30 đề ÔN THI toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II

HUYỆN TIÊN DU

NĂM HỌC 2010-2011
Khóa ngày: 28/02/2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (1,0 điểm)

Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

a) 3x  y  5 .
Câu 2. (2,5 điểm)

b) 7 x  0 y  21 .

Giải các hệ phương trình:

5 x  2 y  12
a) 
2 x  2 y  2

2


3x  y  5
b)  2

2 x  3 y  18

2 x  by  4
nhận cặp số 1; 2  là nghiệm.
bx  ay  5

Câu 3. (1,0 điểm)

Xác định a, b để hệ phương trình 

Câu 4. (2,0 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai
may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày, tổ thứ nhất
may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao
nhiêu chiếc áo?
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC ,  AB  AC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán
kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC .
1) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Vẽ đường kính AK của đường tròn  O  . Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC
đồng dạng với nhau. Suy ra AB. AC  2R. AD .
3) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE .
-----HẾT-----

HƯỚNG DẪN
Câu 1. (1,0 điểm)

Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

a) 3x  y  5 .

b) 7 x  0 y  21 .
Hướng dẫn

x 
a) Ta có: 3x  y  5  y  5  3x  nghiệm tổng quát của phương trình là: 
.
 y  5  3x


x  3
b) Ta có: 7 x  0 y  21  x  3  nghiệm tổng quát của phương trình là: 
.
y

Câu 2. (2,5 điểm)

Giải các hệ phương trình:

5 x  2 y  12
a) 
2 x  2 y  2

2


3x  y  5
b)  2

2 x  3 y  18

Hướng dẫn
5 x  2 y  12
7 x  14
x  2


a) Ta có: 
. Vậy: ……….
y 1
2 x  2 y  2
2 x  2 y  2

b) Ta có:
2
2


3x  y  5
 y  3x  5
 2
 2
2
x


3
y

18



2 x  3 y  18

1
 2

Thay (1) vào (2) ta được:
2 x 2  3  3x 2  5   18  11x 2  33  x 2  3  x   3  y  4 .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Câu 3. (1,0 điểm)





3;4 ;  3;4



2 x  by  4
nhận cặp số 1; 2  là nghiệm.
bx  ay  5

Xác định a, b để hệ phương trình 
Hướng dẫn

Vì hệ phương trình nhận 1; 2  nên thay x  1; y  2 vào hệ phương trình ta được:

2.1  2b  4
b  3

. Vậy: ………………..

b.1  2a  5
 a  4
Câu 4. (2,0 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai
may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày, tổ thứ nhất
may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao
nhiêu chiếc áo?
Hướng dẫn
Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số áo của tổ thứ nhất và tổ thứ hai mỗi ngày may được. ĐK: x, y
nguyên dương

2


3 x  5 y  1310
Lập luận để được hệ phương trình: 

 x  y  10
 x  170
Giải hệ phương trình trên tìm được: 
(thỏa mãn đk)
 y  160

Vậy trong một ngày, tổ thứ nhất may được 170 chiếc áo; tổ thứ hai may được 160 chiếc áo.
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC ,  AB  AC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán
kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC .
1) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Vẽ đường kính AK của đường tròn  O  . Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC
đồng dạng với nhau. Suy ra AB. AC  2R. AD .
3) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE .
Hướng dẫn
A

x

E
O

F
B

C

D
K
y

1) Ta có : AEH  90 và AFH  90
Do đó: AEH  AFH  180

mà đây là hai góc đối nhau.

 Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
Ta lại có, AEB  ADB  90
 E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông
Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được.
2) Ta có ACK  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

.

Hai tam giác vuông ADB và ACK , có:

ABD  AKC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

3


Suy ra ABD ∽ AKC  g.g  

AB AD

 AB. AC  AK . AD  AB. AC  2R. AD
AK AC

3) Vẽ tiếp tuyến xy tại C của  O  .
Ta có OC  Cx

(1)

Mặt khác, AEDB nội tiếp
 ABC  DEC

Mà

ABC  ACx nên

ACx  DEC  Cx / / DE (2)

Từ (1) và (2) ta có: OC  DE .
TRƯỜNG THCS HẢI HÀ

BÀI KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017
MÔN : TOÁN 9

Thời gian: 90 phút(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1:(2 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
2 x  5 y  3
a) 
5 x  4 y  2

Bài 2:(2,5 điểm) Cho (P): y  

b) x 2  5x  6  0
x2
và (D): y   x  4 .
2

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm toạ độ giao đ iểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 3:(1.5 điểm) 2 vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước), sau 1 giờ 30 phút thì đầy
bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ
chảy được 20 bể. Hỏi mỗi vòi chảy 1 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể
Bài 4:(3 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao AF
và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H ( F  BC; E  AB).
a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp được đường tròn.
b) Kẻ đường kính AK của đường tròn  O  . Chứng minh: Hai tam giác ABK và AFC đồng
dạng.
c) Kẻ FM song song với BK (M  AK ) . Chứng minh: CM vuông góc với AK .
Bài 5:(1 điểm) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1

a2
2b2 3c 2


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
a 1 b 1 c 1

4


HƯỚNG DẪN
Bài 1:(2 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
2 x  5 y  3
a) 
5 x  4 y  2

b) x 2  5x  6  0
Hướng dẫn

a) Ta có:
2

x

2 x  5 y  3
10 x  25 y  15 33 y  11

3




5
x

4
y


2
10
x

8
y



4
5
x

4
y


2
1



y 

3
 2 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y     ; 
 3 3

b) Ta có:
x2  5x  6  0 .
   5   4.6.1  1  0
2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 
Bài 2:(2,5 điểm) Cho (P): y  

5 1
 3;
2

x2 

5 1
 2.
2

x2
và (D): y   x  4 .
2

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Hướng dẫn
a) Vẽ đồ thị :
Bảng giá trị của (P) :
x
y

x2
2

4

2

1

0

8

2



1
2

0

1


1
2

2

4

2

8

(d): y   x  4
Cho x  0  y  4 ta được điểm  0; 4 

Cho y  0  x  4 ta được điểm

 4;0 

Đường thẳng d đi qua hai điểm :  0; 4  và  4;0  .
Đồ thị:

5


y
-4

-2

0

1

2

4
x

-2
-4

-8

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là :



x2
  x  4  x2  2x  8  0
2

Phương trình có hai nghiệm là : x1  4;

x2   2

Với x1  4  y1  8 ta được điểm  4; 8  .
Với x2  2  y2  2 ta được điểm  2; 2  .

Bài 3:(1.5 điểm) 2 vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước), sau 1 giờ 30 phút thì đầy
bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ
chảy được 20 bể. Hỏi mỗi vòi chảy 1 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Hướng dẫn
Gọi x (giờ) là thời gian mình vòi 1 chảy đầy bể, y (giờ) là thời gian mình vòi 2 chảy đầy bể
( x, y  1,5 giờ).
Vì cả hai vòi chảy trong 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ thì đầy bể nên ta có :
Vòi thứ nhất trong 15 phút =
trong 20 phút =

1 1 2
  (1)
x y 3

1
giờ, rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp
4

1
1 1
1
1
giờ thì sẽ chảy được 20  = bể nên ta có :

 (2)
4x 3 y 5
3
5

6


1 1 2
x  y  3

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
1  1  1
 4 x 3y 5
15

 x  4
Giải hệ phương trình ta được 
( thõa mãn ĐK)
y  5

2

Vậy mình vòi 1 chảy đầy bể trong 3giờ 45 phút, mình vòi 2 chảy đầy bể trong 2giờ 30 phút.
Bài 4:(3 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao AF
và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H ( F  BC; E  AB).
a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp được đường tròn.
b) Kẻ đường kính AK của đường tròn  O  . Chứng minh: Hai tam giác ABK và AFC đồng
dạng.
c) Kẻ FM song song với BK (M  AK ) . Chứng minh: CM vuông góc với AK .
Hướng dẫn
A

E
H

B

O

F

C

M
K

a) Ta có E  900 , F  900  E  F  900  900  1800
Vậy tứ giác BEHF nội tiếp được một đường tròn ( vì tổng hai góc đối bằng 1800)
b) Ta có : ABK  900 ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Xét ABK và AFC Có
ABK  AFC  900

AKB  ACF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BA)

 ABK ∽ AFC ( g  g )

7


c) CBK  CAK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK)
CBK  CFM ( so le trong)  CFM  CAK  Tứ giác AFMC nội tiếp
 AMC  AFC  CM  AK

Bài 5:(1 điểm) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1

a2
2b2 3c 2


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
a 1 b 1 c 1
Hướng dẫn
P

a 2  1  1 2b2  2  2 3c 2  3  3


a 1
b 1
c 1

1  

2  
3 

P   a 1
   2  b  1 
   3  c  1 

a 1  
b 1  
c 1 

1  
2  
3 

P   a 1
   2  b  1 
   3  c  1 
  12
a 1  
b 1  
c 1 


P2

 a  1 .

1
2

3
 2 2  b  1 .
 2 3  c  1 .
 12  24
a 1
b 1
c 1

Vậy GTNN của P là 24 khi a  b  c  2 .

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ II
Môn: Toán 9 - Năm học: 2014- 2015.
(Thời gian làm bài: 90 phút)
Bài 1: ( 2,5 điểm) Cho biểu thức A 

x  2 x  10
1
x 2


x x 6
x 2
x 3

với x  0; x  9 .

a) Rút gọn A .
b) Tính giá trị của A khi x  9  4 5 .
c) Tìm giá trị của x để A 

1
.
3

2 x  y  3m  2
Bài 2: ( 2,0 điểm) Cho hệ phương trình: 
( m là tham số )
x  y  5
a) Giải hệ phương trình khi m  4 .
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn: x  y  13 .
Bài 3: ( 2,0 điểm) Cho phương trình: x 2  2  m  1 x  m  3  0 (1)

8


1) Giải phương trình (1) với m  3 .
2) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x12  x22  8 .
Bài 4: ( 3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A . Đường thẳng
vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại I , K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI
( K khác C và I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O  tại M , tia BM cắt tia CI tại D . Chứng
minh:
1) Các tứ giác: ACMD; BCKM nội tiếp đường tròn.
2) CK .CD  CACB
.
3) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn  O  chứng minh B, K , N thẳng hàng.
4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di
động trên đoạn thẳng CI .

HƯỚNG DẪN
Bài 1: ( 2,5 điểm) Cho biểu thức A 

x  2 x  10
1
x 2


x x 6
x 2
x 3

với x  0; x  9 .

a) Rút gọn A .
b) Tính giá trị của A khi x  9  4 5 .
c) Tìm giá trị của x để A 

1
.
3

Hướng dẫn
a) Với x  0; x  9 ta có :
A



x  2 x  10
1

x 2


x x 6
x 2
x 3

x  2 x  10
1
x 2


( x  2)( x  3)
x 2
x 3



x  2 x  10  1.( x  3)  ( x  2)( x  2)
( x  2)( x  3)



x  2 x  10  x  3  x  4
( x  2)( x  3)

9




x 3

( x  2)( x  3)

1
x 2

b) Với x  9  4 5 ( thỏa mãn điều kiện xác định ) .
Thay vào A ta được:
A

1
94 5 2



1
( 5  2) 2  2

Vậy x  9  4 5 thì A 



1
5 2 2



1

1
5


( vì
5
5 22
5

5 2 0)

5
.
5

1
1
1
c) Ta có A  
  x  2  3  x  1  x  1 ( thỏa mãn điều kiện) .
3
x 2 3

Vậy x  1 là giá trị cần tìm.

2 x  y  3m  2
Bài 2: ( 2,0 điểm) Cho hệ phương trình: 
( m là tham số )
x  y  5
a) Giải hệ phương trình khi m  4 .

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn: x  y  13 .
Hướng dẫn
a) Thay m  4 vào hệ phương trình đã cho ta được:

2 x  y  14
3x  9
 x  3
 x  3




x  y  5
 x  y  5 3  y  5  y  8
Vậy khi m  4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    3 ; 8
b) Ta có :

2 x  y  3m  2
3x  3m  3  x  m  1
x  m 1




x  y  5
x  y  5
m  1  y  5
y  m  4
Hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn: x  y  13
 m  1  m  4  13  2m  16  m  8 (1)

Vậy m  8 là các giá trị cần tìm.

Bài 3: ( 2,0 điểm) Cho phương trình: x 2  2  m  1 x  m  3  0 (1)
1) Giải phương trình (1) với m  3 .

10


2) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x12  x22  8 .
Hướng dẫn
x  0
1) Với m  3 ta có: x 2  8 x  0  x  x  8   0  
. Vậy: …………..
 x  8

2) Ta có:
2

1  15

 '   m  1  m  3  m  m  4   m     0 m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm
2
4

2

2

phân biệt với mọi m.
c) Vì phương trình có hai nghiệm với mọi m , gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Áp dụng định lí
 x  x  2m  2
Vi-Ét ta có:  1 2
(*) .
 x1 x2   m  3

Để x12  x22  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (**)
2

m  1
Thay (*) vào (**) ta được:  2m  2   2  m  3  8  4m  6m  2  0  
m  1

2
2

2

Vậy: ………………………….
Bài 4: ( 3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A . Đường thẳng
vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại I , K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI
( K khác C và I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O  tại M , tia BM cắt tia CI tại D . Chứng
minh:
1) Các tứ giác: ACMD; BCKM nội tiếp đường tròn.
2) CK .CD  CACB
.
3) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn  O  chứng minh B, K , N thẳng hàng.
4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di

động trên đoạn thẳng CI .
Hướng dẫn

11


D

M

I
N

E

K

C O

A

B

1) Ta có: AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AMD  900 ( góc kề bù) .
Và ACD  900 (gt) . Suy ra ACD  AMD  900 mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau, cùng nhìn
cạnh AD nên tứ giác ACMD nội tiếp.
+ Xét tứ giác BMKC có BMK  BCK  900  900  1800 mà đây là hai góc đối nhau, nên tứ
giác BMKC nội tiếp.
2) Chỉ ra CAK  CDB ( cùng phụ ABM )
Suy ra CKA ∽ CBD  g.g   CK .CD  CA.CB .

3) Vì K là trực tâm ADB  BK  AD .
Mặt khác BNA  900 ( góc nt chắn nửa đường tròn) nên BN  AD  B, K , N thẳng hàng.
4) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDC  BDC , lại có: BDC  CAK (cùng
phụ với B ), suy ra: EDC  CAK . Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Gọi O ' là tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O ' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên . Suy ra O
thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ II

QUẬN HÀ ĐÔNG

Năm học: 2018 – 2019
Môn: Toán 9

ĐỀ CHÍNH
THỨC
Thời gian làm bài: 60 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm có 01 trang)
Bài 1.(2,5 điểm)
Cho Parabol  P  : y   x 2 và đường thẳng  d  : y  2 x  3
a).Vẽ Parabol  P  và đường thẳng  d  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

12


b).Tìm tọa độ giao điểm của  P  và  d  .
Bài 2.(2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau 15 ngày sẽ

xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được 6 ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công tác
khác, do đó tổ II làm một mình 24 ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiêu ngày?
Bai 3. (4,0 điểm)
Cho  O; R  . MN là dây không đi qua tâm. C, D là hai điểm bất kì thuộc dây MN ( C, D
không trùng với M , N ). A là điểm chính giữa của cung nhỏ MN . Các đường thẳng AC và
AD lần lượt cắt  O  tại điểm thứ hai là E , F .

a).Chừng minh ACD = AFE và tứ giác CDEF nội tiếp.
b).Chứng minh AM 2  AC. AE
c).Kẻ đường kính AB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC .
Chứng minh M , I , B thẳng hàng.
Bài 4.(1,0 điểm)
Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

3x  3 y  2 z









6 x2  5  6 y 2  5  z 2  5

Hết.
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

HƯỚNG DẪN
Bài 1.(2,5 điểm)
Cho Parabol  P  : y   x 2 và đường thẳng  d  : y  2 x  3
a).Vẽ Parabol  P  và đường thẳng  d  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b).Tìm tọa độ giao điểm của  P  và  d  .
Hướng dẫn
a).Vẽ Parabol  P  và đường thẳng  d  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Bảng giá trị:

13


b).Tìm tọa độ giao điểm của  P  và  d  .
Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  :
 x  1, y  1
(do y   x 2 )
 x2  2 x  3  x2  2 x  3  0  
x


3,
y

9


Vậy  P  và  d  cắt nhau ở 1;1 và  3;9  .
Bài 2.(2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau 15 ngày sẽ
xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được 6 ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công tác

khác, do đó tổ II làm một mình 24 ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn
Gọi x, y (ngày) lần lượt là số ngày tổ 1 , tổ 2 làm xong công việc, điều kiện x; y 
Số phần công việc làm trong 1 ngày của tổ 1 , tổ 2 lần lượt là

*

.

1 1
, .
x y

1 1
Hai tổ cùng làm sau 15 ngày thì xong công việc, ta có: 15     1
x y

14


Hai tổ cùng làm sau 6 ngày thì tổ I chuyển đi và tổ II làm một mình thêm 24 ngày nữa thì
 1 1  24
xong công việc, ta có 6      1
x y y

 1 1
1 1
15     1
 x  24

 x  24
 x y


Giải hệ: 
( x, y thỏa điều kiện).
1
1
y

40


1
1
24

 
6 

1
 y 40
  x y  y


Vậy tổ 1 , tổ 2 lần lượt làm xong công việc trong 24 ngày, 40 ngày.
Bai 3. (4,0 điểm)
Cho  O; R  . MN là dây không đi qua tâm. C, D là hai điểm bất kì thuộc dây MN ( C, D
không trùng với M , N ). A là điểm chính giữa của cung nhỏ MN . Các đường thẳng AC và
AD lần lượt cắt  O  tại điểm thứ hai là E , F .

a).Chừng minh ACD = AFE và tứ giác CDEF nội tiếp.
b).Chứng minh AM 2  AC. AE
c).Kẻ đường kính AB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC .
Chứng minh M , I , B thẳng hàng.
Hướng dẫn
B

E

O

I

F
M

D

C

N

A

a).Chứng minh ACD = AFE và tứ giác CDEF nội tiếp.









1
1
1
1
Có ACD  sđ AN  ME  sđ AM  ME  sđ AE , mà AFE sđ AE .
2
2
2
2

 ACD  AFE
 ACD  AFE nội tiếp (do có góc ngoài bằng góc đối trong).

b).Chứng minh AM 2  AC. AE

15


AMC và AEM có
MAC  EAM (góc chung), AMC  AEM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
AM AC
 AM 2  AC. AE

AE AM

 AMC ∽ AEM 

c).Kẻ đường kính AB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC .
Chứng minh M , I , B thẳng hàng.
Có I là tâm đường tròn ngoại tiếp MEC  IM  IE  IC
Có AMB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Có 2 IMC  180  MIC  180  2MEC (do MIC  2MEC ), mà CMA  MEC .
 2 IMC  2CMA  180  IMC  CMA  90 .

 IM  MA tại M , mà BM  MA tại M .

Suy ra M , I , B thẳng hàng.
Bài 4.(1,0 điểm)
Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  5
3x  3 y  2 z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 









6 x2  5  6 y 2  5  z 2  5

Hướng dẫn
P





Có

3x  3 y  2 z









6 x  5  6 y2  5  z2  5
2

3x  3 y  2 z
6  x 2  xy  yz  zx   6  y 2  xy  yz  zx   z 2  xy  yz  zx
3x  3 y  2 z
6  x  y  x  z   6  x  y  y  z   6  z  x  y  z 

3 x  y  2  x  z  

1
 5x  3 y  2 z  .
2

3 x  y  2  y  z  

1
 3x  5 y  2 z  .
2

1
2

 z  x  y  z    x  y  2z  .
P

2  3x  3 y  2 z  2
 .
9x  9 y  6z
3

16


3  x  y   2  x  z   2  y  z 
x  y
x  y  1


Đẳng thức xảy ra khi  z  x  y  z
 2 x  z

 xy  yz  zx  5

 xy  yz  zx  5  z  2



(do x, y, z là các số thực dương).
Vậy Min P 

2
khi x  y  1 , z  2 .
3

UBND QUẬN BẮC TỪ LIÊM

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

II NĂM HỌC 2017 – 2018 - MÔN: TOÁN 9
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A

1
x

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x

3

x

x

11
và B
9

x

3
2

với x  0; x  9

9
16

2) Rút gọn biểu thức M  A.B
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I
chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi II chảy trong 3 giờ thì được

3
bể. Hỏi nếu
10

mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 3 (2,0 điểm):
1) Cho hệ phương trình:

x my
2x 4y

2
3

a) Giải hệ phương trình khi m  3
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  x; y  thỏa mãn điều kiện x và y là hai số đối nhau.
2) Cho hàm số y   x 2 có đồ thị là parabol  P  và hàm số y  x – 2 có đồ thị là đường
thẳng Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 4 (3,5 điểm): Cho nửa đường tròn  O  , đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB.
Trên cung KB lấy một điểm M (khác K , B ). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN  BM . Kẻ
dây BP / / KM . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM ; E là giao điểm của PB và
AM .

Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn

17


1) Chứng minh:  AKN   BKM
2) Chứng minh: AM .BE  AN . AQ
3) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp  OMP.
Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một
đường cố định.
Bài 5 (0.5 điểm): Cho x  0, tìm GTNN của biểu thức A

x2

3x

1
x

Hết.
HƯỚNG DẪN
Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A

1
x

3

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x

x
x

11
và B
9

x

3
2

với x  0; x  9

9

16

2) Rút gọn biểu thức M  A.B
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M .
Hướng dẫn

1) Thay x

9
3
3  12
3
3
9
9
4
 4 
(thỏa mãn điều kiện) vào B ta được: B  16
2
2
2
8
16

 1
x  11  x  3
2) M  A.B  


x  9 

2
 x 3


 x 3
2 x  14
x 7
x 3
x  11


 

 
2
( x  3)  2 ( x  3)
 ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) 

3) M 
Vì

x 7
4
 1
( x  3)
( x  3)

x  0 nên

Vậy Max M 

x  3  3 suy ra:

4
4
4
4
7
  1
 1  M 
3
3
x 3 3
x 3

7
x 0
3

Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I
chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi II chảy trong 3 giờ thì được

3
bể. Hỏi nếu
10

mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

18

Hướng dẫn
Gọi x và y là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể là
1 giờ vòi I chảy được:

 x, y  12  , giờ

1
1
1
(bể); 1 giờ vòi II chảy được:
(bể), 1 giờ cả 2 vòi chảy được:
y
12
x

(bể)
Theo đề bài ta có phương trình:
4 giờ vòi I chảy được

1 1 1
 
x y 12

4 3 3
3
4
(bể); 3 giờ vòi II chảy được
(bể) nên ta có:  

x y 10
y
x

1 1 1
 3 3 1
 x  y  12
 x  y  4 1


Ta có hệ: 

4  3  3
 4  3  3  2
 x y 10
 x y 10

(1) + (2) ta được:

1 1 1
1
1 1 3
1
nên   
nên x  20; y  30
  
y 12 20 30
x 4 10 20

Vậy: Vòi I chảy một mình đầy bể là 20 (giờ), vòi II chảy một mình đầy bể là 30 (giờ)

Bài 3 (2,0 điểm):
1) Cho hệ phương trình:

x my
2x 4y

2
3

a) Giải hệ phương trình khi m  3
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  x; y  thỏa mãn điều kiện x và y là hai số đối nhau.
2) Cho hàm số y   x 2 có đồ thị là parabol  P  và hàm số y  x – 2 có đồ thị là đường
thẳng Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Hướng dẫn
1)
x 3y 2
a) Thay m  3 vào hệ ta được:
2x 4y 3

2x 6y
4
2x 4y 3

2x
x

3y

1
2

x
y

1
2
1
2

Nên hệ có nghiệm 1, 2 

2 x  2my  4
(2m  4) y  1
 x  my  2
b) 


 x  my  2
2 x  4 y  3 2 x  4 y  3


Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2m  4  0  m  2 (1) khi đó hệ phương trình có nghiệm:

19



1
3m  8


 y  2m  4
 x  2m  4


x  2  m
y  1


2m  4
2m  4

1
3m  8

 y  2m  4
 x  2m  4

x và y là hai số đối nhau nên 
x  2  m
y  1


2m  4
2m  4

Từ (1) và (2) suy ra: m 

 2

7

3

2)
PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

 x1  1  y1  1
 x2  x  2  x2  x  2  0  
 do a  b  c  0 
 x2  2  y2  4

nên A(2; 4) B(1; 1)
Gọi C giao điểm của (d) và trục Oy, ta có C (0; 2)
S AOB  SOBC  S AOC 

S AOB 


BH  OC AK  OC xB  | 2 |


2
2
2

|1|  | 2 | | 2 |  | 2 |

3
2
2

Bài 4 (3,5 điểm): Cho nửa đường tròn  O  , đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB.
Trên cung KB lấy một điểm M (khác K , B ). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN  BM . Kẻ
dây BP / / KM . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM ; E là giao điểm của PB và
AM .

Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn
1) Chứng minh:  AKN   BKM

20


2) Chứng minh: AM .BE  AN . AQ
3) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp  OMP.
Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một
đường cố định.
Hướng dẫn
Q

I

R

K

S
M

P
N
E

A

B
O

1) Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn
Xét (O), đường kính AB có:
APB  900 ; AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên QPB  900 ; QMA  900 ( kề bù)
Suy ra:  QPE  QME  1800 nên tứ giác PQME nội tiếp đường tròn
2) Chứng minh:  AKN   BKM
K là điểm chính giữa cung AB nên sđ KA = sđ KB  AK  KB (liên hệ giữa cung và dây)

Xét  AKN và  BKM ta có:
AK  KB (chứng minh trên);
KAN  KBM (chắn cung KM );
AN  BM (gt)

nên  AKN   BKM
3) Chứng minh: AM .BE  AN . AQ

21


 AMQ đồng dạng với  BME (g –g),

suy ra:

AM AQ

,

BM EB

mà AN  BM (gt) nên AM .BE  AN . AQ
a QA, QB với đường tròn ngoại tiếp 

4) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai củ

OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm

trên một đường cố định
 OPM vuông cân tại O nên sđ PM  900

 PQB vuông cân nên Q  450

Mà OSB  OPM  450  Q  OSB  45  SO //QA hay SO //AR(1)
Ta có: QRS  SMP (tứ giác PRSM nội tiếp)  QRS  QAB  RS //AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác ARSO là hình bình hành.
Lấy điểm I , C , D lần lượt là trung điểm của RS , AO và OB như vậy C , D là các điểm cố
định.
Chứng minh dễ dàng các tứ giác ARIC, BSID là các hình bình hành  AQB  CID  450
I luôn nhìn CD cố định dưới góc 45o ⇒ I nằm trên cung chứa góc 45o vẽ trên đoạn CD

cố định. Vậy điểm I nằm trên cung tròn cố định (đpcm)

Bài 5 (0.5 điểm): Cho x  0, tìm GTNN của biểu thức A

x2

3x

1
x

Hướng dẫn
2

1 
1 1 
1 
1 1

Ta có: A   x 2  x     4 x      x     4 x   
4 
x 4 
2 
x 4

2

1
1

Ta thấy:  x    0 , dấu “=” xảy ra khi x 
2
2


Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương: 4 x 

Dấu “=” xảy ra khi 4 x 
Vậy: Min y 

1
4
x

1
1
15
1
, dấu “=” xảy ra khi x 
 2  x  . Nên A 
x
2
4
2

15
1
khi x 
4
2

22


PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II

QUẬN TÂY HỒ

Năm học: 2018 - 2019
MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1 (2,0 điểm).
1) Tính giá trị của biểu thức A 
2) Rút gọn biểu thức B 

x 1
, khi x  9 .
x 1

x 5
1
8


với x  0, x  1 .
x 1 1  x x 1

3) Tìm x để P  A.B có giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
3x  y  5
a) 
x  2 y  4

2 x  1  3 y  2  5

b) 
4 x  1  y  2  17

Câu 3 (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu người ta
mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa vòi hai lại và đề vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì
mới đầy bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Câu 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn  O; R  và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.
Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Hạ OH vuông góc với
đường thẳng d tại H . Nối AB cắt OH tại K , cắt OM tại I . Tia OM cắt đường tròn  O; R  tại E.
a) Chứng minh: AOBM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: OI .OM  OK.OH .
c) Chứng minh: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB .
d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất.
Câu 5 (0,5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y  1
1 
1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A   x     y  
x 
y

2

2

----------------------Hết-------------------

HƯỚNG DẪN
Câu 1 (2,0 điểm).

23


x 1
, khi x  9 .
x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A 

x 5
1
8


với x  0, x  1 .
x 1 1  x x 1

2) Rút gọn biểu thức B 

3) Tìm x để P  A.B có giá trị nguyên.
Hướng dẫn
x 1
, khi x  9 .
x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A 

Điều kiện: x  0 . Ta có: x  9 (thỏa mãn )
Thay x  9 vào A : A 

9 1 1
 .
9 1 2

Vậy x  9 thì giá trị của A bằng
2) Rút gọn biểu thức B 
x 5
1


x 1
x 1

B







x 5





x 5
1

8


với x  0, x  1 .
x 1 1  x x 1

8











x 1


 x 1 x  1 
x5 x 4





x 1

x 1  x  1  8

x 1

1
.
2

x 1




x  1

x 1

x  4 x  5  x 1 8





x 1


x  1

x 4



x 1

x 4
x 1

3) Tìm x để P  A.B có giá trị nguyên.
Điều kiện: x  0; x  1
P  A.B 

x 1 x  4
.

x 1 x 1

x 4
3
 1
x 1
x 1

Ta có:
x  0; x  1  x  1  1  0 
x 1  1  0 

3
3
 0  1
1 P 1

x 1
x 1

3
3
 3  1
 4 P 4
x 1
x 1

Vậy: 1  P  4 . Do P  Z  P  2;3; 4
TH1: P  2  1 

3
2
x 1

3
 1  x  1  3  x  2  x  4(t / m)
x 1

24


TH2: P  3  1 

3
3
x 1

3
3
1
1
 2  x  1   x   x  (t / m)
2
2
4
x 1

TH3: P  4  1 

3
4
x 1

3
 3  x  1  1  x  0  x  0(t / m)
x 1

1

Vậy: x  0; 4; 
4


Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
3x  y  5
a) 
x  2 y  4

2 x  1  3 y  2  5
b) 
4 x  1  y  2  17

Hướng dẫn
3x  y  5
6 x  2 y  10
7 x  14
x  2
x  2




a) 
x  2 y  4
x  2 y  4
x  2 y  4
2  2 y  4
y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

 x; y    2;1


2 x  1  3 y  2  5
b) 


4 x  1  y  2  17

Điều kiện: x  1; y  2



2 x  1  3 y  2  5
2 x  1  3 y  2  5
2 x  1  3 y  2  5





14 x  1  56
4 x  1  y  2  17
12 x  1  3 y  2  51 



2 x  1  3 y  2  5
2.4  3 y  2  5




 x 1  4
 x 1  4
 y  2  1  y  2  1
 y  3(t / m)




 x  1  16  x  15(t / m)
 x  1  4

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : ( x; y)  (15;3) .
Câu 3 (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu người ta
mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa vòi hai lại và đề vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì
mới đầy bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Hướng dẫn
Gọi thời gian vòi một và vòi hai chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ) (x > 0, y > 0)
Mỗi giờ vòi một và vòi hai chảy được

1 1
,
(bể)
x y

Do cả hai vòi cùng chảy thì sau 12 giờ sẽ đầy bể nên ta có phương trình:

1 1 1
(1)
 
x y 12

25