Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

100. Chọn B.
Trang 31/35


x − 2 + 4 − x có tập xác định D = [ 2; 4]

Hàm số y =

1
1
 y′ = 0
−
⇒
=
⇔ x 3 ⇒ y ( 2 )= 2, y ( 3)= 2, y ( 4 )=
2 x−2 2 4− x
 x ∈ ( 2; 4 )
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y =
x − 2 + 4 − x là 2
Câu 101. Chọn C.
3cos 2 x + 5
=
y 2sin 2 x + 5cos 2 =
x −1
⇒1≤ y ≤ 4
2
Vậy hàm số y = 2sin 2 x + 5cos 2 x − 1 có giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Câu 102. Chọn C.
=
y′

2

x 18 − x 2 có tập xác định D =  −3 2;3 2 
Hàm số y =+
 y′ = 0
18 − x 2 − x
=
⇒
=
⇔x 3
y′
18 − x 2
 x ∈ −3 2;3 2

(

)

(

(

)

)

⇒ y −3 2 =
−3 2, y 3 2 =
3 2, y ( 3) =
6

Vậy hàm số y =+
x
18 − x 2 có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu 103. Chọn B.
7
Đặt
=
t cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) . Xét hàm y = 2t 3 − t 2 − 3t + 5 trên đoạn [ −1;1]
2
 y′ = 0
1
5
1
1
299
⇔ t =− ; y ( −1=
y′ =6t 2 − 7t − 3 ⇒ 
.
) , y (1=) , y  − =
2
2  3  54
3
t ∈ ( −1;1)
1
7
Vậy hàm số y = 2 cos3 x − cos 2 x − 3cos x + 5 có giá trị nhỏ nhất bằng .
2
2
Câu 104. Chọn D.
y=

−2sin 3 x + 3cos 2 x − 6sin x + 4 =
−2sin 3 x − 6sin 2 x − 6sin x + 7
−2t 3 − 6t 2 − 6t + 7 trên đoạn [ −1;1]
Đặt=
t sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) . Xét hàm y =
y′ =−6t 2 − 12t − 6 ⇒ y′ =0 vô nghiệm. Ta có: y ( −1) =
9, y (1) =
−7
Vậy hàm số y =
−2sin 3 x + 3cos 2 x − 6sin x + 4 có giá trị lớn nhất bằng 9.
Câu 105. Chọn B.
Ta có y = 3 − x ≥ 1 ⇒ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [ 0;2]

Khi đó P = x 3 + 2 ( 3 − x ) + 3 x 2 + 4 x ( 3 − x ) − 5 x = x 3 + x 2 − 5 x + 18
2

Xét hàm số f ( x ) = x 3 + x 2 − 5 x + 18 trên đoạn [ 0;2] ta có:

 f '( x ) =
0
f ' ( x )= 3 x 2 + 2 x − 5 ⇒ 
⇔ x= 1
 x ∈ ( 0;2 )
=
f ( 0 ) 18,
=
f (1) 15,
=
f ( 2 ) 20

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x 3 + 2 y 2 + 3 x 2 + 4 xy − 5 x lần lượt
bằng 20 và 15.
Câu 106. Chọn C.
Ta có: y
=

x + 1 + 9 x2
=
8x2 + 1

khi hàm số f (=
x)

1
9 x2 + 1 − x

. Hàm số y đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( 0; +∞ )

9 x 2 + 1 − x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( 0; +∞ )

Trang 32/35


 f ′ ( x ) = 0
1
−1 ⇒ 
=
⇔x
6 2
9x2 + 1

 x ∈ ( 0; +∞ )
3 2
 1  2 2
min f ( x ) =f 
=
⇒ max y =

( 0;+∞ )
( 0;+∞ )
3
4
6 2
Câu 107. Chọn C.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
9x

Ta có: =
f ′( x)

(

)

(

)(

)

45 + 20 x 2 = 5 9 + 4 x 2 = 22 + 11 32 + (2 x) 2 ≥ 2.3 + 1.2 x =6 + 2 x

Suy ra y ≥ 6 + 2 x + 2 x − 3 . Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ta được:

6 + 2 x + 2 x − 3 =6 + 2 x + 3 − 2 x ≥ 6 + 2 x + 3 − 2 x =9 ⇒ y ≥ 9
45 + 20 x 2 + 2 x − 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 9 .

Vậy hàm số y =
Câu 108. Chọn B.
TXĐ: D =

[ −2; 2] . Hàm số

y =f ( x) =x + 4 − x 2 liên tục trên đoạn [ −2; 2] .

x ≥ 0
⇔x= 2
4 − x2 =
x ⇔
2
x2
4 − x2
4 − x =
y ( −2 ) =
−2 ; y ( 2 ) =2 ; y ( 2) =
2 2 . Vậy min y =
 y ( −2 ) =
−2
x

y′ = 1 −

; y′= 0 ⇔

[ −2;2]

Câu 109. Chọn C.
x +1

TXĐ: D =  . Hàm số
=
y f=
( x)
Ta có: y′ =

−x +1

(x

(1)
max
=
y y=
[ −1;2]

2

)

+1

3

x2 + 1

liên tục trên đoạn [ −1; 2] .

(1)
1) 0, y=
; y′ = 0 ⇔ x = 1 . Do y ( −=

2, y (=
2)

3
nên
5

2 , min y = y ( −1) = 0
[ −1;2]

Câu 110. Chọn C.
Hàm số xác định với ∀x ∈ 1; e3 
ln 2 x
ln x(2 − ln x)
liên tục trên đoạn 1;e3  . Ta có y′ =
x
x2
 x = 1 ∉ 1; e3
ln x = 0
4

9
. Khi đó
=
y (1) 0;=
y (e 2 )
=
; y (e 3 )
y′ =
0⇔
⇔
2
e
e3
 x= e 2 ∈ 1; e3
ln x = 2

4
So sánh các giá trị trên, ta có max
=
y y=
(e 2 )
3
1;e 
e2


Câu 111. Chọn A.
Hàm số xác định, liên tục trên đoạn [ 0; 2]
Hàm số y =

(

)

(

)

=
x 0 ∉ ( 0; 2 )
2
′
;
y
=
0
⇔
2
x
+
4
x
=
0
⇔

2
( x + 1)
 x =−2 ∉ ( 0; 2 )
17

17
. Vậy max
⇒ y (0)= 3; y (2)=
=
y y=
(2)
; min
=
y y=
(0) 3
x∈[ 0;2]
3
3 x∈[0;2]
Câu 112. Chọn A.
Do x + y =
1 nên=
S 16 x 2 y 2 + 12( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) + 34 xy
= 16 x 2 y 2 + 12[( x + y ) 2 − 3 xy ] + 34 xy, do x =
+ y=
1 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12
Ta có y′ =

2x2 + 4x

Đặt t = xy . Do x ≥ 0; y ≥ 0 nên 0 ≤ xy ≤

( x + y)2 1
1
=
⇒ t ∈ [0; ]

4
4
4
Trang 33/35


1
1
t ) 32t − 2 ; f ′(t ) = 0 ⇔ t =
Xét hàm số f (t )= 16t 2 − 2t + 12 trên [0; ] . Ta có f ′(=
.
4
16
Bảng biến thiên
1
1
x
0
16
4
f ′ (t )
0
+
−
12
25
2
f (t )
191
16

Từ bảng biến thiên ta có:
 1  25
 1  191
f (t ) f=
min
=
f (t ) f=
; max=
.
 
 
1
 1


4 2
 16  16
0; 
0; 
 4

 4

1

1 x =
x + y =
25



2
Vậy giá trị lớn nhất của S là
đạt được khi 
1 ⇔
2
 xy = 4
y = 1

2

 2+ 3 2− 3 
1 ( x; y ) =  4 ; 4 
x + y =

191



giá trị nhỏ nhất của S là
đạt được khi 
1 ⇔
16
 xy = 16
( x; y ) =  2 − 3 ; 2 + 3 



4 
 4


Câu 113. Chọn A.
Ta có ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − 8 ( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8
2

2

2

A = x 3 + y 3 + 3( xy − 1)( x + y − 2) = ( x + y )3 − 3( x + y ) − 6 xy + 6
3
⇒ K ≥ ( x + y )3 − ( x + y ) 2 − 3( x + y ) + 6
2
Đặt t= x + y . Do 0 ≤ x + y ≤ 8 nên t ∈ [0;8]
3
Xét hàm số f (t ) = t 3 − t 2 − 3t + 6 trên [0;8] .
2
1+ 5
1− 5
Ta có f ′(t ) = 3t 2 − 3t − 3, f ′(t ) = 0 ⇔ t =
hoặc t =
( loại)
2
2
1 + 5 17 − 5 5
17 − 5 5
=
f (0) 6;=
f(
)
=

; f (8) 398. Suy ra A ≥
2
4
4
1+ 5
17 − 5 5
Khi x= y=
thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
4
4
Câu 114. Chọn D.
2

2

1 1 x3 + y 3 ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )  x + y   1 1 
+
= 3 3 =
=
 = +  .
x3 y 3
x y
x3 y 3
 xy   x y 
Đặt x = ty . Từ giả thiết ta có: ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy ⇒ (t + 1)ty 3 = (t 2 − t + 1) y 2
A=

2

2

 1 1   t 2 + 2t + 1 
t2 − t +1
t2 − t +1
Do đó y=
. Từ đó A = +  = 2
; x= ty=
 .
t2 + t
t +1
 x y   t − t +1 
−3t 2 + 3
t 2 + 2t + 1
′
⇒
=
f
t
Xét hàm số f =
.
(t )
(
)
2
t2 − t +1
( t 2 − t + 1)

Trang 34/35

Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi x= y=

1
.
2

Câu 115. Chọn C.
Với a, b là các số thực dương, ta có:
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a 2 + b 2 ) + ab = a 2b + ab 2 + 2(a + b)
a b
1 1
⇔ 2  +  + 1 = ( a + b) + 2  + 
b a
a b
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta được:
1 1
1 1
a b

(a + b) + 2  +  ≥ 2 2(a + b)  +=
 2 2 + + 2
a b
a b
b a

a b
a b
 a b 5
Suy ra: 2  +  + 1 ≥ 2 2  + + 2  ⇒  +  ≥ .
b a

b a
 b a 2
a b
5
Đặt t=
+ , t ≥ . Ta được: P = 4(t 3 − 3t ) − 9(t 2 − 2) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 .
2
b a
5
Xét hàm số: f (t ) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 với t ≥
2
23
5
5
f ′=
(t ) 6(2t 2 − 3t − 2) > 0, ∀t ≥ . Suy ra min f (t ) = f   = − .
5

4
2
2
 ; +∞ 
2

Vậy min P = −



a b 5
23

1 1
b 2 + 
đạt đươc khi và chỉ khi + = và a + =
b a 2
4
a b
⇔ ( a; b ) =
(2;1) hoặc (a; b) = (1; 2)

Câu 116. Chọn D.
Do 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2 nên ( x − 1)( x − 2) ≤ 0 , nghĩa là x 2 + 2 ≤ 3 x . Tương tự y 2 + 2 ≤ 3 y
x + 2y
y + 2x
1
x+ y
1
Suy ra P ≥
+
+
=
+
3 x + 3 y + 3 3 y + 3 x + 3 4( x + y − 1) x + y + 1 4( x + y − 1)
t
1
Đặt t= x + y suy ra 2 ≤ t ≤ 4 . Xét f=
, với 2 ≤ t ≤ 4
(t )
+
t + 1 4(t − 1)
1

1
. Suy ra f ′(t ) = 0 ⇔ t = 3
=
f ′(t )
−
2
2
( t + 1) 4(t − 1)
11
7
53
7
7
nên f (t ) ≥ f (3) =
. Do đó P ≥
=
; f (3) =
; f (3)
8
12
8
60
8
7
7
x 1,=
y 2 thì P = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .
Khi=
8
8

Mà=
f (2)

Trang 35/35