BD HSG Toan9

Nguyễn Khánh Toàn – GV THCS Bắc hải - Tiền hải – Thái bình
Bất đẳng thức với góc nhìn Trêbưsep.
(Bài viết được đăng trên Tạp chí Thế giới Trong ta
Số CĐ 93+94 tháng 11+12 năm 2009)
A. Bất đẳng thức Trêbưsep:
* Với hai dãy số cùng chiều a
1
, b
1
a
2
, b
2
Ta có: a
1
a
2
+ b
1
b
2
≥

( )( )
2211
2
1
baba
++
* Với hai dãy số cùng chiều a
1

, b
1,
c
1
a
2
, b
2
, c
2
Ta có: a
1
a
2
+ b
1
b
2
+ c
1
c
2

≥

( )( )( )
212211
3
1
ccbaba

+++
Bất đẳng thức đổi chiều khi hai dãy số ngược chiều nhau!
Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
2
22
22






+
≥
+
baba
Giải: Vì a, b có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a
≥
b.
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a
≥
b
a
≥
b
Ta có:
a.a + b.b
≥

2

1
(a + b)(a + b)
⇔
( )
2
22
4
1
2
ba
ba
+≥
+
⇔
2
22
22






+
≥
+
baba
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
ba

a
b
b
a
+≥+
22
Giải: Vì a, b có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a
≥
b ⇒ a
2

≥

b
2
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a
≥
b
a
2

≥
b
2
Ta có:
a.a
2
+ b.b
2

≥

2
1
(a + b)(a
2
+ b
2
)
⇔ a
3
+ b
3

≥

2
1
(a + b)2ab
⇔
ba
a
b
b
a
+≥+
22
(đpcm)
Email:
1

Nguyễn Khánh Toàn – GV THCS Bắc hải - Tiền hải – Thái bình
Ví dụ 3: Cho a + b + c
≥
3. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4

≥
a
3
+ b
3
+ c
3
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a
≥
b
≥
c
⇒ a
3

≥
b
3

≥

c
3
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a
≥
b
≥
c
a
3

≥
b
3

≥
c
3
Ta có:
a.a
3
+ b.b
3
+ c.c
3

≥

3
1
(a + b + c)(a

3
+ b
3
+ c
3
)

≥

3
1
.3.(a
3
+ b
3
+ c
3
) = (a
3
+ b
3
+ c
3
) (đpcm)
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức nesbit:
2
3
≥
+
+

+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a
≥
b
≥
c
⇒
baaccb
+
≥
+
≥
+
111
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a
≥
b
≥
c

baaccb
+

≥
+
≥
+
111
Ta có:

( )
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++≥
+
+
+
+
+
3
1
)
111
(
baaccb
+
+
+

+
+

≥
( )
accbba +++++
2
1
.
3
1
)
111
(
baaccb
+
+
+
+
+

≥
2
3
9.
2
1
.
3
1

=
(đpcm)
Ví dụ 5: a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a
≥
b
≥
c
⇒
cbabacacb
−+
≥
−+
≥
−+
111
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a
≥

b
≥
c

cbabacacb
−+
≥
−+
≥
−+
111
Ta có:
( )
cba
cba
c
bac
b
acb
a
++≥
−+
+
−+
+
−+
3
1
)
111

(
cbabacacb
−+
+
−+
+
−+
=
( )
cbabacacb −++−++−+
3
1
)
111
(
cbabacacb
−+
+
−+
+
−+

39.
3
1
=≥
(đpcm)
Ví dụ 6: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca
≥
3. Chứng minh rằng:

Email:
2
Nguyễn Khánh Toàn – GV THCS Bắc hải - Tiền hải – Thái bình

2
3
333
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a
≥
b
≥
c
⇒
2
3
≥
+
+

+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(Chứng minh trên)
Mặt khác: Vì a
≥
b
≥
c ⇒ a
2

≥
b
2

≥
c
2
và
ba
c
ac
b
cb

a
+
≥
+
≥
+
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a
2

≥
b
2

≥
c
2

ba
c
ac
b
cb
a
+
≥
+
≥
+
Ta có:

( )
222222
3
1
... cba
ba
c
c
ac
b
b
cb
a
a
++≥
+
+
+
+
+
)(
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+

+
+

≥
( )
2
3
..
3
1
cabcab
++


≥

2
3
2
3
.3.
3
1
=
(đpcm)
B. Bài tập mở rộng:
`
(Các BĐT sau đây chứng minh đc chỉ nhờ BĐT Trêbưsep!)
1. Cho a, b, c > 0 và abc
1

≥
. Chứng minh rằng:
a)
2
3
222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
b)
2
3
444
≥
+
+
+
+
+
ba
c

ac
b
cb
a
c)
2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
nnn
(n ∈ N)
2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)
nmnbma
c
namc
b
ncmb
a
+

≥
+
+
+
+
+
3
(m, n ∈ N)
b)
n
nn
baba






+
≥
+
22
(n ∈ N)
c)
n
nnn
cbacba







++
≥
++
33
3. Biết rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

( )
2
1
3
−
−
++
≥
−+
+
−+
+
−+
n
n
nnn
cba
cba
c
bac
b

acb
a
(n ∈ N
*
)
Mời các bạn tiếp tục khám phá và mở rộng!
Email:
3