Phân Tích Kĩ Năng Giải Quyết Vấn Đề Trong Dạy Học Chủ Đề Bất Đẳng Thức Cho Học Sinh Lớp 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO
HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI, 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO
HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO
CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn,
giúp đỡ và góp ý nhiệt tình của quý thầy cô giáo trường Đại học Giáo dục - Đại học
Quốc gia Hà Nội.
Lời cảm ơn chân thành được chuyển đến quý thầy cô trường Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình chỉ bảo tác giả
trong suốt thời gian thực hiện Luận văn tốt nghiệp này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Nhụy, người thầy đã dành
rất nhiều thời gian, tâm huyết để tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện trong
quá trình làm và hoàn thiện luận văn.
Đồng thời, tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô khoa
Toán trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy cô, các em
học sinh trường Trung học phổ thông Văn Giang - Hưng Yên đã tạo điều kiện cho
tác giả trong quá trình nghiên cứu khảo sát và thực nghiệm sư phạm cho đề tài.
Cuối cùng, lời cảm ơn chân thành xin được giành cho gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã động viên, khuyến khích tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng để hoàn thiện Luận văn bằng khả năng của
mình, tuy nhiên Luận văn không thể tránh khỏi sự thiếu xót, rất mong nhận được
những đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 10 năm 2017

Nguyễn Thị Thúy Hà


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Tên viết tắt

Tên đầy đủ

BĐT(bđt)

Bất đẳng thức

ĐC

Đối chứng

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ i
Danh mục các từ viết tắt ............................................................................................. ii
Danh mục các bảng .....................................................................................................v
Danh mục các hình .................................................................................................... vi
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................4

1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 4
1.1.1. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh .................. 4
1.1.1.1. Kỹ năng.................................................................................................................... 4
1.1.1.2. Kỹ năng giải toán .................................................................................................... 6
1.1.1.3. Đặc điểm của kỹ năng............................................................................................. 7
1.1.1.4. Sự hình thành kỹ năng ............................................................................................ 7
1.1.2. Vấn đề và giải quyết vấn đề ....................................................................................11
1.1.2.1. Vấn đề ....................................................................................................................11
1.1.2.2. Giải quyết vấn đề ..................................................................................................12
1.1.2.3. Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học .....................................................................14
1.1.2.4. Kỹ năng giải quyết vấn đề trong mối liên hệ dạy học chủ đề bẩt đẳng thức lớp
10 Ban nâng cao .................................................................................................................16

1.1.3. Dạy học giải bài tập toán học ..................................................................................17
1.2. Cơ sở thực tiễn.............................................................................................................25
1.2.1. Mục tiêu giáo dục phổ thông ...........................................................................25
1.2.2. Đổi mới phương pháp dạy học toán.......................................................................26
1.2.3. Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông .....................26
1.2.4. Thực tiễn dạy học chủ đề bất đẳng thức .................................................................27
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG
THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 ..........................................................................30

2.1. Mục tiêu và nội dung dạy học Bất đẳng thức .......................................... 30
2.1.1. Mục tiêu ....................................................................................................................30
2.1.2. Nội dung dạy học .....................................................................................................30

2.2. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức ............................................... 30

iii


2.2.1. Định nghĩa ................................................................................................................30
2.2.2. Một số tính chất ........................................................................................................31
2.2.3. Các bất đẳng thức cơ bản .........................................................................................33

2.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức .......................................... 36
2.3.1. Phương pháp dùng định nghĩa.................................................................................36
2.3.2. Phương pháp biến đổi tương đương .......................................................................38
2.3.3. Phương pháp quy nạp ..............................................................................................40
2.3.4. Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác...................................................42
2.3.5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ..............................................46
2.3.6. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy .........................................................49
2.3.7. Phương pháp hình học .............................................................................................51

2.3.8. Phương pháp lượng giác ..........................................................................................54

2.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức ......................................................... 64
2.4.1. Giải phương trình và hệ phương trình ....................................................................64
2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức...........................................................67

2.5. Hệ thống các bài tập ................................................................................. 70
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..........................................................74

3.1.Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 74
3.2.Nội dung thực nghiệm............................................................................... 74
3.3.Đối tượng thực nghiệm ............................................................................. 74
3.4.Phương pháp thực nghiệm ........................................................................ 74
3.5.Tiến hành thực nghiệm ............................................................................. 74
3.6. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 75
3.7. Đánh giá kết quả thực nghiệm.................................................................. 83
3.7.1. Đánh giá định tính ....................................................................................................83
3.7.2. Đánh giá định lượng.................................................................................................83

3.8.Thời gian, đối tượng thực nghiệm ............................................................ 85
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .........................................................................87
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................88
PHỤ LỤC .................................................................................................................89

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức ............................28
Bảng 3.1. Tên bài dạy thực nghiệm...................................................................................74

Bảng 3.2. Tên GV, lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ....................................................74
Bảng 3.3. Kết quả thu được từ bài kiểm tra 45 phút của các lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng. ..................................................................................................................................84

v


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Sơ đồ một số thao tác tư duy phổ biến của học sinh. ................................24
Hình 3.1. Biểu đồ thể hiện kết quả nắm kiến thức của các lớp TN và lớp ĐC ..............84
Hình 3.2. Kết quả kiểm tra 45 phút của các lớp đối chứng và các lớp thực nghiệm. ....85

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ, Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh( người học toán) những kĩ năng tính toán cần
thiết mà còn giúp người học rèn luyện khả năng tư duy logic.
Trong việc dạy học toán thì tìm ra cách thức giải bài tập toán đòi hỏi người
giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp
phần củng cố kiến thức, hình thành và phát triển tư duy cho học sinh. Đồng thời qua
việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các bài
tập toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát
huy cao độ tính tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo của tư duy và trí tuệ.
Tuy nhiên các bài toán về bất đẳng thức nhìn chung là khó vì phạm vi kiến
thức rộng, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực.
Qua thời gian còn học tập ở trường trung học phổ thông và thời gian đi thực
tập Tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích mở rộng các bài toán dẫn đến khi học sinh gặp các bài toán khác một chút
là sẽ không giải được.
- Học sinh thường ngại học toán về chương bất đẳng thức vì các bài toán
thường khó phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng,...
nên học sinh hay ngại và chưa vận dụng được bài toán bất đẳng thức được giải các
bài toán khó như cực trị, hàm số,...
Với lí do kể trên, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Phân tích kĩ năng giải quyết vấn
đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao” nhằm
giúp học sinh bớt lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức, có thể tự định
hướng được các phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú
hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn toán nói chung cũng như giúp
bản thân tự nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ.


2. Lịch sử nghiên cứu
Các sách viết về bất đẳng thức ở cấp trung học phổ thông đã có rất nhiều, sự
phong phú về nội dung của chúng ta được khẳng định qua các ẩn phẩm của các tác
giả nổi tiếng trong nước như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Kim Hùng.
3. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu
 Mục đích nghiên cứu:
Với bản thân:
-

Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy sau này.

Với học sinh:
-

Giúp học sinh nắm được một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức cơ

bản, giải các bài toán trong chương trình.

-

Giúp HS phát triển năng lực toán học, phát triển lòng yêu thích môn học.

-

Chuẩn bị kiến thức nhằm phục vụ các kì thi tiếp theo.

 Các nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải bài toán.
- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học bất đẳng thức trong sách giáo khoa 10
nâng cao.

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh.
+ Hệ thống những kiến thức cơ bản và các phương pháp giải bài tập về
bất đẳng thức.
+ Xây dựng hệ thống các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10
trong chương trình nâng cao.
4. Phạm vi nghiên cứu
Chương bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 10 ban nâng cao.
5. Mẫu khảo sát
Khối 10 - Trường THPT Văn Giang - Hưng Yên.
6. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu dạy học giải quyết vấn đề về bất đẳng thức cho học sinh được giảng giải
một cách khoa học, có logic và học sinh hiểu và vận dụng được thì gợi cho học sinh
thích thú với môn học, đưa ra các cách giải sáng tạo và logic.

2


7. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận
- Quan sát điều tra
- Tổng kết kinh nghiệm
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm ba chương:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho HS lớp 10
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Văn Giang - Hưng Yên

3


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
1.1.1.1. Kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì:“ Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức ( khái niệm, cách thức, phương pháp,… ) để giải quyết một
nhiệm vụ mới” [5, tr. 131].
Theo Tâm lý học đại cương cho rằng:“ Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay
thực hành xác định” [14, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: “ Kỹ năng là khả năng vận dụng những

kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [32, tr. 426].
Theo cách hiểu của chúng tôi, kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri
thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính
bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành
xác định. Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn
để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen
nhất định, kỹ năng là làm việc có phương pháp.
Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực
nào đó vào thực tế.
Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được.
Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến
kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động
để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.
Trong thực tế, người học thường gặp phải khó khăn khi vận dụng kiến thức
vào giải quyết bài tập một cách cụ thể. Người học thường khó tách ra những chi tiết,
không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối

4


quan hệ vốn có giữa nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn
có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ là vì do kiến thức không chắc chắn.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính có bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Do đó
cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, đề
hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu( tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông
tin mới). Tri thức về các sự vật rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc
tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với

những hoạt động và mục đích nhất định. Để minh họa ta xét ví dụ sau .
Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  a2  b2  ab  3a  3b  2014

Có thể thấy rằng tri thức được phản ánh trong sự vật được thể hiện qua bài
toán này có rất nhiều: tổng của hai căn bậc hai, các tam thức bậc hai,… Để tiến
hành hoạt động giải toán ta phải lựa chọn các tri thức phù hợp với mục tiêu tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ta nhận thấy biểu thức A sẽ được tách thành các tổng bình phương, khi đó bài
toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có thể giải quyết( mục tiêu) và do đó ta có
thể biến đổi bài toán như sau:
A  a2  2a  1  b2  2b  1  ab  a  b  1  2011
A   a  1   b  1  (a  1)(b  1)  2011
2

2

A  (a  1)2  (b  1)2  (a  1)(b  1)  2011

A  (a  1)2  2(a  1)

(b  1) (b  1) 2
(b  1) 2

3
 2011
2
4
4

 b  1  2011
b 1 

A   a 1
 3
2 
4

2

2

Như vậy, qua cách biến đổi trên ta có thể thấy được kỹ năng để tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức, ta đưa về dạng bình phương của các số rồi đi đánh giá biểu thức đó.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
Giá trị nhỏ nhất của A = 2011 khi:

5


b 1

0
a  1 
 a  b 1
2


b  1  0

Khi hình thành kỹ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra kiểu bài
toán hay nói cách khác là dạng bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã
có những thuộc tính những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã loại
nhân tố thúc đẩy hay cản trở sự hình thành các kỹ năng: Tách ra một cách rõ ràng
hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của bài toán trong các dữ kiện xuất phát. Ví
dụ, xét bài toán sau:
Bài toán 2. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng nếu a  0 và a(a  b  c)  0
thì phương trình bậc hai ax2  bx  c  0 có hai nghiệm thực phân biệt.
Phương pháp giải là không quá khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ bản
chất bằng những phép biến đổi tương đương nên sẽ gây cho học sinh khó khăn
trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán
Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài toán- đó là
thâu tóm được toàn bộ tình huống chứ không phải những yếu tố riêng biệt của nó.
Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu
hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ dàng cho
sự suy xét, đó là:
- Những nguyên tắc giải.
- Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những vấn đề và những quan hệ bản
chất đối với bài toán.
- Phân tích bài toán.
1.1.1.2. Kỹ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ
thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo
các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện
khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh
như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã
có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động
giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học”.

6

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của
môn Toán. Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình.
- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.
1.1.3. Đặc điểm của kỹ năng
Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng: Bất kỳ kỹ
năng nào được chọn phải dựa trên cơ sở lý thuyết và cơ sở thực tiễn, cấu trúc của kỹ
năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức để dẫn đến kết quả - hiểu những điều
kiện của nó để triển khai các cách thức đó.
Kiến thức là cơ sở hình thành của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh
đầy đủ các thuộc tính bản chất của mục tiêu và của các đối tượng, được thử nghiệm
trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức của từng đối tượng.
Vậy kỹ năng có những đặc điểm như:
- Mức độ tham gia của ý chí cao.
- Hành động luôn có sự kiểm tra của thị giác.
- Chưa bao quát toàn bộ hành động, thường chú ý ở phạm vi hẹp hay động tác
đang làm.
- Tốn nhiều năng lượng thần kinh và cơ bắp.
1.1.1.4. Sự hình thành kỹ năng
Trước hết, để hình thành kỹ năng chúng ta phải chỉ rõ được yếu tố ảnh hưởng
đến sự hình thành kỹ năng.
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc
hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động
theo đúng mục địch yêu cầu… Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư
duy để giải quyết những nhiệm vụ được đặt ra.
Theo các nhà Tâm lý học, sự hình thành kỹ năng trong Toán học chịu ảnh

hưởng của các yếu tố sau:
- Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan
hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy.

7


- Để phát hiện những điều ẩn chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy và phân
tích những điều sẵn có của bài toán mà chưa nhìn rõ kiến thức ẩn chứa trong dó.
- Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ
năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành
kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình
thành kỹ năng còn ngược lại cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý là một trở ngại
thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là
tư duy của con người có tính phương hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp
cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự rằng
buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới.
- Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ
dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể.
Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua hoạt động trí tuệ, thông qua quá trình
tư duy để giải quyết nhiệm vụ được đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể
thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính
mới. Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được
biểu hiện bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng
hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một
mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Ở
đây trong mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy
tư duy phát triển, đồng thời quyết định bước tiếp sau của tư duy. Vì các khía cạnh
mới của đối tượng được phản ánh trong khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự
diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Ví dụ, xét bài toán:

Bài toán 3. Cho hai số thực x, y .Chứng minh rằng
x2  y 2  2  xy  x  y .

Phân tích bài toán ta nhận thấy vấn đề tư duy liên quan là một tam thức bậc hai
ẩn x (y là tham số):
x 2  y 2  1  xy  x  y
 x 2  ( y  1) x  y 2  y  1  0

8


Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn x( y là tham số) ở vế trái luôn không âm với
mọi x, y  R ta cần chứng minh
  ( y  1) 2  4( y 2  y  1)  0; y  R
x 2  y 2  1  xy  x  y 

1
2
2
2
x  y    x  1   y  1   0


2

Tuy nhiên, học sinh phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng,
để có thể tiến hành hoạt động giải toán. Điều này không phải mọi học sinh có thể
thực hiện tốt.
Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa.
Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả

được thể hiện trong khái niệm. Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong
tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó
ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy
tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người không tìm ra giới
hạn của tri thức nhân loại. Chẳng hạn, như S.L. Rubinstein đã chứng minh: “Trong
quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên
hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất này được ghi lại trong
những khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung
ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó xuất hiện
những thuộc tính mới” [11, tr.155].
Theo quan niệm này, sự hình thành kỹ năng xuất hiện trước hết như những
sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình thành trên cơ
sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tượng được
nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành kỹ năng - đó là học sinh phải tự
nhìn nhận thấy những mặt khác nhau của đối tượng, vận dụng vào đối tượng.
Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức.
Có thể dạy cho người học các kỹ năng bằng những con đường khác nhau.
Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,
rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và bản thân
người học tìm tòi ra cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm( thử các
phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu) qua đó phát hiện ra các mốc định

9


hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt
động. Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề. Cũng có
thể dạy học kỹ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết những dấu hiệu mà theo
đó có thể nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết để
giải bài toán đó. Người ta gọi con đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học

trên cơ sở định hướng đầy đủ.
Cuối cùng con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt
động tâm lý cần thiết đối với vận dụng tri thức. Trong trường hợp này giáo dục
không chỉ cho người học những mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và sự
nhận biết mà còn tổ chức hoạt động cho người học trong việc cải biến, sử dụng
thông tin đã thu được để giải bài toán đặt ra. Con đường này đã được nhà tâm lý học
Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn như: P. Ja Galperin, N. F. Talyzyna và những người
khác [11, tr. 156]. Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn
dắt học sinh có hệ thống qua tất cả các giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng
vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu.
Bài toán 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B  x2  2x  4 .

Phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích biểu thức này thành:
B  ( x  1)2  3

Như vậy lời giải trên dựa vào các mốc định hướng có đối tượng. Trong ví dụ
trên người ta không còn sử dụng phép phân tích thành bình phương của một tổng
cộng với một hằng số để giải mà thay vào đó bằng phương pháp lập bảng biến thiên
hàm số:
y  x2  2x  4

Ở giai đoạn này, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  2 x  4 bằng ngôn ngữ
và kí hiệu. Ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế
chúng là những thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn.
“Hàm số y  x 2  2 x  4 có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x  1 ”
Người ta gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành động trí
tuệ qua từng giai đoạn.

10

Trong thực tế khi xây dựng những kiến thức mới ai cũng phải trải qua các
bước như thế này này. Tuy nhiên, trong dạy học thông thường trong những phần
không được tổ chức không được biểu hiện một cách có ý thức. Vì thế người học
phải chủ động phát hiện tìm tòi ra những dấu hiệu logic những dấu hiệu phù hợp để
chọn những công việc phù hợp để làm. Do vậy không thể tránh khỏi sai lầm và các
tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn. Để cho khái
niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của học sinh phải
được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ. Nói một cách khác, giáo viên
phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới
dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những
dấu hiệu.
Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy các
khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được tính mềm
dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép hình thành những
tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.
1.1.2. Vấn đề và giải quyết vấn đề
1.1.2.1. Vấn đề
Theo từ điển của Hoàng Phê thì: “Vấn đề là điều cần được xem xét, nghiên
cứu, giải quyết”. Tác giả Nguyễn Bá Kim đã định nghĩa vấn đề từ khái niệm “hệ
thống” và “tình huống”. Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ
một vài khái niệm hệ thống.
Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ
giữa những phần tử của tập hợp đó.
Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách
thể, trong đó chủ thể có nghĩa là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó.
Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể
thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể. Trong một
tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó

dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào đó
có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.

11


Lƣu ý: Thứ nhất, hiểu như trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài toán.
Những bài toán nếu chỉ yêu cầu học sinh đơn thuần tiếp áp dụng một thuật giải,
chẳng hạn giải một phương trình bậc hai dựa vào các công thức đã học, thì không
phải là những vấn đề.
Thứ hai, khái niệm vấn đề như trên thường được dùng trong giáo dục. Ta cần
phân biệt vấn đề trong giáo dục với vấn đề nghiên cứu khoa học. Sự khác nhau là ở
chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc “chưa biết một số phần tử” và
“chưa biết thuật giải có thể áp dụng để tìm một phần tử chưa biết” là mang tính
khách quan chứ không phụ thuộc chủ thể, tức là nhân loại chưa biết chứ không phải
chỉ là một học sinh nào đó chưa biết.
Thứ ba, hiểu theo nghĩa được dùng trong giáo dục thì các khái niệm vấn đề
mang tính tương đối. Bài toán yêu cầu giải phương trình bậc hai không phải là một
vấn đề khi học sinh đã học các công thức tính nghiệm, nhưng lại là một vấn đề khi
họ chưa học công thức này.
Theo một số ý kiến cho rằng, vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một
nhóm được giải quyết, khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các
phương pháp hoặc các con đường để giải.
Học sinh phải hiểu khi học toán tích cực xây dựng mới từ kinh nghiệm và kiến thức
toán đã có của chính mình. Khi học sinh hiểu toán, các em có khả năng sử dụng các
kiến thức của mình một cách linh hoạt và có hiệu quả.
Một vấn đề được xem như là một bài toán đối với một người nào đó, nếu khi đối
mặt với nó có mong muốn cần tìm một lời giải và không có một quy trình khả dĩ
dùng được để tìm ra lời giải. Giải quyết vấn đề là một phần chính trong mọi quá

trình toán học.
1.1.2.2. Giải quyết vấn đề
Theo Stephen Krulic and Jesse A. Rudnick (1980), giải quyết vấn đề là quá
trình một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng và hiểu biết đã học trước đây để đáp
ứng đòi hỏi những tình huống không quen thuộc.
Là một quá trình, giải quyết vấn đề gắn liền với một tập các kỹ năng cần phải
được dạy. Những hướng dẫn tìm tòi mà chúng ta dùng trong giải quyết vấn đề khác
một cách đáng kể với những thuật toán chúng ta dạy trong lớp học toán của chúng

12


ta. Một thuật toán luôn đảm bảo thành công nếu được áp dụng đúng đắn và nếu
thuật toán đúng được lựa chọn. Những hướng dẫn được trình bày tiếp cận 5 bước
đến giải quyết vấn đề mà chúng ta thấy cần thiết phải phát triển và nhấn mạnh cho
học sinh.
a. Đọc bài toán
Gồm các bước:
-

Xác định các yếu tố

-

Nhận ra câu hỏi

-

Hiểu các thuật ngữ

-

Trực quan hóa

b. Khám phá
Gồm các bước:
-

Phân tích đầy đủ các dữ kiện

-

Tổ chức và thể hiện dữ kiện

-

Những khái niệm tính toán

-

Ước lượng.

c. Chọn phương pháp
Gồm các bước:
-

Phát hiện qui luật

-

Phân tích đi lên

-

Giải theo một cách nhìn khác

-

Xét các trường hợp đặc biệt

-

Vẽ hình

-

Đoán và thử

-

Tính toán cho mọi khả năng

-

Sắp xếp các dữ kiện

-

Suy luận logic

d. Giải bài toán
Gồm các bước:
-

Khả năng tính toán

-

Kỹ năng đại số

13


-

Kỹ năng hình học

e. Kiểm tra, mở rộng bài toán
Gồm các bước:
-

Ước lượng

-

Đánh giá tính hợp lý

1.1.2.3. Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học
Kỹ năng giải quyết vấn đề ( Problem solving skills) là một trong những kỹ
năng rất cần thiết trong học tập và làm việc bởi cuộc sống là một chuỗi những vấn

đề đòi hỏi chúng ta phải giải quyết mà không vấn đề nào giống vấn đề nào và cũng
không có một công thức chung nào để giải quyết mọi vấn đề. Điều quan trong là
chúng ta phải trang bị cho mình những hành trang cần thiết đển khi vấn đề nảy sinh
thì chúng ta có thể vận dụng những kỹ năng có sẵn để giải quyết vấn đề đó một cách
hiệu quả nhất.

Kỹ năng giải quyết vấn đề gồm:
-

Nhận ra vấn đề:
Trước khi bạn tìm ra phương hướng giải quyết vấn đề, bạn nên xem xét vấn
đề đó có thực sự là vấn đề theo nghĩa nào? Để nhận ra vấn đề bạn phải lập
được kế hoạch và thực hiện nó. Một mình không giải quyết được vấn đề thì
bạn có thể cùng làm vấn đề đó với nhóm để thực hiện một cách dễ dàng hơn.

14


-

Xác định chủ sở hữu của vấn đề:
Không phải tất cả vấn đề đều có thể giải quyết. Nếu khả năng của mình còn

hạn chế thì có thể chuyển cho những người có khả năng làm vấn đề đó.
-

Nhìn nhận và phân tích để hiểu rõ vấn đề:

Chưa hiểu rõ vấn đề có thể bị lệch hướng về phương pháp để giải quyết chúng.
Chúng ta cần xác định rõ vấn đề cần giải quyết.

-

Đề ra mục tiêu:

Sau khi giải quyết vấn đề này thì mục tiêu đạt được là gì?
-

Đánh giá giải pháp:

Sau khi tìm hiểu rõ được các vấn đề đó thì chúng ta cần chọn ra một trong các
giải pháp đã được đề ra để thực hiện và xem giải pháp đó mà được chọn đã hợp lí
chưa?
-

Chọn lựa và xác định giải pháp:

Trong các phương pháp trên chúng ta chọn giải pháp tối ưu nhất để thực hiện giải
quyết vấn đề.
-

Thực hiện

Khi đã chọn được giải pháp thì chúng ta bắt đầu vào thực hiện để giải quyết vấn
đề.
-

Đánh giá kết quả:

Khi thực hiện xử lí được vấn đề chúng ta đánh giá phương pháp đó và kết quả
vừa tìm ra được.

Trong Toán học, kỹ năng giải quyết vấn đề của một bài toán giữa HS thường khác
nhau. Mỗi em lại có một hướng giải quyết bài tập khác nhau, có em sử dụng kiến
thức này, có em lại sử dụng kiến thức kia. Vì vậy, sự hình thành nên kỹ năng giải
quyết vấn đề thường không giống nhau. Nhưng thông thường để giải quyết một vấn
đề, về cơ bản gồm các bước sau:
a. Nhìn nhận và phân tích
b. Xác định vấn đề
c. Hiểu vấn đề
d. Chọn giải pháp
e. Thực thi giải pháp

15


f. Đánh giá giải pháp.
1.1.2.4. Kỹ năng giải quyết vấn đề trong mối liên hệ dạy học chủ đề bẩt đẳng thức
lớp 10 Ban nâng cao
Khi dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao, việc giải quyết một
hay nhiều bài toán bất đẳng thức cũng là một kỹ năng để rèn luyện tư duy phát triển
trí tuệ cho học sinh. Trước một bài toán, giáo viên có thể gợi ý phân tích và đưa ra
các kỹ năng giải quyết một bài toán, các em sẽ không cảm thấy học về chủ đề bất
đẳng thức là quá khó khăn. Từ đó, khi làm bài tập về chủ đề này, các em không bỡ
ngỡ hay gặp khó khăn nữa. Mỗi bài toán có những hướng giải khác nhau nhưng có
thể quy các bài toán đó từ lạ về quen, áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc để giải
bài tập.
Ví dụ giải quyết vấn đề khi dạy học về bài tập bất đẳng thức lớp 10 ban
nâng cao:
Ví dụ. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
b2c
c2a

a 2b
1


 ( a  b  c) .
3
3
3
a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2

Phân tích
-

Phân tích bài toán:
Các dữ kiện bài toán cho: a, b, c là các số thực dương

-

Xác định vấn đề và hiểu vấn đề:
Cần chứng minh bất đẳng thức trên

-

Chọn giải pháp
Chúng ta lựa chọn xem nên sử dụng các phương pháp nào để giải bài tập
trên, sử dụng bất đẳng thức nào cho hợp lí: Cauchy, Bunhiacopxki, …

-

Thực hiện giải pháp

Trước hết, chúng ta phân tích cho học sinh sử dụng giả thiết bài toán là cho a,

b, c là số thực dương, thông thường với dữ kiện này nên sử dụng bất đẳng thức
Cauchy. Vậy chúng ta dự đoán cho học sinh thử làm theo hướng áp dụng Cauchy.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số như sau:

16


b2c
bc 1
b 2c
bc 1
3
3



3
.
.

3
3
a (b  c) 4bc 2b
a (b  c) 4bc 2b 2a

Phân tích cho học sinh rằng: Tại sao lại sử dụng ba số trên vì: chúng ta sử
b2c

dụng Cau chy cho số 3
và chọn 2 số còn lại sao cho đánh giá về tích của
a (b  c)

chúng triệt tiêu được và chỉ còn mẫu là số a.
c2a
a 2b
,
Tương tự với số 3
và chọn các số còn lại sao cho đánh giá
b (c  a ) c 3 ( a  b )

về tích của chúng triệt tiêu được và mẫu số còn số b và c.
Tương đương với bất đẳng thức vừa đánh giá ta có:

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta suy ra

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
1.1.3. Dạy học giải bài tập toán học
Ở trường phổ thông, dạy toán là hoạt động Toán học cho học sinh, trong đó
giải Toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng
đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán ở
trường phổ thông. Đối với học sinh có thể coi việc giải bài tập toán là một hình
thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập Toán có những chức năng:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, những
vấn đề về lý thuyết đã học. Có khi bài tập lại là một định lý, mà một lý do nào đó
không đưa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập mà người học phát triển
được các kỹ năng và sự hiểu biết của mình.

17