Toán học cao cấp

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên)

TOÁN HỌC CAO CẤP
T Ậ P BA

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIÊU BIẾN

số

NHÀ X U Ấ T BẢN GIÁO DỤC V IỆ T NAM



Chương I

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố
1.1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến s ố

Xét không gian Euclide n chiều R" (n > 1). Một phần tử X G R" là
một bộ n số thực (X|,
ánh xạ

X2 , . . . ,

Xj,). D là một tập hcfp trong R". Người ta gọi

f :D ^R
xác định bởi
X = (Xj, X2 ,..., x^) 6 D 1-^ u = f(x) = f(X|, X2 ,...,

e R là một hàm

sô của n biên sô xác định trên D ; D được gọi là miên xác định của hàm

số f ; X], X2,...,

được gọi là các

biến sốđộc lập. Nếu xem X|, X2,...,

là các toạ độ của một điểm M e R" trong một hệ toạ độ nào đó thì cũng
có thể viết u = f(M).
Trong trường hợp thường gặp n = 2 hay n = 3, người ta dùng kí hiệu
z = f(x, y) hay u = f(x, y, z).
Trong giáo trình này ta sẽ chỉ xét những hệ toạ độ đêcac vuông góc.
1.1.2. Tập hợp trong R"

• Giả sử M(X|, X2.... x„), N(yj, y2„.. y^) là hai điểm trong R"
Khoảng cách giữa hai điểm ấy, kí hiệu là d(M, N), được cho bỏi
công thức


/ n
_
d(M, N) =

n1/2

/X i-Y i)
Vi=i

Có thể chứng minh đuợc rằng với ba điểm A, B, c bất kì trong R", ta có
d(A, C) < d(A, B) + d(B, C)

(bất đẳng thức tam giác)

• Mq là một điểm thuộc R". Người ta gọi e - lân cận của Mq là tập
hợp tất cả những điểm M của R" sao cho d(M(), M) < e. Người ta gọi lán
cận của Mq là mọi tập hợp chứa một f. - lân cận nào đó của Mq.
• E là một tập hợp trong R". Điểm M e E được gọi là điểm trong của
E Iiếu tồn tại một £ - lân cận nào đó của M nằm hoàn toàn trong E. Tập
hợp E được gọi là m ở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
• Điểm N e R" được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi e - lân
cận của N đều vìra chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm
không thuộc E. Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E, cũng có thể
không thuộc E Tập hợp tất cả những điểm biên của E được gọi là biên
của nó.
• Tập hợp E được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó (tức
là biên của E là một bộ phận của E).
Ví dụ : Tập hợp tất cả những điểm M sao cho d(Mo, M) < r, trong đó
Mq là một điểm cố định, r là một số dương, là một tập hợp mở. Thật vậy,
gọi E là tập hợp ấy. Giả sử M là một điểm bất kì của E, ta có d(Mo, M) < r.
Đặt E = r - d(Mo, M). E - lân cận của M nằm hoàn toàn trong E vì nếu p
là một điểm của lân cận ấy thì ta có d(M, P) < E, do đó theo bất đẳng
thức tam giác.
d(Mo, P) < d(Mo, M) + d(M, P) < d(Mo, M) + E = r. ■
Tập hợp E ấy được gọi là qud cầu m ở tâm Mg, bán kính r. Biên của
tập hợp ấy gồm những điểm M sao cho d(Mo, M) = r, được gọi là mặt
cầu tâm Mq bán kính r. Tập hợp những điểm M sao cho d(Mo, M) < r là
một tập hợp đóng được gọi là quả cầu đóng tâm Mfl bán kính r.

• Tập hợp E dược
gọi là hị clỉậỉì ỉiếu
tồn tại một quả cầu
nào đó chứa nó.
• Tập hợp E được
gọi là liéỉì ỉlìỏỉìg nếu

có thể nối hai diểm
bất kì M |, M-) cùa E
bởi một đường liẻn

Hình 1.1a

Hình 1.1b

lục nằm hoàn loàn

trong E ; lập hợp liên thông được gọi là ííơn Hển nếu nó bị giớithiệu bởi
một mặt kín (hình l.la ), là đa Ỉiêỉt nếu nó

bị2 Ìớihạn bơi nhiều mặt kín

rời nhau từng đôi một (hình l.lb ).
1.1.3. Miền xác định của hàm sô' nhiều biến số

Ta quy ước rằng nếu hàm số u được cho bời biểu thức u = f(M) mà
không nói gì thêm về mién xác định của nó thì micn xác định của u được
hiểu là tập họfp tất cả những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa,

thường đó là một lập hợp liên thông.
\

dụ ì : Hàm số

z = ^ i-x ^
trong miền

được xác định
-i- y“ < 1, tức là trong

quả cầu đóng tâm o bán kính 1
(hình 1.2 ).
V í dụ 2 : Miền xác định cùa
hàm số z = ln(x + y - 1) là miền
X + y > 1 (hình 1.3).

Hình 1.2


\ 'í cìụ 3 : Hàm số
X
= = r được xác
,
2
V l - x ^ - y. .1 ■ 2 .
định khi
< 1, miền

Li

xác định của nó là quả cầu mở
tâm o bán kính 1.
Sau này các khái niệm sẽ
được trình bầy chi tiết cho
trường hợp n = 2 hay n = 3 ; các
khái niệm ấy cũng được mỏ
rộng cho trường hợp n nguyên
dương bất kì.
1.1.4. Giới hạn của hàm s ố nhiều biến số

• Ta nói rằng dãy điểm ỊMj^(Xj^, y„)Ị

dần tới điểm M()(Xq, Ỵq)trong

và viết

lim d(M o,M j,) = 0 hay
n—><»

M q khi n ^

oo nếu

nếu

lim x„ =X q , lim Yn =Yon—
n—
• Giả sử hàm SỐ z = f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận V nào
đó của điểm Mq(Xq, Yo), có thể trừ tại Mq. Ta nói rằng hàm số f(M) có

giới hạn I khi M(x, y) dần đến Mq nếu với mọi dãy điểm

y^)

(khác M q) thuộc lân cận V dần đến M q ta đều có
lim f(X n,y„) = /.
n-^oo

Khi đó ta viết
lim f(x,y) = / hay
(x,yM(X(,,yo)

lim f(M ) = /.

Cũng như khi xét giới hạn của hàm số mộl biến số, có lliể chứng
minh rằng định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau : Hàm số
f(M) có giới hạn / khi M dần đến M q nếu Ve > 0, 3S > 0 sao cho
d(Mo, M ) < ố = > | f ( M ) - /

< 8.


•
Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tưcmg tự như đối
với hàm số một biến số. Chẳng hạn

1
+y2

—> +00 khi (x, y)

(0 , 0 ).

•
Các định lí về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số
một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh
tương tự.
xy

V í dụ ỉ : Tim iim f(x,y), với f(x,y)
(x.v)^(O.O)

+y2

Hàm số f(x, y) xác định trên R \((0, 0)Ị. Nếu cho (x, y) —> (0, 0)
theo phương của đường thẳng y = kx, ta có
f(x, kx) =

khi X

0.

1 + k'

Do đó
lim f(x,kx) = —
x-^0
1+
Vậy khi (x, y)

(0, 0) theo những phucmg khác nhau, f(x, y) dần tới

những giới hạn khác nhau. Do đó không tồn tại

Ví dụ 2 : Tìm

lim
f(x,y).
(x,y)-H.(0,0 )

lim
g(x,y), với g(x, y) =
(x,yH( 0,0 )

Hàm số g(x, y) xác định trên R

xy
+ y^

\ {(0, 0)Ị. Vì

X

•ịy?- + y ^
V(x, y) It (0 , 0 ) nên
t
g(x,y)
Vậy
lim
g(x,y) = 0

(x,y)^( 0,0 )

y < y

< 1,


_
Ví dụ ỉ : Tim

XV

lim h{x,y), với h(x, y)
(x,y)->(0 ,0 )

Hàm số h(x, y) xác định trên

"í

2x^+3y"

\ Ị (0, 0) Ị. Nếu cho (x, y) —> (0, 0)

theo phương của duờng thẳng y = kx, ta có
u3„2
h(x,kx)

Vx

0

2 + 3 k ''x ‘^

Do đó h(x, y) —> 0 khi (x, y)
(0, 0) theo mọi phương y = kx.
Nhưng điều đó không có nghĩa là giới hạn phải tìm tồn tại và bằng 0.
Thật vậy, nếu cho (x, y) ^ (0, 0) trên đường X = y^, ta có
,

1

4 '
Do đó h(x, y)

-

khi (x, y)

(0, 0) dọc theo đường parabôn

bậc ba X = y^.
1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến số

•

Giả sử hàm số f(M) xác định trong miền D, M q là mội điểm thuộc D.

Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M q nếu tồn tại giới hạn
lim

f(M ) = f(Mf)).

Nếu miền D đóng, Mn là một điểm biên của D thì

lim

f(M ) được

hiểu là giới hạn của f(M) khi M dần đến M() ở bên trong của D.
Giả sử Mq

có

toạ độ là (X q, yo)> M có toạ độ là ( xq + Ax, Yo + Ay).

Đặt Af = f(o + Ax, yg + Ay) - f(XQ, yo)- Định nghĩa trên có thể phát biểu
như sau : Hàm số f(x, y) được gọi là liên tục tại (xq, Yq) nếu nó xác định
tại đó và nếu Af —> 0 khi Ax —> 0, Ay ^ 0.

8


Hàm sổ f(M) được gọi là-liên tục trong miền D nếu nó liên tục lại
mọi điểm thuộc D.
• Hàm số f(M) được gọi là liên tục đổu trẽn miền D nếu Ve > 0, 3Ô > 0
sao cho với mọi cập điểm M ’, M" thuộc D mà d (M \ M") < ô ta đều có
f ( M * ) - f ( M " ) |< e
• Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số
một biến sô liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến sớ liên tục trong
một miền đóng, bị chặn thì nó bị chạn trong miền ấy, nó đạt giá trị

lớn nhất và giá trị bé nhất của nó trong miền ấy, nó liên tục đều trong
miền ấy.
V í dụ 4 : Khảo sát tính liên lục của hàm số
xy

f(x, y) =

<

a

nếu (x, y)
(0 , 0 )
X2 + y 2
0
nếu (x, y) = ( 0 , 0 )

trong đó a là một hằng số dương.
f(x, y) liên tục V(x, y)

(0, 0) vì là thưcmg của hai hàm số liên tục

m à mẫu số khác không. Vậy chi cần xét tại điểm (0, 0). ITieo bất đẳng
thức Cauchy, ta có
x y | < —(x^ +y^)==>|f(x,y) < ^ ( x ^
2
2 ^^
Do đó nếu a > 1 thì

lim

f(x,y) = 0 , vậy f(x, y) liên tục
(x,y)->(0,0 )

tại ( 0 , 0 ).
Già s ử a < l . T a c ó
X2ơ.
f(x, x) =

1
— ứ ĩ-a)

không liên tục tại ( 0 , 0 ).

dần tới 0 khi X

0, vậy f(x, y)


1.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1.2.1. Đạo hàm riêng

Cho hàm số II = f(x, y) xác dịnh trong một miền D ; Mq(X(), Ỵq) là
một điểm cúa D. Nếu cho y = Yq, hàm số một biến số X

f(x, Yq) có

đạo hàm tại X = Xq, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng c ủ a f đối

với

X

tại M() và được kí hiệu là
f'x(XO’yo) hay |^ ( X o ,y o ) h a y |^ ( X o ,y o ) .
ơx
ơx

Đặt A^f = f{X() + Ax, Yq) - f(X(),

Y q ).

Biểu thức đó được gọi là số gia

riêng của f(x, y) theo X tại (Xq, Yo)- Ta có

A^f
ơx

Ax-^o Ax

Tương tự như vậy, người la định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với y
tại M(), kí hiệu là
fy (x o ,y o )h ay ^ ( x o , y o ) hay y { X Q ,y Q ).
Các dạo hàm riêng của hàm số n biến số (n > 3) được định nghĩa
tương tự. Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào, chỉ
việc xem như hàm số chỉ phụ thuộc biến số ấy, các biến số khác được
coi như không đổi, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một
biến số.
V í dụ ỉ ; z =

(x > 0).
3 z y —Ị

3 z

— = yx-^
dx

V,

, — = x^lnx.
dy

V í dụ 2 : u = x ‘^ zarctg— (z ^ 0).
z
d\x

10

^9
y du
T
= 3x^zarctg—, — = x^z

1

1


ờu

,
y
^
— = x arctg —+ x z
ơz
z

y
1+

=

y

^ ___ y
yz ^
a r c t g ^ - - / — -y
z y-^+z^

3f
C///Ý thích : ^
là môt kí hiêu, chứ không phải là mót thương ; ở f và dx
ơx
đứng riêng rẽ không có ý nghĩa gì.
1.2.2. Vi phân toàn phần

• Cho hằm số z = f(x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm
MqCxq, Yo) e D, M(Xq + Ax, Yo + Ay) e D. Biểu thức Af = f(xQ + Ax,
Yq + Ay) - f(xQ, Yq) được gọi là số gia toàn phần của f tại M(). Nếu có thế

biểu diễn nó dưới dạng
(1.1)

Af = A.Ax + B.Ay + ocAx + Ị3Ay,

trong đó A, B là những sô' chỉ phụ thuộc X(), Yg, còn a , 3 dần tới 0 khi
M

Mq, tức là khi Ax

0, Ay

0, thì ta nói rằng hàm số z là kỉuỉ vi

tại Mq, còn biểu thức AAx + BAy được gọi là vi plìâii toàn ph ần của
z = f(x, y) tại Mq và được kí hiệu là dz hay df.
Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại
mọi điểm của miền ấy.
Chú thích. Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại M q(Xq, yo) thì từ đẳng thức
(1.1) suy ra rằíig Af ^

0 khi Ax ^

0, Ay —> 0, vậy f(x, y) liên tục

tại Mq.
• Đối với hàm số một biến sô' y = f(x), nếu lại X = Xfl tồn tại đạo hàm

(hữu hạn) f(xo) thì ta có

Ay = f(Xfl + Ax) - f(X()) = f(XQ)Ax + ocAx,
trong đó a —> 0 khi Ax

0, tức là f(x) khả vi tại X = Xq. Đ ối với hàm số

nhiều biến sô' z = f(x, y), sự tổn tại của các đạo hàm riêng tại Mq (xq,
chưa đủ để hàm số khả vi tại đó. Thật vậy, xét ví dụ sau :

Y

q

)

11


c^lio hàm sô
xy

f(x, y) =

nếu (x ,y ) 7i ( 0 , 0 )
x^+y2
0
nếu(x,y) = (0 ,0 )

Ta có
f'j((0,0) = lim
h-^o

vì f(h,0) = 0 nếu h
riêng

- lim
h-^o

f(h , 0 )
h

= 0,

0, Tircmg tự. ta có fỵ(0, 0) = 0. Các đạo hàm

tại (0, 0) đều tồn tại, nhưng hàm số f(x, y) không liên tục

tại (0, 0) (xem ví dụ 3, mục 1.1.5) nên không khả vi tại (0, 0).
•íiĐịnh lí sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm sô' z = f(x, y) khả vi tại
M o(Xq, Yq).
Đinh lí 1.1. N ếu hàm sỗ z = f(x, y) có các đạo hàm riêng ở lán cận
điểm

}'i)) rờ nếu các đạo hàm liêng ấy liên tục tại M() thì f(x, y)

khả vi tại M() và ra có
(1.2)

dz = f j^Ax + f yAy.

Thật vậy, ta có

Af = f(xo + Ax, Yo + Ay) - f(X(), Yo) =
= [f(Xo + Ax, Yo + Ay) - f(xQ, Yo + Ay)] +

[f(Xf),

Yo + Ay) - f(xQ, yo)]-

Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm sô' một biến số, ta được
f(Xo + Ax, Yo + Ay) -

Yo + Ay) = Ax.f^(Xo + 0|A x, Yo + Ay)

f(XQ, Yo + A y) - f(X(,, Yo) = A y .f y(xo, Yo + 62Ay),

trong đ ó O < 0 | < 1 , 0 < 0 ') < 1. Nhưng VI f và fy liên lục tại Mq nên
í\( x q + 0, Ax, y,) + Ay) = f^(X{,, yo) + a ,

+ ^2^y) = <"y(Xo- yo) + p

12


trong đó a —> 0, p —> 0 khi Ax

0, Ay —> 0. Do đó

Af = f^(x„, y(,).Ax + fy(xQ, yo).Ay + oAx +Ị3Ay,
vậy f(x, y) khả vi tại M q và ta có đẳng thức (1.2).
Cììú thích. Cũng như đối với hàm số một biến số, nếu X, y là biến số
dộc lập thì dx = Ax, dy = Ay, do đó

dz = f J(dx + f ydy.
•

Từ định nghĩa ta thấy rằng vi phàn toàn phần d f chỉ khác số gia

toàn phần Af một vô cùng bé bậc cao hơn p = ^ ịà x - + A y - . Do đó klii
Ax và Ay có trị sô' tiiyệl đối khá bé, ta có thể xem Af = df, tức là
(1.3) f(X(j + Ax, Yo + Ay) = f(xQ, Yq) + f^(xo, yo)Ax + fỵ(X(), yo)Ay
V’/ dự : Tính gần đúng arctg

1,02

0,95

y

Xét hàm sô z = arctg—. Ta cần tính z( xq + Ax, Yo + Ay), với Xq = 1,
X

Yo = 1, Ax = -0 ,0 5 , Ay = 0,02. Ta có z', = — 7 ^
Theo công ihức (3), la có z(l + ^

+
2

; z'y = - t ^ -

0,05 ; 1 + 0,02) == z ( l , l ) +

=: - + 0,035 = 0,785 + 0,035 = 0,82 radian.
4

1.2.3. Đạo hàm của hàm s ố hợp

D là một tập hợp trong R". Xét hai ánh xạ (p : D ^ R"’, f :
R.

Ánh xạ tích fo(p xác định bởi
fo(p :

x„) e D

(U|(X|,..., Xn),..., u J X | , . . „ x^)) e cp(D)

f(U|(X|,..„ Xn)..„ u J X ị ,. .. , x„)) e R

được gọi là hàm sô' hợp của các biến sô'
trung gian
F = fo(p, ta có

F : (x, y) G D

qua các biến số

u^. Đ ể cho dơn giản, ta xét trường hợp n = m = 2. Đặt

(u(x, y), v(x, y)) e (p(D)

f(u(x, y), v(x, y)) = F(x, y)

13


Đỉnh lí 1.2. N ếu f cỏ các dao hàtìì riêng —
liên titc írong (pịD)
ơu ơv
.
du du ỡv 3v
n ĩ:
r.
và nêu II, y có các đao hàììì n ên g — ,— ,— ,— trong D thỉ ĩrong D
0X dy ơx ơy
tân toỉ các đao hàm nâỉìg — ,— và ỉa cô
dx dy

(1.4)

3F _ 3f 3u

3f 8 v

dx
0U d x
d ĩ _ d f 3u

dy dx
0 f dv

dy

dv dy

3u d y

Chứng minlì. Giả sử (Xq, Yq) g D, (Xq + h, Yq) € D. Đặt
ỗ = F( xq + h, Yo) - F(X(> Yo)
= f(u(X() + h, Yo), v(xq + h, yo)) - f(u(xQ, Yo), v(X(), Yo)) và k í hiệu

Uq = u(xo, Yo), Uị = u(xq + h, yo), Vg == v(xq, Yq), V| = v(Xo + h, Yo). Ta có
ô = f ( U | , V | ) - f ( u o , v o ) = [ f ( u i , V | ) - f(uQ , V |) ] + [f(uQ, V | ) - f ( u o , vo )]

5

f ( U |.V |) - f ( U Q ,V |) Uị - g ọ ^ f(U o.V i)-f(U o,V o) Vị - V ọ ^

h

^1 “ ^0

^

“ ^0

3 f 3f
Vì —
li ên tuc trong A nên công thức số gia gới nôi áp dung vào
du dv
'

f(Uị, V|) - f(uQ, V|) và f(uQ, V|) - f(uQ, Vq) cho ta
Ẽ. = Ề Í(U

+

V

trong đó U2 = U() + 0|(U| - Uq), Vj = Vq + 02(V| - Vq), 0 < 0| < 1. 0 < 02 < 1.

Cho h —> 0, ta được

,,

ô
u

h->Oh

3F
=

x_3f,

,9u,

X 9vổv

^ ^ o - y o ) = - ^ ( « 0 ’V o ) ^ ( x o , y o ) + i ^ ( u o ’V o )i-(x o -y o )dx
du

dx
du
ơx
3

Đó là đẳng thức đầu của (1.4). Đẳng thức thứ hai của (1.4) được
chứng minh tương tự. ■

14


Các công thức ( 1.4) có thể viết dưới dạng ma trận
^du
í d F d¥^

íd f

dx
^ ỡu 0U y dv
dx

U x ỡy J

au"

dy
dv
dy

trong đó m a trận

0U

3u

3x
dv

3y
dv

dx

dy

được gọi là /na trận Jacobi của ánh xạ (phay m a trận lacobi của

u, V đối

với X, y, còn định thức của m a trận ấy được gọi là định thức .ỉacobi

của

u, V đối với X, y và được k í hiệu là

D(x,y)
Trong tính toán, người ta không phân biệt f và F, chúng lấy cùng giá
trị tại những điểm tương ứng (u, v) và (x, y). Có thể viết
0 f dv

_ 3f 3u

d\

0U dx

dv dx '

d f _ d ỉ 3u

d f dv

dy

dv dy

3u dy

V í dụ : Cho z = e^lnv,

u

= xy,

— = e In v.y + e . — ,2 x =
ơx
V
_

u ^ ^
V

— = e In v.x + e . —.2 y =
ơy

V =

+ y^. Ta có

XV y ln (x ^ + y ^ ) +

2x

+y
XV xln(x^ +y^) + — ^
+y2

Chú thích I. Nếu z - f(x, y), y = y(x) thì z ià hàm số hợp của
X, z = f(x, y(x)). Khi đó ta có
dz

dĩ

^

15


Nếu z = f(x, y), X = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua
hai biến trung gian X, y. Khi đó ta có
dz

ỏf

dt

ơx

^

VN
ơy

Chú thích 2. Nếu giả thiết thêm rằng

3

ở

3

3

d x ' d y ’ d x ’dy

liên lục thì từ

liên tục, do đó z xem n h ư hàm số của X, y là

(1.4) suy ra rằng
khả vi và ta có

^ _ df
df ^ ,
dz = — dx + — dy.
3x
dy
Thế các công thức (1.4) vào, ta có
dz =

f 3f 3u

0 f 3v V

f 8 f 3u

v3u 3x

dv d x j 1^3u 3y

dv)

dy =

ơv ơy^

d f f du
3u ^
3f f 3v
J ì
— — d x + — dy + — ^ ddx
x ++ ^^ dd yy :

3ui 3x
dy
j ỡvi dx
dv
3u
dy
3f

3y

du + — dv.
dv

Vậy vi phân toàn phần của hàm số z = f(u, v) có cùng m ột dạng d ì
cho u, V là các biến sô' độc lập hay là các hàm số của những biến số độc
lập khác. Do đó vi phân toàn phần của hàm s ố tìliiều biến s ố cũng cc
dạng bất biến như vi phân của hàm số một biến số.
Các công thức
vdu - udv

đúng khi
Vvy
V
u, V là các biến số độc lập nên cũng đúng khi u, V là những hàm số của
các biến số khác.
d(u ±v) = du ± dv, d(uv) = udv + vdu, đ

1.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao

•

Cho hàm số hai biến sô' z = f(x, y). Các đạo hàm riêng
fy li-,
những đạo hàm riêng cấp inột. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêni,

16


câp một nêu tổn tai được gọi ià những dạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn
clíio hàm riéng cấp hai dược kí hièii như sau :
ỡ í ở f'ì c!-f
^ - - ; : : T = í , 2 (x,y)
ỏx V dx y ax
Ờ ^ d ĩ ) _ d 2f

ày Vox )

.... .

dyơx

a f 0f ; _ a 2f

,, _

^

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được
gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,...
ỉ
Vicỉụ:

z _= x ^y .3 + x

4

z ’^ =: 2 xy'^ -h 4x'"

z'y = 3x y'^

z ''2 = 2 y \ ì 2 x

" =
—6^x y 2
Zy^

z ”y = 6 xy"

Zy2 = 6 x y.

Trong ví dụ trẽn ta nhận thấy rằng z”y =Zyx- Liệu điều đó có luôn
luôn đúng không ? Ta có cỉịnh lí quan trọng sau đày :
Địn/i lì 1 3 (Scliwar:). Nếu trong một lân cận

u nào

đó của điểm

^ 0(-^0’ yo> ^'àni sô z = f(.\, y) có các dạo lìàm riêng f ”y, fy^ và lìếìỉ các
dạo hàm ấy liên rục tại Mị) thì f^'y = fý'^ tại Mị).
Chứng minh. Giả sử h, k là nhĩmg sô đủ nhỏ, khác 0 sao cho các điểm

(X() + li, Yo), (Xq, Yo + k), (Xq + h, Yq + k) thuộc m iền

u. Tính

biểu thức

A = [f(xQ + h, Yq + k) - f(X(), Yo + k)] - [f(xo + h, Yo) - f(xQ, Yo)] theo
hai cách khác nhau. Trước hết, đạt
ọ{y) = f(Xo + h. y) - f(xQ, y).

2- TOANCAOCẤP - T3

17


ta có
A -(p (y o -ỉ-k )-(p (y o ).
Tlieo cống thức sô gia giới nội, ta được

A = k(p'(yo + 0 |k)'
trong đó 0 < 9 | < 1. Nhimg

Vì vậy A = k[fý(Xo + h,yo + 0|k )-fỳ(X (),yQ + 0 |k )].

Lại áp dụng công thức số gia giới nội đối với biến X ớ v ế phải, la
được A = khfị'^,(xo + 02 h,yo + 0 ịk ),
trong đó 0 < 09 < 1. Bây giờ viết lại
A = [f(Xo + h, Yo + k) - f(X() + h, Yo)] - [í (Xq, Yo + k) - f(xQ. yo)] =

= \ị/(xo + h) - ụ(xo),
Irong đó
\Ị/(x) = f(x, Yo + k) - f(x, Yo).

Cũng như trên, tồn tại hai số 63 , 8 4 , 0 <

63

< 1, 0 < 04 < 1, sao cho

A = h\ị/'(Xo + 03h) =
= h [ f x ( X o + 03h,y(3 + k ) -

(X() + 03h,Ỵ () )] =

= h k f x y ( X (3 + 0 3 h , y o + 0 4 k) .

So sánh hai kết quả tính trên, ta thấy
fy^(Xo + 02 h,yo + 0 |k) = f;;.'y(xo +03h,yo + 04^)
cho h -> 0, k

0, do giả thiết liên tục của fyj( \'à f^'y lại M q, ta được

fyx(Xoơo) = fxv(Xo^yo)Định lí ấy cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của
hàm số n biến số với n > 3. Chẳng hạn, nếu u - f(x, y, z) thì
“ ^yzx “ ^zxy “ ^x/.y “

18

• Xét hàm số z = f(x, y). Vì phân toàn phần của nó
d z == f^dx
uz
I^ax + f'dy.
lyơy,
nếu tổn tại, cũng là một hàm số của X, y. Vi phân toàn phần của dz nếu
tốn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và được kí hiệu là
d “z. Vậy :
d^z = d(d z)= d(f;dx + fịdy).
Cứ tiêp tục như vậy người ta định nghĩa các vi phân cấp cao hơn
d'^z = d(d^z)
d"z = d(d" 'z).

Giả sử X, y là những biến số độc lập, khi ấy dx = Ax, dy = Ay, đó là
những hằng số không phụ thuộc X, y. Giả sử d^z tồn tại. Ta có
d^z = d(dz) = (f^dx + fýdy)'^ dx + (f^dx + fýdy)'y dy =
= fx2dx^ + (fxy + fỳ'x )dxdy + ^ 2 dy 2 .
Giả thiêt rằng f^y và fý^ liên tục, khi đó chúng bằng nhau, vì vậy
d^z =

+ 2 f^'ydxdy + ("idy^.

Người ta thường dùng kí hiệu tượng trưng
(1.5)

d^x = ^ d x + — dy
dx
dy

trong đó các bình phưưng của

d

d

3x ’3y
lần đối với X, hai lần đối với y.

chỉ phép lấy đạo hàm riêng hai

02

d \d y

chỉ phép lấy đạo hàm riêng một lần

đối với y, một lần đối với X.

Tiêp tục tính toán như vậy, ta được công thức luỹ thừa tượng trưng

( 1.6)

=
0X

dx + -:^dy
dy

f.

19


Bây giừ giả sìr X, y không phải là biến số độc lập, mà là các hàm sò
của các biến sô' dộc lập s. t. Khi ấy dx. dy không phải là những hăng sổ
nữa, mà phụ thuộc vào s, t. Do đó

d 'z = d(dz) = d(f;^dx + fỵdy) =
= d(f^)d x + f^d(dx) + d(fỳ)dy + fỳd(dy)

= f"2dx“ + 2 f;^'ydxdy + f"2dy- + fxd‘ X + fỳd-y.
Rõ ràng trong trường hợp này, công thức (1.5) không còn đúng nữa,
Vi phân loàn phần cấp lớn hcín hoặc bằng 2 của hàm số nhiều biến sô
không có dạng bất biến.
1.2.5. Hàm s ố thuần nhất

D là một

tập hợp trong

R" có tính

chấl

sau : nếu điểm

M(X|, Xị,..., x^) e D, thì Vt > 0 điểm (tX|, tX2 ,..., tx^) cOng thuộc D,

tức là nếu D chứa diểm M thì D cũng chứa tia nối o với M.
Hàm sô' f(X|, X2 ,..., Xj,) xác định trên D được gọi là tlìiiần nhái

bậc k nếu
(1.7)

f(tXj, tX2,..., tx„) = t*^f(X|,

J
Vi dụ :

I 7 . T

x„)Vt > 0.

X x ^ y + y^z^+xz-^
, l n ^ a r c t g —,— ^ ----- — - - — là nhimg hàm số
y
x ^ + y -+ z^

thuần nhất theo thứ tự có bậc 1 xác định trên R “, bậc 0 xác định
r

trên

\ { ( 0,0)K bậc 2 xác định trên r \ { ( 0 , 0, 0)}.
• N ếu f là m ột liàtn s ố íhuần nììấí bậc k ĩììì các dạo hàm ỉ iêìig cấp

niộỉ của ỉỉó là ỉìhững hàm s ố tlìiiần ìĩhấĩ bậc Ả' - / .
ITìật vậy, đạo hàm hai vế của (1.7) đối với
tf’
do đó

20

ta được

(tX|, tX2,..., tXj^) ^

(tXj, tX2..... ix^) =

• H ànì sổ ỷịX ị,

Xị,

(X|, X2..... x^) ■
là thuần nhất bậc k khi và c h ỉ khi


( l.S ì

Ẻ ^ , | - = kí.

Cong tliức (1.8) (ÌLrực uọi là côft{ị íliừc E iíỉc ỉ.

Thậl vây. ^iả sứ f là hàm số ihuẩiì nhâì bậc k, nó thoả mãn ( ỉ . 7). Lấy
đạo liàm hai vế cùa (1.7) dối \'ới t. la dược
II
^ X ị f ’ (tX|.....*f(X|,..., x,^).
1=1
Cho í = 1 trong đẳng thức đó, ta được (1. 8 ).
Đảo lại, giả sử hàm số f thoả mãn đảng thức ( i .8 ). Trong (1. 8 ) ihav Xj

bởi

tXj

với mọi i ta được
n
tx^) :=:kf(tX|,..., tx^).

i= Ị
Nhân hai vế với

ta có

^ X ịf ',
i=l

- kt^

tx^) = 0 .

f ( tX
tx )
Vế trái là tử số của dạo hàm theo t của ------Đạo hàm đó

bàng không, nên
cho t - 1, ta được

bằng hằng số

c-

c. Muốn tìm c chỉ viêc

x^). Do đó

Đó chính là đẳng ihức ( 1.7). ■
1.2.6. Đạo hàm theo hướng. Građiên
•

u(x, y, z) là mội hàm số xác định trong một miền D c R". Qua

điểm M q(Xq, Yo, Z()) g D vẽ một đường ihẳng định hướng mà vectơ đơn

vị là ^ ; M là một điểm trên đường thẳng ấy, la có M qM - p/, trong đó

21


p là độ dài đại số của vectơ M qM (hình 1.4). Nếu khi p

0 (tức là M

dần tới M (3 theo hướng /), ti số
Au _ u (M )-u (M ())
p

p

dần tới một giới hạn hĩai hạn thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của
0ỊJ

hàm s ố li theo hướng l lại Mq và được kí hiệu là ^ ( M q ) .
3/

Nếu / trùng với vectơ đcín vị ĩ của trục Ox thì
)3/

u(xo + P ơ o , Z ũ ) - u ( x o , y o , z o ) _ 3u(xo)

p^ô

p

3x

Vây đao hàm riêng — chính
3x
là đạo hàm của u theo hướng của
^
. ổu du
^
truc Ox. Cũng vây —
là đao
3y dz
hàm của u theo hướng của Oy, Oz.
Đạo hàm của hàm số u theo
hướng

/

biểu thị tốc độ biến

thiên của u theo hướng 7.
Định lí 1.4. N ếu hàm s ố u - uịx, y, z) khả vi tại điểm M q(xq, yQ, Zq)
thì tại điểm ấy nó có đạo hàm íheo mọi hướng l và ta có
(1.9)

3u(M o) _ 5 u(M o )

9 u(M o )
o 5 u(M q )
— l l l l ui cos a + — ^ ^ -^ co sp H -— ^-^C O SỴ

—

3/

ơx

dy

dz

ĩroiìg dó co sa , cosP, coscplà các thành phần củơ l.

Chứng mình. VI u(x, y, z) khả vi tại M, nên
^
^
^
Au = u(M) - u(M q) = |^ (M o)A x + |^ (M o )A y + ■^(M())Az + a(p),
ơx

ơy
ơz

22


trong đó a (p ) là vỏ cùng bé bậc cao đối với p. Vì
Ax = pcosa, Ay = pcos|3, Az = pcosỴ
nên
— =
( Mq ) cos a + ^ (Mq ) cos p + ^ (M n) cos Y +
p
ơx
dy
ơz

Chuyển qua giới hạn khi p
•

p

0, ta được (1.9). ■

u(x, y, z) là hàm sô' có các đạo hàm riêng tại MqÍXq, yg,

Zq ).

Người

ta gọi građiên của u tại Mg là vectơ có các thành phần là

|^ (M o ),|^ (M o ),^ (M o )

và kí hiệu nó là gradu(Mo). Nếu i, j,k là các vectơ đơn vị của các trục
Ox, Oy, Oz, ta có

( 1. 10)

grad(Mo) = ậ ^ ( M o ) ĩ + | ^ ( M o ) j + ^ ( M o ) k .
ơx
dy
ơz

Định lí 1.5. N ếu Ììàm sốliịx, y ,z ) khả vi tại M q thì tại đó ta có
du

Thật vậy, vì / = c o s a i + c o s|3 j + C0SYk, nên công thức (1.9) có thể
viết là
3u
----- '
- H
----- ----- _
(Mq) = gradu(Mo)./ = ỉ xh-gradu(M o) = ch^grad(M o) ■
dl
Chú thích. Từ (1.11) suy ra rằng

0 u( M q )

đạt giá trị lớn nhất bằng

3/

gradu(Mfl). Khi

7

đồng phưcmg với gradu. Vậy gradu(Mo) cho ta

biết phương theo nó tốc độ biến tlìiên của u tại
cực dại.

M ịỊ

có giá trị tuyệt đối

Ví dụ : Q io u = x“ + y + z' + 3xyz. Tính gradu và ^ tại Mn(l, 2, -1 )
dl
—*

^

biết / là vectơ đcfn vị của M()M| với M |(2 , 0, 1).

23


Ta có u, = 3x^ + 3yz, u^, = 3y” + 3zx, LI^ = 3?" + 3xy
gradu = 3 (x ' + yz) ĩ + 3(\'" + zx) J + 3(z'^ + xy) k
gradu(M()) - 3 ( - ĩ + 3j + 3k ).

Vì MqMị

có

cosa =
3u

các thành phần là {1, - 2 , 2 í nên
1

3

cosS =

(M o) = (-3 )

2

,

cosỴ = —, d o đ ó
3
+9

+ 9.

3j

dl

,

3

-

1.

V3

1.2.7. Công thức Taylor
Công thức số gia giới nội, công thức Taylor dối với hàm số một biến
số cũng được mở rộng cho hàm số uhiều biến số.

Địnlĩ lí Ị .6. Giá sử hàm số f(x, vj có các đạo hàm riêng dêh cấp (lì + I)
liên tục trong một ỉâii cận nào đó của điếm M ị)(xq, V(;j. N ếu điêm
M(xq + Ax, yị) + Ay) cũng nằm trong lán cận đó thì ỉa có
1

2

(1.12) f(xo + Ax, Yo + Ay) - f(XQ, Yo) = df(Xo, Yo) +

f(X{„ Yo) + - +

+ ^ d " f(x Q , yo) + ^
d"^'f(Xo + 0Ax, Yo + 6 Ay),
n!
(n + 1)!

o < 0 < 1.
Công thức (1.12) gọi là công thức Taylor đối với hàm số f(x, y).

Chứng minh. Đặt F(t) = f(Xo + tAx, Yo + tAy), 0 < t < 1.
Vế trái của (1.12) bằng F (l) - F(0). Vì f(x, y) có các đạo hàm riêng đến
cấp (n + 1) liẽn tục, nên hàm sô' F(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp (n + 1)
trong đoạn [0, 1]. Công thức Taylor áp đụng cho hàm số F(t) cho ta
(1.13)

F ( 1 ) - F ( 0 ) = F (0 ) + - - F " ( 0 ) + ... + — F(")(0) +
2!
n!
+

___ [_

(n + 1)!
Ồ < 0 < 1. Nhưng

24

p(n+l)( 0 )


I-"(0) = í'x (X(),yo )Ax + fy(X{,,y„ )ày = df(X(,,V(, i
F'’(0) = r:(X (,,y (|)A x ' + 2í^'^(X(|,y„ )AxAy +
+ ộ ( x „ , y o ) A \ - = d 2 f(x „ .y „ )

p('i+n^Q^ _

+ Oủx, Yd + OAy).

Thế các đắng tlurc này vào {1.13) ta dược (1.12). ■

Đùng cóng thức liiỹ tliừa tượng trimg để bicu dicn \ì ịìháii cấp ca« ta
có tiiế viết công Ihức Taylor (1. ] 2) như sau :

k=l
.IH-Í

1

+ ----— Ax + — Ay
(n + 1)! , ơx
ôy

f(M ,)

với M | nằm trên đoạn tliáng nối M(, VỚI M.
Chủ íììích. Nếu trong cóng thức (]. ] 2) hay ( 1. 12') cho n = 1, ta được
(1.14)
hav
(1.14')

f(x„ + Ax, yo + Ay) - f(X(), y(|) = df(Xo + GAx, Yo + 0Ay)

f ( M ) - f ( M ( ,) = Í ^ A x + ~ A y ì f { M | ) .
^dx
dy

Đó là cô//^ẹ thức sò'giơ giới nội đối với hàm sổ Rx, y).

1.3. CỰC TRỊ

1.3.1. Cực trị của hàm số nhiều biến số

Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong một miềo D nào đó, MqÍXq, Yo)
là một điểm trong của D. l a nói rằng f(x, y) đạt cực

II Ị tại

M{) nếu với

mọi điểm M trong một lân cận nào đó của Mfl, nhưng khác M(), hiệu số

25