Quan hệ hai ngôi và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ THU THỦY

QUAN HỆ HAI NGÔI
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ THU THỦY

QUAN HỆ HAI NGÔI
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Nguyên An

THÁI NGUYÊN - 2019

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✷✳ ✣↕✐ sè tê ❤ñ♣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳ ✣➳♠ ♠ët sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤➦❝ ❜✐➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ⑩♥❤ ①↕ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳ P❤➙♥ ❤♦↕❝❤✱ sè ❙t✐r❧✐♥❣ ❧♦↕✐ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳ ✣➳♠ sè q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈➔ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ❜➢❝ ❝➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺
✷✸
✷✼
✸✷

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✐



A B t ủ ởt q ổ tứ t A t B
ởt t ừ t t A ì B t ởt q ổ
tứ A A ữủ ồ ởt q ổ tr A R ởt q
ổ tr t A (a, b) R t t aRb ồ a õ q

R ợ b ổ t tr ừ
t ồ số ố ồ ồ ỵ tt ỗ t ồ t
ởt trữớ ủ t ừ q ổ q ổ
tr ữỡ tr ờ tổ q t q ỗ
ữ q ợ ỡ q s s số tữớ q
t t t s ừ q ổ r ố ự
str trst t ố ự str ố ự
tstr t rr ử ừ
t ởt số t tờ ủ q ổ ừ
ởt số t tr
ữủ ữỡ ữỡ tr ởt số
tự ỵ tt q ổ q tữỡ ữỡ q
tự tỹ ỵ tt tờ ủ tự
ữỡ ữ ố ợ t tự ừ ữỡ tự ợ
õ ự ử tr t ờ tổ ữỡ ừ t
t t
ữỡ t t ữỡ ừ tr
ởt số t q q ổ t t
ởt số q ổ t ụ õ t r q
ổ t t tứ ỳ tr t sỡ ữ ỵ tt t
ỵ tt ỗ ữ ữ ổ ờ ừ t t
ởt số t sỡ q t tờ ủ ởt ữ ỵ ừ



t ố t t ừ
ởt t ởt q ổ trữớ
ủ t ỡ s t ữủ tr tr ử tự
ừ ữỡ ự số t ủ ỵ t t số tr
t số ởt t ủ ữủ tr

tr ử tự ừ ữỡ ử ố ừ ữỡ t số q
tữỡ ữỡ số q ợ q tự tỹ t
ú ỵ r số q tữỡ ữỡ tr t n tỷ số
số tự n
r q tr tổ ữủ sỹ ữợ ú ù
t t ừ r rữớ ồ ữ ồ
ổ ữủ tọ ỏ t ỡ s s t
ổ ỷ ớ ỡ t qỵ t ổ ợ
ồ õ ồ õ trữớ ồ ồ
ồ tr tử tổ tự
ự ồ
ớ ố ũ t ố tr ố
s ỳ õ t t ổ ồ t ừ
t


ũ ừ




❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tø t➟♣ A ✤➳♥ t➟♣ B ❧➔ ♠ët t➟♣

❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ t➼❝❤ ✣➲ ❝→❝ A × B ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tø A ✤➳♥ A
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tr➯♥ A✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐
♥❣æ✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣ A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ A2✳

❚❛ t❤÷í♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ❜➡♥❣ ❝→❝ ❝❤ú ❝→✐ R ✭❤❛②
S, T, U, V, . . .✮✳ ◆➳✉ R ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tr➯♥ t➟♣ A ✈➔ (a, b) ∈ R
t❤➻ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ aRb ✭✤å❝ ❧➔ a ❝â q✉❛♥ ❤➺ R ✈î✐ b✱ ❤♦➦❝ ♥â✐ t➢t ❧➔ a R b✮✳ ❑❤✐
(a, b) ∈
/ R t❤➻ t❛ ✈✐➳t aRb ✭✤å❝ ❧➔ a ❦❤æ♥❣ ❝â q✉❛♥ ❤➺ R ✈î✐ b✮✳ ❚❛ t❤÷í♥❣
q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❝õ❛ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû R ⊆ A × A ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐
♥❣æ✐ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ P❤↔♥ ①↕ ✭r❡❢❧❡①✐✈❡✮ ♥➳✉ ∀a ∈ A, ((a, a) ∈ R)❀
✭✐✐✮ ✣è✐ ①ù♥❣ ✭s②♠♠❡tr✐❝✮ ♥➳✉ ∀a, b ∈ A, ((a, b) ∈ R t❤➻ (b, a) ∈ R)❀
✭✐✐✐✮ ❇➢❝ ❝➛✉ ✭tr❛♥s✐t✐✈❡✮ ♥➳✉ ∀a, b, c ∈ A, ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R t❤➻
(a, c) ∈ R)❀
✭✐✈✮ ❇➜t ✤è✐ ①ù♥❣ ✭❛s②♠♠❡tr✐❝✮ ♥➳✉ ∀a, b ∈ A, ((a, b) ∈ R t❤➻ (b, a) ∈/ R)❀
✭✈✮ P❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ✭❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝✮ ♥➳✉ ∀a, b ∈ A, [((a, b) ∈ R∧(b, a) ∈ R)
t❤➻ a = b]❀
✭✈✐✮ ❇➜t ♣❤↔♥ ①↕ ✭✐rr❡❢❧❡①✐✈❡✮ ♥➳✉ ∀a ∈ A, ((a, a) ∈/ R)✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ A = {1, 2, 3}✳ ❳➨t ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}✱
✸


R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}

R3 = A ì A

R4 = {(2, 2), (3, 3), (1, 2)}
R1 R2 R3 R4
P T F T F
ố ự T F T F
T T T T

õ ợ ỵ r ỵ s

ử A = {1, 2, 3, 4} t q
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (4, 3), (3, 2)}
R2 = A ì A

R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (4, 3), (4, 1), (3, 2)}

R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}

P P P

R1
R2
R4
R5

F
T
T
T

F
T
T
T

F
F

F
F

T
F
T
F

F
F
F
F

F
T
T
T

ú ỵ t t tt P P ố ự P P ố
ự P t
ởt q ổ tr t A ữủ ồ q
tữỡ ữỡ õ õ t t ố ự
tr tố q tữỡ ữỡ tữớ ữủ .
ởt q tữỡ ữỡ tr t A. ợ ộ a A, t ồ
ợ tữỡ ữỡ ừ a ố ợ q tữỡ ữỡ [a]
[a] a C(a) õ ởt t ừ A ữủ
[a] = {b A | b a}.

ỗ tớ t ủ tt ợ tữỡ ữỡ ừ tỷ tr A ữủ
ồ t tữỡ ừ A t q tữỡ ữỡ ữủ

A/ . ữ t õ
A/ = {[a] | a A}.

ử m ởt số tỹ ợ ỡ r t Z số
t q ổ R ữ s ợ ồ a, b Z, t õ
aRb m|(a b).



ữủ ồ q ỗ ữ t ổ m ỏ ồ q
ỗ ữ m a ỗ ữ b t ổ m t tữớ
a b (mod m).

t õ ởt q tữỡ ữỡ tr t Z ợ a Z ợ tữỡ
ữỡ ừ a ữủ a ữủ ồ ởt ợ t ữ t ổ
m ợ a tữỡ ừ Z ố ợ q ỗ ữ m
ữủ Zm ữủ ồ t ợ t ữ t ổ m
t ủ ợ t ữ m a Z õ t õ
a = {b Z | b a (mod m)} = {b Z | b a

t m}.

ợ ộ a Z t ổ õ a = mq+r tr õ 0 r m1
t ỵ ợ ữ õ b a = b mq r t õ
a = {b Z | bmqr

t m} = {b Z

| br

t m} = r.

ỡ ỳ ợ ồ số tỹ i, j s 0 i < j m 1 t ổ õ
0 < j i < m j i ổ t m õ i j (mod m)
i = j. t t Zm ỗ m tỷ ổ ởt ữ s
Zm = {0, 1, . . . , m 1}.

ú ỵ r a = mq + r t a = r. t ợ q1, . . . , qm m số
tý ỵ t ổ õ
Zm = {q1 m, q2 m + 1, . . . , qm m + m 1}.

Z3 = {0, 1, 2} = {6, 2, 8}
ỵ ữợ t ỵ ừ q tữỡ ữỡ rữợ
t ỵ ú t s
A ởt t ủ ồ ởt ởt
sỹ ợ tr A ởt t A t ởt ồ t
rộ {Ai}iI t
Ai Aj = ợ ồ i, j I, i = j.
A = Ai.
iI




ỵ A ởt q tữỡ ữỡ tr t A õ

t s ú
[a] = ợ ồ a A.
A = [a].
aA

[a] = [b] [a] [b] = ợ ồ a, b A.
t q tữỡ ữỡ ởt tr A. ữủ
{Ai}iI ởt tr A t tỗ t t ởt q
tữỡ ữỡ tr A s ộ Ai ởt ợ tữỡ ữỡ
ởt q ổ tr ởt t ủ ữủ ồ
q tự tỹ õ õ t t ố ự
tự tỹ tữớ ữủ ồ ọ ỡ
a b t t ụ t b a.
tr ởt t ủ A õ ởt q tự tỹ t t õ A ởt
t ủ ữủ s tự tỹ
ử ọ ỡ tổ tữớ t t ờ
tổ q tự tỹ tr t N Z Q R
tr t 2A t tt t ừ A ởt
q tự tỹ
t tr t N = N \ {0} ởt q tự tỹ
t A t tũ ỵ ừ t N õ q t tr
t A ụ ởt q tự tỹ tr A
ử ố ợ t ợ q ổ t
R q ổ tứ A B õ
ừ R R ỵ D(R) ữủ t
{x|x A; y A, (x, y) R}.

ừ R R ỵ im(R) ữủ t
{y|y B, x A, (x, y) R}.




❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✶✳ ❈❤♦ A = {4, 5, 7, 8, 9} ✈➔ B = {16, 18, 20, 22}✱

R = {(4, 16), (4, 20), (5, 20), (8, 16), (9, 18)}✳

❑❤✐ ✤â R ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ ✷ ♥❣æ✐ tø
A ✤➳♥ B ✱ D(R) = {4, 5, 8, 9}✱ im(R) = {16, 18, 20}✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷✳ ✭✐✮ ❈❤♦ A✱ B ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ▼ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐
♥❣æ✐ f tø A ✤➳♥ B ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ♥➳✉
✭✶✮ D(f ) = A ✭tù❝ ❧➔ ∀a ∈ A, ∃b ∈ B, (a, b) ∈ f ✮✱
✭✷✮ ❱î✐ ♠å✐ (a, b), (a, b) ∈ f, a = a ❦➨♦ t❤❡♦ b = b.
▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♠ët →♥❤ ①↕ f tø t➟♣ A ✤➳♥ t➟♣ B ❧➔ ♠ët q✉②
t➢❝ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû a ∈ A ✈î✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❞✉② ♥❤➜t b ∈ B. ❑❤✐
✤â t❛ ✈✐➳t f (a) = b✱ t❛ ❣å✐ b ❣å✐ ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû a ❜ð✐ →♥❤ ①↕ f ❀ ✈➔ t❛ ❣å✐
a ❧➔ ♠ët t↕♦ ↔♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû b✳ ❚➟♣ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ♥❣✉ç♥✱ t➟♣ B ❣å✐ ❧➔
t➟♣ ✤➼❝❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✳ ✣➸ ❞✐➵♥ t↔ →♥❤ ①↕ f ♥❤÷ tr➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿
f
A→
− B, a → f (a) = b, ❤♦➦❝
f : A → B, a → f (a) = b, ❤♦➦❝
f :A→B
a −→ f (a) = b.

✭✐✐✮ ❚❛ q✉② ÷î❝ r➡♥❣ ❝â ♠ët →♥❤ ①↕ ré♥❣ tø t➟♣ ∅ ✤➳♥ t➟♣ B ❜➜t ❦➻✳
✭✐✐✐✮ ❈❤♦ →♥❤ ①↕ f : A → B, a → f (a)✳ ❚❛ ❣å✐ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥ G(f ) ❝õ❛
A × B ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
G(f ) = {(a, f (a)) | a ∈ A}

❧➔ ✤ç t❤à ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✳
✭✐✈✮ ❍❛✐ →♥❤ ①↕ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝❤✉♥❣ ♥❣✉ç♥✱ ❝❤✉♥❣
✤➼❝❤ ✈➔ ❝❤✉♥❣ ✤ç t❤à✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ❝❤♦ f : A → B ✈➔ g : A → B ❧➔ ❤❛✐
→♥❤ ①↕✱ ❦❤✐ ✤â f = g ♥➳✉ A = A , B = B ✈➔ f (a) = g(a) ✈î✐ ♠å✐ a ∈ A.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ❈❤♦ f : A −→ B, a → b = f (a) ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕✳

✭✐✮ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ →♥❤ ♥➳✉ f (a) = f (a ) ❦➨♦ t❤❡♦ a = a ✈î✐ ♠å✐
a, a ∈ A.

✭✐✐✮ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ b ∈ B ❦➨♦ t❤❡♦ tç♥ t↕✐ a ∈ A ✤➸
f (a) = b.

✭✐✐✐✮ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦♥❣ →♥❤ ♥➳✉ ♥â ✈ø❛ ❧➔ ✤ì♥ →♥❤ ✈ø❛ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳
✼


số tờ ủ
t ở sỷ A1, A2, ..., Am õ t

tữỡ ự n1, n2, ...nm sỷ ổ õ õ t
ỗ tớ õ số ởt tr m õ n1 + n2 + ... + nm.
t ở ữủ t ữợ t ủ ữ s
A1, ..., Am t ủ ỳ ổ ởt rớ
õ
|A1 ... Am | = |A1 | + ... + |Am1 | + |Am |.

t sỷ ởt ử õ ữủ t

r tự t õ t n1 tự õ t
n2 s tự t ữủ õ s õ n1n2
tỹ ử
t tữớ ữủ t tờ qt ổ ỳ t
ủ ữ s
n t ủ ỳ A1, A2, ..., An (n 2). õ
|A1 ì A2 ì ... ì An | = |A1 |.|A2 |...|An |.

t ởt số t t ỡ ừ tờ ủ t
A1 , . . . , Am t t S t ởt sỡ ỗ s õ t trỹ q
ồ õ t trứ tữủ ữủ ổ t ữợ q t s
ỏ R1, . . . , Rn t r
ở sỹ s tỷ ừ A1, . . . , Am t sỡ ỗ S õ ởt
s t ý tỷ ừ A1, . . . , Am t sỡ ỗ S tọ
R1, . . . , Rn ữủ ồ ởt tờ ủ tr t A1, . . . , Am
tỷ ừ A1, . . . , Am tở t A t tờ ủ tr
A1 , . . . , Am tữớ ữủ ồ ồ tờ ủ tr t A
ử sỷ A1 t ỗ ồ s ỳ A2 t ỗ ồ
s ừ ởt ợ
ỡ ỗ s S ồ ộ õ tr
R1 tr ừ ỳ tr s ừ




R2 ỳ ữủ tr
ữ tr t
R2 tr ừ tr s ừ
ỳ
õ ộ s t ừ ồ s tứ A1 A2
t sỡ ỗ S tọ R1, R2, R3 ởt tờ ủ
ú ủ õ sỷ A ởt ủ ỳ ợ |A| = n
ỏ k ởt số ữỡ ụ sỷ
A1 , A2 , . . . , Ak tỷ ừ A
S sỡ ỗ s ở õ tự tỹ ỗ k t (x1 , x2 , . . . , xk )
R s x1 A1 , x2 A2 , . . . , xk Ak
õ ộ tờ ủ tr A1, A2, . . . , Ak t S tọ R
ữủ ồ ởt ủ õ k ừ n tỷ ừ A

t r ộ ủ õ k ừ n tỷ ừ A õ t
ởt tỷ ừ t A1 ì. . .ìAk õ t ỵ số
ủ õ k ừ n tỷ ừ A Akn t Akn = |A1 ìA2 ì. . .ìAk |
q t t õ
|A1 ì A2 ì . . . ì Ak | = |A1 ||A2 | . . . |Ak | = nk .



k

An = nk .

ú ủ ổ sỷ A ởt t ỳ ợ
|A| = n

ỏ k ởt số ữỡ sỷ
A1 = A
S sỡ ỗ s ở õ tự tỹ ỗ k t (x1 , x2 , . . . , xk )
R s x1 A1 , x2 A1 , . . . , xk A1
õ ộ tờ ủ tr A1 t S tọ tr R ữủ ồ
ởt ủ ổ k ừ n tỷ ừ A ủ ổ
tữớ ỡ ữủ ồ ủ ỵ số ủ k
ừ n tỷ ừ A Akn
Akn =

n!
, k
(n k)!

n.


ú ờ ủ ổ sỷ A ởt t ỳ ợ |A| = n

ỏ k ởt số ữỡ sỷ
A1 = A
S sỡ ỗ s t õ k tỷ {x1 , x2 , . . . , xk }
R s x1 A1 , x2 A1 , . . . , xk A1
õ ộ tờ ủ tr A1 t S tọ R ữủ ồ
ởt tờ ủ ổ k ừ n tỷ ừ A ờ ủ ổ tữớ
ữủ ồ ỡ tờ ủ
ữ ởt tờ ủ k ừ n tỷ ừ A õ t ữủ ữ
ởt t ỹ ữủ k ừ A số tờ ủ k ừ n
tỷ ừ A nk
0 k n,
0,
k > n.
ú t ởt sỹ tử t t õ t tũ ỵ tr
õ õ t õ ỳ t ổ t ữủ ợ õ t ữ
sỹ ừ ũ ởt t ữủ ồ t ủ ồ
t t tr t ụ ữủ ồ tỷ ụ ũ
ữỡ t ủ t ữ ố ợ t
t số tỷ ổ t ữủ ợ số ữủ
tỷ ừ ởt t A ụ ữủ ồ ỹ ữủ ừ A ữủ ỵ
|A|
ử A = {a, a, a, b, c, c} ởt t ợ |A| = 6
ộ t ụ t ữ ữủ
ởt t õ t ổ t ủ t A tr ổ
t ủ

tỷ ừ ởt t A tỷ ừ ởt t B t
t s õ r A t tr B t A tr ởt t
tr t B = {a, b, c}
ú ờ ủ sỷ A ởt t ỳ ợ |A| = n ỏ
k ởt số ữỡ sỷ A1 , A2 , . . . , Ak tỷ ừ A
S sỡ ỗ s t õ k tỷ {x1 , x2 , . . . , xk }
n
=
k

=

n!
k!(nk)! ,




s x1 A1, x2 A2, . . . , xk Ak
õ ộ tờ ủ tr A1, A2, . . . , Ak t S tọ R
ữủ ồ ởt tờ ủ õ k ừ n tỷ ừ A
ữ t ởt tờ ủ õ k ừ n tỷ ừ
A õ t ởt t ỹ ữủ k ợ tỷ tở A
số tờ ủ õ k ừ n tỷ ừ A CRnk ụ
t r A = {a1, a2, . . . , an} t ởt t B ỹ ữủ k ợ
tỷ tở A t ữủ số t tr B ừ
ộ ai, i = 1, 2, . . . , n ữủ õ
R

k

CRnk = Cn+k1
.

ú ổ sỷ A ởt t ỳ ợ
|A| = n

õ ởt ủ n ừ n tỷ A ữủ ồ ởt
ổ ừ n tỷ ừ A ổ tữớ ữủ ồ
ỡ
ỵ số ừ n tỷ ừ A Pn t t
t õ
Pn = Ann =

n!
n!
=
= n!.
(n n)!
0!

ú õ sỷ A = {a1, a2, . . . , an} ởt t

ỳ ỹ ữủ n ỏ m1, m2, . . . , mn n số ổ
s t t õ ởt mi = 0 ụ sỷ m = m1 + m2 + . . . + mn
A1 , A2 , . . . , Am tỷ ừ A
S sỡ ỗ s ở õ tự tỹ ỗ m t (x1 , x2 , . . . , xm )
R1 x1 A1 , x2 A2 , . . . , xm Am
R2 a1 t ú m1 t a2 t
ú m2 t an t ú mn t
õ tờ ủ A1, . . . , Am t S tọ R1, R2 ữủ ồ

ởt õ ừ tỷ a1, . . . , an ừ t A ợ t số
m1, . . . , mn
ừ ủ õ õ t t
r ởt õ ừ tỷ a1, . . . , an ừ t A ợ t số
m1, m2, . . . , mn ởt ủ m ừ n tỷ ừ



tọ R2 ụ t r ởt õ ừ
tỷ a1, a2, . . . , an ừ t A ợ t số m1 = m2 = . . . = mn = 1
ởt ổ n ừ tỷ A
ỵ số õ ừ tỷ a1, a2, . . . , an ợ t
số m1, m2, . . . , mn m ,mm,...,m t số t ởt õ
tr ởt tỹ ở H t r õ ỗ
n t H1 , H2 , . . . , Hn s
H1 t r m1 t a1 õ ó r
ộ t B1 = {i {1, . . . , m} |xi = a} ừ t {1, 2, . . . , m} tữỡ ự
ợ ú ởt tỹ õ mm tỹ
H1
H2 t r m2 t a2 õ ồ
r m1 t t a1 ỏ m m1 t
õ t ũ ồ r t a2 ữ H1 t
õ m1
tỹ H2
m
A

1

2

n

1

2

....................................

Hn r mn t an õ
(n 1) trữợ t ồ r (m1 + . . . + mn1 ) t
ỏ m (m1 + . . . + mn1) t õ t ũ t
)
an õ m(m +...+m
tỹ Hn
m
ỵ t õ
1

n1

n

m
m1 , m2 , . . . , mn
=

=

m

m1

m m1
m2

m (m1 + . . . + mn1 )
mn

(m m1 )!
(m m1 . . . mn1 )!
m!
.
ããã
m1 !(m m1 )! m2 !(m m1 m2 )!
m!(m m1 . . . mn1 )!

r

m
m1 , m2 , . . . , mn

=

m!
.
m1 !m2 ! . . . mn !

t q tr õ t t ữợ ữ s
ừ ởt t ủ
ỵ số tỹ m1, m2, . . . , mn s m1 + m2 +

. . . + mn = m. õ số ởt t ủ A ỗ m tỷ



t ủ rớ r ừ n t B1, B2, . . . , Bn ợ số tỷ t tự
tỹ m1, m2, . . . , mn, ỵ m ,mm,...,m
1

2

n

m!
.
m1 !m2 ! . . . mn !

ự õ t tỹ ổ t tr ừ t
A t n t B1 , B2 , . . . , Bn ữ s ởt t B1 t ý
ự m1 tỷ ừ t ủ õ t tỹ t mm
1
tr m m1 tỷ ỏ t ởt t B2 ự m2 tỷ
m1
õ t tỹ t m m
õ t q t
2
số tt ồ t B1, B2, . . . , Bn
m m1
m m1 m2 . . . mn1
...
m2

mn
m!
(m m1 )!
(m m1 m2 )!
=
ì
ì
m1 !(m m1 )! m2 !(m m1 m2 )! m3 !(m m1 m2 m3 )!
(m m1 m2 . . . mn )!
ì ... ì
mn !(m m1 m2 . . . mn )!
m!
=
.
m1 !m2 ! . . . mn !
m
m1

ử sỷ õ m ỳ tr õ õ m1 ỳ a1 m2 ỳ a2

ỳ an tr õ m1 + m2 + . . . + mn = m ứ ỳ õ õ t
ữủ tứ tứ õ tứ ổ õ
ộ tứ ỗ m ỳ
số tr ỳ tr ộ tứ số 1, 2, . . . , m ộ tứ
ữủ t t ủ Bi số ừ tr t õ õ
ỳ ai. õ số tứ tứ ỳ số
t õ t t ủ A = {1, 2, . . . , m} ữợ ủ rớ r ừ
t B1, B2, . . . , Bn. ỵ t số tứ t

mn

m
m1 , m2 , . . . , mn

=

m!
.
m1 !m2 ! . . . mn !

t trữớ ủ ồ ử t



✐✮ ❙è ❝→❝ ✧tø✧ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❤♦→♥ ✈à ❝→❝ ❝❤ú ❝→✐ ❝õ❛ tø ✬♥❤❛♥❤✬ ❜➡♥❣
5!
= 30.
2!2!1!

✐✐✮ ❙è ❝→❝ ✧tø✧ ❝â t❤➸ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ tø ✶✷ ❝❤ú ❝→✐ ✭❣ç♠ ✹ ❝❤ú a✱ ✹ ❝❤ú b✱ ✷ ❝❤ú c✱
12!
✷ ❝❤ú d✮ ❜➡♥❣ 4!4!2!2!
✳
●❤✐ ❝❤ó ✶✳✷✳✶✹ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ ✤❛ t❤ù❝✮✳ ✧❈æ♥❣ t❤ù❝ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✧ ❧➔
sü ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ (a + b)n tr♦♥❣ ✤â a, b ∈ R ✈➔ n ∈ N∗✳ ✧❈æ♥❣
t❤ù❝ ✤❛ t❤ù❝✧ ❧➔ sü ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ (a1 + a2 + . . . + am)n tr♦♥❣ ✤â
a1 , a2 , . . . , am ∈ R ✈➔ n ∈ N∗ ✳
❙ü ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ (a1 + a2 + . . . + am)n ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙②✱
❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤❛ t❤ù❝
(a1 + . . . + am )n =

n1 ,...,nm ∈N,

m
i=1

ni =n

=
n1 ,...,nm ∈N,

m
i=1

ni =n

✶✹

m
m1 , m2 , . . . , mn

an1 1 . . . anmm

n!
an1 1 . . . anmm .
n1 ! . . . nm !


❈❤÷ì♥❣ ✷

◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥

✷✳✶✳ ✣➳♠ ♠ët sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤➦❝ ❜✐➺t
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ✤➳♠ ♠ët sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤➦❝ ❜✐➺t
♥❤÷ sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ①↕✱ sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ✳✳✳✳ ❚r÷î❝
❤➳t t❛ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❚❤❡♦ ❧þ t❤✉②➳t tê ❤ñ♣ sè t➟♣ ❝♦♥
n!
k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ n ❧➔ nk =
. ❚❛ ✤÷❛ r❛ ♠ët ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sì ❝➜♣
k!(n − k)!
❦❤↔♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ q✉② t➢❝ ✤➳♠ ❝ì ❜↔♥✳
❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✶✳ ❙è t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ n ♣❤➛♥ tû
❜➡♥❣ k!(nn!− k)! = nk .
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑þ ❤✐➺✉ sè t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♠ët t➟♣ n ♣❤➛♥ tû ❧➔ Unk .
▼✉è♥ ❞ü♥❣ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A t❛ ❝â t❤➸ ❣❤➨♣ t❤➯♠ ✈➔♦
♠ët t➟♣ ❝♦♥ k − 1 ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A ♠ët tr♦♥❣ n − (k − 1) = n − k + 1 ♣❤➛♥
tû ❝á♥ ❧↕✐✳
❱➻ ❝â Unk−1 t➟♣ ❝♦♥ k − 1 ♣❤➛♥ tû ✈➔ t❛ ❝â t❤➸ ❜ê s✉♥❣ t➟♣ ❝♦♥ ➜②
t❤➔♥❤ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû t❤❡♦ n − k + 1 ❝→❝❤✱ ♥➯♥ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② t❛ t❤✉
✤÷ñ❝ (n − k + 1)Unk−1 t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ t➜t ❝↔
❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤➲✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ✈➻ t❛ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû t❤❡♦ k
❝→❝❤✱ ❝ö t❤➸ ❧➔ ❧➜② ♠é✐ ♠ët tr♦♥❣ k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♥â ❣❤➨♣ t❤➯♠ k − 1 ♣❤➛♥
tû ❝á♥ ❧↕✐✳ ❱➻ ✈➟② sè (n − k + 1)Unk−1 ✈ø❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ð tr➯♥ ❣➜♣ k ❧➛♥ sè Unk
❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ k ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A✳ ❉♦ ✤â t❛ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝
(n − k + 1)Unk−1 = kUnk .

❚ø ✤â t❛ s✉② r❛
Unk =

n − k + 1 k−1 n − k + 1 n − k + 2 k−2
Un =
Un = . . .

k
k
k−1
✶✺


(n − k + 1) . . . (n − 1) n
U1 .
k(k − 1) . . . 2

❧➔ sè t➟♣ ❝♦♥ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A✳ ◆â ❜➡♥❣ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A✱ tù❝ ❧➔ n✳
❱➟②
U1n

n(n − 1) . . . (n − k + 1)
1.2 . . . k
n!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k) . . . 3.2.1
=
.
=
1.2 . . . k.(n − k) . . . 3.2.1
k!(n − k)!
Ukn =

❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✷ ✭❙è t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✮✳ ❙è t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛

♠ët t➟♣ A ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ❧➔ 2|A|✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈→❝❤ ✶✿ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚❛ ❧✐➺t ❦➯ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛
A t❤❡♦ ♠ët t❤ù tü ♥➔♦ ✤â✳ ●✐ú❛ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ A ✈➔ ❝→❝ ❞➣② ♥❤à ♣❤➙♥ ❝â

✤ë ❞➔✐ |A| ❝â sü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✶✲✶✳ ❈ö t❤➸ ❧➔✱ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ A ✤÷ñ❝ ❣→♥ ✈î✐
❞➣② ♥❤à ♣❤➙♥ ❝â sè ✶ ð ✈à tr➼ t❤ù i ♥➳✉ ♣❤➛♥ tû t❤ù i tr♦♥❣ ❞❛♥❤ s→❝❤ t❤✉ë❝
t➟♣ ❝♦♥ ♥➔②✱ ✈➔ ❧➔ sè ✵ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳ ❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥
❝â 2|A| ❞➣② ♥❤à ♣❤➙♥ ✤ë ❞➔✐ |A|. ❱➻ ✈➟② |P (A)| = 2|A|.
❈→❝❤ ✷✿ ●å✐ Ta ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A ❝❤ù❛ ♣❤➛♥
tû a ∈ A✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ ♥❤÷ t❤➳ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✱ ♥➳✉ t❛
❜✐➳t t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ♥â ✭trø a✮✳ ❱➻ ✈➟② ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t➟♣ ❝♦♥
♥❤÷ t❤➳ t❤➻ ❝â ❜➜② ♥❤✐➯✉ t➟♣ ❝♦♥ tr♦♥❣ t➟♣ A = A \ a✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ A ♥➔② ❝â
m − 1 ♣❤➛♥ tû✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥➳✉ t❛ ❣å✐ sm ❧➔ sè t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝â m
♣❤➛♥ tû✱ t❤➻ |Ta| = sm−1.
●å✐ T a ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ì♣ A ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ a✱
t❤➻ |T a| ❝ô♥❣ ❜➡♥❣ sm−1✱ ✈➻ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤â ❝ô♥❣ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣
A = A \ a✳
❱➻ 2A = Ta ∪ T a ✈➔ Ta ∩ T a = ∅✱ ♥➯♥ t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣✱ t❛ ❝â
|2A | = |T (a)| + |T a | = 2sm−1 .

❚ø ✤â s✉② r❛ sm = 2sm−1✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ t❛ ✤÷ñ❝
sn = 2sn−1 = 22 sn−2 = . . . = 2n−1 s1 .
s1

❧➔ sè t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ♠ët ♣❤➛♥ tû✳ ◆❤÷♥❣ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝â
✶✻


ởt tỷ õ t t rộ õ s1 = 2 õ
sn = 2n .

t A õ n tỷ t t ủ Y = {0, 1} ợ ộ t
B ừ A t ởt f : A Y ữ s x A
x B t t t f (x) = 1 ỏ x

/ B t t t f (x) = 0 ữ ự
ợ ộ t B ừ A õ ởt f tứ A tợ Y
f ởt tứ A tợ Y t ự ợ õ õ ởt t
B ừ A ỗ tt tỷ x A s f (x) = 1
ỹ tữỡ ự ỳ t ủ t ừ t ủ A t ủ
tứ A tợ X ró r 1 1 õ số t ừ A tự |2A|
số tứ t ủ A õ n tỷ tợ t ủ Y õ tỷ
số 2m |2A| = 2m.
t ừ A ỗ t tỷ tỷ
n tỷ ộ k {0, 1, ..., n} t ờ õ nk t k tỷ
ừ A số t ừ A
n
n
n
+
+ ããã +
0
1
n

= (1 + 1)n = 2n

t ổ tự tr tự
ữ r ởt ự ử ừ t q tr tr t sỡ
t trữợ số ữỡ
m

T =
k=0

n

k
k
Cn+k
Cm+k
+
.
2m+k k=0 2n+k

ữợ ự tờ t tự
m

k=0

n

k
k
Cn+k
Cm+k
+
= 1.
2n+k+1 k=0 2m+k+1

ụ tứ ừ t tữ số t ừ ởt t ủ
k
r t ừ t S = {1, 2, . . . , m + n + 1} t Cn+k
2mk
t {a1, a2, . . . , an+i} , (1 < i m + 1) tr õ (a1 < a2 < . . . < an+i)

n
an+1 = n + k + 1 ợ 0 k m õ Cn+k
ồ n tỷ
(a1 , a2 , . . . , an ) tứ t {1, 2, . . . , n + k} ồ an+1 = n + k + 1



m
k=0

ồ t ừ t{n + k + 1, . . . , n + m + 1} ữ
k
Cn+k
2mk số t ừ S õ ỡ n tỷ

2mk

n

k
ữỡ tỹ Cm+k
2nk số t ừ S õ ỡ m tỷ
k=0
ụ tự msố t ừ Sn ổ õ q n tỷ
k
k
Cn+k
2mk +
Cm+k
2nk số tt t ừ S tự

k=0
k=0
2m+n+1 õ ự
t P sỷ Fk t ủ tt ở (A1, A2, . . . , Ak )
tr õ Ai (i = 1, 2, . . . , k) ởt t ừ {1, 2, . . . , n} t
A1 , A2 , . . . , Ak õ t trũ t

|A1 A2 . . . Ak |.

Sn =
(A1 ,A2 ,...,Ak )Fk

ữợ õ 2n t ừ {1, 2, . . . , n} õ 2nk ở (A1, A2, . . . , Ak )
ợ ộ kở (A1, A2, . . . , Ak ) ừ t {1, 2, . . . , n 1} t õ t t
ổ t n t Ai ữủ kở (A1, A2, . . . , Ak ) ừ {1, 2, . . . , n}
ợ ú ỵ r số kở (A1, A2, . . . , Ak ) ừ t {1, 2, . . . , n 1} 2(n1)k
õ 2k 1 t n kở (A1, A2, . . . , Ak ) ừ t {1, 2, . . . , n 1}
t t õ Sn = 2k Sn1 + (2k 1).2k(n1)
t S1 = 2k 1 ứ q t ự ữủ
Sn = n.2k(n1) (2k 1)
sỷ A ởt t ủ ỗ n tỷ số
(U, V ) õ U, V A tọ U ổ t tỹ sỹ ừ V
ự ờ số t ừ t A 2n số
(U, U ) 2n ì 2n ợ ộ số tỹ k t V ỗ k tỷ số
t U ừ V ú 2k ứ s r số (U, V ) õ
U, V A tọ U t tỹ sỹ ừ V ú
n

k=0

n
k

2k 2n = 3n 2n .

số (U, V ) õ U, V
sỹ ừ V ú

A tọ U

ổ t tỹ

2n .2n [3n 2n ] = 4n 3n 2n .



◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✻✳ ❈❤♦ A = {a1, a2, ..., an}✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t➟♣
A×A

❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ♠➔ ♣❤➛♥ tû ❞á♥❣ ith ❝ët t❤ù j th ❧➔ (ai, aj )✱ 1 ≤

i, j ≤ n.

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✼✳ ❈❤♦ A = {a1, a2, ..., an} ✈➔ B = {b1, b2, ..., bm}✳ ❙è q✉❛♥

❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tø A ✤➳♥ B ❧➔ 2mn.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❙è ♣❤➛♥ tû A × B ❧➔ mn✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tø A ✤➳♥ B ❧➔
sè t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ A × B ✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✷ t❛ ❝â sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tø
A ✤➳♥ B ❧➔ 2mn .
❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✽✳ ❈❤♦ A = {a1, a2, ..., an}✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tr➯♥ t➟♣ A ❧➔

2

2n .

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❙è ♣❤➛♥ tû A × A ❧➔ n2✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tr➯♥ A ❧➔ sè t➟♣
❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ A × A✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✷ t❛ ❝â sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tr➯♥ t➟♣
A ❧➔ 2n .
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✾✳ ❈❤♦ A = {a1, a2, ..., an}✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ①↕ tr➯♥
t➟♣ A ❧➔ 2n −n.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ♣❤➛♥ tû A × A ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ ▼é✐ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐
♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ①↕ tr➯♥ t➟♣ A ♣❤↔✐ ❝❤ù❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛
♠❛ tr➟♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ♥â ❝â t❤➸ ❝❤ù❛ t❤➯♠ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥➡♠ ♥❣♦➔✐
✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤✳ ❙è ♣❤➛♥ tû ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ❧➔ n2 − n✳ ❉♦ ✤â
t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✷✱ sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ①↕ tr➯♥ t➟♣ A ❧➔ 2n −n.
●✐↔ sû A = {a1, ..., an}✳ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ R ❜ð✐ ♠❛ tr➟♥ (aij ) s❛♦
❝❤♦
1 ♥➳✉ (ai , aj ) ∈ R
aij =
0 ♥➳✉ (ai , aj ) ∈
/R
❚❛ ❝â R ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤↔♥ ①↕ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ aij = 1 ✈î✐ ♠å✐ 2n = 1, ..., n
❝á♥ n2 − n ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝ ❝â t❤➸ ❧➔ ✵ ❤♦➦❝ ✶
2

2

2

✶✾




∗ ∗ ... ∗
1 ∗ . . . ∗

∗ 1 . . . ∗

✳✳ ✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳ 

∗ ∗ ... 1

1
∗

∗

✳
✳
∗

❈â n2 − n ♣❤➛♥ tû ❝❤ù❛ ❞➜✉ ∗✳ ▼é✐ ♠❛ tr➟♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣
n2 − n ♣❤➛♥ tû✳ ❉♦ ✤â ❝â 2n −n ♠❛ tr➟♥ ❤❛② 2n −n q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ❝â t➼♥❤
❝❤➜t ♣❤↔♥ ①↕✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✶✵✳ ❈❤♦ A = {a1, a2, ..., an}✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤è✐ ①ù♥❣
tr➯♥ t➟♣ A ❧➔ 2(n(n+1))/2✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ♣❤➛♥ tû A × A ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ ❈❤✐❛ t➟♣ A × A
t❤➔♥❤ ❜❛ t➟♣✿ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤✱ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠
❣✐→❝ ❞÷î✐ (i > j)✱ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ (i < j)✳ ❚r♦♥❣ ♠é✐

q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ①ù♥❣✱ ♥➳✉ ♣❤➛♥ tû (ai, aj ) tø ♠❛ tr➟♥ t❛♠
❣✐→❝ ❞÷î✐ t❤✉ë❝ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ t❤➻ ♣❤➛♥ tø (aj , ai) tø ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝
tr➯♥ ❝ô♥❣ t❤✉ë❝ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐✳ ❈â (n2 − n)/2 ♣❤➛♥ tû ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝
❞÷î✐ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ (n2 − n)/2 ♣❤➛♥ tû ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥✳ ▼é✐ q✉❛♥
❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛♦ ❣ç♠ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣
❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ✈➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❞÷î✐ ✭❝ò♥❣
✈î✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❝➦♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥✮✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤
✤➲ ✷✳✶✳✷ sè t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ❧➔ 2n✱ sè t➟♣
❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❞÷î✐ ❧➔ 2(n −n)/2✳ ❚❤❡♦ q✉② t➢❝
♥❤➙♥ t❛ ❝â sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ ❧➔ ❧➔
2

2

2

2n .2(n

2

−n)/2

= 2(n

2

+n)/2

.

❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✶✶✳ ❈❤♦ A = {a1, a2, ..., an}✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣

tr➯♥ t➟♣ A ❧➔ 2n.3(n −n)/2✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ R ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ t➟♣ A✳ ◆➳✉
♣❤➛♥ tû (ai, aj ) ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❞÷î✐ (i = j) t❤✉ë❝ q✉❛♥ ❤➺ t❤➻ ♣❤➛♥ tû
2

✷✵


tø ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ q✉❛♥ ❤➺ ✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳ ❉♦ ✤â
❝â ✸ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ❝➦♣ i = j
✶✳ (ai, aj ) ∈ R ✈➔ (aj , ai) ∈/ R,
✷✳ (ai, aj ) ∈/ R ✈➔ (aj , ai) ∈ R,
✸✳ (ai, aj ) ∈/ R ✈➔ (aj , ai) ∈/ R.
❙è ❝➦♣ (i, j), (i = j) ❧➔ n 2−n ♥➯♥ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❝➦♣ (i, j) t❤ä❛ ♠➣♥ ✶✮✱ ✷✮✱ ✸✮
❧➔ 3 ✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ R ❝â t❤➸ ❝â ❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ ❝â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t↕✐ ✤÷í♥❣
❝❤➨♦ ♥➯♥ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ ♣❤➛♥ tû t↕✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❧➔ 2n✳ ❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥❤➙♥
sè q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ t➟♣ A ❧➔ 2n.3(n −n)/2✳
❚❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❧➟♣ ❧✉➟♥ ❦❤→❝✳ ❙è q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ tr➯♥ A ❝❤♦ t÷ì♥❣
ù♥❣ 1 − 1 ✈î✐ ♠❛ tr➟♥ ❇♦♦❧❡ (aij )n×n
(aj , ai )

2

n2 −n
2

2

♥➳✉ (ai, aj ) ∈ R
0 ♥➳✉ ((ai , aj ) ∈
/R
❱➻ ✈➟② t❛ ✤➳♠ sè ♠❛ tr➟♥ ❇♦♦❧❡ ù♥❣ ✈î✐ q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ●✐↔
sû R ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ ✷ ♥❣æ✐ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ A ❝â ♠❛ tr➟♥ ❇♦♦❦❧❡ (aij )m×n✳
❈→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ tò② þ tr♦♥❣ {0, 1} ♥➯♥ ❝â
2n ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❳➨t ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣♦➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤✳ ❱î✐ ♣❤➛♥ tû aij ð
t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ (i < j) ♥➳✉ aij = 1 t❤➻ aji = 0✱ ♥➳✉ aij = 0 t❤➻ aji ❝â t❤➸ ❧➔
✵ ❤♦➦❝ ✶✳ ❳➨t ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥✱ sè ♣❤➛♥ tû ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ❧➔
n
n
n −n
=
✳
●✐↔
sû
0
≤
k
≤
✳ ❈❤å♥ k sè ✶ ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥✱ ❝â
2
2
2
aij =

1

2

( n2 )
k

❝→❝❤ ❝❤å♥ ✈à tr➼ sè ✶✱ ❝á♥ ❧↕✐

n
− k ✈à tr➼ sè ✵✳ P❤➛♥ tû ✤è✐ ①ù♥❣ ✈î✐
2
 
n
 −k
✤è✐ ①ù♥❣ ✈î✐ sè ✵ ❧➔ ✵ ❤♦➦❝ ✶✳ ❈â 2 2

sè ✶ ð ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❞÷î✐ ❧➔ ✵✱
❝→❝❤ ❝❤å♥ ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤÷ ✈➟②✳ ❱➟② ❝â
 

n
 
2  n  n−k
 2 2 k
k=0
k

 

✷✶


s tỷ tr tr t õ

n



n
2
k
n
2 2 2
2n (
k=0
k


tr q ố ự õ


n



n
n
n
2


k

n
2 2 2
3 2 = (1 + 2) 2 =
k=0
k








n
n2 n
2n .3 2 = 2n 3 2 .

số q ố ự
ờ A = {a1, a2, ..., an} ố q ổ ứ ố ự
ứ ố ự tr t A 2n
ự sỷ R q ổ ứ ố ự ứ ố ự
(ai, aj ) R (i = j) t (aj , ai) R R ố ự ữ R
ố ự ai = aj , i = j ổ ỵ õ R ổ ự
tỷ (ai, aj ), i = j


R {(a, a)|a A}.

t õ R ứ ố ự ứ ố ự |{(a, a)|a A}| = n
số q ổ ứ ố ự ứ ố ự 2n

ờ A = {a1, a2, ..., an} ố q ổ ứ ố ự
ứ t ố ự tr t A
ự sỷ R q ố ự t ố ự tr A ợ ồ
a A t õ (a, a)
/ R R t ố ự ữỡ tỹ tỷ (a, b) ợ
a = b ụ ổ tở R R = q t tọ ứ
ố ự ứ t ố ự
ờ A = {a1, a2, ..., an} ố q ổ ứ
ứ ố ự tr t A 3(n n)/2
2