ĐA CD13 CHỨNG MINH BA điểm THẲNG HÀNG 190 199

Phát triển tư duy Hình học 7

HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 13. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
13.1.
a) AMC và EMB có MA  ME ,

�
� ; MB  MC
AMC  EMC
� AMC  EMC  c.g.c 

�  MEB
�
� AC  EB; CAM
� AC / / BD
b) AIM và EKM có AM  EM ;
�  MEB
� ; AI  EK � AIM  EKM  c.g .c 
CAM
0
0
�
�
�
�
�
��
AMI  EMK
mà AMI  IME  180 � EMK  IME  180

� I , M , K thẳng hàng

13.2
0 �
�
�
�
a) BCE và CBD có BEC  CDB  90 ; EBC  DCB ; BC là cạnh chung

� BCE  CBD ( cạnh huyền , góc nhọn )
b) BCE  CBD � BE  CD
BKE và CDK có :

�  CDK
�  900 ; BE  CD; BKE
�  CKD
�
BEK

� BKE  CDK ( góc nhọn , canh góc vuông )
c) BKE  CKD � KE  KD.
0
�
�
AEK và ADK có AEK  ADK  90 ;

�
�
AI chung; KE  KD � AED  ADK � EAK  DAK
�

Hay AK là tia phân giác BAC (1)
d) ABI và ACI có AB  AC là cạnh chung ; BI  CD
� ABI  ACI (c.c.c)

�  CAI
�
�
� BAI
hay AI là tia phân giác của BAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A ; K ; I thẳng hàng.
13.3.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

�
�
a) ABD và AED có AB  AE ; BAD  EAD; AD là cạnh chung
� ABD  ED  c.g.c  � BD  ED; �
ABD  �
AED
0 �
0
�
�
�
�

�
Mặt khác ABD  DBF  180 ; AED  DEC  180 nên DBF  DEC

Ta có AF  AC ; AB  AE � BF  EC.
DBF và có DB  DE

� BDF  EDC  c.g .c 
b) BDF  EDC
0
�  EDC
�
�
�
� BDF
mà BDF  FDC  180

�  FDC
�  1800
� EDC
� F , D, E thẳng hàng .

c) Gọi H là giao điểm của AD và CF .

�
�
AHE và AHC có AF  AC ; FAH  CAH ; AH chung
AHE  AHC  c.g.c  � �
AHF  �
AHC

0
�
�
mà AHF  AHC  180

��
AHF  �
AHC  900
Vậy AH  FC hay AD  FC
0
�
13.4. Gợi ý : Tính góc ABN  60

�  600
��
ABM  �
ABC  CBM
mà BN ; BM thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB nên tia BM trùng với tia BN Vậy B, M , N thẳng hàng.
13.5.
0
�
�
a) Ta có DMA vuông tại M nên MDA  MAD  90 mà
�  MAD
�  900
BAH
0
�
�

�
( vì BAD  90 ) � MDA  BAH .
0
�
�
Xét DMA và AHB có DMA  AHB  90 ;

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

�  BAH
� ; AD  AB
MDA
nên DMA  HB
( cạnh huyền, góc nhọn ) � DM  AH
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có :
ANE  CHA , suy ra AH  EN

�  INE
�   900  ,
IMD
Xét MID và NIE có
IM  IN , DM  DN   AH 
, suy ra
�  NIE
�

MID  NIE  c. g.c  � MID
0
0
�
�
�
�
Mặt khác MID  NID  180 � NIE  NID  180
Vậy D, I , E thẳng hàng.

13.6. BOD và COD có OB  OC ( gt ); OD cạnh chung.
BD  CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính ). Vậy
�  COD
�
BOD  COD (c.c.c), suy ra BOD
.

�
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai
tia Ox và Oy .
�
Do đó OD là tia phân giác của xOy .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của
�
xOy
.
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và
OA trùng nhau.
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
13.7. Kẻ MK  AB; MH  AC;

Ta có M là trung điểm của CE nên BME  BMC (c.c.c)
�  CBM
�  450
� EBM
0
0
�
�
�
Mặt khác EBC  90 � KBE  ABC  90 .
0
�
�
�
�
�
�
Mà ACB  ABC  90 , suy ra KBE  ACB � KBM  HCM .

Lại có BM  MC � KBM  HCM
( cạnh huyền, góc nhọn ) � MK  MH

� AKM  AHM (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
�  HAM
� � AM
� KAM
là tia phân giác của góc A.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3

Phát triển tư duy Hình học 7
0
�
Mặt khác, BAD vuông cân tại A � BAD  45 � AD là tia phân giác của góc A

� A; D; M thẳng hàng ( vì A; D; M cùng thuộc tia phân giác của góc A)

13.8. Theo đề bài ABC vuông tại A có BC  2 AB nên
�
ABC  600 ; �
ACB  300.
1
�
�  400
ABD  �
ABC  200 � DBC
3

1
�
�  200
ABD  �
ABC  100 � DBC
3

CIF và CIG có IF  IG ( gt )
�  CIG
�  900 ; IC

CIF
cạnh chung

� CIF  CIG  c.g .c 
�  KCF
�  100
� CG  CF và KCH
0
�
�
�
0
�
Từ đó suy ra CG  CH và GCF  FCH  2 ACB  60 , do đó CHG  60 (1)

�  DKH
�
 900 , KD cạnh chung, do đó
DKF  DKH vì có KF  KH ( giả thiết ), DKF
DF  DH , vì thế CDF  CDH  c.c.c 

�
�
Suy ra CHD  CFD
�  70o � CDF
�  1100
ABD  200 � DB
ABD vuông tại A có �
0
�  1800  CDF

�  FCD
�  1800  1100  100  600
�
� CFD
vì thế CHD  60 (2)
0
�
�
Từ (1) và (2) suy ra CHD  60  CHG mà hai tia HD, HG cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa là ba điểm H , D,G thẳng hàng.

13.9. Gọi F là trung điểm của AC
� AH 

AC
� AHF
2
đều

� HF / / AD � M , H , F thẳng hàng

Mà AK  KF ; AMF  FDA (g.c.g)
� AM  DF

� AMK  FDK  c.g .c 
�
��
AKM  DKF
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

� M , K , D thẳng hàng.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5