Vật lý đại cương các nguyên lí và ứng dụng

CAO VÂN LONG

------------

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG TẬP 2

CÁC NGUYÊN LÝ VÀ ỨNG DỤNG
(Điện, từ, D.động và sóng)

NXB GIÁO DỤC - 2009


C h ư ơ n g 11

NHẬP MÔN QUANG HỌC PHI TUYÉN
SÔLITÔN HỌC

Cùng với sự xuất hiện của laser, một nguồn sáng có nhiều đặc tính như
cường độ cao, độ đơn sắc và kết hợp lớn..., một ngành vật lý mới được phát
triển như vũ bão trong vòng vài chục năm gần đây, đem lại nhiều ứng dụng
công nghệ lớn. Đó là môn quang học phi tuyến. Có thể nói quang học phi tuyến
nghiên cứu mọi sự thay đổi của vật chất dưới ảnh hưởng của ánh sáng nói
riêng và sóng điện từ nói chung. Thường các hiệu ứng phi tuyến xuất hiện khi
ta có các chùm sáng có cường độ lớn, điều không có được đối với các nguồn
sáng thông thường. Điều này cũng giải thích tại sao hiệu ứng phi tuyến đầu
tiên đưọc quan sát: hoà ba bội hai bời nhóm nghiên cứu của Franken được
tiến hành thành công sau khi phát hiện ra laser. Đen nay, nhiều hệ quả cùa
lĩnh vục này dã được ứng dụng, đặc biệt là sôlitôn, một lời giải đặc biệt của
các phương trinh vi phân phi luyến đạo hàm riêng xuất hiện trong các vấn đề
phi tuyến. Các sôlitôn đã được ứng dụng rộng rãi trong truyền thông cáp
quang ngày nay. Những khái niệm quan trọng cùa sôlitôn học sẽ được trình

bày trong chương này.
Do sự lương tự hình thức, các phương pháp nghiên cứu thuộc lĩnh vực
này được chuyển một cách tự nhiên sang nghiên cứu trạng thái thứ năm cùa
vật chất là các hệ đậm đặc Bose-Einstein (xem chương 15), tạo nền móng cho
một ngành mới cùa vật lý phát triền với nhiều hứa hẹn ứng dụng lớn lao trong
Urơng lai gần: quang học nguyên tử. vấn đề này sẽ được đề cập đến trong
chương 15. Ta bắt đầu lừ việc điểm lại những đặc tính tuyến tính cùa môi
truờng đã được bàn đến trong các chương trước.

11.1. Đặc trưng tuyến tính của các môi tr.ưòng tán sắc quang học
11.1.1. Các kh ái niệm m ở đầu
Ta trở lại hệ phương trình Maxwell được dẫn ra trong chương 8:
1. Định luật Gauss cho cảm ứng điện;

v 3 =p

( 111)

2. Định luật Gauss cho cảm ứng từ:

v ỉ =0

(11.2)


3. Định luật Faraday cho cảm ứng điện từ:
õ B
õí

4. Định luật Ampere khái quát:

V x H = —

(11.4

+ J

õt
Trong những phương trình này p y ầ J ký hiệu tương ứng cho mật độ điệi
tích và mật độ dòng điện.
Trong chương này ta sẽ chỉ xem xét các môi trưcmg điện môi, trong d<
không có các điện tích tự do cũng như các dòng chảy. Ta cũng giả thiết rằng
các môi trường không bị từ hóa ( // = 1 ). Ngoài ra ta không đi sâu vào cấu trú(
bên trong của chúng (lúc đó phải cần đến vật lý lượng tử) và dùng sự mô ti
hiện tượng luận được Maxwell đưa ra. Trong khuôn khổ sự mô tả này cườri]
độ các trường liên quan đến các trường cảm ứng qua các quan hệ vật chẫ
(xem chương 9) có dạng:
B = Mo ỉ ỉ
D = ££„E

( 1 1 .6 a

trong đó //() là hằng số từ, còn £ qlà hằng số điện, e là hằng sô' điện môi V
đối của môi trường. Trong chương này ta giới hạn sựnghiên cứu đến trườiìj
hợp các môi trường đẳng hướng, tức là giả
thiết rằng //, e là các đại lượng vô hướng.
Ta có dược một cách mô tả tương đương khi
đưa ra khái niệm phân cực của môi trưòng,
là sự biểu hiện của môi trường trước sự
nhiễu loạn gây ra bòi sự có măt của trường.
Như đã mô tả trong chương 9, có thể coi

một môi trường điện môi bất kỳ là tập các
diện tử và các iôn dương (hình 11.1). Khi
không có trường ngoài, "trọng tâm" điện
tích âm (đám mây điện tử) trùng với vị trí
của iôn mang điện lích dương (hạt nhân).
Khi có mặt trường ngoài, các iôn dương
chuyển động theo hướng của trường, còn

Hình 11.1


các điện tích âm theo hướng ngược lại. Trong các chất dẫn điện có một số
hạt tải điện tự do. Dưới sự tác động của trường ngoài, chuyển động của các
điện tích này tạo ra một dòng. Còn trong các chất điện môi các điện tích liên
hệ với nhau, song tâm đám mây điện tử bị dịch chuyển khỏi hạt nhân. Khi
đó xuất hiện một lưỡng cực cảm ứng.
Chính tổng các lưỡng cực này cho ta độ phân cực của môi trường. Lúc đó
ta có thể viết phương trình ( 11.6a) ở dạng (xem (9.7));
D = £ , E + Ĩ = e ,{\ + X )E

(1 1 .6 b )

trong đó p là vectơ phân cực của môi trường, còn X là độ cảm điện của chất
điện môi cho trước. Trong trường hợp chung X có thể là tenxơ. Cách mô tả
cuối cùng này đặc biệt thuận tiện vì cho phép ta khái quát hóa sang trường hợp
các môi trường phi luyến. Lúc đó phân cực bao gồm hai thành phần: phân cực
tuyến tính và phân cực phi tuyêìi:
? = Ẩ + P,V/,

( 11 .6 c)

trong đó phân cực tuyến tính Pị. phụ thuộc tuyến tính vào E, còn phân cực phi
tuyến P ki. phụ Ihuộc phi tuyến vaoE . Ta có hệ thức vật chất tương tự đối với
trưcíng hợp từ trường: ß = |i|, M + M , trong đó M là vectơ từ hóa. Lại có thể
biểu diễn M là tổng hai thành phần:
M = M , + Ã/,„
ở đây M ị phụ thuộc tuyến tính và
Khi có thể bỏ qua P^:ị và

M,v/.

phụ thuộc không tuyến tính vào H .

(tức là khi cường độ các trường nhỏ), ta có điện

động học (quang học) tuyến tính. Ta đã đề cập đến gần đúng ờ mục 9.4.3. Khi
các cường độ trường không ihể bỏ qua được Pfji/va M m ., lúc đó ta có điện
động học (quang học) phi tuyến. Như vậy có thể thấy rằng, tính phi tuyến
không chỉ phụ thuộc vào môi trường mà còn phụ thuộc vào cường độ của các
trường tham gia. Thường người ta coi ngày quan sát được sự sinh ra hoạ ba bội
hai bởi Franken và cộng sự là ngày sinh của quang học phi tuyến. Không phải
ngẫu nhiên mà điểm khởi đầu của quang học phi tuyến xảy ra sau sự xuất hiện
của laser đầu tiên, bởi lẽ laser là một nguồn bức xạ có cường độ lớn.


ỉ 1.1.2. Hiện tưỢìiíỉ tán sắc
Trong quang học ta hiểu sự tán sắc của môi trưòng là hiện tượng lan
truyền các sóng phẳng có các tần số khác nhau trong môi trường với các vận
tốc khác nhau. Hệ quả của hiện tượng này là xung ánh sáng vào môi trường có
độ rộng thời gian khác với xung ra. Có thể hiểu điều này là hệ quả của việc Ị

các sóng phẳng có các tần số khác nhau là các thành phần của xung vào lan'
truyền đến điểm cuối của môi trườiig với các độ trễ khác nhau. Ta có thể biểu'
diễn hiện tượng này trên hình 1! .2.
Xung vào
Môi trường tán sẳc

Xung ra
Xanh da trời

Hinh 11.2

Nguyên nhân xuất hiện sự tán sắc là thời gian tương tác hữu hạn và tính
không định xứ. Như đã lưu ý, để cho đơn giản ta sẽ xem xét các môi trường
đẳng hướng và không để ý đến đặc tính tenxơ của s và X (trong các môi
trường dẳng hướng chúng là các tenxơ tỷ lệ thuận với tenxơ đơn vị). Theo
phương trình ( 11.6b) ta có gần đúng D = €qX E . Đây là một phép gần đúng
mà ngay sau đây ta sẽ thấy có nhiều điểm yếu. Ta coi E là sự nhiễu loạn bên
ngoài gây ra phân cực p trong môi trường. Trong bất cứ một môi trường vật
lý thực nào, phải trải qua một thời gian nhất định nào đó thì một phân cực vĩ
mô mới xuất hiện, hay nói khác đi môi trường mới kịp phản ứng. Đồng thời
phân cực này có thể tồn tại trong môi trường thêm một khoảng thời gian nữa
sau khi sự nhiễu loạn bên ngoài không còn. Như vậy phân cực p xuất hiện à
thời điểm t là kết quả sự tác động của điện trường trong một khoảng thời gian
hữu hạn trước /. Việc cấu thành một phân cực vĩ mô được tiến hành trong
khoảng thời gian r, đây là một đại lượng dặc trưng cho môi trường cho trước.
Phương trình (11.6b) phải được sửa đổi để thể hiện được thời gian phản ứng
hữu hạn của môi trường này. Như vậy ta phải có:
+00

p,{r,i)= ị d t ' £ a i t - n E x ư )

(11-7]

0

còn hàm s ố ỵ { t - t ' ) khác không đối với t - í ' trong khoảng thời gian T. Sụ


phân cực của môi trường là kết quả của sự xuất hiện điện trường E trong thời
gian trước thời điểm t, đồng thời nó không phụ thuộc vào các thời điểm sau t,
do vậy cận dưới của tích phân bắt đầu từ không. Điều đơn giản và tự nhiên này
đem lại những hệ quả quan trọng. Trước khi nói đến chúng, ta hãy quan tâm
đến hai lưu ý đơn giản. Lưu ý thứ nhất, nếu điện trường thay đổi chậm trong
khoảng thời gian bậc r thì có thể đưa veclơ cường độ ra ngoài dấu tích phân
và sẽ thu được phương trình:
+00

P X r j) = ị d t ' e a { t - t ' ) E , ( r j ' ) = j& o£,(r,0
0
Cũng cần phải lưu ý lại rằng phương trình này chỉ đúng trong trường
hợp các trường thay đổi chậm, được gọi là gần tĩnh, lúc đó có thể bỏ qua sự
tán sắc. Lưu ý thứ hai liên quan đến sự phụ thuộc của tenxơ điện môi vào
các biến không gian. Trong các môi trường thực, phân cực b điểm ĩ không
chi phụ thuộc vào cường độ điện trường tại điểm này. Ta nói rằng sự phụ
thuộc này là không định xứ, nghĩa là điện trường ở một điểm cho trước ảnh
hưởng đến trạng thái của các nguyên lử - lưỡng cực láng giềng qua việc
tương tác với nguyên tử nằm ở điểm ĩ . Ví dụ, nếu môi trường có cấu trúc
tinh Ihê, các nguyên tử riêng biệt sẽ tương tác với các láng giềng của mình
qua các liên kết hóa học. Như vậy, sự phản ứng của môi trường dưới tác
diing của điện trường ngoài không chỉ liên quan đến thời gian phản ứng hữu

hạn mà còn có một tầm phản ứng không gian hữu hạn. Trong phần lớn các ví
clụ nói đốn trong sách này, tầm này nhỏ hơn nhiều tỷ xích đặc trưng sự thay
đổi khồng gian của các điện trường, được tính bằng bước sóng ánh sáng bậc
vài ngàn Ầ . Điều này liên quan đến việc trong không gian Fourier có thể bỏ
qua sự phụ thuộc của độ điện thẩm và hằng số điện môi vào vectơ sóng. Nếu
có môi trường quang học đồng tính, ta có thể biểu hiện sự chậm trễ nói trên
và tính không định xứ của sự phản ứng của môi trường đối với tác động của
điện trường bằng phương trình:

ịịd ^ ĩd t's a {r-ĩ\t-t')E X r\t')

(

11. 8)

Trong chương này các ảnh Fourier sẽ hay được dùng để biểu diễn các đại
lượng dược mô tả như điện trường hay mômen lưỡng cực trong không gian các
tần số và các vectơ sóng. Ví dụ, có thể viết ảnh Fourier của cường độ điện
trườns dưới dang E i( r ,í ) =

(2;r)^

. Có thể hiểu công thức

này nhu là sự phân tích điện trường ra các sóng phẳng đơn sắc, mỗi một sóng


phẳng này có tần sô' 0) nhất định và vectơ sóng k xác định. Như ta sẽ thấy,
nhiều tham sô' vật lý mô tả môi trưòng quang học được xác định dễ hơn nhiều
khi xem xét sự ảnh hưởng của môi trường trong trường hợp nhiễu loạn bên

ngoài là một sóng phẳng. Trong trường hợp phi tuyến, điều nay trở thành đăc
biệt căn bản. Song ngay cả trong trường hợp tuyến tính được thảo luận trong
chương này, do các hiệu ứng không định xứ và sự trễ, các hệ thức giữa các
điện trường với phân cực trong không gian Fourier sẽ đơn giản hơn trong
không gian cấu hình;

p,(k,cú) = s^x(k,cú)E,(k,co)

=

£^{s(k,ũ})-\)EXk,0))

Điều này là hệ quả của một định lý toán học nói rằng, ảnh Fourier của
tích chập hai hàm là tích các ảnh Fourier của hai hàm này. Từ quan hệ trên, ta
thấy hằng số điện môi và từ đó chiết suất trong môi trường quang học nói
chung phụ thuộc vào vectơ sóng và tần số. Như đã nói ở trên, trong phần lớn
các ứng dụng, ta sẽ bỏ qua sự phụ thuộc của các tham số này vào vectơ sóng,
song phải chú ý rằng, ở đầu chương này ta đã giả thiết sự đẳng hướng của môi
trường (chỉ trong mục này, trong các mục tiếp theo sẽ bỏ giới hạn này) và bỏ
qua đặc tính tcnxơ của E . Trong các môi trường mà không làm được sự gần
đúng này (các tinh thể một trục hoặc hai Irục), các tham số này sẽ phụ thuộc
vào hướng lan truyền sóng. Ta sẽ giành mục sau để mô tả các môi trường như
thế. Sự phụ thuộc của tenxơ điện môi vào tần số của sóng điện từ kích thích
môi trường có một ý nghĩa căn bản. Môi trường quang học được tạo bởi các
nguyên tử và các phân tử, chúng luôn có các tần số cộng hưởng của minh. Đối
với mỏi irường khí, trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử (xem chương 14) các
nguyên tử có các tẩn số cộng hưởng (y„„,, liên quan đến các giá trị năng lượng
của các trang thái riêng lương tử ũ)

=

E - E
------ —, trong đó E và £■„, ký hiêu

các năng lượng của các trạng thái riêng của các nguyên tử khí, chúng thường
nằm trong phổ nhìn thấy hay cực tím. Trong trưòng hợp các phân tử còn có
thêm các tần sô' liên quan đến các chuyển động quay và dao động. Trong
trường hợp các môi trường trong trạng thái đâm đặc như các chất lỏng hoặc
các vật rắn, các dải năng lượng (tần số) nằm trong cùng một phần của phổ.
Trong lình huống đó phải quan tâm đến tính tán sấc của môi trường mà như ta
thấy, nó có một ý nghĩa then chốt đối với những nghiên cứu tiếp.

8


11.1.3. S ự tán sắc và hấp thụ trong các m ôi trường quang học
Trong mục đầu của chương này, la đã xác định được quan hệ giữa vectơ
:ường độ diện trường và vectơ phân cực cảm ứng của môi trường ( 11.8), điều
mà khi ta dùng ( 11.6) dã đưa đến hệ thức giữa vectơ cường độ điện trường E
và vectơ cảm ứng điện D :
D ( r , t ) = ì d t ' e ( t - t ' ) E { r ,t ' )
J

0

+00

trong đó 8 đà được định nghĩa qua e { T ) =

dú)Qxp{-icoT)e{co), còn theo

-cc

những điều đã phân tích về tính "nhân quả" trước đó, ta có €{ t ) = 0 đối với
r > 0 . Vì các trường D và Ể là các đại lượng thực, e { ĩ ) cũng phải là thực.
Song điều này không nhất thiết xảy ra đối với s{co) , trong trường hợp chung
nó là một đại lượng phức với phần thực và phần ảo có các ý nghĩa vật lý đơn
giản. Đổ chỉ ra điều này, ta viết e(co) ở dạng £(cở) = £j{co) +ie^x^o), đây
đồng thời là định nghĩa hai hàm sô' thực là phần thực và phần ảo của tenxơ
điện môi. Giả thiết rằng một sóng phẳng đơn sắc tới môi trường với vectơ
cường độ điện trường E{r, t) = E{r)e~“"' + E {r)e“"‘ . Lúc đó theo định nghĩa
vectơ cảm ứng điện D { r j ) = e{(ở)E{r)e~'"‘' +£•’((«)£' {r)e'"‘' . Những trường
phức mới được đưa ra để mô tả một cách thích hợp tình huống khi có sự hấp
thụ của môi trường. Ta đã dùng liìnli ihức luận này trong chương 9. Những
trường vật lý có irong thực tế là những phần Ihực của các trường phức này. Hai
định nghĩa này giúp ta tính được phần năng lượng (trên một đơn vị thể tích)
chuyển từ sóng điện từ vào môi trường mà nó lan truyền. Năng lượng ơ,. trên
một đơn vị thể tích được tàng irữ trong điện trường của sóng lan truyền được
xác định bởi phương trình ^ —
õt

£ . Nếu trong công thức cuối cùng
An dí

ta thế các biểu thức cho Ẽ y'à D tìm ra trên đây và sau đó lấy trung bình toàn
bộ
õt

theo

thời

gian,

lúc

đó

ta sẽ

thu

được

biểu

thức

cuối

cùng

= — s {cữ) Ị £’1'. Bằng cách này ta thu đươc phương trình vân tốc thất
2n

thoát năng lượng có trong điện trường mà đã bị môi trường hấp thụ. Như vậy,
phần ảo của độ cảm điện tỷ lệ vói hệ số hấp thụ.


Các hệ thức Kram crs-Kronig
Theo một định lý cơ bản của lý thuyết hàm số biến sô' phức, phần thực và

phần ảo của hàm số phírc f ( z ) , một khi nó không có các cực ở phần nửa mạt
phẳng trên (dưới), có quan hệ với nhau qua biến đổi Hilbert, úhg dụng cho
trường hợp dộ cam điện phức

(íy) =

(co) + iỵ , (co) ta có các hệ thức:

(0 - co

X^{co) = - — p ị
7T

—ƠJ

d

c

o

'

( 11. 10)

CO ~ CO

trong đó p ký hiệu việc tính phần chính của lích phân. Các hệ thức này mang
tên Kramers-Kronig. Từ đây ta thấy, về cơ bản không phải thực hiện phép đo
trên toàn bộ hàm £•(&)), mà chỉ cần biết phần thực hoặc phần ảo của nó rồi

dùng các hệ thức Kramers-Kronig để xác định phần thứ hai.
II. 1.4. M ột m ô hình (íơn giản cho chỉếí suất (hệ số khúc xạ)
Bây giờ ta đưa ra một mô hình môi trường, Ihường được gọi là mô hình
Lorenlz, lên nhà vật lý đã nghĩ ra nó. Cho đến giờ ta coi môi trường quang
học là mộl inôi trường liên lục và mồ lả nó qua việc đưa ra các hệ số hiện
lượng luận £ , ỵ . Nếu muốn nghiên cứu tỷ mỷ hơn các tính chất của môi
trường vật chất, ta phải đi sâu vào cấu trúc vi mô của nó. Trong khuòn khổ
mô hình Lorenlz, các nguyên tử của môi trường được Ihay bằng các dao
động lử diều hòa. Trong chương 9 mô hình này đã được xét và gọi là phân
cực dàn hồi. Ta có thể lý giải việc lựa chọn này như sau; Như đã mô tả ở
trong mục 11. 1, có thể xem nguyên tử gồm hạt nhân cùng với các điện tử
liên kết gần và các điện tử hóa trị. Điện từ trường ngoài sẽ hầu như chí ảnh
hưởng lên chuyển động của các điện tử hóa trị, vì chúng có quán tính nhỏ
hơn rất nhiều hạt nhân nguyên tử. Hệ (hạt nhân - các điện tử hóa trị) tạo ra
một cách gần đúng một lưỡng cực tử điện dao động quanh vị trí cân băng. Bị
kích thích bởi sóng điện từ, nó dao động với tần số của sóng kích ihích, các
dao động của nó sẽ lệch pha với dao động của trường kích thích. Lưõng cực
tử cơ bản của môi trường hấp thụ một phần năng lượng của sóng điện từ, sẽ
hoàn trả nó với một sự trễ pha nhất dịnh, bởi lẽ lưỡng cực tử dao động sẽ
phát ra sóng điện từ. Khi kích thước của các lưỡng cực tử cơ bản nhỏ so với
bước sóng kích thích, sự nhiễu loạn bao gồm nhiễu loạn ban đầu và sự "phản
ứng" của các lưỡng cực tử của môi trường sẽ lan truyền tiếp theo hưóĩig ban
đầu, còn sự lệch pha các dao động của các lưỡng cực tử môi trường sẽ gây ra

10


sự chậm lại lioiẶc nhanh hơn quá trình lan truyền của nhiễu loạn này. Như
vậy vận lốc pha tổng hợp của sóng điện từ khác với vận tốc của sóng trong
chân không. Trong trường hợp hấp thụ một phần năng lượng của sóng điện

từ có thể bị chuyển giao không hoàn lại cho môi trường vật chất, ví dụ để
kích độníỉ nhũng dao động cơ học của mạng tinh thể. Sự đẹp đẽ của mô hình
nói đến ỏ' dây được thấy rõ khi ta khái quát nó sang trường hợp phi tuyến,
cho phép ta cảm nhận một cách trực giác bản chất tự nhiên của các quá trình
phi tuyến. Ta hãy xél tỷ mỉ hơn quá trinh cộng hưởng trong phân cực đàn
hồi dã dược irình bày trong mục 9.2.
Ta giả ihiết không gian chứa các dao động tử tắt dần với tần số cộng
hưởng Cứ,) \ ’à hệ số tắt dần Ỵ. Ta ký hiệu mật độ của chúng bằng N (trong một
đơn vị thế tích của môi irường có N nguyên lử - dao động tử). Hiện tại ta bỏ
qua những phần phi điều hòa trong thế dao động. Các dao động tử có khối
lượng /7), điện tích q và chuyển động dưới tác động của điện trường dao
động E . Phương trình chuyển động của mỗi một dao động tử có dạng;
íl'x
đx
qẼ
—^ + y — ^ - ( o i x = - — exp(/íy/)
dt
dì
m

/ , , , ,x
( 11 - 11)

Thời gian r phản ứng hữu hạn cùa môi trường mà ta nói đến ở mục trước
ở đây được bicu diễn theo hệ sô' Ỵ .
Giả thiết nghiệm có dạng X = Xoexp(/(11.11). Lúc dó ta ihu được;
{ - C ứ ' + iyo) +

cùI)X q

m

(11-12)

Từ dó ta xác định được biên độ dao động:
Xo = —

—

- CO + ÌỴCO)

(11-13)

Trong một đơn vị Ihể lích có N dao động tử như vậy, nên ta sẽ thấy xuất
hiện một vectơ phân cực vĩ mô p = Nqx. Cũng có thể biểu diễn vectơ phân
cực này dưới dạng:

P = £ ^ { s - \ ) Ẽ = SqXẼ

(

11. 14)

(trong đó X là độ cảm điện của môi trường. Vì ở đây chỉ nghiên cứu sóng điện
từ có tần số gần lần sô quang học (co > 10'^ Hz), nên có thể coi độ từ thẩm của
môi trường gần bằng 1 (|J. = 1). Như đã biết trong chương 8, từ dạng của
c
1
phươn? trình sóng, ta suy ra vận tốc của sóng điện từ là — = —J = = = r, trong

11


đó II là chiết suất của môi trường. Do vậy n = ' / ẽ . Từ các phương trình
(11.13) và (11.14) ta thu được:
n' = ^ = 1 +

nqx

E

= 1+

Nq-

m{cOữ -

Tách chiết suất ra phần thực và phần ảo: n = Ii' +Ì/C, dễ dàng thấy K và n’
thỏa mãn các hệ thức Kramers-Kronig:
K=

Ncf

ỵco
{ú)ị - ù) y + Ỵ co

=

/ "*

2\*> _____
■>'>
2e^m {co^ - co ) + ỵ co

Một sóng phẳng đơn sắc £ = ¿0

” ^ )]

truyền trong môi

trường có chiết suất n có cùng tần số như trong chân không nhưng với một
vcclơ sóng khác: Ả-,, - nk . Khi thế chiết suất phức vào ta thu được:
Ẽ = £„ exp ìịcot - k,^z) = ẼQ exp[/(ứ)/ - kn'z + ikKz)]
=£oCxp

2n

(11.16)
KZ

exp[/(íy/ - kríz)

T
Phương trình này mô tả một sóng điện từ tắt dần. Phần ảo chiết suất K đạc
Irưng cho sự hấp thụ của môi trường. Phần thực mô tả sự thay đổi vectơ sóng
cua phần dao động sóng điện từ, tức là ta có chiết suất thực. Nếu sóng lan
truyền qua môi trường không hấp thụ thì /ỉ = n'. Sự phụ thuộc của hệ số hấp
thụ và chiết suất vào lần
cộng hưởng được biểu diễn trên hình 11.3.a và
11.3b cho một dài tần số rộng (trong mục 9.2 ta chỉ xét một tần số cộng

hưởng cùa môi irườiig).

b)
Hình 1.3

12


Đai lương

đươc goi là đô tán sắc của môi trường. Như ta thấy trên
dù)
hình 11.3a, ở ngoài cộng hưởng nó là hàm dương, ta gọi nó là tán sắc bình
thường. Song đối với các tần sô' gần tần sô' cộng hưởng, độ tán sắc là âm và
trong vùng này ta gọi nó là tán sắc dị thường.
Cường độ ánh sáng tỷ lệ thuận với bình phương biên độ điện từ trường. Vậy
khi lấy bình phương hàm số mô tả hàm mũ tắt dần của trường, ta thu được định
luật Lambert-Iỉeer mô tả sự hấp thụ tuyến tính sóng khi nó đi qua môi trường:
I{ z ) =

exp(-orz), Irong đó hệ số mũ tắt dần của cường độ (được gọi là độ

hấp thụ) bằng a = 2 k I(q, trong đó kt, là sô' sóng trong chân khồng.
Thông thường trong môi trường cho trước, ta có vài hiện tượng cộng
hưởng với các giá trị tần số ¿y,), khác nhau. Từ hình 1 l.3a ta thấy, đối với các
tần số thấp phần Ihực của độ điện thẩm là đại lượng tổng hợp của tất cả các
hiện tượng. Khi lần số điện trường tăng dần qua các cộng hưởng tiếp theo,
mức đóng góp của các hiện tượng riẽng biệt vào độ diện thẩm mất dần. Ta có
thể theo dõi ctiéii này đối với nước, khi giá trị hằng số điện môi 8 = 81 ở các
tần số thấp hầu như không thay dổi đến tận tần số 10 GHz. Khi tần số trường

nhảy qua cộng hưởng tương ứng các dao động của các hạt nhân và các dao
động của dám mây diện tử, độ điện thẩm giảm xuống giá trị e » 1,76, cho ta
chiết suất quen biết trong vùng tẩn số quang học

II

« 1,33.

11.1.5. P h ư ơ n g irình só n g VÀ s ự lan truyền tuyến tính
Trono phđn này ta giả Ihiết A/ = 0 , vì đối với phần lớn các môi trường
quang học, có thể giả thiết với một độ gần đúng khá tốt là mật độ các dòng
chảy và dộ lừ hóa bằng không.
Trong chương 8, từ hệ phương trình Maxwell ta thu được:

ơí'

ơt

Có thổ biến đổi vế trái của phương trình này để thu được phương trình
sóng khi dùng công thức:
V x V x £ = V (V -Í)-V ^ Í

(11.18)

Các phương trình ( 11.17) và ( 11.18) giúp ta trong việc dẫn ra hệ thức tán sắc.
Ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (11.17) là các sóng phẳng có dạng:
E = E o Q x p Ụ Ĩ k - X - ( 0 1) ] )

( 11. 19)

13


khi một hệ thức giữa vectơ sóng k và tần số (ù được thỏa mãn. Thật vậy, khi
th ế (l 1.19) vào (11.17) la thu được;
Ck ■K Ẻ - lCk ■Ẽ) - co-€,MoẻE = 0

(11.20)

Hệ thức cuối cùng về căn bản là một hệ phương irình tuyến tính đồng
nhất đối với vectơ cường độ điện trường. Nó có nghiệm khác không chỉ trong
trườiig hợp địnli thức của phương trình này triệt tiêu. Chính điều kiện triệt tiêu
dịnh thức này cho la hệ thức tán sắc. Hệ thức này chứa Ihông tin về môi
irường quang học qua tcnxơ điện môi ê . Ta sẽ phân tích kỹ dạng của nó trong
chương sau. ở đây chỉ xét các môi trường đẳng hướng, trong trường hợp này
các phương trình Ihu được đơn giản hơn nhiều. Đặc biệt là tenxơ điện môi
trong môi trường đẳng hướng tỷ lệ thuận với tenxơ đơn vị, còn những lời giải
ở dạng sóng phẳng có tính chất là vectơ cường độ điện trường vuông góc với
hướng truyền sóng, tức là vuông góc với vectơ k . Điều đó có nghĩa là
k.E = 0 , còn phương irình (11.17) sẽ đơn giản thành:
V

£

=

=

õl

(

c

11. 21 )

õt

'rừ phương trình ( 11.21), hai hệ quả rất quan trọng được rút ra đối với các
môi trường tán sắc đẳng hướng. Trước hết ta đã định nghĩa chiết sitcíí của mỏi
iritòiìg qua pliương trình: n{(0 ) = ■^¡s{ũ)). Vận tốc pha lan truyền sóng trong
mói trường như vậy bằng: c I n{cú), như vậy nó phụ thuộc một cách tường
minh vào tần số sóng. I [ệ quả thứ hai là khi thế nghiệm ở dạng sóng phẳng với
tần số vòng co ta Ihu dược hệ thức tán sắc dạng k -

. Bằng cách nà>
c
đã định nghĩa dược hai đại lượng đầu tiôn đặc trưng cho sự lan truyền sóng:
chiết suất và vcctơ sóng.
Trong mục tiếp, ta sẽ chỉ ra rằng bằng cách nào từ phương irình sóng, với
những điều kiện ban đầu cho trước trên biên của môi trường quang học, có Ihế
Ihu dược phương trình lan truyền các xung trong môi trường.
11.1.6. Vi dụ lan truyền các x u n g ánh sáng m ột chiều trong m ô i tnrờng
quang học tán sắc
'lìong mục này, la sẽ tìm phương trình lan truyền sóng cho hàm bao biếr
thiên chậm của các xung ánh sáng lan truyền trong môi trường có tán sắc. Đê
cho đơn gián ta xem xét trường hợp một chiều, tức là giả thiết rằng chùm sótiỄ
là đồiĩg nhất trong hai hướng vuông góc với hướng lan truyền (ta ký hiệu các

14

hướní’ này là A' và V), còn hàm bao của nó chỉ biến thiên như hàm số của ihời

gian và biên Phương trình này cũng được sứ dụng để mô tá sự lan truyền các
chùm soni; tronụ các ốno dần quang, khi các Irường không pliải đồng nhất
theo các hướno ,v và y, nhưng sự phụ thuộc cùa hàm bao vào tất cả các biến có
Ihè diiợc viết ớ dạng lích CLia hàm theo hướng ,v và >’ và một hàiĩi bao là hàm
số của z và /. Cách làm được trình bày ở đây iương tự với phép gần đúng hàm
bao chậm (viết lắt bằng tiếng Anh SVEA; Slow-Varying Envelope
Appioxinialioii). song nó (tẹp đỗ hơn về mặl toán học và cho phép khái quát
hóa ụần dúng SVHA với các bậc cao hơn của phép nliiỗu ioạn, đặc biệc đối vói
các xunụ cực ngắn và khi tán sắc của vận tốc nhóm đối vứi tần số irung tâm
ciia xung bằna kliòng. l'a dùna ví dụ dưới dây nhằm mục đích dể’ định nahĩa
các ihuật ngữ vậl lý cơ bản và mô tả sự lan Iruyổn sóng: vận lốc nhóm, tán sắc
vận tốc nhóm và lán sắc bộc ba. Các tán sắc không gian như nhieu xạ sẽ đirợc
đưa ra trong chương sau.
ri Liức hết la giá thiêt rằno vecto' cường dộ diện trường E { z j ) có thể viết
dirới dạiiạ lích của hệ số sóng thay dổi nhanh chứa tần số trung lâm và vectơ
sóiiii iriiim tâm với một hàiĩi bao biến thiên chậm hưn nhiều;
E{z, () = A { z j ) exp(m(rư„

- / f - i(0 j )

Trong phương trình này hệ thức tán sắc cho tần số trung tâm và vectơ
sổng iruiiíì liim đã được sử dụiiíỉ. DCing niộl cách iưong tự hệ thức tán sắc cho
các lần số và vectơ sóng khác, có thổ viêì một chùm sóng bất kỳ là nghiệm
của phirơní’ Irình N4axvvell dưới dạng lổn«; các sóníi plìẳng. Nói khác đi, có thê
viêì ctược \’cctơ cường dộ trong chùm sóng này ở dạng ảnh Fourier:
Ii{zj) -

d(úE{(o)c\^{in{(o)m I c - i(ứí)
2n

'\'ừ (iổ cũna viêì dược hàm bao của xung ở dạng;
/í(r, /) -- - - d(oE{co) cxp{i\n{ú))ú) - n{(ởị^ )íí)(, ]z / c - i\ũ) I tt ^

]/) ( 11.22)

Đ c lliLi d ư ợ c p h ư ơ n g trình c h u y ể n đ ộ n g c ú a c h ù m s ó n g n h ư v ậ y , c h í c ầ n

tính dạo hàm hàm bao theo hướng lan truyền sóng (lưu ý rằng chùm sóng này
là nghiệm ciia các phương trình Maxwell trong môi trường tán sắc, vì nó là lổ
hợp của các sóng phảng là các nghiệm của các phương trình Maxwell trong
môi irường Iiày):
õ A { z j ) / õ z = — — dcơĩỉ{ú))[n{a))ũ) - nựƠỊ^)ú)Ị,]cxp{i[n{ũ))co 2nc
-

/7(í-ư„)(y„ j r /c - i[cở - ú\,]l)

15


Có Ihể biến đổi vế phải của phương trình này nếu để ý ràng hàm số E{co)
có cực dại hẹp quanh tần số trung tâm

. Do vậy, có thể khai triển đại lượng

[n(ío)co ~ nifo^yo^] dưới dấu tính phân ra dãy Taylor quanh giá trị này:
H<y)íy - n(íy„M, 1 = P^{co^,){ũ) - 0}^) + /Ỡ3(íyo)(ứ> - ứ>o)' + Pi{co^){co - (Ú^Ỷ + ....

irong đó các dai lươiig p . dã đươc đinh nghĩa qua quan hê p, =

dco

^
õcơ

đối với / > 0 và qua điều kiện P q - {(ùn)ỉ c .
Sự khai triển trên không có số hạng không. Sau khi thực hiện khai triểii
này và thấy rằng các lũy thừa của(qua việc lấy đạo hàm nhiều lần ảnh này theo thời gian (có Ihể viết dưới dạng
công thức {co-co^^Ỵ =

)
õí"

ta thu được một phương trình đạo hàm liênị

cho hàm bao cúa xung;
3.4(2,,) /S r = ( - A I - - ^ A
+7 A
ƠI l
ƠI 0
ơt

+ ...)-4 (z ,0

(11.24:

Các hệ sô' trong phương trình này có ý nghĩa vật lý đơn giản. Để hiểi

được ý nghĩa vật lý của /ơ| ta giới hạn khai triển ra dãy Taylor đến số hạnị
bậc nhất. Lúc đó phương trình lan truyền có dạng đơn giản:
õ A{ z , í ) l õ z + /ỉ. — A{z, t) = 0

(11.25

dí

Dễ dàng chứng minh rằng phương irình này mô tả một chuyển động đềi
của hàm bao của xung, xung không thay đổi hình dạng chuyển động với vậr
lốc b ằ n g l//7 |, ta gọi vận tốc này là vận tốc nhóm. Còn khi lấy thêm sô' hạnị
ihứ hai của khai iriển Taylor, ta thu được phương trình:
ÕA{ z J) l õz = { - p , ị - y , Ệ j ) A { z , ( )
ot l
ơt

(11.26

Phương trình này có nghiệm giải tích trong trường hợp khi hàm bao củi
xung ở dicm dầu lan truyền (z = 0) có dạng Gauss. Song trước khi chứni
minh điều này qua tính toán trực tiếp, ta có thể bỏ qua trong phương trìnl
này dạo hàm bậc nhâì khi chuyển sang hệ toạ độ chuyển động dối với h<
phòng thí nghiệm với một vận tốc bằng vận tốc nhóm. Viêc chuyển sang h(
toạ độ mới tương ứng với việc đổi biến z' = z; t' = t ~ P ị Z .

Dễ dàng thấ;

rằngtrong các biến mới, ta đã loại được số hạng với đạo hàm bậc nhất, CÒI

16

các hệ số còn lại không thay đổi. Trong hệ toạ độ mới, tâm của xung không
chuyển động và ta có thể quan sát được tốt hơn việc thay đổi hình dạng hàm
bao gây ra bởi sự tán sắc. Nếu bây giờ thế ảnh Fourier của hàm bao xung
vào phương trình bậc hai ta thu được phương trình vi phân thường đối với
biến z, dA{z,co)l dz = —Ị3júỷ A{z,a>). Phưcmg trình này có nghiệm đcm giản:
/Í(z,íy) = exp(—yổ,íy'z)/4(0,Ểy)

ị

(11.27)

Trong đẳng thức cuối cùng ta có đại lượng Ẩ(0,(o) là ảnh Fourier của

Ịhàm bao ban đầu. Đối với xung Gauss hàm bao ban đầu có dạng
' A(0, í ) = Ag e x p ( - ~ t ' I t ị ) và A{ồ,cù)=
2
^ 2 tĩ

/ 2 ) . Khi thay hệ

■thức này vào phương trình (11.27) và sau đó tính ảnh Fourier ngược, cuối
í cùng ta sẽ ihu được biểu thức giải tích cho dạng của hàm bao tại một điểm bất
>;kỳ của môi trường:
Ẩ ( z , 0 = Ẩo L
i

r exp- - U t - P , z ) Pi)
^ ~

>
J

(11.28)

Bây giờ ta hãy xem hệ thức (11.28) cho những hệ quả gì. Trước hết ta
thấy rằng thời gian kéo dài xung lớn theo z và bằng A /(z) = /o-ự(l + /? ,z//ổ .

jDo vậy khi qua đoạn đường bằng ¿ 1) = /p / 1

1 thời gian kéo dài xung tăng

"lên V2 . Tham số ¿ 1, được gọi là quãng đưcĩng tán sắc. Bằng cách này ta đã
định nghĩa một phần các thuật ngữ cơ bản trong từ điển lý thuyết lan truyền
các xung ánh sáng. Một số thuật ngữ tiếp liên quan đến nhiễu xạ sẽ được đưa
'ra trong chương liếp theo. Cuối cùng ta thấy thêm rằng vectơ cường độ điện
trường là hàm số của các biến z và t. Ta đã phát biểu một vấn đề vật lý lan
truyền xung để có thể tìm được toàn bộ tiến triển thời gian của xung ở điểm z
cho trước khi biết được tiến triển này ở một điểm sớm hơn " z - tsz". Vì vậy tự
‘nhiên nhất là định nghĩa các điều kiện ban đầu trên biên của môi trường quang
,học. Khi đó ta cần lưu ý đến sự khúc xạ và phản xạ trên biên này. Để cho dễ
idàng, ở trên ta đã dùng các điều kiện ban đầu bên trong các môi trường quang
;học. Sự xem xét việc chuyển của xung qua biên của môi trường tuyến tính
:không phải ỉà một vấn đề phức tạp, song khi ta để ý đến các khía cạnh phi
ituyến của sự lan truyền vấn đề sẽ trở nên không đơn giản. Ta sẽ trở lại vấn đề
này trong các phần tiếp của sách.

2.

Vặt lý đại cương T.2

-A

17


11.2. Sự lan truyền tuyến tính trong môì trường bất đẳng hướng
Mục đích của phần này là bàn luận về đặc tính ba chiéu của sự lan truyềi
các xung ánh sáng trong các môi trường bất đẳng hướng.
11.2.1. H ệ thức tán sẳc trong m ôi trường bất đẳng hướng
Ta hãy xem xét một sóng phảng đơn sắc trong môi trường đẳng hướnị
Các veclơ cường độ điện iruờng và cảm ứng từ lúc đó được cho bởi các côn,
thức E =

và B

Nếu thế các trường được định nghĩ

như vậy vào các phương trình Maxwell ta thu được các quan hệ sat
lí xBũ

và Ic --xE q - coBq , như vậy hướng của các vectơ k,ÊQ,Ế
c
trong môi trường đẳng hướng là trực giao với nhau. Song điều này không cộ
đúng đối với các môi trường bất đẳng hướng. Như đã biết, các tần số tự nhiê
của môi trường (và đo đó chiết suất) chịu sự ảnh hưởng của tương tác giữa cá
nguyên tử (phân tử) của môi trường. Trong các vật liệu rắn khác nhau, do tín
đối xứng của cấu trúc tinh thể nên sự tương lác này giữa các nguyên tử 1
không đồng nhất đối với tất cả các hướng của không gian. Lúc đó các mí

trường là bất đẳng hướng. Trong chương này ta chỉ xem xét các tinh thể c
cấu trúc đối xứng rõ rệt. Trong các tinh thể này, hằng số điện môi không cò
là một vô hướng mà là một đại lượng tenxơ.
Trong mục trước từ hệ phương trình Maxwell ta đã dẫn ra phương trìn
sóng đối với vectơ cườiig độ điện trường. Phương trình này với dạng chun
của tenxơ điện môi ê được giữ nguyên ỉà:
V 'Ì -V (V -£ )-^ -^ £ = 0 .
( 11.2Í
c õt
Sau dó ta đã khảo sát trường hợp đẳng hướng, khi tenxơ diện môi đưọ
viết thành £ = £Ỉ , ở đây / là tenxơ đơn vị. Bây giờ ta hãy loại bỏ giới hạn nà
và xem có thể rút ra được điều gì từ phương trình sóng ở dạng chung nhâ
Một tính chất sau sẽ được dùng: Trong một môi trường đồng chất luôn tồn t;
một hệ toạ độ, trong đó tenxơ £ được ehéo hóa, vì trong môi trường như vâ
nó là một tenxơ đối xứng. Khi tần số của trường nhiễu tiến đến khôr
(íy —> 0 ), trong khuôn khổ nhiệt động lực học, dựa trên giả thiết rằng hệ toề
phần bao gồm trường điện từ và môi trưcmg ở trạng thái cân bằng nhiệt độn;
ta có thể chỉ ra rằng tenxơ điện môi ở giới hạn này phải là tenxơ đối xứng. Đ(
với các điện trường thay đổi theo thời gian, có thể chứng minh được tính đi
xứng của tenxơ điện môi khi xem xét tốc độ thay đổi mật độ năng lượng điỂ
18

2, Vật lý đại cương T.2


trường. Điều này đă được chứng minh trong các sách kinh điển, ví dụ của
Landau và Lifshitl chẳng hạn.
Nếu thế nghiệm ở dạng sóng phẳng E = Eoexp(/[ife -r - Cứt]) vào phưomg
trình (11.29), ta sẽ lại thu được hệ thức giữa tần số ũ) và vectơ sóng k . Như
ta biết hệ thức này gọi là hệ thức tán sắc, nó cho phép xác định giá trị của

chiết suất môi trường trên cơ sở những thông tin đã có về tenxơ điện môi. Giả
thiết rằng k

¿( đây ỵ
c
đó ta thu được đẳng thức sau:

vectơ đơn vị theo hướng lan truyền, khi

^ [ n - ( s •Ì)Ẽ - n-ÌCs ■Ẽ) - èụẼ] = 0

(11.30)

c
Nếu chọn hệ toạ độ sao cho tenxơ điện môi được chéo hóa, ta có thể viết
đẳng Ihức này như sau:
c-

,

v

,] £ ,) = 0

(11.31)

ụ

Giả thiết i
0 , qua những tính toán đơn giản ta thu được phương trình

Presnel (bài tập 11.4);
=0

(11.32)

- _Ụ __L
nịUE,
Nếu môi trường quang học không có một cấu trúc tinh thể rõ rệt (vô
định hình), có thể dễ dàng chỉ ra rằng nó có các tính chất đẳng hướng. Khi
đó sự lan truyền ánh sáng không phụ thuộc vào hướng của vectơ sóng. Có
thể phân loại các tinh Ihể theo các tính chất quang học bằng cách chia chúng
ra ba loại khác nhau. Loại thứ nhất chứa các tinh thể lập phương, trong
chúng luôn có thể tìm ra ba hướng tương đương trực giao nhau. Trong mỗi
hệ toạ dộ bất kỳ, lenxơ điện môi được chéo hóa, trong đó tất cả các phần tử
trên dường chéo bàng nhau. Trong các môi trường như vậy, vectơ cảm ứng
diện và vectơ cường độ điện trường là song song. Với quan điểm các tính
chất quang học, một tinh thể như vậy tương đương với một môi trường vô
định hình. Nhóm thứ hai bao gồm các tinh thể mà trong đó hai hoặc nhiều
hướng tương đương nằm trong một mặt phẳng. Trong nhóm này ta có các
tinh thể tam giác, tứ giác và lục giác. Trục vuông góc với mặt phẳng chứa
các hướng tương đương nói trên là trục đối xứng bội ba, bội bốn hoặc bội
sáu. Trong các tinh thể như vậy, ở dạng chuẩn tắc tenxơ điện mồi có hai giá
19


trị riêng khác nhau. Một trong những trục
của tinh thể phải được lựa chọn theo trục
đối xứng (lương đương với giá trị riêng
s^), hai giá trị riêng còn lại có thể chọn
một cách bất kỳ (hai giá trị riêng ¿:,J). Trục

đối xứng được gọi là trục quang học của
tinh thể. Những tinh thể nằm trong nhóm
này được gọi là các tinh thể đơn trục.
Nhóm thứ ba bao gồm các tinh thể còn lại
được gọi là các tinh thể lưỡng trục. Nằm
trong nhóm này là các tinh thể hình thoi
đơn nghiêng và tam nghiêng. Trong trường
Hình 11.4
hợp này tất cả ba giá trị riêng của tenxơ
điện môi là khác nhau. Trong phần tiếp theo của chương này ta sẽ khảo sál
đến các môi trường đơn trục bất đẳng hướng.
Trên hình (11.4) la biểu diễn hệ toạ độ cho tinh thể đơn trục, trong đó tenxc
điện môi được chéo hoá. Trong hệ toạ độ này các thành phần của vectơ đơn vị là
■S\.

= .vsinớcosor, .V = í sin ớ sin o",

= s c os 6. Sau khi thế chúng vào phươiiỄ

trình (11.32), phưcmg trình cho chiết suất n sẽ có dạng (bài tập 11.5);

1

COS^(Ỡ)

sin" (ớ)

«■(ỡ)

//^11

//^1

(11.33;

Cần lưu ý rằng, phương trình trên là dành cho các tia dị thường (chiếi
suấl phụ ihuộc vào hướng lan truyền). Trong trường hợp tinh thể đơn trục tí
còn có nghiệm thứ hai cho n (không phụ thuộc vào 0 ) được gọi là tia bìnlthường. Nghiệm này đã bị chúng ta loại bỏ trong giả thiết s - E
ở trên. Đố
với tia binh thường tích này là bằng khống vì phân cực của tia này vuông góc
với mặl phẳng chứa trục quang học và hướng lan truyền. Vì vậy khi chií
phương trình (11.32) như trên ta làm mất nghiệm này. Trong trường hợp các
tinh Ihể lưỡng trục, phương trình (11.32) trở thành phương trình trùng phươnị
và có nghiệm iương ứng với hai lia dị thường,
11.2.2. Pliirơng trình lan truyền tuyến tính trong m ô iín r ờ n g đơn trục
Trong mục này, ta dẫn ra phương trình lan truyển cho hàm bao của xunị
quang học trong một môi trường bất đẳng hướng là tinh thể đơn trục. Cácí
mà ta dẫn ra phương irình này ở đây chỉ là khái quát hóa của phương pháj
được dùng trong phần 11.1, khi ta có trường hợp một chiều. Ta làm việc nà>

20


lo hai nguyên nhân: Trước hết, nó là cơ sở dể đưa ra các thuật ngữ được
lùng trong lý thuyết lan truyền các xung quang học và từ đó ta cũng giải
hích phép gần đúng hàm bao biến đổi chậm và phép gần đúng cận trục. Mục
ỉích của la là mô tả sự lan truyền sóng ánh sáng mà vectơ sóng trung tâm
;ủa nó có hướng trùng với trục (như sẽ thấy nó không luôn luôn trùng với
/ectơ Poynting mô tả hướng lan truyền năng lượng của xung). Trước hết ta
lãy nhớ lại khái niệm dường bao biến đổi chậm được định nghĩa bằng quan

lệ: E(f,t) =

. trong đó CƠQ là tần số irung tâm của xung, còn

à vectơ sóng trung tâm. Khi ta biểu diễn xung này thành tổ hợp các sóng
Miẳng ta sẽ có rất nhiều sóng thành phần. Song chúng được tập trung xung
^uanh sóng trung lâm này. Ta có thể nói rằng ảnh Fourier của cường độ điện
riròtig s ẽ có cực đại xung quanh các giá trị trung tâm. Vectơ hàm bao điện
rường biến thiên trong thời gian và không gian chậm hcm nhiều hệ số pha
. Và lúc đó có thể biểu diễn nó dưới dạng tổng các sóng phẳng:
A(rj)= ị d ^ k d c o E ả , Ó ( k ^

- n ^ o ).ì)(o -/c ' )

( 11.34)

Trong biểu thức cuối cùng có hàm đenta Dirac thể hiện việc ta chỉ lấy tổ
íiợp các sóng là nghiệm của phương trình Maxwell, do vậy các vectơ sóng liên
quan dến tần số qua hệ thức tán sắc. Trong trường hợp chung, chiết suất sẽ
phụ thuộc vào hướng của vectơ pha cùng cường độ, do vậy hai tham số này đã
xuâì hiện như là các biến số của chiết suất « ( 5 là vectơ đơn vị có hướng của
vcctơ sóns, k ). Cũng như trong phần trước, bây giờ ta tính đạo hàm hàm bao
của xuiiíỉ llieoz , lức là theo hướng truyền sóng:
~ A ( P J ) = { d ^ k c l c o E i l c o ) i ( k . - n \ ũ } , s ) ũ ) - / c ' ) ( l 1.35)
õz
•'
Vectơ sóng trung tâm được hướng dọc trục z , vậy trong biểu thức dưới
dấu tích phân xuất hiện hiệu các thành phần z của các vectơ k và ¿0.
Dựa vào tính chất cùa hàm đcnta Dirac, qua vài phép biến đổi ta thu được
(bùi lập 11.6);

dz

dt

1

0'A(rj)

2^ a v +i y
3

õx-õí

^2^
, '•
3

2

5/

i õ' A{r, t )

i
2 xõt
õ

õyõv-õt

6

, /
3

dỉ

õx

d ^A{ ĩ j )

i

^2^

õvõt

õ U Ợ t) ^ i
õxõí3

õy

õU{Fj)
õyõt-

21


trong đó r = ( x , y , z ) . Các trường hợp riêng sẽ được xét đến trong các bài tập
cho các bạn đọc ưa tìm tòi (các bài tập 11.7, 11.8 và 11.9).

11.3. Các môi trường phi tuyến. Tenxơ điện cảm bậc cao
Trong các mục trước, ta chỉ xét trường hợp khi vectơ tỷ lệ thuận với
cường độ điện trường. Môi trường có tính chất như vậy gọi là môi trường
tuyến tính. Như ta đã lưu ý ở mục 11.1.1, khi cường độ của điện trường ngoài
lớn, ta gặp những môi trường với vectơ phân cực phụ thuộc phi tuyến vào
cường độ trường (công thức ( 11.7)). Trong trường hợp chung ta có thể viết
vecta phân cực ở dạng sau:
P (0 = / " ’£ ( /) +

+

+-

(11-37)

Lúc đó ta có các môi tnrờng phỉ tuyến. Các số hạng trong (11.37) là các
lích phân không - thời gian nhiều chiều, bởi lẽ theo những xem xél nhân quả
như la dã làm cho irường hợp tuyến tính trong phần 11.1 (xem các công thức
(11.7), ( 11.8)), ta có Ihểviết:
P ( £ ( r ,0 ) = p' ( r j ) + p- {r,t) + p \ r , í ) + ...

(11.38)

ở đây:
P](r,l)^ j

ựr'clt's„x),(r-r\t-t')E ,ự,n

P ;{r,t)=[.\cữr'd^r"dt'drs„r,„ự-r\r-r'\t-t',t-t")E ,ự,t')E,{r'\n

(11.39)
Thường các môi trường ở dạng tinh Ihể có những cấu trúc đối xứng nhất
định. Lúc đó các tenxơ điện cảm bậc cao có thể có nhiều thành phần triệt tiêu.
Ví dụ, trong trường hợp khi môi trường phi tuyến có đối xứiig tâm hay đẳng
hướng, tất cả các ihành phần của lenxơ ỵ ’ là triệt tiêu. Trong trường hợp này
khai triển (11.40) có dạng:
P{ Ẽ( r, í ) ) = p' i r, t ) + p \ r , í ) +...

22

(11.40]


Các tích phân dều có dạng tích phân chập, điều đó khẳng định vai trò của
biến đổi Fourier do tính chất đặc biệt của nó: ảnh của tích chập bằng tích của
các hàm ánh. Vì vậy các tính toán tích phân được chuyển sang Ihành các tính
toán đại số trong không gian các hàm ảnh. Một ưu điểm khác nữa của biến đổi
r-ourier là thay cho thời gian ta làm việc trực tiếp với tần số, một đại lưọTig
đặc Irưng cơ bản của bức xạ điện từ. Nhờ vậy việc phân loại các quá trình phi
tuyến càng trò nên rõ ràng hơn. Công thức hình thức (11.37) cũng đã giúp ta
làm được việc này. Ví dụ về quá trình bậc hai. Nếu giả thiết điện trường của
chùm laser vào môi trường có dạng;
Ẽ{t) = Ẽ^e~'“^ +C.C

(11.41)

khi đó theo phương trình (11.40) trong tinh thể một phân cực sẽ xuất hiện:

P ^ -\t) = 2x^ -^ Ẽ ,Ẽ ;

+C.C)

(11.42)

Như vậy phân cực bậc hai bao gồm hai thành phần, thành phần với tần
số bằng không và thành phần với tần sô' 2co. Thành phần thứ hai sẽ dẫn đến
việc sinh ra một bức xạ với tần số bội hai. Phần đầu của (11.42) không sinh
ra bất cứ một bức xạ điện từ nào bởi lẽ đạo hàm bậc hai theo thời gian sẽ
triệt tiêu. Nó chỉ dẫn đến một quá trình được gọi là nắn quang học (OR - viết
tắt từ tiếng Anh Optical Rectification), trong đó một trường tĩnh điện được
tạo ra trong môi trường tinh thể phi tuyến. Nếu cường độ điện trường có hai
lần số khác nhau:
Ẽ{t) = Ẽ,e-"'"' +

+C.C

(11.43)

phân cực phi tuyến của môi trường sẽ có dạng:

+

£,* + £ , £ ; ]

(11.44)

Trong biến đổi Fourier có thể viết:
(11-45)
n

ở đây ta chỉ iấy tổng theo các tần số có trong ( 11.44). Như vậy có cả các tần
số' dương và âm
nhau là:

Các biên độ phức của các thành phần với các tần số khác

23


P (2iy,) = / ' » £ , - (SHG)
n 2 ứ ;,) =

(SHG)

P{co, + iy ,) = 2 f ‘-’£ ,

(11.46)

(SFG)

P{co, - w , ) = 2^'-*£, £ ;(D F G )
P (

0)

=

2i

"

’ ( £ ,

+ £ , £ ; )

(O R )

(SHG - Ký hiệu từ liếng Anh Second-hannonic Generation: Hoạ ba bội hai).
(SFG - Ký hiệu từ tiếng Anh Sum-frequency Generation: Cộng tần).
(DFG - Ký hiệu từ tiếng Anh Difference-frequency Generation; I liệu tần).
Tất nhiêncác thành phần với tần số âm cũng tồn tại, song chúng chỉ là
các liên hợp củacác đại lượng có trong (11.46), takhông cầnthiết phải xem
xét đến.
Bạn đọc có thể thấy các công thức trong (11.46) vẫn mang tính hình thức,
bởi lẽ phải hiểu các tích bên vê' phải theo nghĩa tenxơ:
P , = xS E ^ E ,

(11.47:

Tương tự đối với phi tuyến bậc ba, ta cũng có các quá trình khác nhau tì
công thức:
(11.48;
ở đây cũng phải hiểu theo nghĩa sau:
P,=ZĨLE,E,E,E,„

(11.49;

Trong (11.47) và ( 11.49) ta phải hiểu Iheo quy ước của Einstein: Đối vớ
các chi sô' lặp lại ta phải lấy lổng theo các giá trị cùa chúng.
Trong các mục tới ta sẽ xcm xét lần lượt các quá trình phi tuyến với cá(

bậc khác nhau, khi thay vào vế phải của phương trình sóng các số hạng ph
tuyến tương ứng;
V --£

Ẽ { x , y , z , t ) ^ - ^ ị p , { x , y , z , t ) + p^i { x , y , z , t ) )

(11.50

õíTrong không gian Fourier la có phương trình:
k;+kỊ+k:+^

Ẻịk, ũ)^ = ^ ị^ P ,{k ,ũ }^ + P^i{k,coỸ^

(11.51

x' 2

27 thànl

Trong trường hợp chung tenxơ

24

có 9 thành phần,

(

)

phần. X 'có 81 Ihành phần v.v... Trong thực tế, các môi trường có cấu trúc
tinh thể với nhũìig tính chất đối xứng nhất định. Nhờ vậy số lượng các thành
phầii tenxơ độc lâp và khác không nhỏ hơn rất nhiều.
Tất cả các tinh thể được phân loại ra 32 nhóm khác nhau, chúng được mô
tả bằng các nhóm đối xứng điểm, bao gồm các tập hợp các phép biến đổi đối
xứng (các phép quay quanh các trục nhất định, các phép phản chiếu qua các
mặt phẳng v.v...). Ta giả thiết rằng các phép biến đổi này được mô tả qua ma
trận u với các thành phần

.

Lúc đó các vectơ P, Ẽ biến đổi như sau qua các phép đối xứng:
(11.52)
Từ định nghĩa lenxơ 2 ^'*, những thành phần của nó sẽ biến đổi theo định luật:
rí,,'!..
,.,ơ„,nn/lnìfì
yl!’
A
. ni n = ơ nint
Tưong tự đối với tenxơ độ cảm bậc |J, các Ihành phần của nó biến đổi như sau:
(11.53)
Việc tinh thể có đối xứng nhất định sẽ dẫn đến những hệ quả gì? Ta có
nguyôn tắc bắt biến sau đây:
Nếii môi trườníỊ là cíôĩ xửiiíỊ đối với một phép biến đổi, tất cá các tính
chất vật lý phải U'i như ììhaii trong hai hệ quy clìiếii liên hệ với Ii/iaii qua phép
biến dổi nciỵ.
Điều kiện "như nhau” ciia các thành phần tenxơ độ cảm bậc
biến đổi đối xứng mô tả bằng ma trận

đối với

được thể hiện qua đẳng thức:
( 1 1.5 4 )

trong đó denla Kroncckcr được định nghĩa niiư sau:
ổ,

1 khi m' = m,
‘
z
J
[0 k h i m ^ m .

Những quan hệ biến dổi (11.52) và ( 11.54) cho phép xác định thành phần
tenxơ độ cảm phi tuyến độc lập với nhau khác không cho bất cứ một nhóm
tinh thể nào. Chúng được xáf định qua các phép đối xứng tương ứng. Để ví dụ
dưới đây Va chứng minh điều đã nói đến ờ trôn: Đối với các tinh thể có cấu
trúc đối xứng tâm, lenxơ độ cảm bậc chẵn (|.i = 2, 4 ...) sẽ bằng không, do vậy
sẽ không có các tính chất phi tuyến lương ứng với bậc này.
25


Biến đổi dối xứng qua tâm được mô tả bằng ma trận

-10

0

0 - 1 0

0

0 - 1

'lìieo các công thức (11.54) ta có:
y ( ị ‘)

=

Ả íììiìp k

V

Ảmnp . k

/

Rõ ràng đối với // chẵn tất cả các Ihành phần tenxơ phải triệt tiêu (điều
phải chứng minh).

11.4. Phi tuyến kiểu Kerr
11.4.1. Chiết suất tuyển tính và chiết suất p h i tuyến
Trong phần này ta mô tả các hiện tượng liên quan đến phân cực phi tuyến
tỷ lệ đến bậc ba của trường sóng điện từ {P~- E ' E ) . Lúc đó ta có sự phụ
thuộc của chiết suất n vào cường độ sóng điện từ:
n = n^ + nj l

(11.56)

trong đó /7„ là chiết suất tuyến tính cùa ánh sáng đối với môi trường, còn «2 là

chiết suất plii luyến. Có thể dần ra được quan hệ giữa chiết suất phi tuyến và
tenxơ dộ cảm diện môi sau (bài tập 11. 10):
0,0395

,3)

(11.57)

n,
Chiết suất loàn phần có trong (11.56) là đại lượng không thứ nguyên.
Đơn vị của //, do vậy phải tỷ lệ nghịch với đơn vị của cường độ. Thường chiết
T“
m
em'
suất phi Uiyến có đơn vị
hoặc

w

w

Có nhiều cơ chế của các quá trình vậi lý khác nhau gây ra sự xuẩt hiện
trong môi trường chiết suất phi luyến dirới tác dụng của sóng điện từ mạnh.
'1'huờng vài cơ chế hoạt dộng dồng thời, nhưng chúng khác nhau về thời gian
diẶc trirng để phân cực plii tuyến dược tạo thành trong môi trường. Ví dụ các
quá irình này là:
• Siêu phân cực điện tử
Một sóng điện từ mạnh vào môi trường gây ra sự biến dạng và dịch
chuycn đám mây diện tử, lừ đó ta có sự thay đổi các mô men lưỡng cực của

26