TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

CHỦ ĐỀ 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 =
0 và ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 =
0


(α)//(β)

⇔

A1 B1 C1 D1
= =
≠
A2 B2 C2 D2



(α ) ≡ ( β )

⇔

A1 B1 C1 D1
= = =
A2 B2 C2 D2



(α ) cắt ( β )

A1 B1 B1 C1 A1 C1
≠
∨
≠
∨
≠
A2 B2 B2 C2 A2 C2

⇔

Đặc biệt: (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 =
0
2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
x x0 + a1t
=


Cho 2 đường thẳng:
d : =
y y0 + a2t qua M, có VTCP ad
z z + a t
0
3
=
x x0′ + a1′t ′
=


d ' : =
y y0 + a2′ t ′ qua N, có VTCP ad '

 z z + a ′t ′
0
3
=
• Cách 1:
 

[ ad , ad ' ]
 

 



[ ad , ad ' ] ≠ 0


 ad , MN 



  
 a d , a d '  .MN





 ad , MN  = 0




d ≡ d'



[ ad , ad ' ] = 0

  

   
 ad , MN  ≠ 0  a d , a d '  .MN = 0  a d , a d '  .MN ≠ 0







d // d '

d caét d '

d cheùo d '

• Cách 2:
 x0 + a1t = x0′ + a1′t ′

Xé hệ phương trình:  y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ (*)
 z + a t =z + a′t ′

0
3
 0 3
 Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ d và d ' cắt nhau
 Hệ vô nghiệm ⇔ d và d ' song song hoặc chéo nhau
 Hệ vô số nghiệm ⇔ d và d ' trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d ' .
Trang 1/27


 Chú ý:


d



d



d



d



ad = kad ′

song song d ′ ⇔ 
M ∉ d ′


ad = kad ′
trùng d ′
⇔
M ∈ d ′


ad khoâng cuøng phöông ad ′
cắt d ′ ⇔    
[ a , a′] .MN = 0
  
chéo d ′
⇔ [ ad , ad ′ ] .MN ≠ 0

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
x x0 + a1t
=

y y0 + a2t và mp (α ) : Ax + By + Cz + D =
Cho đường thẳng: d : =
0
=
 z z0 + a3t
x x0 + a1t
=
=
 y y0 + a2t

Xé hệ phương trình: 
z z0 + a3t
=
 Ax + By + Cz + D =
0

(1)
(2)
(*)
(3)
(4)

⇔ d cắt (α)



(*) có nghiệm duy nhất



(*) có vô nghiệm

⇔ d // (α )



(*) vô số nghiệm

⇔ d ⊂ (α )

4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu

( S ) : ( x – a) + ( y – b) + ( z – c)
2

2

2

=
R 2 tâm I ( a; b; c ) bán kính R và mặt phẳng

0.
( P ) : Ax + By + Cz + D =
• Nếu d ( I , ( P ) ) > R thì mp ( P ) và mặt cầu ( S ) không có điểm chung.
• Nếu d ( I , ( P ) ) = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện của
mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm

• Nếu d ( I , ( P ) ) < R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có
phương trình :

( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 =
R2

0
 Ax + By + Cz + D =

Trong đó bán kính đường tròn=
r

R 2 − d ( I , ( P )) 2 và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt

cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) .
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆ .
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( S ) ta tính d ( I , ∆ ) rồi so sánh với bán kính R .

 d ( I , ∆ ) > R : ∆ không cắt ( S )
 d ( I , ∆ ) =R : ∆ tiếp xúc với ( S ) .
Trang 2/27


Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆ .
AB 2
d +
4

 d ( I , ∆ ) < R : ∆ cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B và=
R

2

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 1 =
0 ; (β ) : x + y − z + 2 =
0;
(γ ) : x − y + 5 =

0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

B. (α ) ⊥ ( β ) .

A. (α ) / /(γ ) .
Câu 2.

D. (α ) ⊥ (γ ) .

C. (γ ) ⊥ ( β ) .

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng ∆1 :

 x= 2 + t

3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là
∆2 :  y =
z = 1− t




B. . n = (5; −6; −7)
C. n = (−2;6;7) .
A. . =
n (5; −6;7)
Câu 3.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

x − 2 y +1 z
=
=;
2
−3
4


D. n =(−5; −6;7) .

phẳng

( P ) : 5 x + my + z − 5 =
0 và

(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 =
0 .Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) .

A. m =
Câu 4.

Trong

3
; n = −10 .
2

không

3
B. m =
10 .
− ;n =
2

gian

Oxyz ,

cho

C. m =
−5; n =
3.
hai

mặt

phẳng

D. m = 5; n = −3 .
( P ) : 2 x − my − 4 z − 6 + m =
0 và

(Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − 7 =
0 . Tìm m để ( P) ≡ (Q) .

6
A. m = − .
5

Câu 5.

Trong

không

B. m = 1 .
gian

Oxyz ,

D. m = −4 .

C. m = −1 .
cho

hai

mặt

phẳng

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 =
0 và

(Q) : 6 x − y − z − 10 =
0 .Tìm m để ( P ) ⊥ (Q) .

A. m = 4 .
Câu 6.

C. m = −2 .

B. m = −4 .

D. m = 2 .

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : y − 9 =
0 . Xét các mệnh đề sau:
(I) ( P ) / / ( Oxz )
(II) ( P ) ⊥ Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.
C.(I) sai, (II) đúng.

Câu 7.

Trong

không

gian

Oxyz ,

B.(I) đúng, (II) sai.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.
cho

điểm

I (2;6; −3) và

các

mặt

phẳng

:

(α ) : x − 2 =
0 ; (β ) : y − 6 =
0 ; (γ ) : z − 3 =
0

A. (α ) ⊥ ( β ) .

Câu 8.

B. ( β ) //(Oyz ) .

C. (γ )//oz .

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0

x − 12 y − 9 z − 1
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
= =
4
3
1
A. d ⊂ ( P ) .
B. d // ( P ) .
C. d cắt ( P ) .

D. (α ) qua I .
và đường thẳng d :

D. d ⊥ ( P) .

Trang 3/27


Câu 9.

Trong không gian

( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 =0 và

Oxyz , cho mặt phẳng

đường thẳng

 x =−1 + 2t

d :  y= 3 + 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z = 3t

A. d / /

( P) .

C. d cắt ( P ) .

B. d ⊂ ( P ) .

D. d ⊥ ( P) .

x= 1+ t

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 =
0 và đường thẳng d :  y = 1 + 2t .
 z= 2 − 3t

Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là:

A. Vô số.

B. 1.

C. Không có.

D. 2.

x − 12 y − 9 z − 1
Câu 11. Trong không gian Oxyz , tọa độ giao điểm M của đường thẳng d : = =
và mặt
4
3
1
phẳng ( P ) : 3 x + 5 y – z – 2 =
0 là
A. ( 0; 2;3) .

B. ( 0;0; −2 ) .

C. ( 0;0; 2 ) .

Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P) :

D. . ( 0; −2; −3) .

2 x + my − 3 z + m − 2 =
0 và đường thẳng

 x= 2 + 4t

d :  y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A. m ≠

Câu 13. Trong

1
.
2

không

B. m = −1 .

gian

Oxyz ,

C. m =

cho

đường

1
.

2

thẳng

D. m ≠ −1 .

 x= 2 − t

d :  y =−3 + t
 z = 1+ t


và

mặt

phẳng

( P) : m 2 x − 2my + (6 − 3m) z − 5 =
0.
Tìm m để d / /( P)
 m =1
A. 
.
 m = −6
Câu 14. Trong

không

 m = −1

C. 
.
 m=6

 m = −1
B. 
.
 m=6
gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

D. m ∈∅ .
thẳng

x −1 y − 7 z − 3
và
d:= =
2
1
4

x − 6 y +1 z + 2
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

d ': = =
−2
3
1
A. song song.
B. trùng nhau.
C. cắt nhau.
D. chéo nhau.

 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y= 2 − 2t và d ' :  y =−5 + 3t . Trong các
 z =t


 z= 4 + t
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
x − 2 y z +1
x−7 y−2 z
và d ' : = =
.
= =
4
−6 −8

−6
9
12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d :

Trang 4/27


A. song song.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

 x =−1 + 12t
 x=


Câu 17. Hai đường thẳng d :  y= 2 + 6t và d ′ :  y=
 z= 3 + 3t
 z=


A. trùng nhau.
B. song song.

D. cắt nhau.

7 + 8t
6 + 4t có vị trí tương đối là:.
5 + 2t
C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

 x =−1 + t
x −1 y + 2 z − 4

Câu 18. Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : = =
và d ' :  y = −t có vị trí
−2
1
3
 z =−2 + 3t

tương đối là:
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
x −1 y + 2 z − 4
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
. và
−2
1
3
 x =−1 + t


d ' :  y = −t cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ' là
 z =−2 + 3t


A. I (1; −2; 4) .

B. I (1; 2; 4) .

C. I (−1;0; −2) .

.

D. I (6;9;1) .

0 ; và mặt phẳng
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 6 z + 17 =
( P) : x − 2 y + 2 z + 1 =
0.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = 5 .
B. ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn.
C. Mặt phẳng ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) .
D. Khoảng cách từ tâm của ( S ) đến ( P ) bằng 1 .
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

(S )

có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng

(α ) : 2 x − 2 y − z + 3 =0 . Mặt cầu ( S ) có bán kính
A. R = 1 .

B. R = 2 .

R bằng:

C. R =

2
.
3

D. R =

2
.
9

Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 3 =
0 và điểm I (1;0; 2) . Phương
trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là:
A. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
1.

B. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) =
1.

C. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) =
3.

D. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
3.

2

2

2

2

2

2

2

2

0 . Phương trình mặt
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 4 z − 5 =
phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) là:
A. 2 x − y + 3 z − 4 =
0 . B.
D.
x − y + 3z − 3 =
0.

− x + 2 y − 2 z + 1 =0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 =
0.

0 , mặt phẳng
Câu 24. Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 =
0 . Giá trị của m
( P) : 4x + 3y + m =

để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .

Trang 5/27


 m > 11
A. 
.
 m < −19

B. −19 < m < 11 .

m > 4
D. 
.
 m < −12

C. −12 < m < 4 .
0
( P ) : 2 x + 3 y + z − 11 =.

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

Mặt cầu

( S ) có

tâm

I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H , khi đó H có tọa độ là:

A. H (−3; −1; −2) .

B. H (−1; −5;0) .

C. H (1;5;0) .

9 và
( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3) =
để ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C )
2

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

1 . Giá trị của
( P ) : 2x + y + 2z =
A. −

17
1
≤a≤ .

2
2

B. −

a

D. H (3;1; 2) .

17
1
2
2

2

2

C. −8 < a < 1 .

mặt phẳng

D. −8 ≤ a ≤ 1 .

x y −1 z − 2
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : =
và và mặt cầu
=
2

1
−1
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 =0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:

A. 0.

B. 0.

C. 2.

(S ) :

D. 3.

x + 2 y z −3
=
= và và mặt cầu (S):
−1
−1
1
2
2
2
∆
x + y + z − 2 x − 4 y + 6 z − 67 =
0 . Số điểm chung của và ( S ) là:

Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :
A. 3.

B. 0.

C. 1

D. 2.

Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục
Oy là:
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
9.

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
10 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) ( z + 3) =
10 .

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
10 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 30. Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I (1; −2;3) và đường
x +1 y − 2 z + 3
. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:
thẳng d có phương trình = =
2
1
−1
2
2
2
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
5 2.
50 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) =

5 2.
2

Câu 31. Trong

không

2

gian

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) =
50 .

2

Oxyz ,

cho

2

mặt

phẳng

ba

2

mặt

( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 =0 và ( R ) : − x + 2 y + nz =0 . Tính tổng
( P ) / / (Q )
A. −6 .

B. 1.

Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

C. 0.

( P) :

2

( P ) : x + y + z − 1 =0 ,
m + 2n , biết rằng ( P ) ⊥ ( R ) và
phẳng

D. 6.
x − 2 y + 3 z + −4 = 0 và đường thẳng d :

x − m y + 2m z
. Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt
= =
1
3
2
phẳng ( P ) thuộc mặt phẳng ( Oyz ) .

A. m =

4
.
5

B. m = −1 .

C. m = 1 .

D. m =

12
.
17

Trang 6/27


 x =−1 + t
x −1 y + 2 z − 4

Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
và d ' :  y = −t cắt
−2
1
3
 z =−2 + 3t


nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
A. 6 x + 9 y + z − 8 =
B. 6 x + 9 y + z + 8 =
0.
0.
C. −2 x + y + 3 z − 8 =
D. 6 x − 9 y − z − 8 =
0.
0.
Câu 34. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

x +7 y −5 z −9
d: = =
3
4
−1

và

x y + 4 z + 18
. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
d=
':
=
3
−1
4
A. 63 x + 109 y + 20 z + 76 =
B. 63 x − 109 y + 20 z + 76 =
0.
0.
C. 63 x + 109 y − 20 z + 76 =
D. 63 x − 109 y − 20 z − 76 =
0.
0.

Câu 35. Trong

không

gian

( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 =0 .

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

Biết mp ( Q ) cắt mặt cầu

( Q ) song song với mặt phẳng
25 theo một
( S ) : x 2 + ( y + 2)2 + ( z − 1)2 =

đường tròn có bán kính r = 3 . Khi đó mặt phẳng ( Q ) có phương trình là:
B. 2 x − 2 y + z + 17 =
0.
D. 2 x − 2 y + z − 17 =
0.

A. x − y + 2 z − 7 =
0.
C. 2 x − 2 y + z + 7 =
0.
Câu 36. Trong

không

gian

Oxyz ,

mặt

phẳng ( P ) chứa

Ox

trục

và

cắt

mặt

cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 =theo
giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có
0
phương trình là:
A. y − 2 z =
0.

B. y + 2 z =
0.

C. y + 3 z =
0.

D. y − 3 z =
0.

Câu 37. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng
 x= 11 + 2t
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 là:
( d ) có phương trình: ( d )  y = t
z =
−25 − 2t

A. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
280 .

B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) =
289 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
17 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
289 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x+5 y−7 z
và điểm M (4;1;6) . Đường
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
2
1
−2
thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Phương trình của mặt cầu

( S ) là:
2
2
2
A. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
9.
2
2
2

C. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
18.
Câu 39. Trong
2

không
2

gian

Oxyz ,

B. ( x + 4 ) + ( y + 1) + ( z + 6 ) =
18. .
2

2

2

D. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
16.
2

cho

cho

mặt

2

cầu

(S)

2

có

phương

trình:

2

x + y + z − 2 x + 4 y − 6 z − 11 =
0 và mặt phẳng ( P) có phương trình 2 x + 2 y − z − 7 =
0.
Phương trình mặt phẳng (Q) song song với ( P) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có
chu vi bằng 6π .
A. 2 x + 2 y − z + 17 =
0 . C. 2 x + 2 y − z + 7 =
0 . D. 2 x + 2 y − z − 19 =
0 . B. 2 x + 2 y − z − 7 =
0.

Trang 7/27

Câu 40. Trong

không

gian Oxyz ,

cho

đường

thẳng

 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt và
 z = −2t


mặt

cầu.

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 Giá trị của m để đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( S ) là:
15
5
15
5
A. m > .hoặc m <

B. m = .hoặc m =
2
2
2
2
5
15
C. < m < .
D. m ∈  .
2
2
Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 và đường
 x= 2 + t

1 + mt . Giá trị của m để đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) là:
thằng ∆:  y =
 z = −2t

5
15
15
5
hoặc m <
B. m =
hoặc m = .
A. m >
2
2
2

2
5
15
C. < m < .
D. m ∈  .
2
2
1 và đường thẳng
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt . Giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt là:
 z = −2t

A. m ∈  .
C. m =

15
5
.hoặc m <
2
2
5
15
D. < m < .
2
2

B. m >

.

5
15
.hoặc m =
2
2

Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của
hệ trục tọa độ, B (a;0;0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh
a
CC ′ . Giá trị của tỉ số để hai mặt phẳng ( A′BD) và ( MBD ) vuông góc với nhau là:
b
1
1
A. .
B. .
C. −1 .
D. 1.
3
2
Câu 44. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

( P) : x + 2 y + 2 z + 4 =
0

và

mặt

cầu

( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 1 =0. Giá trị của điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt
2

2

2

GTNN là:

5 7 7
B.  ; ;  .
3 3 3

A. (1;1;3) .
Câu 45. Trong

không

D.

(1; −2;1) .

cho mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 9 =
0 và mặt cầu
( S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) =
100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ nhất là:
 11 14 13 
 11 14 13 
 29 26 7 
 29 26 7 
A. M  − ; ;  .
B. M  ; − ; −  . C. M  − ; ; −  . D. M  ; ; −  .
3
3
3
3
 3 3 3
 3
 3 3
3 3
2

gian

1 1 1
C.  ; − ; −  .
3 3 3

2

Oxyz ,
2

x −1 y −1 z + 2
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho các điểm I (1;0;0 ) và đường thẳng d : = =
.
1
2
1
Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB

đều là:
Trang 8/27


20
2
A. ( x + 1) + y 2 + z 2 = .
3
16
2
C. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
4

20
2
B. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
3
5
2
D. ( x − 1) + y 2 + z 2 =.
3

 x=2

Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho d :  y = t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 z + 5 =
0.
z = 1− t

Tọa độ điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , d ) đạt GTLN là:
A. (1; 2; −1) .

B.. (2; 2; −1) .

C. (0; 2; −1) .

.D. ( −3; −2;1) .

0 và
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x – 2 y + z + 15 =

100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng (α )
mặt cầu ( S ) : (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 5) 2 =
cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:

x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
A. = =
.
B. = =
.
1
4
6
16
11
−10
 x =−3 + 5t
x +3 y −3 z +3

.
D. = =
.
C.  y = 3
1
1
3
 z =−3 + 8t


0 và mặt
Câu 49. rong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x – 2 y + z + 15 =

100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng (α ) cắt
cầu ( S ) : (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 5) 2 =

( S ) tại A , B . Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
.
B. = =
.
A. = =
16
11
−10
1
4
6
 x =−3 + 5t
x +3 y −3 z +3

C.  y = 3
.
D. = =
.
16
−
11
10
 z =−3 + 8t


Câu 50. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

điểm

A ( 3;0; 2 ) ,

B ( 3;0; 2 )

và

mặt

cầu

x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 =
25 . Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu

( S ) theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A.  4
x − y − 5 z + 17 =
0.
C.  4
x − y + 5 z − 13 =

0.

B.
 3 x − 2 y + z − 7 =
0.
D.  3 x + 2 y + z –11 =
0.

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.5
1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B D D C A A C A A D
II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Trang 9/27


Câu 1.

Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 1 =
0 ; (β ) : x + y − z + 2 =
0;
(γ ) : x − y + 5 =
0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

B. (α ) ⊥ ( β ) .
C. (γ ) ⊥ ( β ) .
A. (α ) / /(γ ) .

Lời giải.

(α ) : x + y + 2 z + 1 =
0 có VTPT a = (1;1; 2 )

b (1;1; −1)
(β ) : x + y − z + 2 =
0 có VTPT=

c (1; −1;0 )
(γ ) : x − y + 5 =
0 có VTPT =
 

 ( 2; 2; −2 ) ≠ 0 ⇒ (α ) và ( γ ) không song song nhau
Ta có  a; c=


0 (α ) ⊥ ( β )
Ta có a.b =⇒

0 (α ) ⊥ ( γ )
Ta có a.c =⇒

0 ( β ) ⊥ (γ )
Ta có b.c =⇒

D. (α ) ⊥ (γ ) .

Do đó chọn đáp án A.

Câu 2.

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng ∆1 :

 x= 2 + t

3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là
∆2 :  y =
z = 1− t




A. . =
B. . n = (5; −6; −7)
C. n = (−2;6;7) .
n (5; −6;7)
Lời giải.
∆1 có một VTCP là u=
( 2; −3; 4 ) ,
1

∆ 2 có một VTCP là=
u1


D. n =(−5; −6;7) .

(1; 2; −1) .

 

Do ( P ) song song với ∆1 , ∆ 2 nên ( P ) có một VTPT là n = u1 , u2  =
Do đó chọn đáp án B.

Câu 3.

Trong

không

gian

x − 2 y +1 z
=
=;
2
4
−3

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

( −5;6;7 )
( P ) : 5 x + my + z − 5 =
0 và

(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 =
0 .Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) .

3
3
C. m =
−5; n =
3.
; n = −10 . B. m =
− ;n =
10 .
2
2
Lời giải.

( P ) : 5 x + my + z − 5 =
0 có VTPT a = ( 5; m;1)

(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 =
0 có VTPT b = ( n; −3; −2 )

A. m =

D. m = 5; n = −3 .

0

−2m + 3 =
3

 

m=


( P ) // ( Q ) ⇔  a; b  =0 ⇔ n + 10 =0 ⇔  2
−15 − mn =
n = −10
0

Chọn đáp án A.
Câu 4.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

( P) : 2 x − my − 4 z − 6 + m =
0 và

(Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − 7 =
0 . Tìm m để ( P) ≡ (Q) .

6
A. m = − .
5

Lời giải.

( P ) ≡ (Q ) ⇔

B. m = 1 .

C. m = −1 .

D. m = −4 .

2
−m
−4
−6 + m 
1
=
=
=

 m ≠ −3, −  ⇔ m = −1
m+3
1
5m + 1
−7 
5
Trang 10/27


Chọn đáp án A.
Câu 5.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 =
0 và

(Q) : 6 x − y − z − 10 =
0 .Tìm m để ( P) ⊥ (Q) .

A. m = 4 .

B. m = −4 .

C. m = −2 .

D. m = 2 .

Lời giải.

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 =
0 có VTPT a = ( 2; m; 2m )

(Q) : 6 x − y − z − 10 =
0 có VTPT b = ( 6; −1; −1)

( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ a.b =0 ⇔ 2.6 + m. ( −1) + 2m. ( −1) =0 ⇔ m =4
Chọn đáp án A.
Câu 6.

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : y − 9 =
0 . Xét các mệnh đề sau:
(I) ( P ) / / ( Oxz )
(II) ( P ) ⊥ Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.

C.(I) sai, (II) đúng.

B.(I) đúng, (II) sai.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.

Lời giải.

( Oxz ) có VTPT a = ( 0;1;0 )

( P ) / / ( Oxz ) đúng

Oy có VTCP a = ( 0;1;0 ) cũng là VTPT của ( P )
( P ) ⊥ Oy đúng
Chọn đáp án A.
Câu 7.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

điểm

I (2;6; −3) và

các

mặt

phẳng

:

(α ) : x − 2 =
0 ; (β ) : y − 6 =
0 ; (γ ) : z − 3 =
0

A. (α ) ⊥ ( β ) .

B. ( β ) //(Oyz ) .

C. (γ )//oz .

D. (α ) qua I .

Lời giải.

(α ) : x − 2 =
0 có VTPT a = (1;0;0 )

(β ) : y − 6 =
0 có VTPT b = ( 0;1;0 )

(γ ) : z + 3 =

0 có VTPT c = ( 0;0;1)


A sai vì Oz có VTCP u = ( 0;0;1) và u.c= 1 ≠ 0

B sai vì ( β ) / /(Oyz ) sai vì b = ( 0;1;0 )
D sai vì thay tọa độ điểm I vào (α ) ta thấy không thỏa mãn nên I ∉ (α ) .

0 (α ) ⊥ ( β ) .
C đúng vì ta có a.b =⇒
Câu 8.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0

x − 12 y − 9 z − 1
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
= =
4
3
1
A. d ⊂ ( P ) .
B. d // ( P ) .
C. d cắt ( P ) .

và đường thẳng d :

D. d ⊥ ( P) .

Lời giải.
Trang 11/27




a ( 3;5; −1)
( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0 có VTPT=


x − 12 y − 9 z − 1
có VTCP b = ( 4;3;1)
d: = =
3
1
 4
a.b ≠ 0 ⇒ d không song song với ( P ) và d ⊄ ( P )
 

 a; b  ≠ 0 ⇒ d không vuông góc ( P )
 

Chọn đáp án A.
Câu 9.

Trong không gian

Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 =0 và

đường thẳng

 x =−1 + 2t

d :  y= 3 + 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z = 3t

A. d / /

( P) .

B. d ⊂ ( P ) .

Lời giải.

a
( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 =0 có VTPT =

C. d cắt ( P ) .

D. d ⊥ ( P) .

( 3; −3; 2 )

 x =−1 + 2t


d :  y= 3 + 4t có VTCP b = ( 2; 4;3)
 z = 3t



a.b = 0

Ta có  A ( −1;3;3) ∈ d ⇒ d / / ( P )

A∉( P)
Chọn đáp án A.

x= 1+ t

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 =
0 và đường thẳng d :  y = 1 + 2t .
 z= 2 − 3t

Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là:
A. Vô số.

B. 1.

C. Không có.

D. 2.

Lời giải.

( P ) : x + y + z − 4 =0 có VTPT a = (1;1;1)

x= 1+ t



d :  y = 1 + 2t có VTCP=
b (1; 2; −3)
 z= 2 − 3t


a.b = 0

Ta có  A (1;1; 2 ) ∈ d ⇒ d ⊂ ( P )
A∈ P

Chọn đáp án A.

x − 12 y − 9 z − 1
Câu 11. Trong không gian Oxyz , tọa độ giao điểm M của đường thẳng d : = =
và mặt
4
3
1
phẳng ( P ) : 3 x + 5 y – z – 2 =
0 là
A. ( 0; 2;3) .

B. ( 0;0; −2 ) .

C. ( 0;0; 2 ) .

D. . ( 0; −2; −3) .
Trang 12/27

Lời giải.
=
 x − 4t 9 =
x 0

y 0
=
 y − 3t 9 =

Giải hệ 
. Vậy chọn đán án A.
⇒
z
−
t
=
1
z
=
−
2


3 x + 5 y − z =2 t =−3
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P) :

2 x + my − 3 z + m − 2 =

0 và đường thẳng

 x= 2 + 4t

d :  y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A. m ≠

1
.
2

B. m = −1 .

C. m =

Lời giải.

=
a
0 có VTPT
( P ) : 2 x + my − 3z + m − 2 =

1
.
2

D. m ≠ −1 .

( 2; m; −3)

 x= 2 + 4t


d :  y = 1 − t có VTCP =
b ( 4; −1;3)
 z = 1 + 3t


d cắt ( P ) ⇔ a.b ≠ 0 ⇔ 2.4 − m + ( −3) .3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1
Chọn đáp án A.
Câu 13. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

 x= 2 − t

d :  y =−3 + t
 z = 1+ t



và

mặt

phẳng

( P) : m 2 x − 2my + (6 − 3m) z − 5 =
0.
Tìm m để d / /( P)
 m =1
A. 
.
 m = −6

 m = −1
C. 
.
 m=6

 m = −1
B. 
.
 m=6

D. m ∈∅ .

Lời giải.


Ta có d đi qua M (2; −3;1) và có VTCP u (−1;1;1)

Và ( P) có VTPT n(m 2 ; −2m;6 − 3m)
Để d song song với ( P) thì
 

 (−1).m 2 − 2m + 6 − 3m =
 − m 2 − 5m + 6 =
0
0
 m =1
0
 u ⊥ n
 u.n =
⇔
⇔
⇔ 2
⇔

2
 m = −6
2m − 2.(−3)m + 6 − 3m ≠ 0
 2m − m − 4 ≠ 0
 M ∉ ( P)
 M ∉ ( P)
Câu 14. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

x −1 y − 7 z − 3
và
d:= =
2
1
4

x − 6 y +1 z + 2
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
d ': = =
3
1
−2
A. song song.
B. trùng nhau.
C. cắt nhau.
D. chéo nhau.

Lời giải.


d có VTCP u = (2;1; 4) và đi qua M (1;7;3)

d ' có VTCP u=' (3; −2;1) và đi qua M '(6; −1; −2)
Từ
đó

 ta có
 

MM ' = (5; −8; −5) và=
[u , u '] (9;10;7) ≠ 0
Trang 13/27


  
Lại có [u , u '].MM ' = 0

Suy ra d cắt d '

 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y= 2 − 2t và d ' :  y =−5 + 3t . Trong các
 z =t


 z= 4 + t
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Lời giải.

d có VTCP =
u (2; −2;1) và đi qua M (1; 2;0)

d ' có VTCP u ' = (−2;3;1) và đi qua M '(0; −5; 4)
Từ
đó
 

 ta có

MM ' =(−1; −7; 4) và [u , u '] =
(−2;1;6) ≠ 0
  
Lại có [u , u '].MM=' 19 ≠ 0
Suy ra d chéo nhau với d ' .
x − 2 y z +1
x−7 y−2 z
và d ' : = =
.
= =
4
−6 −8
9
12

−6
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d :

Lời giải.

d có VTCP u = (4; −6; −8) và đi qua M (2;0; −1)

d ' có VTCP u ' = (−6;9;12) và đi qua M '(7; 2;0)
Từ
đó

 ta có
  
MM ' = (5; 2;1) và [u , u '] = 0
  
Lại có [u , MM '] ≠ 0
Suy ra d song song với d ' .

 x=
 x =−1 + 12t


Câu 17. Hai đường thẳng d :  y= 2 + 6t và d ′ :  y=
 z=

 z= 3 + 3t


A. trùng nhau.
B. song song.

7 + 8t
6 + 4t có vị trí tương đối là:.
5 + 2t
C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Lời giải.

d có VTCP u = (12;6;3) và đi qua M (−1; 2;3)

d ' có VTCP u ' = (8; 4; 2) và đi qua M ′(7;6;5)
Từ
đó

 ta có
MM ' = (8; 4; 2)
  
  
Suy ra [u , MM ']=0 và [u , u '] = 0
Suy ra d trùng với d ' .

 x =−1 + t
x −1 y + 2 z − 4


Câu 18. Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : = =
và d ' :  y = −t có vị trí
−2
1
3
 z =−2 + 3t

tương đối là:
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Trang 14/27


Lời giải.

d có VTCP u = (−2;1;3) và đi qua M (1; −2; 4)

d ' có VTCP u=' (1; −1;3) và đi qua M '(−1;0; −2)
Từ
đó

 ta có
MM ' =
(−2; 2; −6)
  
 


[u , u '] (6;9;1) ≠ 0 và [u , u '].MM ' = 0
=
Suy ra d cắt d ' .
x −1 y + 2 z − 4
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
. và
1
3
−2
 x =−1 + t

d ' :  y = −t cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ' là
 z =−2 + 3t


A. I (1; −2; 4) .

B. I (1; 2; 4) .

C. I (−1;0; −2) .

.

D. I (6;9;1) .

Lời giải.
−1 + t − 1 −t + 2 −2 + 3t − 4
= =
1
3

−2
−2 + t −t + 2 −6 + 3t
⇔
=
=
1
3
−2
2
⇔t=
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; −2; 4)

0 ; và mặt phẳng
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 6 z + 17 =
( P) : x − 2 y + 2 z + 1 =
0.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = 5 .
B. ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn.
C. Mặt phẳng ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) .
D. Khoảng cách từ tâm của ( S ) đến ( P ) bằng 1 .
Lời giải.
2
2
2
5 có tâm I ( 2; −3; −3) và bán kính R = 5
( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 3) =

d  I ; ( P )  =

2 − 2. ( −3) + 2. ( −3) + 1
12 + ( −2 ) + 22
2

=1 < R = 5

⇒ ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án A.
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

(S )

có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng

(α ) : 2 x − 2 y − z + 3 =0 . Mặt cầu ( S ) có bán kính
A. R = 1 .

B. R = 2 .

Lời giải.

( P)

 I ; ( P ) 
tiếp xúc (=
S ) ⇒ R d=

R bằng:

C. R =

2
.
3

D. R =

2
.
9

2.2 − 2.1 − 1. ( −1) + 3
= 2
2
2
22 + ( −2 ) + ( −1)
Trang 15/27


Chọn đáp án A.
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 3 =
0 và điểm I (1;0; 2) . Phương
trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là:
A. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
1.

B. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) =
1.

C. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) =
3.

D. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
3.

2

2

2

2

2

2

Lời giải.

( P)

2

2

2.1 − 2.0 − 2 − 3
= 1
2
2

2
2 + ( −2 ) + ( −1)

tiếp xúc (=
S ) ⇒ R d=
 I ; ( P ) 

⇒ ( S ) : ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
1
2

2

Chọn đáp án A.

0 . Phương trình mặt
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 4 z − 5 =
phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) là:
A. 2 x − y + 3 z − 4 =
0 . B.
D.
x − y + 3z − 3 =
0.

− x + 2 y − 2 z + 1 =0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 =
0.

Lời giải.


( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) ⇒ ( P ) qua M (1;1;1) và có VTPT IM với

I ( −1; 2; −2 ) là tâm của mặt cầu ( S )

= ( 2; −1;3)
Ta có IM
⇒ ( P ) : 2 x − y + 3z − 4 =
0
Chọn đáp án A.

0 , mặt phẳng
Câu 24. Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 =
0 . Giá trị của m
( P) : 4x + 3y + m =

 m > 11
.
A. 
 m < −19

để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .

B. −19 < m < 11 .

C. −12 < m < 4 .

m > 4
D. 
.

 m < −12

Lời giải.
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 =
0 có tâm I (1;0;1) và bán kính R = 3

( P)

cắt mặt cầu ( S ) ⇔ d  I ; ( P )  < R ⇔

4.1 + 3.0 + m
42 + 32

<3

⇔ m + 4 < 15 ⇔ −19 < m < 11
Chọn đáp án A.
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 2 x + 3 y + z − 11 =0 .

Mặt cầu

( S ) có

tâm

I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H , khi đó H có tọa độ là:

A. H (−3; −1; −2) .

B. H (−1; −5;0) .

C. H (1;5;0) .

D. H (3;1; 2) .

Lời giải.
( S ) có tâm I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H ⇒ H là hình chiếu của I lên

( P)

Trang 16/27


 x = 1 + 2t

Đường thẳng đi qua I (1; −2;1) và vuông góc với ( P ) là d :  y =−2 + 3t ( t ∈ R )
z = 1+ t

H (1 + 2t ;3t − 2;1 + t ) ∈ d
H ∈ ( P ) ⇔ 2 (1 + 2t ) + 3 ( 3t − 2 ) + (1 + t ) − 11 = 0 ⇔ t =1
⇒ H ( 3;1; 2 )
Chọn đáp án A.
9 và
( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3) =
để ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C )
2

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

1 . Giá trị của
( P ) : 2x + y + 2z =
A. −

17
1
≤a≤ .
2
2

B. −

a

17
1
2
2

C. −8 < a < 1 .

2

2

mặt phẳng

D. −8 ≤ a ≤ 1 .

Lời giải.
2
2
2
9 có tâm I ( a; 2;3) và có bán kính R = 3
( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3) =

( P)
⇔

cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C ) ⇔ d  I ; ( P )  < R

2.a + 2 + 2.3 − 1
22 + 12 + 22

< 3 ⇔ 2a + 7 < 9 ⇔ −8 < a < 1

x y −1 z − 2
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : =
và và mặt cầu
=
2
1
−1
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 =0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:

A. 0.

B. 0.

C. 2.

(S ) :

D. 3.

Lời giải.

u
Đường thẳng ∆ đi qua M = ( 0;1; 2 ) và có VTCP=

( 2;1; − 1)

Mặt cầu ( S ) có tâm=
I (1;0; − 2 ) và bán kính R=2

 
Ta có MI = (1; −1; −4 ) và u , MI  =
( −5;7; −3)
 
u , MI 
498

⇒ d=

( I , ∆)  =
6
u
Vì d ( I , ∆ ) > R nên ∆ không cắt mặt cầu ( S ) .

x + 2 y z −3
=
= và và mặt cầu (S):
−1
1
−1
2
2
2
x + y + z − 2 x − 4 y + 6 z − 67 =
0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:

Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :
A. 3.

B. 0.

Lời giải.
Đường thẳng ∆ đi qua M =

C. 1

D. 2.



( −2;0;3) và có VTCP u =( −1;1; − 1)
Mặt cầu ( S ) có tâm=
I (1; 2; − 3) và bán kính R=9


 
MI ( 3; 2; −6 ) và u , MI  =( −4; −9; −5 )
Ta có =
⇒ d=
( I , ∆)

 
u , MI 


=

u

366
3

Trang 17/27


Vì d ( I , ∆ ) < R nên ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt.
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục
Oy là:
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
9.

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =

10 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) ( z + 3) =
10 .

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
10 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.
Gọi M là hình chiếu của I (1; −2;3) lên Oy, ta có: I ( 0; −2;0 ) .

IM =( −1;0; −3) ⇒ R =d ( I , Oy ) =IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm

Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
10.
2

2

2

Câu 30. Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I (1; −2;3) và đường
x +1 y − 2 z + 3
thẳng d có phương trình = =
. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:
2
1
−1
2
2
2
2
2
2
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
5 2.
50 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) =
5 2.
2

Lời giải.
Đường


=
u

2

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) =
50 .

2

thẳng

( 2;1; − 1) ⇒ d ( A, d )=

2

qua
( d ) đi
 
u , AM 


= 5 2

u

2

2

I ( −1; 2; −3) và

có

VTCP

Phương trình mặt cầu là : ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
50.
2

Câu 31. Trong

không

gian

Oxyz ,

2

cho

mặt

2

phẳng

ba

mặt

( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 =0 và ( R ) : − x + 2 y + nz =0 . Tính tổng
( P ) / / (Q )
A. −6 .

B. 1.

C. 0.

( P ) : x + y + z − 1 =0 ,
m + 2n , biết rằng ( P ) ⊥ ( R ) và
phẳng

D. 6.

Lời giải.

( P ) : x + y + z − 1 =0 có VTPT a = (1;1;1)

( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 =0 có VTPT b = ( 2; m; 2 )

( R ) : − x + 2 y + nz =0 có VTPT c = ( −1; 2; n )

( P ) ⊥ ( R ) ⇔ a.c =0 ⇔ n =−1
2 m 2

= = ⇔m=2
1 1 1
Vậy m + 2n = 2 + 2 ( −1) = 0

( P ) / / (Q ) ⇔

Chọn đáp án A
Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P) :

x − 2 y + 3 z + −4 = 0 và đường thẳng d :

x − m y + 2m z
. Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt
= =
1
3
2
phẳng ( P ) thuộc mặt phẳng ( Oyz ) .

Trang 18/27


A. m =

4
.
5

B. m = −1 .

C. m = 1 .

D. m =

12
.
17

Lời giải.

 3

d ∩ ( P ) =A ∈ ( Oyz ) ⇒ A  0; a − 2; a 
 2

3
a − 2 + 2m
a
A ∈ d=
⇒ 0−m 2 =
3
2
=
−
2
a
m


a = −2

⇒ 3
⇒
 2 a − 2 + 2m =−3m m = 1

Chọn đáp án A.

 x =−1 + t
x −1 y + 2 z − 4

Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
và d ' :  y = −t cắt
−2
1
3
 z =−2 + 3t

nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
A. 6 x + 9 y + z − 8 =
B. 6 x + 9 y + z + 8 =
0.
0.
C. −2 x + y + 3 z − 8 =
D. 6 x − 9 y − z − 8 =
0.
0.
Lời giải.

d có VTCP u = (−2;1;3) và đi qua M (1; −2; 4)


d ' có VTCP u=' (1; −1;3) và đi qua M '(−1;0; −2)
Từ
đó

 ta có
MM ' =
(−2; 2; −6)
  
 

=
[u , u '] (6;9;1) ≠ 0 và [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d ' .
  
Mặt phẳng ( P) chứa d và d ' đi qua giao điểm của d và d ' ; có VTPT n =[u , u ']
Từ phương trình đường thẳng d và d ' , ta có:
−1 + t − 1 −t + 2 −2 + 3t − 4
= =
1
3
−2
−2 + t −t + 2 −6 + 3t
⇔
=
=
1
3
−2
2

⇔t=
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; −2; 4) .
  
Khi đó ta có ( P) đi qua I (1; −2; 4) và có VTPT n =[u , u '] = (6;9;1)
Phương trình mặt phẳng ( P) cần tìm là
6( x − 1) + 9( y + 2) + ( z − 4) = 0 ⇔ 6 x + 9 y + z + 8 = 0

Câu 34. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

x +7 y −5 z −9
d: = =
−1
3
4

và

x y + 4 z + 18
. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
d=
':
=
3
−1
4
A. 63 x + 109 y + 20 z + 76 =
B. 63 x − 109 y + 20 z + 76 =
0.
0.
C. 63 x + 109 y − 20 z + 76 =
D. 63 x − 109 y − 20 z − 76 =
0.
0.
Lời giải.

d có VTCP =
u (3; −1; 4) và đi qua M (−7;5;9)

d ' có VTCP u=' (3; −1; 4) và đi qua M '(0; −4; −18)
Trang 19/27





 

Từ đó ta có MM ' = (7; −9; −27) , u cùng phương với u ' và [u; MM '] ≠ 0
Suy ra d song song d ' . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d ' .

 
(P) đi qua M (−7;5;9) và có VTPT
=
n u;=
MM ' ( 63;109; −20 )
Vậy
phương
trình
mặt
phẳng
63( x + 7) + 109(y − 5) − 20(z − 9) =
0 ⇔ 63 x + 109 y − 20 z + 76 =
0
Câu 35. Trong

không

gian

( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 =0 .

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

Biết mp ( Q ) cắt mặt cầu

(Q )

song

song

(P)
với

là
mặt

phẳng

25 theo
( S ) : x 2 + ( y + 2)2 + ( z − 1)2 =

một

đường tròn có bán kính r = 3 . Khi đó mặt phẳng ( Q ) có phương trình là:
A. x − y + 2 z − 7 =
0.
C. 2 x − 2 y + z + 7 =
0.
Lời giải.
( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính R = 5

B. 2 x − 2 y + z + 17 =
0.
D. 2 x − 2 y + z − 17 =
0.

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I lên ( Q )

(Q )

cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính r = 3

⇒ IM = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4
( Q ) // ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 = 0 ⇒ ( Q ) : 2 x − 2 y + z + m = 0 ( m ≠ 7 )
d  I ; ( Q=
)

2.0 − 2. ( −2 ) + 1.1 + m
= IM
= 4
2
22 + ( −2 ) + 12

m = 7
⇔ m + 5 = 12 ⇔ 
 m = −17
0
Vậy ( Q ) : 2 x − 2 y + z − 17 =
Chọn đáp án A.
Câu 36. Trong

không

gian

Oxyz ,

mặt

phẳng ( P ) chứa

Ox

trục

và

cắt

mặt

0
giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có
cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 =theo
phương trình là:
A. y − 2 z =
0.

B. y + 2 z =
0.

C. y + 3 z =
0.

D. y − 3 z =
0.

Lời giải.
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 =
0 có tâm I (1; −2; −1) và bán kính R = 3

( P)

cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r= 3= R

⇒ I ∈( P)


Chọn điểm M (1;0;0 ) ∈ Ox ⇒ IM =
( 0; 2;1)

 
 ( 0; −1; 2 )
=
n  a; IM=


( P ) qua O ( 0;0;0 ) và có VTPT n = ( 0; −1; 2 ) ⇒ ( P ) : y − 2 z = 0
Chọn đáp án A.
Câu 37. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng

 x= 11 + 2t
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 là:
( d ) có phương trình: ( d )  y = t
z =
−25 − 2t

A. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
280 .
2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) =
289 .
2

2

2

Trang 20/27


D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
289 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
17 .

2

2

2

2

Lời giải.

Đường thẳng ( d ) đi qua M (11; 0; −25 ) và có VTCP=
u
Gọi

H

IH d=
=
( I , AB )

2

2

( 2;1; − 2 )

là
hình
chiếu
của

 
2
u , MI 
 AB 


2
15 R = IH + 
=
17 .

 =
 2 
u

I

trên

(d).

Có:

Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
289.
2

2

2

x+5 y−7 z
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
và điểm M (4;1;6) . Đường
2
−2
1
thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Phương trình của mặt cầu

( S ) là:
2
2
2
A. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
9.
2
2
2
C. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
18.

B. ( x + 4 ) + ( y + 1) + ( z + 6 ) =
18. .
2

2

2

D. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =

16.
2

2

2

Lời giải.


d đi qua N (−5;7;0) và có VTCP =
(−9;6; −6) .
u (2; −2;1) ; MN =
Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đến đường thẳng d ⇒ MH = d ( M , d ) = 3 .
2

 AB 
Bán kính mặt cầu ( S ) : R 2 =
MH 2 + 
18 .
 =
 2 

⇒ PT mặt cầu ( S ) : ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
18.

Câu 39. Trong

không

gian

2

2

2

Oxyz ,

cho

cho

mặt

cầu

(S)

có

phương

trình:

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 =
0 và mặt phẳng ( P) có phương trình 2 x + 2 y − z − 7 =
0.
Phương trình mặt phẳng (Q) song song với ( P) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có

chu vi bằng 6π .
A. 2 x + 2 y − z + 17 =
0.
C. 2 x + 2 y − z + 7 =
0.

B. 2 x + 2 y − z − 7 =
0.
D. 2 x + 2 y − z − 19 =
0.

Lời giải.
( S ) có tâm I (1; −2;3) , bán kính R = 5 .

Do (Q) / /( P) ⇒ (Q) : 2 x + 2 y − z +=
D 0 ( D ≠ −7)
Đường tròn có chu vi 2π .r = 6π ⇔ r = 3 ⇒ d ( I , (Q)) = d = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4
⇔

2.1 + 2(−2) − 3 + D
22 + 22 + (−1) 2

 D = −7
= 4 ⇔ −5 + D = 12 ⇔ 
 D = 17

Vậy (Q) có phương trình 2 x + 2 y − z + 17 =
0
VẬN DỤNG CAO
Câu 40. Trong

không

gian Oxyz ,

cho

đường

thẳng

 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt và
 z = −2t


mặt

cầu.

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 Giá trị của m để đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( S ) là:
Trang 21/27


15
5
.hoặc m <

2
2
5
15
C. < m < .
2
2

A. m >

B. m =

15
5
.hoặc m =
2
2

D. m ∈  .

Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 =1

⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 =
0 (1)
15

m > 2

Để ∆ không cắt mặt cầu ( S ) thì (1) vô nghiệm, hay (1) có ∆ ' < 0 ⇔ 
.
5
m<

2
Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 và đường
 x= 2 + t

1 + mt . Giá trị của m để đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) là:
thằng ∆:  y =
 z = −2t

15
5
5
15
A. m >
hoặc m <
B. m =
hoặc m = .
2
2
2
2
5
15
C. < m < .
D. m ∈  .

2
2
Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 =1

⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 =
0 (1)
15

m = 2
a ≠ 0
Để ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) thì (1) có nghiệm kép, hay (1) có 
.
⇔
∆′ =0
m= 5

2
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 và đường thẳng
 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt . Giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt là:
 z = −2t

15
5

A. m ∈  .
.
B. m > .hoặc m <
2
2
15
5
5
15
C. m = .hoặc m =
D. < m < .
2
2
2
2
Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + (−2 t − 2) 2 =1

Trang 22/27


⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 =1

⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 =
0 (1)
Để ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có
5
15
∆' > 0 ⇔ < m < .

2
2
Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của
hệ trục tọa độ, B(a;0;0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh
a
CC ′ . Giá trị của tỉ số để hai mặt phẳng ( A′BD) và ( MBD ) vuông góc với nhau là:
b
1
1
A. .
B. .
C. −1 .
D. 1.
3
2
Lời giải.
 
b

Ta có AB =
DC ⇒ C ( a; a;0 ) ⇒ C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a; 
2

Cách 1.

 
b  
Ta có MB =  0; −a; −  ; BD = ( −a; a;0 ) và A
=
' B ( a;0; −b )

2

 

   ab ab

Ta có u  MB
=
=
; BD   ; ; −a 2  và  BD; A ' B  = ( −a 2 ; −a 2 ; −a 2 )
 2 2


Chọn v = (1;1;1) là VTPT của ( A ' BD )

ab ab
a
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ u.v = 0 ⇔ + − a 2 = 0 ⇔ a = b ⇒ = 1
2
2
b
Cách 2.
=
 A ' B A ' D  A ' X ⊥ BD
với X là trung điểm BD
AB =
AD =
BC =
CD =
a⇒

⇒
=
 MB MD
 MX ⊥ BD

⇒ (
A ' BD ) ; ( MBD )  =
A ' X ; MX


a a 
X  ; ;0  là trung điểm BD
2 2 
  a a

=
A ' X  ; ; −b 
2 2

  a a b 
MX = − ; − ; − 
 2 2 2
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇒ A ' X ⊥ MX
 
⇒ A ' X .MX =
0

(

2

)

2

2
a a b
⇒ −   −   + =0
2
2 2

⇒

a
=
1
b

Câu 44. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

( P) : x + 2 y + 2 z + 4 =
0

và

mặt

cầu

( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 1 =0. Giá trị của điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt
2

GTNN là:
A. (1;1;3) .

2

2

5 7 7
B.  ; ;  .
3 3 3
Trang 23/27


1 1 1
C.  ; − ; −  .
3 3 3

D. (1; −2;1) .

Lời giải.
Ta có: d ( M , ( P)) =>
3 R =⇒
2 ( P) ∩ ( S ) =
∅.

 x= 1+ t

1 + 2t , t ∈ .
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt:  y =
 z = 1 + 2t

5 7 7
1 1 1
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: A  ; ;  , B  ; − ; − 
3 3 3
3 3 3
Ta có: d ( A, ( P)) =
5 ≥ d ( B, ( P )) =
1. ⇒ d ( A, ( P)) ≥ d ( M , ( P)) ≥ d ( B, ( P)).
Vậy: ⇒ d ( M , ( P)) min =⇔
1 M ≡ B.

Câu 45. Trong

cho mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 9 =
0 và mặt cầu

( S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) =
100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ nhất là:
 29 26 7 
 11 14 13 
A. M  − ; ;  .
B. M  ; − ; −  .
3
3
 3
 3 3 3
 29 26 7 
 11 14 13 
C. M  − ; ; −  .
D. M  ; ; −  .
3
3
 3 3
3 3
không
2

gian

Oxyz ,

2

2

Lời giải.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; −2;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) : d ( I ;( P))= 6 < R nên ( P) cắt ( S ) .
Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P) lớn nhất ⇒ M ∈ (d ) đi qua I và vuông góc với ( P)

 x= 3 + 2t

Phương trình (d ) :  y =−2 − 2t .
z = 1− t

Ta có : M ∈ (d ) ⇒ M (3 + 2t ; −2 − 2t ;1 − t )
 10
 29 26 7 
t = 3 ⇒ M 1  3 ; − 3 ; − 3 


Mà : M ∈ ( S ) ⇒ 

10
 11 14 13 
− ⇒ M2  − ; ; 
t =
3
 3 3 3

 11 14 13 
Thử lại ta thấy : d ( M 1 , ( P )) > d ( M 2 , ( P )) nên M  − ; ;  thỏa yêu cầu bài toán
 3 3 3

x −1 y −1 z + 2

Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho các điểm I (1;0;0 ) và đường thẳng d : = =
.
1
2
1
Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB

đều là:

20
2
A. ( x + 1) + y 2 + z 2 = .
3
16
2
C. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
4

20
2
B. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
3
5
2
D. ( x − 1) + y 2 + z 2 =.
3

Lời giải.
Trang 24/27


M (1;1; − 2 ) và có VTCP u = (1; 2;1)
Đường thẳng ( ∆ ) đi qua =

 
Ta có MI
= ( 0; −1; 2 ) và u , MI  = ( 5; −2; −1)
 
u , MI 

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). =
Có: IH d=

( I , AB ) =
u
Xét tam giác IAB, có IH= R.

5.

3
2 IH 2 15
⇒ R=
=
2
3
3

20
2

Vậy phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y 2 + z 2 = .
3

 x=2

Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho d :  y = t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 z + 5 =
0.
z = 1− t

Tọa độ điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , d ) đạt GTLN là:
A. (1; 2; −1) .

B.. (2; 2; −1) .

C. (0; 2; −1) .

.D. ( −3; −2;1) .

Lời giải.
Ta có: d ( I , d )= 1= R suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H (2; 2; −1)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d ⇒H(2; 2; -1).
x= 1+ t

y 2 , t ∈ .
Đường thẳng IH có pt: =
 z = −1

Tọa độ giao điểm của IH và (S) là: A(0; 2; −1), B ≡ H (2; 2; −1).
Ta có: d ( A, (d )) =
AH =

2 ≥ d ( B, ( P)) =
BH =
0.
⇒ d ( A, (d )) =
2 ≥ d ( M , (d )) ≥ d ( B, (d )) =
0.
Vậy M (0; 2; −1) .

0 và
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x – 2 y + z + 15 =
100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng (α )
mặt cầu ( S ) : (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 5) 2 =
cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
A. = =
.
B. = =
.
1
4
6
16
11
−10
 x =−3 + 5t
x +3 y −3 z +3

C.  y = 3
.

D. = =
.
1
1
3
 z =−3 + 8t

Lời giải.
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) , bán kính R = 10 . Do d (I, (α )) < R nên ∆ luôn cắt ( S) tại A ,
B.

Khi đó AB = R 2 − ( d (I, ∆) ) . Do đó, AB lớn nhất thì d ( I , ( ∆ ) ) nhỏ nhất nên ∆ qua H , với
2

 x= 2 + 2t

H là hình chiếu vuông góc của I lên (α ) . Phương trình BH :  y= 3 − 2t

z= 5 + t

H ∈ (α ) ⇒ 2 ( 2 + 2t ) − 2 ( 3 – 2t ) + 5 + t + 15 =0 ⇔ t =−2 ⇒ H ( −2; 7; 3) .

x +3 y −3 z +3
Do vậy AH = (1; 4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆ . Phương trình của = =
1
4
6
Trang 25/27