CHUYÊN-ĐỀ-TỔ-HỢP BẤT BIẾN ĐƠN BIẾN

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP
BẤT BIẾN VÀ ĐƠN BIẾN

Nhóm 4
Giáo viên hướng dẫn
Niên khóa: 2017-2018


BẤT BIẾN

 Bất biến là mọi đại lượng định tính hay tính chất và quan hệ giữa những phần tử của một hoặc một số tập hợp mà
không thay đổi với một biến đổi nào đó

 Định nghĩa: Cho Ω là một tập hợp các trạng thái. T là tập hợp các phép biến đổi từ Ω vào Ω. Hàm số f: Ω → R được
gọi là bất biến trên tập các trạng thái Ω đối với tập các phép biến đổi T nếu

Ví dụ: Xét tổng S = a+b+c nếu ta thay đổi a, b, c theo một hoán vị nào đó nhưng rõ ràng S vẫn không đổi, nghĩa là S bất
biến
f(t(ω)) = f(ω) ∀ω ∈ Ω, ∀ t ∈ T.


MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2014, sau đó thực hiện
trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số bất kì và viết một số mới bằng tổng hai số đã xóa, việc
làm này thực hiện liên tục cho đến khi chỉ còn một số trên bảng. Hỏi số cuối cùng còn lại
trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?
Lời giải. Vì mỗi lần thực hiện trò chơi thì ta thay hai số bằng tổng của chúng trên

bảng nên tổng các số trên bảng không thay đổi trong mọi thời điểm. Vậy, đại lượng
không đổi (đại lượng bất biến) trong bài toán trên là tổng các số trên bảng. Mà
tổng các số ban đầu là

2014
1 + 2 + 3 +… + 2014 =

∑ (=n )
n =1

Nên suy ra số cuối cùng là 2029105

( 1 + 2014 ) × 2014 = 2029105
2


Ví dụ 2: Bàn cờ vua 8 x 8 bị mất hai ô ở góc đối diện. Hỏi có thể lát phần
còn lại của bàn cờ bởi các quân Domino 2 x 1 được không?


Lời giải
 Mỗi quân Domino (2 x 1) lát vào bàn cờ luôn chiếm một ô trắng và một ô đen. Do đó, nếu lát được phần còn lại của

bàn cờ thì
số ô trắng = số ô đen
 Nhưng do hai ô ở hai góc đối diện của bàn cờ là hai ô cùng màu nên trong phần còn lại
số ô màu trắng

số ô màu đen

Vậy không lát được phần còn lại của bàn cờ bằng các quân Domino (2 x 1)
Bất biến là hiệu số giữa số ô trắng và số ô đen trên bàn cờ

⇒

≠


Ví dụ 3: Trên một cái bảng, người ta viết 2008 dấu (+) và 2009 dấu (−). Giả sử mỗi lần, hai dấu bất kỳ bị xóa đi và viết thay bởi một dấu (+) nếu chúng
giống nhau và thay bằng một dấu (−) nếu chúng khác nhau. Sau khi thực hiện 4016 lần như vậy, dấu nào sẽ còn lại trên bảng

Lời giải:





Thay mỗi dấu (+) bởi số 1, thay mỗi dấu (−) bởi số −1.
Khi đó mỗi lần thực hiện cách làm theo đề bài có thể mô tả dưới dạng như sau: hai số bất kỳ được xóa đi và thay bằng tích của chúng.
Như vậy tại mọi thời điểm thực hiện thì tích của các số trên bảng không thay đổi. Ban đầu tích các số trên bảng là −1 nên cuối cùng tích các số trên bảng
cũng là −1.



Vậy dấu còn lại trên bảng là dấu (−).

Đại lượng bất biến là tích tất cả các số trên bảng.


ĐƠN BIẾN



Đơn biến (còn gọi là bất biến đơn điệu) là đại lượng mà luôn tăng hoặc luôn giảm trong quá trình biến

đổi. Sau đây là định nghĩa chặt chẽ của đơn biến.



Định nghĩa: Cho Ω là một tập hợp các trạng thái. T là tập hợp các phép biến đổi từ Ω vào Ω. Hàm số f: Ω
→N được gọi là đơn biến trên tập các trạng thái Ω đối với tập các phép biến đổi T nếu f

•

 

f(t(ω)) f(ω) ∀ω ∈ Ω, ∀ t ∈ T.

Chú ý là dấu bằng đôi khi có thể thay thế bằng dấu >, ≥, ≤. Ngoài ra, tập đích N cũng có thể được thay
thế bằng một tập hợp có thứ tự tốt bất kỳ.

•

Đơn biến được sử dụng trong việc chứng minh một quá trình là dừng


Ví dụ: Xét bộ số nguyên dương (a, b, c). Phép biến đổi T biến (a, b, c) thành (|b– c|, |c–a|, |a – b|). Khi đó có thể chứng minh được rằng hàm số
S(a, b, c) = a + b + c là một hàm không tăng, tức là một đơn biến đối với phép biến đổi T.


MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1: Cho 3 số nguyên không âm a, b, c bất kỳ. Mỗi một lần thực hiện, ta biến bộ (a, b, c) thành bộ (|b – c|, |c – a|, |a – b|). Chứng
minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi, ta thu được bộ có chứa số 0.

Lời giải:




Đặt M = max{a,b,c}.
Ta chứng minh rằng nếu bộ (a, b, c) không chứa số 0 thì M sẽ giảm sau khi thực hiện phép biến đổi. Thật vậy,
không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥c Khi đó ta có |b – c| < b ≤ a, | c- a| < a, | a – b| < a, suy ra max(|b
– c|, |c – a|, |a – b|) < a = max(a, b, c). Như vậy, nếu ta chưa thu được số 0 thì M sẽ nhỏ đi ít nhất một đơn vị
(do tính chất của số nguyên).



Quá trình này không thể kéo dài vô hạn. Vì thế, chắc chắn phải có lúc nào đó xuất hiện số 0.


Ví dụ 2: Trong quốc hội Mỹ, mỗi một nghị sĩ có không quá 3 kẻ thù (nếu A là kẻ thù của B thì B cũng là kẻ thù của A).

Chứng minh rằng có thể chia quốc hội thành 2 viện sao cho trong mỗi viện, mỗi một nghị sĩ có không quá một kẻ thù.

 

Lời giải:



Trước tiên ta chia quốc hội thành 2 viện là (V1) và (V2). Ta tìm cách chuyển các nghị sĩ sao cho số đối thủ của nghị sĩ trong cùng
một viện giảm đi.



Xét nghị sĩ A, nếu A có không quá một đối thủ trong cùng viện thì ta để yên còn nếu A có không ít hơn hai đối thủ trong cùng viện
thì ta chuyển A sang viện còn lại. Gọi S(n) là số cặp đối thủ trong cùng một viện sau lần chuyển n. Do mỗi nghị sĩ không có quá ba
đối thủ nên S(n+1)


giá trị mà S(n) có thể nhận là hữu hạn nên quá trình sẽ dừng lại sau hữu hạn bước và ta nhận được trạng thái thỏa yêu cầu bài toán


Bài tập ứng dụng
Bài 1: Một tờ giấy được xé thành 4 mảnh, mỗi tờ giấy trong đó một số tờ giấy trong bốn mảnh nhỏ này lại xé
thành 4 mảnh nhỏ nữa và một số trong các mảnh nhỏ này lại được xé thành 4 mảnh,…, tiếp tục như vậy thì có
khi nào ta thu được 2012 mảnh giấy hay không? Vì sao?
Bài giải
 Số các mảnh giấy tăng lên sau mỗi lần xé là 3 (mảnh) (đây là đại lượng bất biến trong quá trình xé giấy).
 Ở lần xé thứ n, số mảnh giấy là 1 + 3n (mảnh) với
Vì 2012 = 3.670 + 2

3n + 1 nên ta không thể thu được 2012 mảnh giấy

≠

n∈ N


Bài 2: Cho số tự nhiên có 8 chữ số là 12456789. Từ số này người ta đổi vị
trí các chữ số của nó. Hỏi có thể tạo được số chính phương hay không?

Lời giải.
 Tại mọi thời điểm thay đổi vị trí các số hạng thì số được tạo thành có tổng các chữ số là :

1 + 2 +4+5+6+7+8+9=42
chia hết cho 3 nhưng không chia chia hết cho 9.
Số được tạo thành chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không thể là số chính phương.
⇒


Bài 3: Có 13 con tắc kè xanh, 15 con tắc kè đỏ và 17 con tắc kè vàng trên một hòn đảo. Khi hai con tắc kè
khác màu găp nhau, chúng đổi sang màu còn lại. Liệu có thể đến một lúc nào đó tất cả con tắc kè có cùng
màu hay không?

Lời giải
 Mỗi “trạng thái” trên đảo gồm a con tắc kè xanh, b con tắc kè đỏ và c con tắc kè vàng với a + b + c = 45
 Phép biến đổi màu sẽ chuyển từ trạng thái (a, b, c) sang một trong ba trạng thái (a-1, b-1, c+2), (a-1, b+2, c-1) hoặc (a+2, b-1,
c-1).
Dễ thấy (a-1) – (b-1)

(a-1) – (b+2)

≡

( a+2) – (b-1)

a-b (mod3)

≡

Bất biến X = sai khác giữa số tắc kè xanh và số tắc kè đỏ theo modulo 3. Lúc đầu X
màu thì X 0 (mod 3).
Vì vậy, trường hợp tất cả các con tắc kè cùng màu không thể xảy ra.

≡

≡

2 (mod 3) và khi tất cả các con tắc kè cùng

≡


BT4: Cho 2n điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng những điểm
này có thể phân thành n cặp sao cho các đoạn thẳng nối chúng không cắt nhau.

Lời giải.





Đầu tiên ta phân cặp các điểm một cách ngẫu nhiên và nối chúng lại với nhau.
Gọi S là tổng các đoạn thẳng được nối (Chú ý rằng, do chúng ta có hữu hạn cách phân cặp nên tập giá trị của S là hữu hạn).
Giả sử nếu có hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O thì ta thay AB, CD bằng AC, BD. Nên nếu cặp đoạn thẳng nào đó giao
nhau, ta có thể thay thế cách nối để S giảm xuống. Vì S chỉ có hữu hạn các giá trị nên một lúc nào đó quá trình phải dừng. Và khi
đó, sẽ không có các cặp đoạn thẳng giao nhau.