư ng dòng tDa lên biên c:a m't m8t S1 nào ñó. Đ)i
v i m't lu|ng nư c ch1y thì )ng dòng chính là m't dòng nư c (chTng h%n, dòng nư c t4
m't vòi nư c ch1y ra). G i S2 là m't ti*t di n khác c:a )ng dòng, còn m8t xung quanh
)ng dòng là S0. G i S là m8t cong kín t%o b=i S0, S1 và S2 (Hình1.5).

Vì trong )ng div V = 0, nên:
Φ = ∫∫ (Vx dydz+ Vy dzdx + Vz dxdy)= ∫∫ Vn ds = ∫∫ Vn ds + ∫∫ Vn ds + ∫∫ Vn ds = ∫∫∫divVdxdydz= 0
S

S

S0

S1

S2

W

Trên m8t S0 m i pháp tuy*n ñ u vuông góc v i ti*p tuy*n c:a m8t, và cũng vuông góc
v i V (do tính chct c:a ñư ng s+c) cho nên luôn luôn có Vn = 0. V5y:

∫∫ V ds = 0

n

S

T%i S2, ta thay th* pháp tuy*n ngoài (hư ng ra) b=i pháp tuy*n trong (hư ng vào), Vn ñii
thành BVn và S2 ñii thành S2B , ta có:

∫∫ V ds − ∫∫ V ds = 0
n

S1

n

S−2

hay

∫∫ V ds = ∫∫ V ds
n

S1

n

S−2

V5y, trong m't )ng dòng, thông lư ng tính theo chi u c:a ñư ng dòng (chi u c:a vectơ
ti*p tuy*n v i ñư ng dòng) qua m i ti*t di n c:a )ng ñ u không ñii n*u trư ng vectơ ñã
cho là trư ng )ng. Thông lư ng vào = ñ/u này c:a )ng luôn luôn bRng v i thông lư ng

ra = ñ/u kia. Trong )ng không có sD tăng thông lư ng (không có ñi m ngu|n) và cũng
không có sD gi1m năng lư ng (không có ñi m rò).
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

12

1.2.7. Lưu sJ (Circulation) và vectơ xoáy (Curl)
L%i xét m't trư ng vectơ xác ñInh b=i hàm vectơ:

V = Vx i + Vy j + Vz k = P i + Q j + R k
và L là m't ñư ng cong kín trong trư ng.
Lưu s+ c a vectơ V d5c theo ñư ng cong kín L là:
C = ∫ V.dl

(1.31)

L

G i d l là vectơ nRm theo hư ng ti*p tuy*n dương c:a L có các thành ph/n là dx, dy, dz.
d l = dx i + dy j + dz k , và:

Ta có:

C = ∫ Pdx + Qdy + Rdz

(1.32)

L

G i S là m't m8t cong bct kỳ có biên là L; theo công th+c Stokes, ta có:
C = ∫ Pdx+ Qdy+ Rdz= ∫∫ ∂R − ∂Qdydz+  ∂P − ∂R dxdz+  ∂Q − ∂P dxdy




∂y
S

L

∂z 

 ∂z

∂x 

 ∂x ∂y 

(1.33)

T%i m]i ñi m M trong trư ng, ta có tương +ng m't vectơ Ro có các thành ph/n là:
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
−

;
−
;
−
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Pt(1.33) ñư c vi*t l%i:

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ Ro ds = ∫∫ Ro.ds
n

L

S

(1.34)

S

Trong ñó, Ron là chi*u c:a Ro xu)ng phương pháp tuy*n n , Vectơ Ro g i là vectơ xoáy
(curl) hay Rota (Rotary) c a trư ng V , ký hiTu rot V . V5y:
rotV = (

∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
−
)i + ( − ) j + (
− )k
∂y ∂z

∂z ∂x
∂x ∂y

(1.35)

Công th+c (1.34) có th phát bi u thành ñInh lý: lưu s+ c a vectơ V d5c theo m t ñư ng
cong kín L ñúng b(ng thông lư ng c a rot V qua m t m6t cong nào ñó gi i h n bTa có:

C = ∫ Vd l = ∫∫ rotVdS
L

(1.36)

S

N*u rot V ≠ 0 thì ñi m M g i là ñi m xoáy c:a trư ng. N*u rot V = 0 thì ñi m M g i
là ñi m không xoáy.
hi u ý nghĩa c:a rot V ta hãy kh1o sát m't lu|ng nư c ch1y. Tích phân
∫ Pdx + Qdy + Rdz bi u thI công sinh ra khi ñi d c theo ñư ng cong L. Trong m't lu|ng

Đ
L

nư c bình thư ng, công ting c'ng sinh ra khi ñi d c theo m't ñư ng cong kín bRng 0, vì
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh

Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

13

công sinh ra khi ñi “thu5n chi u” lu|ng nư c bRng v i công c1n khi ñi d c theo ph/n
“ngư c chi u” lu|ng nư c (hình 1.6).

N*u trong lu|ng nư c có m't xoáy nư c t%i ñi m M và L là m't ñư ng cong kín khá bé
bao quanh M, thì ta thcy ngay, công ñó không tri t tiêu: n*u ñi theo L thu5n chi u xoáy
thì sinh ra m't công dương, còn n*u ñi ngư c chi u xoáy thì sinh ra m't công âm.
M't trư ng vectơ mà t%i m i ñi m ñ u có rot V = 0 g i là m t trư ng th> hay trư ng
không xoáy.
Trong v`t lý ñ i cương ta ñã bi>t tr5ng trư ng là m t trư ng th> vì công c a lac tr5ng
trư ng sinh ra d5c theo m5i ñư ng cong kín ñNu b(ng 0.
ĐiNu kiTn Ut có và ñ ñ trư ng V là m t trư ng th> là rot V = 0.
1.3. TOÁN Th HAMILTON VÀ TOÁN Th LAPLACE
1.3.1. Toán ta Hamilton
Đ thu5n ti n cho vi c bi u difn và tính toán, ta dùng m't ký hi u ñư c g i là toán te
Hamilton (hay nabla). Đó là m't 'vectơ tư ng trưng' ∇ có các 'thành ph/n' là:
∂ ∂ ∂ 
∇= , , 
 ∂x ∂y ∂z 

(1.37)

Trong h qui chgi*u vuông góc:

∇=i

Chú ý rRng,

∂
∂
∂
+ j +k
∂x
∂y
∂z

(1.38)

∂ ∂ ∂
chW là các ký hi u bi u difn phép tính ñ%o hàm riêng, th5t ra
, ,
∂ x ∂ y ∂z

không ph1i là các thành ph/n c:a m't vectơ . Tuy nhiên, v i ∇ , ta v}n áp d7ng m't cách
máy móc các qui t€c tính toán như ñ)i v i m't vectơ thông thư ng.
1.3.2. Bi;u dicn grad.u , div V và rot V beng toán ta ∇
Gradient:

∇.u = i

∂u
∂u
∂u
+j
+k
∂z

∂x
∂y

Giáo trình Trư ng Đi n T

hay

∇ .u = grad u

(1.39)

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

14

Divergence:

∇.V = i

∂V y
∂ Vx
∂Vz
+j
+k
∂x

∂z
∂y

hay

∇ .V = div V

(1.40)

Curl:
 ∂V ∂Vy   ∂Vx ∂Vy   ∂Vy ∂Vx  hay
 + j
 + k

∇xV = i x −
−
−
 ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y 

∇ x V = rot V

(1.41)

Ta có: ∇.V = 0 ⇔ V là trư ng )ng.
∇x V = 0 ⇔

V là trư ng không xoáy.

1.3.3. Toán ta Laplace:
Nhân vô hư ng ∇ v i chính nó, ta ñư c m't ký hi u vô hư ng g i là toán te Laplace, ký

hi u là $, ta vi*t:
∂2
∂2
∂2
$ = ∇.∇ = ∇ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2

$.u =

Ví d7:

(1.42)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Ta thcy rRng $.u là ting 3 ñ%o hàm riêng b5c 2 trong h tr7c t a ñ' vuông góc. C/n phân
bi t v i ký hi u s) gia $u mà ta thư ng g8p.
M't hàm u(x,y,z) thwa phương trình:
$.u =

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
=0
+
+

∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(1.43)

ñư c g i là hàm ñi u hòa và pt(1.43) ñư c g i là phương trình Laplace. V5y, nghi m c:a
phương trình Laplace là m't hàm ñi u hòa.
1.4. TRƯ NG ĐInN To
1.4.1. Khái nimm:
Trư ng ñiTn t/ là m t d ng v`t chKt ñ6c biTt, sa tSn t i và v`n ñ ng c a nó ñư c th
hiTn qua nh3ng tương tác v i các d ng v`t chKt khác, ñó là các h t ho6c các môi trư ng
chKt mang ñiTn.
Trư ng ñiTn t/ b c x là sa th+ng nhKt hai hình thái v`n ñ ng sóng và h t photon c a
trư ng ñiTn t/, chuy n ñ ng v i v`n t+c c=299790.103 m/s trong m5i hT qui chi>u quán
tính trong chân không.
T4 ñInh nghĩa trên, ta tri n khai thêm m't s) ý như sau:
B Trư ng ñi n t4 là m't thac th v`t lý và thu'c tính cơ b1n c:a m't thDc th v5t lý là t|n
t%i và v5n ñ'ng khách quan, trư c h*t là theo ý nghĩa ñ'ng lDc h c.

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

15

B Đ thcy rõ cơ ch* tương tác c:a m't thDc th v5t lý cơ b1n, ta ph1i xét nó qua sD tương

tác v i các thDc th khác. V5y, vi c nghiên c+u v trư ng ñi n t4 luôn g€n li*n v i các
thDc th khác tham gia tương tác v i nó. Trư ng ñi n t4 và thDc th tương tác v i nó t%o
thành m't hT th+ng v`t lý. Ta có hai mô hình h th)ng v5t lý: hT th+ng trư ng lưHng tT U
h't mang ñi n và hT th+ng trư ng liên tVc – môi trư ng chXt.
B HT th+ng trư ng lư ng ti j h t mang ñiTn: là m't trong các mô hình cơ b1n v h
tương tác gi\a trư ng ñi n t4 và các d%ng v5t chct khác. H t cơ bkn là m't thDc th hoàn
chWnh không chia nhw ñư c, t+c ta không bi*t ccu trúc n'i t%i c:a h%t. Do ñó, theo mô
hình này,trư ng ñi n t4 ph1i trao ñii nh\ng lư ng ti năng lư ng, ñ'ng lư ng,… nhct
ñInh. V i mô hình tương tác trư ng – h%t, trư ng và h%t có nh\ng ñi m gi)ng nhau (ví
d7: sD tương tác , các thông s),… ñư c lư ng te hóa), tuy nhiên cũng có nh\ng ñi m
khác nhau: h%t rct t5p trung = m't ñi m trong không gian còn trư ng thì phân b) r1i ra và
có th tách ra nh\ng lư ng te trư ng; h%t chuy n ñ'ng v i nh\ng v5n t)c khác nhau,
thư ng nhw hơn c, nhưng trư ng và các lư ng te trư ng luôn luôn chuy n ñ'ng v i v5n
t)c c trong chân không v i m i h qui chi*u.
j HT th+ng trư ng liên tMc – m i trư ng chKt liên tMc: là h tương tác thư ng ñư c xét
trong thDc t*. Môi trư ng chct là m't t5p h%t liên k*t theo m't qui lu5t nhct ñInh (như ccu
trúc nguyên te, phân te, tinh th ,…). Trong ccu trúc chct thDc t*, các h%t thư ng cách
nhau nh\ng kho1ng chân không rct l n so v i kích thư c h%t, nhưng l%i vô cùng nhw so
v i kích thư c thông thư ng trong k- thu5t. Do ccu trúc c:a chct thDc t* rct gián ño%n,
theo ñó, trư ng cũng phân b) không ñ u, t5p trung m%nh = lân c5n các h%t và y*u d/n =
vùng gi\a các h%t. Nhưng trong thDc t* các thi*t bI k- thu5t ñi nBñi n te và các d7ng c7
ño ñ u ho%t ñ'ng theo nh\ng giá trI trung bình c:a trư ng và môi trư ng trong nh\ng
vùng ñ: l n so v i kích thư c c:a h%t. Vì v5y, trong giáo trình này, ta kh1o sát trư ng
ñi n t4 theo theo quan niTm liên tMc hóa môi trư ng và trư ng ñiTn t/ trong không gian
và th i gian. Ta ss “dàn ñ u” các h%t chct ra mi n lân c5n thành m't mô hình chct liên
t7c hóa và trung bình hóa ñIa phương. Mô hình phân b) này ñư c g i là môi trư ng chKt.
Theo ñó trư ng ñi n t4 cũng ñư c quan ni m liên t7c hóa theo nghĩa trung bình ñIa
phương. Tương tác c:a h cũng ñư c liên t7c hóa, không gian và th i gian cũng ñư c
liên t7c hóa theo. T4 ñó, ta có th mô t1 tương tác c:a h dư i d%ng nh\ng phương trình
ñ%o hàm riêng c:a nh\ng bi*n liên t7c.

j Cũng c n nói thêm r(ng, tính liên tMc c a trư ng ñiTn t/ th hiTn < cKu trúc sóng và
tính gián ño n c a nó th hiTn < cKu trúc lư ng ti (h t). Nh3ng tương tác cac nhanh
ho6c < nh3ng dki t n cac cao, ngoài dki t n vô tuy>n ñiTn, như < dki t n ánh sáng, thac
nghiTm và lý thuy>t cho cho thKy rõ nét sa ñSng nhKt gi3a hai hình thái v`n ñ ng sóng và
h t photon c a trư ng ñiTn t/ b c x . M i lư ng ti b c x (photon) c a trư ng mang
m t năng lư ng ñư c tính theo công th c Einstein:
wbx = hν

(1.44)

k ñây, h = 6,623.10B34Js là hRng s) Blanck và ν là t/n s) dao ñ'ng c:a b+c x%.
T4 d1i t/n vô tuy*n ñi n tr= xu)ng, hi n tư ng lư ng te hoàn toàn không rõ nét và
trư ng ñi n t4 th hi n tính chct sóng là chính. Đây cũng là lý do mà ta chW kh1o sát mô
hình liên t7c c:a trư ng ñi n t4.
1.4.2. Hai m2t ñimn và tR c
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

Trang

16

Phân tích tương tác c:a trư ng ñi n t4 lên môi trư ng chct trong m't h qui chi*u quán
tính ta thcy trư ng ñi n t4 có hai m6t (hay hai lu5t) tương tác v i các h t ho6c v`t nhq
mang ñiTn tuỳ theo cách chuy n ñ'ng c:a v5t trong h :

B LDc ñi n FE chW ph7 thu'c vào vI trí c:a v5t, không ph7 thu'c vào v5n t)c c:a v5t.
B LDc t4 FM chW tác ñ'ng khi v5t chuy n ñ'ng.
Đó là các lDc Lorentz c:a trư ng ñi n t4 tác d7ng lên v5t mang ñi n. Ta nói trư ng ñi n
t4 có hai m8t th hi n và g i hai m8t th hi n cy l/n lư t là trư ng ñiTn và trư ng t/.
Ta cũng bi*t rRng, trư ng ñi n t4 ñư c sinh ra b=i các h%t hay v5t mang ñi n tích, trong
ñó, trư ng t4 chW xuct hi n khi các h%t ho8c v5t mang ñi n chuy n ñ'ng. Như v5y, dòng
ñi n là dòng chuy n d i có hư ng c:a các h%t mang ñi n nên cũng t%o ra trư ng t4.
C/n chú ý rRng, trư ng ñi n và trư ng t4 cùng các lDc Lorentz và năng lư ng c:a chúng
là nh\ng khái ni m tương ñ)i. B=i vì sD chuy n ñ'ng c:a các v5t mang ñi n là tương ñ)i,
ph7 thu'c vào h qui chi*u mà ta xét. Trư ng ñi n t4 v}n t|n t%i ñ'c l5p v i h qui chi*u,
nhưng tác d7ng ñ'ng lDc h c c:a nó ss khác nhau trong các h qui chi*u khác nhau. Hơn
n\a, trư ng ñi n và trư ng t4 có th chuy n hóa l}n nhau, trư ng ñi n t4 là m't thDc th
th)ng nhct, toàn vŽn, ta chW có th kh1o sát t4ng m8t tác d7ng ñi n ho8c t4 ch+ không th
tách riêng ñi n trư ng và t4 trư ng thành hai thDc th khác nhau.
1.4.3. Các ñ8i lưUng cơ bpn ñ2c trưng cho trư=ng ñimn tR
Ta có th chia ra làm hai lo%i thông s):
B Thông s+ bi>n tr ng thái: là các ñ%i lư ng bi u difn tr%ng thái và quá trình ñ'ng
lDc h c c:a h (ví d7: năng lư ng, ñ'ng lư ng,…) ho8c bi u difn năng lDc tương tác c:a
các thành viên c:a h (ví d7: ñi n tích, vectơ cư ng ñ' ñi n trư ng, vectơ c1m +ng t4,…)
j Thông s+ hành vi: là các ñ%i lư ng bi u difn tính qui lu5t các ho%t ñ'ng, hành vi
c:a m't thDc th trong quá trình tương tác v i các thDc th khác (ví d7: h s) phân cDc,
các toán te,…).
1.4.3.1. Đi n tích (ký hiTu q)
ĐiTn tích là m t ñ i lư ng ño năng lac tương tác lac c a v`t ñ+i v i trư ng ñiTn t/, m t
thu c tính c a v`t mang ñiTn.
ThDc nghi m chúng tw:
B Các lDc Lorentz không ưu tiên cho m't phương ho8c m't tr7c nào c:a h%t mang
ñi n, v5y q là m't s) thDc.
B Cùng m't ñi u ki n v trư ng, v vI trí và chuy n ñ'ng, các v5t mang ñi n có
th chIu tác d7ng lDc Lorentz theo hai chi u ngư c nhau. V5y ta phân bi t hai lo%i h%t

hay v5t mang ñi n có ñi n tích trái dcu nhau: ñi n tích âm và ñi n tích dương.
Như v5y, ñiTn tích có giá tr" là m t s+ thac. Trong h th)ng SI, ñơn vI c:a ñi n tích là
Coulomb (C), ñi n tích c:a m't electron là e = B1,6.10B19C.
C/n chú ý rRng, ñi n tích là m't bi*n tr%ng thái ñ'ng lDc h c cơ b1n c:a m't v5t mang
ñi n, ño m't thu'c tính ch+ không ph1i là m't chct gì t%o nên ho8c mang trong v5t.
Đimn tích ñi;m: M t v`t tích ñiTn có kích thư c rKt nhq so v i vùng không gian khko sát
có th coi như là m t chKt ñi m mang ñiTn, ta g5i là ñiTn tích ñi m.
Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

17

M't ñi n tích ñi m dùng ñ xác ñInh sD t|n t%i và ño kh1 năng tác d7ng lDc c:a trư ng
ñi n t4 g i là ñiTn tích thi.
1.4.3.2. Vectơ cư ng ñ4 ñi n trư ng E :
Xét m't ñi n tích the $q ñ+ng yên t%i m't ñi m M trong m't h qui chi*u quán tính, n*u
v5t mang ñi n chIu tác d7ng m't ñi n lDc $ F thì ta nói lân c5n ñi m M có t|n t%i m't
trư ng ñi n t4.
Đ"nh nghĩa: Vectơ cư ng ñ ñiTn trư ng E < t i m t ñi m trong m t hT qui chi>u quán
tính b(ng lac ñiTn t/ tác dMng lên m t ñơn v" ñiTn tích dương ñ ng yên t i ñi m Ky.
E là m't bi*n tr%ng thái ño năng lDc tác d7ng lDc Lorentz v ñi n = lân c5n ñi m M c:a

trư ng ñi n t4. Ta có:

Suy ra:

E = $ F /$q

(1.45)

$ F = $q. E

(1.46)

V i quan ñi m liên t7c hóa, và dùng các lư ng trung bình ñIa phương v ñi n tích, lDc,
cư ng ñ' ñi n trư ng, ta có th thay các s) gia trong các bi u th+c trên bRng nh\ng vi
phân:
E=

∂FE
⇔ dFE = dq.E
∂q

(1.47)

Trong h th)ng SI, ñơn vI c:a cư ng ñ' ñi n trư ng E là V/m.
1.4.3.3. Vectơ cZm [ng t B
Xét m't ñi n tích the dq chuy n ñ'ng v i v5n t)c v trong h qui chi*u quán tính, n*u nó
chIu tác d7ng m't lDc Lorentz v t4 (mà ta có th phân bi t v i lDc Lorentz v ñi n), ta
b1o rRng lân c5n v5t ñó t|n t%i m't trư ng t4 (hi u là m't th hi n c:a trư ng ñi n t4).
M't v5t mang ñi n chuy n ñ'ng cũng tương ñương v i m't dòng ñi n ch%y trong m't
dây d}n. V5y, m't ño%n dây d}n có dòng ñi n ch%y qua ñ8t = vI trí ñang xét cũng chIu tác
d7ng m't Lorentz v t4.
M't kim nam châm ñư c ñ8t trong vùng ñó cũng chIu tác d7ng lDc t4, ta bi*t nam châm

có nh\ng dòng ñi n phân te ho8c spin.
ThDc nghi m cho thcy, lDc t4 d F B có phương vuông góc v i v và vuông góc v i m't
chi u eB xác ñInh t%i m]i ñi m trong h qui chi*u, m't kim nam châm khi ñư c ñ8t t%i vI
trí ñó thì cDc b€c ss hư ng theo chi u eB . V5y chi u eB không ñ8c trưng cho v5t mang
ñi n và kim nam châm, mà là chi u ñ8c trưng riêng c:a trư ng ñi n t4 v m8t tác d7ng
lDc Lorentz t4.
Trên cơ s= kh1o sát quan h tW l gi\a lDc t4 và v5n t)c, ngư i ta ñã thành l5p ñư c bi u
th+c:
d F = dq( vxB eB )

Giáo trình Trư ng Đi n T

(1.48)

ThS. Đoàn Hòa Minh


Trang

Chương 1: Lý Thuy t Trư ng

18

Trong ñó, dcu “x” là tích h\u hư ng c:a hai vectơ. B là h s) tW l ph7 thu'c vào trư ng
ñi n t4.
dF

B = B eB

Đ8t:

(1.49)

B
v

•

Ta thcy, B hoàn toàn có th ñ8c trưng cho trư ng ñi n t4 v m8t tac d7ng lDc Lorentz t4.
B ñư c g i là vectơ ckm ng t/.

1.4.3.4. Ph%n tT dòng ñi n:
Xét m't dây d}n có ti*t di n vô cùng nhw so v i chi u dài c:a nó có dòng ñi n ch%y qua,
ta g i là dòng ñi n dài hay dòng ñi n dây tóc.
dl
I

Xét m't ño%n ñInh hư ng d l vô cùng nhw có chi u
là chi u dòng ñi n, sao cho dl có th coi như ño%n thTng
Đ%i lư ng vectơ Id l ñư c g5i là ph n ti dòng ñiTn.
Trong ñó I là cư ng ñ' dòng ñi n.

Gi1 se các h%t mang ñi n tD do trong dây d}n cùng chuy n ñ'ng v i v5n t)c v , trong
th i gian dt lư ng ñi n tích t1i qua ti*t di n dây d}n là dq, cư ng ñ' dòng ñi n trên dây
d}n là i = dq/dt .
Ph/n te dòng ñi n:

idl =

dq

vdt = dq.v
dt

(1.50)

Ta có lDc t4 tác d7ng lên m't ph/n te dòng ñi n là:
dF = id l xB = dq.vxB

(1.51)

Công th+c tính vectơ c1m +ng t4 t%i m't ñi m trong t4 trư ng do m't ph/n te dòng ñi n
sinh ra ñư c xác ñInh bRng ñInh lu5t BiotBSavart ss ñư c trình bày = chương 2.

BÀI TrP
1.1. Cho m't ñi n tích ñi m ñ+ng yên t%i g)c t a ñ' c:a m't h qui chi*u vuông góc
sinh ra xung quanh nó m't trư ng ñi n. T%i m]i ñi m M trong trư ng ñi n (không trùng
v i g)c t a ñ'), vectơ cư ng ñ' ñi n trư ng là:
z

q
E=
rM
4πε 0 rM3

M
rM •
y

và ñi n th* tương +ng là: u = q/rM
rM = x + y + z

2

2

O•
2

x

a) Xét v m8t th* năng thì trư ng ñi n là m't trư ng vô hư ng. Hãy vi*t phương
trình c:a m8t ñTng th* (tương +ng v i m't giá trI c nào ñó) và ch+ng minh
trư ng ñi n là m't trư ng th*.

Giáo trình Trư ng Đi n T

ThS. Đoàn Hòa Minh