chuyên đề số phức luyện thi đại học

Tất cả nội dung tài liệu đều được biên soạn bằng word và chỉnh sửa dễ dàng. Có gợi
ý và lời giải chi tiết cho những bài từ trung bình đến khó. Tài liệu tách biệt 2 phần: Phần
bài tập và Phần lời giải.
Các hình vẽ và công thức khi đăng lên trang 123.doc có sự lệch dòng hoặc sẽ bị mất
nét do không phải là file ảnh. Nhưng độc giả yên tâm là trong file nó nguyên vẹn, đẹp và
đầy đủ.
MỤC LỤC
Bài 1. Khái niệm số phức
VẤN ĐỀ 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO, ĐIỂM BIỂU DIỄN, MOĐUN, SỐ PHỨC LIÊN HỢP
CỦA SỐ PHỨC CHO TRƯỚC
VẤN ĐỀ 2. TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ( DẠNG ĐƠN GIẢN, CÁC BÀI TOÁN
TẬP HỢP ĐIỂM CÓ LIÊN QUAN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG)
Bài 2. Các phép toán trên số phức
VẤN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
VẤN ĐỀ 3. BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
1. Tập hợp điểm là đường thẳng
2. Tập hợp điểm là đường tròn
3. Tập hợp điểm là parabol
4. Tập hợp điểm là elip
5. Các loại khác, bài toán tập hợp điểm có liên quan diện tích hình phẳng,…)
Bài 3. Phương trình trên tập số phức
Bài 4. Giá trị nhỏ nhất – lớn nhất
Vấn đề 1. Phương pháp đại số ( Đánh giá, Bất đẳng thức, Hàm số,…)
Vấn đề 2: Phương pháp hình học ( Tính chất và tương giao đường thẳng, đường tròn, elip,…)
Vấn đề 3: Lượng giác hóa
Đề thi về số phức qua các kì thi TN THPT đến năm 2019
Gợi ý và Lời giải tất cả các bài tập trong các vấn đề

PHẦN I: CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TƯƠNG ỨNG TỪNG BÀI
1

BÀI 1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO, ĐIỂM BIỂU DIỄN, MOĐUN, SỐ PHỨC
LIÊN HỢP CỦA SỐ PHỨC CHO TRƯỚC.
Câu 1.

Câu 2.

z = 1 + 2i

Phần thực và phần ảo của số phức
2i
2
1
1
A. và .
B. và .

z = −2 + i

.

B.

z = 1 − 2i

z = 3+i

. B.

.

z = 1 + 2i

D.

.

A.

. Điểm

M

biểu diễn của số phức liên hợp của

M ( 2018; −2017 )

. C.

. Tính

.

B.
2018

.D.

là

M ( 2018;2017 )

.

.

z =2

P = 1 + 3i

M ( −2018; −2017 )

z

z

z =2 2

z =4
.

+ 1 − 3i

C.

z = 10
.

D.

.

2018

Tính

.
P=2

1010

.

B.

Oxy

Trong mặt phẳng
biểu diễn số phức.

.

, cho các điểm

C.

y
3

.

B.

−1 + 2i

.

D.

P=4

.

B
1

−2

1
− + 2i
2

P = 22019

A B
AB
,
như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng

A

A.

z = −2 − i

x

z = 2018 − 2017i

Cho số phức

A.

C.

.

M ( −2018;2017 )

P=2

.

O

Cho số phức
A.

Câu 6.

i

và .

1

−2

Câu 5.

1

y

M

Câu 4.

D.

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A.

Câu 3.

lần lượt là:
1
2

C. và .

.

O

C.

1

2−i

.

x

D.

1
2− i
2

.

2


Câu 7.

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, gọi

M

,

N

,

P

lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

z1 = 1 + i z2 = 8 + i z3 = 1 − 3i
,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng?
MNP
MNP
A. Tam giác
cân. B. Tam giác
đều.
MNP
MNP
C. Tam giác
vuông.

D. Tam giác
vuông cân.
Câu 8.

Câu 9.

Cho

i

là đơn vị ảo. Gọi

S

là tập hợp các số nguyên dương
S
nguyên dương. Số phần tử của là
23
45
22
A.
.
B.
.
C.
.
z

Cho số phức
đúng?

M

có biểu diễn hình học là điểm

Câu 10.

z = 3 + 2i

y

A.

5 + 26

2−i

3

46

.

x

M

z = −3 + 2i

.

C.

5

.

B. .

.

A.

−2

x

,

z = −3 − 2i

.

D.

z = 3 − 2i

.

y

C.

25

.

D.

z

biểu diễn số phức . Số phức

1 + 2i

.

thỏa mãn

C.

1 − 2i

.

z

37

.

là

D.

2 x + 1 + ( 1 − 2 y ) i = 2 ( 2 − i ) + yi − x

2+i

.

. Khi đó giá trị của

bằng
1

.

Cho số phức

M

B.

Cho hai số thực
x 2 − 3 xy − y

Câu 13.

D.

là số

AB.

Trong hình vẽ bên, điểm

A.
Câu 12.

B.

chữ số thỏa mãn

in

z1 = 1 + 2i z2 = 5 − i
A B
Gọi ,
lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
;
. Tính độ dài
đoạn thẳng

Câu 11.

.

có

2

ở hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là

O
−2
A.

n

B. .

z = a + bi

với

C.

−3

.

D.

−1

.

a b
, là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

3


bi

z

A. Phần ảo của là .
z−z
C.
không phải là số thực.
Câu 14.

Câu 15.

Tìm các số thực
3
x = 1; y =
5
A.
.
Cho số phức
A.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

z + z = 2bi

2 x −1 + ( 1 − 2 y ) i = 2 − x + ( 3 y + 2 ) i

3
5

B.
a, b ∈ ¡

, với

,

N

,

x = 3; y = −
.

C.

1
5

.

x = 1; y = −
.

D.

1
5

.

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

z − z = 2a

B.

.

C.

z.z = a 2 − b 2

z2 = z
.

2

D.

.

P Q

,
là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
Cho bốn điểm
−i 2 + i 5 1 + 4i
,
, ,
. Hỏi, điểm nào là trọng tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại?
Q
N
M
P
A.
.
B. .
C. .
D. .
z1 = 2 z2 = 4i z3 = 2 + 4i
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
,
,
trong
Oxy.
ABC .
mặt phẳng tọa độ
Tính diện tích tam giác
8
6
2

4
A. .
B. .
C. .
D. .
A, B, C

Trong mặt phẳng phức, cho điểm
mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?

z−z =6

.

M

B. Số phức

Có bao nhiêu số phức

3

Câu 21.

B. Môđun của
bằng
.
z
z
D. Số và có môđun khác nhau.

x = 3; y =

.

A. .
Câu 20.

thỏa mãn

z = a + bi

M

A.
Câu 19.

x, y

a 2 + b2

z2

z

z

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức . Trong các
z

thỏa
2
B. .

và

,

B

)

.

D.

z = 3 − 4i

.

là số thuần ảo?

0

B. .

Trong mặt phẳng phức, gọi

z

C. .

1

A

z =5

có phần ảo bằng .C.

z = 5

z = cos ϕ + i.sin ϕ ( ϕ ∈ ¡

Cho số phức
cos ϕ + sin ϕ
A.
.

4

z
. Tìm môđun của .
cos ϕ + i sin ϕ
C.
.

1
D. .

cos 2ϕ
D.

.

z1 = −1 + i
C D
, , lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
,

z2 = 1 + 2i z3 = 2 − i z4 = −3i
S
ABCD
S
,
,
. Gọi là diện tích tứ giác
. Tính .
17
19
23
21
S=
S=
S=
S=
2
2
2
2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4


Câu 22.

A.
Câu 23.

2 3

A.

.

B.

z1 , z2

Giả sử
. Tính

Câu 24.

z iz

z

Cho số phức , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức ;
18
z
một tam giác có diện tích bằng . Mô đun của số phức bằng

6
C. .

.

là hai nghiệm phức của phương trình

M = 2 z1 + 3 z2

M = 19

3 2

z + i  z

tạo thành

9
D. .

( 2 + i)

z z − ( 1 − 2i ) z = 1 + 3i

và

z1 − z2 = 1

.

.

B.
z1

Cho các số phức

,

M = 25
z2

,

.

z3

C.

M =5

.

D.

z1 = 4

thỏa mãn điều kiện

4 z1 z2 + 16 z2 z3 + 9 z1 z3 = 48

P = z1 + z2 + z3

. Giá trị của biểu thức
8
2
B. .
C. .

1

A. .
Câu 25.

và

M = 19

z2 = 3

,

.

z3 = 2

,

và

bằng:

6
D. .

z1 = z2 = 2 5
z1 z2
M N
Cho hai số phức ,
thỏa
. Gọi
,
lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức
z1

z2
MN = 2 2
H
,

trên mặt phẳng tọa độ. Biết
. Gọi
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
OMHN
ON
l = KH
K
và
là trung điểm của
. Tính
A.

Câu 26.

l =3 2

.

B.

z1

Cho ba số phức

M = z2 − z3 − z3 − z1

A.
Câu 27.

− 6− 2− 3

Cho số phức

z =
A.

Câu 28.

z

z

.

C.

l = 41

.


 z1 = z2 = z3 = 1
 2
 z1 = z2 .z3

z −z = 6+ 2
 1 2
2

z 2 z3

,
thỏa mãn

D.

l= 5

.

. Tính giá trị của biểu thức

.

.

B.

thỏa mãn

−1 + 65
4

Xét số phức

,

l =6 2

− 6− 2+ 3

B.

( 1 + 2i )
thỏa mãn

C.

z ( 1 + 3i ) z − 3 + i  = 4 10

z =
.

.

1 + 65
2
z =

6 + 2 −2
2

z >1
,

z =
.

10
−2+i
z

C.

.

D.

− 6− 2+2
2

.

z
. Tính

−1 + 65
2

.

z =
.

D.

1 + 65
4

.

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
5


A.
Câu 29.

.

Cho hai số phức
iz2
A.

Câu 1.

1
3
< z <
2
2

. Biết

B.
z1 , z2

·
MON
= 30°

3
< z <2
2

.

.

. Gọi

M

D.

,

N

1
2

.

là các điểm biểu diễn cho

z1

và

S = z12 + 4 z22

. Tính

.

3 3
4 7
5
.
B.
.
C.
.
D.
.
VẤN ĐỀ 2. TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ( DẠNG ĐƠN GIẢN).

5 2

Trong mặt phẳng phức gọi

z = a + bi a, b ∈ ¡ ab ≠ 0 M ′
(
,
),

M

là điểm biểu diễn cho số phức
z

là điểm biểu diễn cho số phức . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Oy
M′
M
A.
đối xứng với
qua
.
Ox
M′
M
B.
đối xứng với
qua
.
C.

M′

đối xứng với

M

qua đường thẳng
O
M′
M
D.
đối xứng với
qua .

Câu 2.

C.

z1 = 2, z2 = 3

thoả mãn

z <

z >2

y=x

.

z = 7 + bi
b∈¡
Điểm biểu diễn của các số phức
với
nằm trên đường thẳng có phương trình là:
y=7
y = x+7
y=x
x=7
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
| z |= 1
z
thỏa mãn
và phần ảo của bằng 1 là:
O
x =1
R =1
A. Giao điểm của đường tròn tâm , bán kính
và đường thẳng
.
O
R =1
B. Đường tròn tâm , bán kính
.
y =1
O
R =1
C. Giao điểm của đường tròn tâm , bán kính
và đường thẳng
.
y =1
D. Đường thẳng
.
z

Câu 3.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Câu 4.

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức

z

thỏa mãn điều kiện phần thực của

z

bằng -2 là:
x = −2
A.
.
Câu 5.

B.

y=2

.

C.

y = 2x

.

D.

y = x+2

.

z

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện phần ảo của
(2016; 2017)
z
nằm trong khoảng
là:
x = 2016
x = 2017
A. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
và
, không kể biên.
x = 2016
x = 2017
B. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
và
, kể cả biên.
6


C. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
D. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

y = 2016
y = 2016

và
và

y = 2017
y = 2017

, không kể biên.
, kể cả biên.

z

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện phần thực của
[ − 1;3]
z
nằm trong đoạn
là:
x = −1

x=3
A. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
và
, kể cả biên.
x = −1
x=3
B. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
và
, kể cả biên.
y = −1
y=3
C. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
và
, không kể biên.
y = −1
y=3
D. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng
và
, kể cả biên.
z = a + ai ( a ∈ ¡ )
Cho số phức
. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt
phẳng tọa độ là:
x+ y =0
y=x
y=a
x=a
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
z = a + bi (a, b ∈ ¡ )
Cho số phức
. Để điểm biểu diễn của z nằm
trong dải (- 2; 2), ở hình 1, điều kiện của a và b là:
a, b ∈ (−2; 2)
a ∈ (−2; 2); b ∈ ¡
A.
.
B.
.
a ∈ ¡ ; b ∈ ( −2; 2)
a, b ∈ [ − 2; 2]
C.
.
D.
.

y

-2

z = a + bi (a, b ∈ ¡ )
Cho số phức
. Để điểm biểu diễn của z nằm
(−3i;3i )

trong dải
như hình 2 thì điều kiện của a và b là:
a ∈ ¡ ; −3 ≤ b ≤ 3
−3 < a < 3; b ∈ ¡
A.
.
B.
.
−3 < a, b < 3
a ∈ ¡ ; −3 < b < 3
C.
.
D.
.

2

x

(H×nh 1)

y

z = a + bi (a, b ∈ ¡ )

Cho số phức
. Để điểm biểu diễn của z nằm
hình tròn như hình 3 (không tính biên), điều kiện của a và b là:
a 2 + b2 < 4
a2 + b2 ≤ 4

A.
.
B.
.
2
2
2
2
a +b > 4
a +b ≥ 4
C.
.
D.
.

O

trong
-2

Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần tô mầu như
hình
A. Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
B. Số phức z có phần thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2.
C. Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ 2.
D. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.

O

(H×nh 3)

2

x

trên

7


Câu 12.

Câu 13.

Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên
hình
A. Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
B. Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn 2.
C. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
D. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn 2.
| z |< 1
z
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn
trên mặt phẳng
tọa độ là:
O
R =1
A. Hình tròn tâm , bán kính
, không kể biên.
O

R =1
B. Hình tròn tâm , bán kính
, kể cả biên.
O
R =1
C. Đường tròn tâm , bán kính
.

D. Đường tròn tâm bất kì, bán kính
Câu 14.

Câu 15.

z2 = z

2

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức sao cho
A. Gốc tọa độ.
B. Trục hoành.
C. Trục tung.
D. Trục tung và trục hoành.
Gọi

(H)

là tập hợp các điểm biểu diễn số phức

( H)

z

là:

1 ≤ z −1 ≤ 2
thỏa

trong mặt phẳng phức.

.
B.

3π

.

C.

4π

.

D.

5π

.

z − 1 + 2i = 5
z1 − z 2 = 8

z1 z2
Gọi ,
là hai trong các số phức thỏa mãn
và
. Tìm môđun của số
w = z1 + z2 − 2 + 4i
phức
.
w =6
w = 16
A.
.
B.
.

Câu 17.

.

z

Tính diện tích hình
2π
A.
.
Câu 16.

R =1

Cho số phức

S = −3
A.
.

z = a + bi ( a, b ∈ ¡
B.

)

S =5

w = 10
C.

w = 13
.

D.

z + 4 + z − 4 = 10
thỏa
.

z−6
và

C.

S = −5

.

.

lớn nhất. Tính
S = 11
D.
.

S = a+b

.

BÀI 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC.
z = a + bi z ′ = a′ + b′i (a, b, a′, b′ ∈ ¡ )
zz ′
Câu 1 Cho hai số phức
,
. Tìm phần ảo của số phức
.

A.

( ab′ + a′b ) i

.

B.

ab′ + a′b

.

C.

ab′ − a′b

.

D.

aa′ − bb′

.
8


Câu 2.

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

A.
Câu 3.

P

.

B.

Số phức

z = ( 1− i)

M

.

C.

có phần thực bằng
22019
B.
.

A. .

C.

z=

z1 = 3 + 2i

,

Câu 6.

Tìm phần ảo của số phức , biết
2

B.

z = 2 − 3i

Câu 8.

C.

0
D. .

.

.

( 1; −4 )

.

D.

( −1; 4 )

.

z = 6 z1 + 5 z2

−2

(1+ i) z = 3 − i

.
1

.

C. .

B.

D.

−1

.

w = (1+ i) z

w = 37
.

. Cho
A.

Câu 9.

3 + 2i
C.

. Môđun của số phức

w = 26
A.

.

. Tìm số phức liên hợp của số phức
z = 51 − 40i
z = 48 + 37i
z = 48 − 37i
B.
.
C.
.
D.
.
z

A. .

−21009

z2 = 6 + 5i

Cho số phức
z = 51 + 40i
.
A.

Cho số phức

D.

( 2 − 3i ) ( 4 − i )

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức
( −1; −4 )
( 1; 4 )
A.
.
B.
.

Câu 5.

Câu 7.

.

Q

?

2018

1

Câu 4.

N

z = ( 1+ i) ( 2 − i)

w =5
.

C.

w =4
.

D.

.

z1 z2
z1 ≠ z2
0
,
là các số phức khác và
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai?

z1 + z2 ∈ ¡

.

z1 z1 + z2 z2 ∈ ¡

Cho số phức

B.

.

D.

( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) ∈ ¡
 z1 + z2

 z1 − z2

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)


÷∈ ¡


.

.

. Khẳng định nào sau đây sai?
9


z = a 2 + b2
A.

.

z = a − bi

B.

.

C.

z2

là số thực.

D.

z1 = z2 = z3 =

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 15.

2 2
3

Cho số phức
1
−
m
A.
.
Cho số phức

z = mi

,

(m ∈ ¡ )

. Tìm phần ảo của số phức ?
1
1
− i
m
m
B. .
C.
.

( 1 − i ) z = 4 + 2i

. Tìm môđun của số phức
10

B.

Cho số phức
1− i
2
A.
.

z = 1+ i

1
z

.

C.

. Số phức nghịch đảo của

B.

1− i

.

z

25

w = z +3

Cho hai số phức
1 7
z= + i
5 5
A.
.

D.

1
i
m

.

.

.

7

D.

.

là

C.

1− i

2

.

D.

−1 + i
2

.

z2
z1

z=

Câu 14.

là số thực.

z1 z2 z3
z1 + z2 + z3 = 0
Cho ba số phức , ,
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
z1 + z 2 + z3 = z1z 2 + z 2 z3 + z3 z1
z1 + z2 + z3 < z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
A.

.
B.
.
z1 + z 2 + z3 > z1z 2 + z 2 z3 + z3 z1
z1 + z 2 + z3 ≠ z1 z 2 + z 2 z3 + z3 z1
C.
.
D.
.

5
A. .
Câu 13.

z.z

z1 = 1 + 2i z2 = 3 − i
,
. Tìm số phức
.
1 7
1 7
z= + i
z= − i
10 10
5 5
B.
.
C.
.

z=−
D.

1 7
+ i
10 10

.

z = 3 − 5i
w = −1 + 2i
z ′ = z − w.z
Cho hai số phức
và
. Điểm biểu diễn số phức
trong mặt
Oxy
phẳng
có tọa độ là
( −4; − 6 )
( 4; − 6 )
( 4; 6 )
( −6; − 4 )
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
2

Câu 16.

Cho số phức
2

4

A. .
Câu 17.

z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i )

B. .

. Số phức

z

có phần ảo là:
C.

- 2

.

D.

2i

.

z1 + 3z2
z1 = 2 + 3i z2 = 1 + i
Cho hai số phức
,
. Giá trị của biểu thức
là
A.

55

.

5
B. .

6
C. .

D.

61

.
10

Câu 18.

Cho hai số phức
A.

Câu 19.

12

Gọi

z1 = 3 − i

.

a, b

z2 = 4 − i

và
10
B. .

. Tính môđun của số phức
13
C. .

.

D.

15

.

lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

z = 1 − 3i ( 1 + 2i ) + 3 − 4i ( 2 + 3i ) .
Giá trị của

7
A. .

Câu 20.

z12 + z2

B.

−7

Trong mặt phẳng phức, gọi

a −b

.

C.

M

là

31

.

D.

là điểm biểu diễn cho số phức

−31

( z − z)

.

2

z = a + bi

với

( a, b ∈ ¡ , b ≠ 0 )

. Chọn kết luận đúng.
Oy
Ox
M

M
A.
thuộc tia
.
B.
thuộc tia
.
Ox
M
C.
thuộc tia đối của tia
.

( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i)
3

Câu 21.

Trong các số phức:
A.

( 1+ i)

4

,

3

.

B.

5

,

( 1+ i)

,

.

C.

z = ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ... + ( 1 + i )

Số phức
A.

Câu 23.

4 2

Cho

10

z

B.

z

.

21009 + 1

1− i

thỏa mãn:

C.

B.

8

8 2

( 1 + i ) ( z − i ) + 2 z = 2i

.

là số phức có mô-đun bằng
w
của số phức
là:
2015
0

A.
.
B. .

5

.

1 − 21009

. Tìm môđun của
C.

thỏa mãn điều kiện

( 1+ i)

D.

( 1+ i)

6

.

.

D.

− ( 21009 + 1)

.

3

B. .

z

số phức nào là số phức thuần ảo?

có phần ảo bằng

.

( 1 + 3i )
z=

.

2018

4

.

Cho số phức
A.

Câu 25.

.

Cho số phức
A.

Câu 24.

21009 − 1

thuộc tia đối của tia

Oy

6

4

2

Câu 22.

D.

M

C.

2017

và

w

z + iz

.

8
D. .

.

w=
. Môđun của số phức

− 10

.

là số phức thỏa mãn
1

C. .

D.

− 8

z − 2z +1

z2

.

1 1
1
+ =
z w z+w

D.

là:

2017

. Mô đun

.
11


Câu 26.

Trong tập số phức
A.
C.

Câu 27.

z1 + z2 = z1 + z2

Tính tổng
S =1
A.
.

, chọn phát biểu đúng?

.

B.

z1 + z2 = z1 + z2

z+z

2

.

D.

B.

(

là số thuần ảo.

z 2 − ( z ) = 4ab

S = 1 + i 3 + i 6 + ... + i 2016

z=
Câu 28.

£

3 + 5i

)

S =i

với

z = a + bi

.

.
.

C.

S = −i

.

D.

S = −1

.

2018

Cho số phức
. Biết phần ảo của
0
a b c d
số , , , có đúng bao nhiêu số bằng ?

z

có dạng

a + b 3 + c 5 + d 15

. Trong các

3
2
4
1
A. .
B. .
C. .
D. .
VẤN ĐỀ 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
Câu 1.

Câu 2.

Tìm số phức thỏa mãn
và
z = 1 + 2i.
z = −1 − 2i.
A.
.
B.
.
Cho số phức

z

z + 4z = 7 + i ( z − 7)

thỏa mãn

A.

.

B.
z

Cho số phức . Gọi
z

và

( 1+ i) z

A B

,

. Tính

A.

Câu 5.

Câu 6.

. Khi đó, môđun của

Cho số phức
ab
.
ab = 6
A.
.

.

C.

biết diện tích tam giác
B.

z = a + bi

OAB

.

(trong đó ,

ab = −3

.

.

D.

( Oxy )

.

biểu diễn các số phức

8
bằng .

C.

z =4
.

là các số thực thỏa mãn

C.

.

bằng bao nhiêu?

z =2

a b

B.

z

z = 1 − 2i.

z =3

lần lượt là các điểm trong mặt phẳng

z =4 2
.

D.

z = 5

z

z =2 2

Câu 4.

là số thực.
z = 2 − i.
C.
.

z = 3

z =5

Câu 3.

( z + 1) ( z − i )

z−2 = z

z

ab = 3

D.

.

3 z − ( 4 + 5i ) z = −17 + 11i

.

D.

ab = −6

. Tính

.

z −1
z − 3i
=1
=1
a
,
b
∈
¡
)
z = a + bi (
z −i
z +i
P = a+b
Cho số phức
,
thỏa mãn
và
. Tính

.
P=7
P = −1
P =1
P=2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hỏi có bao nhiêu số phức

z

z −i = 5
thỏa đồng thời các điều kiện

và

z2

là số thuần ảo?
12


3

B. .

2

A. .

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

Câu 7.

Biết
a+b = 5
A.
.

Câu 8.

Tính môđun của số phức

là số phức thỏa mãn
a + b = −1
a+b =9
B.
.
C.
.
z

Câu 9.

thỏa mãn:

B.

z = 2017
.

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

Cho số phức

C.

z =2
.

a + ( b − 1) i =

)

a +b
. Tổng
là
a +b =1
D.
.

3z.z + 2017 ( z − z ) = 48 − 2016i.

z = 2016
.

4

D. .

( 3 − 2i ) z − 2iz = 15 − 8i

z =4
A.

0
C. .

thỏa mãn

1 + 3i
1 − 2i

D.

.

. Giá trị nào dưới đây là môđun

z

của ?

5
A. .
Câu 10.

Câu 11.

1

B. .

Có bao nhiêu số phức

z

4

Câu 13.

z

Cho số phức

A.

1
1− a

thỏa mãn
3

B. .

( 1 + i ) z + ( 2 − i ) z = 13 + 2i

.

?

2

C. .

D.

z− z = 2

thỏa mãn

.

2

. Biết rằng phần thực của

B.

Có bao nhiêu số phức

z

a − a2 + 1
z =
2

.

( 1+ i) z + z

thỏa mãn
1

A. .
Câu 15.

5

D.

1.

.

z1 = 1 z2 = 2
z1 + z2 = 3
z1 − z2
z1 z2
Cho hai số phức ,
thỏa mãn
,
và

. Giá trị của
là
0
2
1
A. .
B. .
C. .
D. một giá trị khác.

z =

Câu 14.

.

z = a + bi ( a, b ∈ ¢ )
z + 2 + 5i = 5
z.z = 82
Cho số phức
thỏa mãn
và
. Tính giá trị của biểu
P = a+b
thức
.
10
−8
−35
−7

A. .
B.
.
C.
.
D.
.

A. .
Câu 12.

10

C.

B. .

Cho số phức

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

z

bằng . Tính

a + a2 +1
z =
2

C.

z

a

.

D.

theo

a

a + a2 + 4
z =
2

.

z − 2i = 1
là số thuần ảo và
0
C. .

z =5
thỏa mãn

và

z ( 2 + i ) ( 1 − 2i )

D. Vô số.
là một số thực. Tính

P= a +b
A.

P=5

.

B.

P=7

.

C.

P =8

.

D.

P=4

.

13


Câu 16.

z

Có bao nhiêu số phức

z − 10 + 2i = z + 2 − 14i
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

và

z − 1 − 10i = 5
?
A. Hai.
Câu 17.

B. Không.

Cho số phức

z − z = −2 − 4i

z

thỏa mãn

Câu 19.

Có bao nhiêu số phức

z + 2 + 3i = 5

z

2

Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

z

D.

25

.

z + 8 − 3i = z − i
z + 8 − 7i = z + 4 − i
z
Cho số
thỏa mãn các điều kiện
và
. Tìm số phức

w = z + 7 − 3i
.
w = 3−i
w = 13 − 6i
w = 1+ i
w = 4 + 3i
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

A. .
Câu 20.

D. Vô số.

. Môđun của là
3
C. .

5
B. .

4

A. .

Câu 18.

C. Một.

Gọi số phức

z = a + bi

thỏa mãn

và

B. vô số.

C. .

( a, b∈ ¡ )

z −1 = 1

là số thuần ảo ?

0
D. .

1

thỏa mãn
và
a.b

z
đồng thời không là số thực. Khi đó
bằng:
a.b = −2
a.b = 2
a.b = 1
A.
.
B.
.
C.
.

z

,

z
z−2

11z 2018 + 10iz 2017 + 10iz − 11 = 0.

Cho số phức thỏa mãn
1 3 
z ∈ ; ÷
z ∈ ( 1; 2 )
2 2 
A.
.
B.

.

1+ i
z

C.

( 1 + i ) ( z − 1)

có phần thực bằng

D.

a.b = −1

1

.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

z ∈ [ 0;1)

.

D.

z ∈ [ 2;3)

.

z−2 = m

m0
m∈¡
m
Cho số phức thoả mãn
là số thực và
với
. Gọi
là một giá trị của
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
 1
1 
3 
 3
m0 ∈  0; ÷
m0 ∈  ;1÷
m0 ∈  ; 2 ÷
m0 ∈ 1; ÷
 2
2 
2 
 2
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
z

Gọi

S

là tập hợp các số thực

z−m = 6
và
A.

10.

.

z
z−4

m

sao cho với mỗi

m∈ S

có đúng một số phức thỏa mãn

là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập

0.
16.
B. .
C.
.

S

.
D.

8.

.

14


Câu 24.

Cho số phức
A.

Câu 25.

Câu 26.

P = −1

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

thỏa mãn
P = −5
B.
.

.

z = a + bi

Số phức
a +b
đó
là
9
A. .

A.

. Biết

T = 18

a b

( với ,

z + 2 + i − z ( 1+ i) = 0

z1 , z2

·
MON
= 60°

C.

P=3

là số nguyên) thỏa mãn

8
B. .

.Cho hai số phức
iz2

)

z >1
và

.

( 1 − 3i ) z

thoả mãn

z2 = 2

,

. Gọi

P = a +b

.

z − 2 + 5i = 1
là số thực và

6
C. .
z1 = 6

. Tính
P=7
D.
.

. Khi

7
D. .
M

,

N

là các điểm biểu diễn cho

z1

và

T = z12 + 9 z 22

. Tính

.

T = 24 3
T = 36 3
T = 36 2
B.
.
C.
.
D.
.
VẤN ĐỀ 3. BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

.

LOẠI 1. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG.
Câu 1.

Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức
thẳng có phương trình

y = x +1
y = −x +1
A.
.
B.
.
z

z = x + yi

C.

z + 2 + i = z − 3i
thỏa mãn

y = − x −1

.

là đường

D.

y = x −1

z − 1 = z − 2 + 3i

thỏa mãn:
. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
I ( 1; 2 )

R =1
A. Đường tròn tâm
, bán kính
.
2 x − 6 y + 12 = 0
B. Đường thẳng có phương trình
.
x − 3y − 6 = 0
C. Đường thẳng có phương trình
.
x − 5y − 6 = 0
D. Đường thẳng có phương trình
.

z

.

Câu 2.

Cho số phức

là

Câu 3.

1+ z)
Cho số phức z thỏa mãn (
là số thực. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là?
A. Hai đường thẳng.

B. Parabol.
C. Một Đường thẳng. D. Đường tròn.
2

Câu 4.

Trong nặt phẳng phức, xét

z +i
z −i

M ( x; y )

là điểm biểu diễn của số phức

mãn
là số thực. Tập hợp các điểm
A. Parabol.
B. Trục thực.

M

z = x + yi ( x; y ∈ ¡

)

thỏa

là

( 0;1)
C. Đường tròn trừ hai điểm trên trục ảo.
D. Trục ảo trừ điểm
.
LOẠI 2. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN.
15


Câu 1.

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức

z

z + 2−i = 4
thỏa mãn:

là đường tròn có tâm

I

R

và bán kính
lần lượt là:
I ( −2; −1) R = 4
I ( −2; −1) R = 2
A.
;
.

B.
;
.
Câu 2.

Cho số phức

z

I ( 2; −1) R = 4
C.
;
.

z + 3 − 4i = 5
thoả mãn

. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
I

z

diễn các số phức là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm và bán kính
I ( 3; −4 ) R = 5
I ( −3; 4 ) R = 5
I ( 3; −4 ) R = 5
A.
,
. B.
,

. C.
,
.
Câu 3.

Câu 4.

I ( 2; −1) I ( 2; −1)
D.
;
.

R

của đường tròn đó.
I ( −3; 4 ) R = 5
D.
,
.

w = ( 1 − i ) z + 2i
z =2
z
Cho số phức thỏa mãn
. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
là
A. Một đường tròn.
B. Một đường thẳng.
C. Một Elip.
D. Một parabol hoặc hyperbol.

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho số phức

z − 1 + 2i = 3

z

thỏa mãn

. Tập hợp các điểm biểu

w = z (1+ i)

diễn cho số phức
là đường tròn
I ( 3; −1) R = 3 2
A. Tâm
,
.
I ( −3;1) R = 3 2
C. Tâm
,
.
Câu 5.

Cho

I ( −3;1) R = 3
B. Tâm
,
.
I ( 3; −1) R = 3
D. Tâm
,
.

w =2

w

là số phức thay đổi thỏa mãn
. Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số
z = 3w + 1 − 2i
phức
chạy trên đường nào?
I ( 1; −2 )
R=6
A. Đường tròn tâm
, bán kính
.
I ( −1; 2 )
R=2
B. Đường tròn tâm
, bán kính
.
I ( 1; −2 )
R=2

C. Đường tròn tâm
, bán kính
.
I ( −1; 2 )
R=6
D. Đường tròn tâm
, bán kính
.

z

z
=3
z −i

Câu 6.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn
là đường nào?
A. Một đường thẳng.
B. Một đường parabol. C. Một đường tròn.
D. Một đường elip.

Câu 7.

Cho số phức thỏa
đường tròn đó.

z =3
. Biết rằng tập hợp số phức

w = z+i

là một đường tròn. Tìm tâm của

16


A.
Câu 8.

I ( 0;1)

.

B.

z

Cho số phức

.

I ( −1;0 )

C.

.

thỏa mãn

D.

7

20

B.

.

R

C.

của đường tròn đó bằng?
2 5

.

2

A.

w = z1 + z2

trong mặt phẳng tọa độ

.

C.

( x − 10 )

2

.

B.

+ ( y − 6 ) = 16
2

z

A.

là đường tròn tâm

17

.
z

( x − 10 )

2

+ ( y − 6 ) = 36

20

và bán kính

c

C.

10

a+b+c

M

D.

18

.

.

B.

2

. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường tròn bán kính

R = 5 10
Oxy

.

R

C.

. Tính

R

R=5 5

biểu diễn số

bằng

.

w

xác định bởi

.
.

D.

R = 5 13

, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z

.
thỏa mãn

2

z + 2i + 2 1 − z + 3 z − 2 + i = 2018
là một đường tròn. Tìm tâm
 −4 5 
 ; ÷
( 1;1)
 3 6
A.
.
B.
.
C.
.
LOẠI 3. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG PARABOL
4 5
 ;− ÷
3 6

.

. Biết tập hợp các điểm

. Giá trị của

.

.

2

5 
3

x− ÷ + y − ÷ = 9
2 
2


( z − 2 + i ) ( z − 2 − i ) = 25

thỏa mãn

Trong mặt phẳng tọa độ
2

là đường tròn

2

z −1 = 5

w = ( 2 + 3i ) z + 3 + 4i

R = 5 17

D.

I ( a; b )

B.

Cho số phức

A.

.

thỏa mãn

Cho số phức
phức

w = 2 z − 2 + 3i

Oxy

2

5 
3 9


x− ÷ + y − ÷ =
2 
2 4


2

Câu 12.

7

D.

z − 5 − 3i = 5
z1 − z2 = 8
z1 z2
z
Cho ,
là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện
, đồng thời
.
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
có phương trình nào dưới đây?

Câu 11.

.

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường tròn. Bán kính

A. .

Câu 10.

I ( 1;0 )

z =2

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z

Câu 9.

I ( 0; −1)

I

của đường tròn đó.
 4 −7 
 ; ÷
3 6 
D.
.

17


Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

một

2 z −1 = z + z + 2

z

thỏa mãn

trên mặt phẳng tọa độ là

A. đường thẳng.
B. đường tròn.
C. parabol.
LOẠI 4. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG ELIP.
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

D. hypebol.

(1+ i) z + 2 + ( 1+ i) z − 2

z

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn
A. Đường thẳng.
B. Đường tròn.
C. Elip.

D. Parabol.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn
A. Đường thẳng.
B. Đường tròn.
C. Elip.

là:
D. Parabol.

z + 1 + z − 3 − 4i = 10

z

là:

z−2 + z+2 =5

z

Cho số phức

=4 2

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất

Pmin

của biểu thức

P = z − 1 + 2i

bằng?

A.

Pmin = 17

.

B.

Pmin = 34

.

C.

Pmin = 2 10

34
2

Pmin =

.

D.

.

LOẠI 5. TẬP HỢP ĐIỂM KẾT HỢP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.

Câu 4.

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, gọi

( H)

là tập hợp điểm biểu diễn số phức

z −1 ≤ 2

thỏa mãn
8π
A.
.
Câu 5.

Cho số phức

. Tính diện tích của hình
18π

B.
.
z

Câu 6.

12π

.

B.

Trong mặt phẳng tọa độ
z

thỏa mãn

z
16

và

16
z

12π 2

Oxy

C.

16π

.

D.

. Gọi

, gọi

z

khi

.

( H)

)

.

z −i + z +i = 6

điểm biểu diễn số phức
S
đường cong .
A.

( H)

thay đổi thỏa mãn

( z − i ) ( i + 1)

(

w = 1 + 3i z + 2

S

4π

.

là đường cong tạo bởi tất cả các

thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

C.

9π 2

.

D.

BF

.

là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức

có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn

[ 0;1]

. Tính diện tích

S

của

( H)
A.

.
S = 32 ( 6 − π )

.

B.

S = 16 ( 4 − π )

.

C.

256

.

D.

64π

.
18


BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC.
Câu 1.

Gọi

z1

và

z1 + z2

A.
Câu 2.

3 2

z2

là hai nghiệm phức của phương trình

4z 2 − 4z + 3 = 0

. Giá trị của biểu thức

bằng
.

B.

z0

Kí hiệu

2 3

3
C. .

.

.

3

D.

.

là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình

z + 2 z + 10 = 0
2

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

w = i 2017 z0

A.
Câu 3.

Câu 4.

?
M ( 3; − 1)

.

B.

M ( 3; 1)

.

Tổng các nghiệm phức của phương trình
1
−1
A. .
B.

.
Kí hiệu

z1

C.

M ( −3; 1)

z3 + z 2 − 2 = 0
C.

1− i

.

.

D.

tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
M ( −2;1) .
M ( 3; −2 ) .
M ( 3; 2 ) .
A.
.
B.
.
C.
.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức
trình:
4
A. .
Câu 6.

.
Trên mặt phẳng

?
D.

M ( 2;1) .

.

z1 z2
biết ,
là hai nghiệm phức của phương

.
B.

6

8
C. .

.

5
D. .

z1 z1 + z2 z2
z1 z2
2z2 − z +1 = 0
Gọi ,
là hai nghiệm của phương trình
. Tính
?

A.
Câu 7.

z2 − 4z + 5 = 0

1+ i

4 z 2 − 16 z + 17 = 0.

3
w = ( 1 + 2i ) z1 − i
2

Câu 5.

.

là

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

z12 + z22

D.

M ( −3; − 1)

−2

.

Kí hiệu

B.

z0

âm. Điểm

2
4

1
C. .

.

là nghiệm phức của phương trình
M

biểu diễn số phức

−

w = −2 z0

4z2 − 4z + 3 = 0

D.
sao cho

z0

2
2

.

có phần ảo là số thực

thuộc góc phần tư nào trên mặt phẳng phức?
19


A. Góc phần tư
C. Góc phần tư
Câu 8.

Câu 9.

.
( III )

Biết phương trình
9
A. .

B. Góc phần tư
.

D. Góc phần tư

z 2 + az + b = 0

.
( IV )

.

1
B. .

z = −2 + i

a −b

. Tính

4

C. .

?
D.

−1

.

z 2 + mz + 5 = 0

là số thực, biết phương trình
có hai nghiệm phức trong đó có một
1
nghiệm có phần ảo là . Tính tổng môđun của hai nghiệm.
3

.

5

B.

Cho số phức

z0

có

.

z0 = 2018.

Cho

a

là số thực, phương trình

C.

2 5

4
D. .

.

Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của

và các nghiệm của phương trình
n
vị của là
9
8
A. .
B. .
Câu 11.

( II )

có một nghiệm

m

Cho

A.
Câu 10.

( I)

1
1 1
= +
z + z0 z z 0

được viết dạng

z0

n 3 n∈¥
,
. Chữ số hàng đơn

3
C. .

4
D. .

z 2 + ( a − 2 ) z + 2a − 3 = 0

có

2

nghiệm

z1 z2
M N
, . Gọi
,
là

z1 z2
OMN
120°
điểm biểu diễn của ,
trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác
có một góc bằng
,
a
tính tổng các giá trị của .
A.
Câu 12.

−6

.

B.

6

.

C.

−4

4
D. .

.

z2 − 6z + m = 0 m ∈ ¡
Trong tập các số phức, cho phương trình
,
của

m

khoảng
13
A. .

để phương trình

( 1)

( 1)

. Gọi

m0

là một giá trị

z1 z2
z1.z1 = z2 .z2
có hai nghiệm phân biệt ,
thỏa mãn
. Hỏi trong

( 0; 20 )

m0 ∈ ¥

có bao nhiêu giá trị
?
10
11
12
B. .
C. .
D. .
BÀI 4. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- LỚN NHẤT TRÊN TẬP SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ.

Câu 1.

Xét các số phức

khi

1
z − + 3i
2

z = a + bi

,

( a, b ∈ ¡ )

(

)

(

)

4 z − z − 15i = i z + z − 1
thỏa mãn

2

. Tính

F = −a + 4b

đạt giá trị nhỏ nhất
20


A.

Câu 2.

F =7

.

B.

F =6

.

C.

2016 − 1

A.

z

.

thoả mãn

2017 − 1
2

B.

.

z − z1 = 1

D.

F =4

Tìm giá trị lớn nhất của

3

A.

.

với

B.

Cho số phức

z

và

w

3

.

.

D.

P = z − z2

2017 − 1

z + w = 3 + 4i

là

.

z =1

z

là số phức thỏa mãn
13

5
4
C.
.
D. .

.

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của

2016 − 1
2

C.

P = z2 − z + z2 + z +1

Câu 4.

.

2017
z2 − z +
=0
z1 z2
z2
4
Trong tập hợp các số phức, gọi ,

là nghiệm của phương trình
, với
có

thành phần ảo dương. Cho số phức

Câu 3.

F =5

.

z−w =9

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T= z+w

.
A.
Câu 5.

max T = 176

Cho số phức

.

B.

z = a + bi

max T = 14

( a, b ∈ ¡ )

.

C.

max T = 4

. Biết tập hợp các điểm

A

.

D.

max T = 106

.

biểu diễn hình học số phức

z

là

I ( 4;3)
( C)
m
R=3
M
đường tròn
có tâm
và bán kính
. Đặt
là giá trị lớn nhất,
là giá trị nhỏ
F = 4a + 3b − 1
M +m
nhất của
. Tính giá trị
.
M + m = 63
M + m = 48
M + m = 50
M + m = 41
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 6.

Cho

z

z + m = z −1+ m

là số phức thỏa mãn

và số phức

z′ = 1 + i

. Xác định tham số thực

m

z − z′

để

nhỏ nhất.
m=

A.
Câu 7.

1
2

m=−

.

B.

Xét các số phức

1
2

m=

.

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

C.

)

1
3

.

D.

m =1

z − 4 − 3i = 5
thỏa mãn

. Tính

.
P = a+b

khi

z + 1 − 3i + z − 1 + i

A.

P = 10

.

đạt giá trị lớn nhất.
P=4
B.
.

C.

P=6

.

D.

P =8

.

21


Câu 8.

Với hai số phức
P = z1 + z2

A.
Câu 9.

4 6

z1

z2

và

thỏa mãn

z1 + z2 = 8 + 6i

và

z1 − z2 = 2

, tìm giá trị lớn nhất của

.

.

B.

Xét các số phức

2 26

.

z = a + bi

C.
(

a, b ∈ ¡

5+3 5

.

D.

34 + 3 2

z − 3 − 2i = 2

) thỏa mãn

.
a+b

. Tính

khi

z + 1 − 2i + 2 z − 2 − 5i

đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
Câu 10.

.

B.
thỏa mãn

3
C. .

.

D.

4+ 2 3

2 z − 3 − 4i = 10

z

Cho số phức

thỏa mãn

z

. Khi đó

. Gọi

M −m

B.
z

Cho số phức

.

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

14
15

2+ 3
B.
.
C.
.
D.
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC.

.

4+ 3

P = 2 z + 1 + 2 z − 1 + z − z − 4i

4+

nhỏ nhất của
5
A. .
Câu 2.

2+ 3

z ≤2

z

Cho số phức
bằng:

A.

Câu 1.

4− 3

15

M

m

và

7
15

2+

.

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

bằng

.

C.

z − 2i ≤ z − 4i

thỏa mãn

10

.

D.

20

.

z − 3 − 3i = 1

và

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z−2

là:
A.
Câu 3.

.

Xét số phức
bằng

A.

Câu 4.

13 + 1

1 + 10

z

thỏa mãn

C.

13

.

10

D.

.

P = z − 1 − i + z − 5 − 2i

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B.
z

.

z − 2 − 2i = 2

.

Cho số phức
?
10
M=
3
A.
.

10 + 1

B.

4

.

C.

17

5
D. .

.

5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i

thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất

B.

M = 1 + 13

.

C.

M =4 5

.

D.

M

z − 2 + 3i

của

M =9

.

22


Câu 5.

z

Cho số phức

z −1 + i = 2

thõa mãn

2

P = z + 2 − i + z − 2 − 3i

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

.
A.
Câu 6.

18

.

B.

.

18 + 2 10

C.

.

B.

16 + 2 10

.

iz + 2 − i = 1
z1 − z2 = 2
z1 z2
z
Giả sử ,
là hai trong số các số phức thỏa mãn
và
. Giá trị lớn

nhất của
A.

Câu 7.

38 + 8 10

4

z1 + z2

bằng

.

B.

z

Cho số phức

2 3

.

3 2

C.

z −1
1
=
z + 3i
2

thỏa mãn

3
D. .

.

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z + i + 2 z − 4 + 7i

.
A.
Câu 8.

8

.

B.

Cho hai số phức
biểu thức

Câu 9.

Nếu
A.

Câu 1.

2

.

.

B.

313

.

là số phức thỏa
B.

. Gọi

M

và

m

2

. Tính môđun của số phức
w = 1258
.

B.

là số các số phức

.

là

4
.
C. .
VẤN ĐỀ 3 LƯỢNG GIÁC HÓA.

thoả mãn

w = 2315

z

5
D. .

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
w = M + mi.

w = 3 137
.

C.

w = 2 309
.

D.

.

iz + 1 + 2i = 3

đồng thời thỏa mãn

T = 2 z + 5 + 2i + 3 z − 3i

đạt giá trị lớn nhất. Gọi
M .n

.

313 + 2 5

D.

3

của biểu thức

n

4 5

z −i + z −4

z − 3 − 4i = 5
2

A.

.

thì giá trị nhỏ nhất của

.

Cho số phức

D.

313 + 8

C.

z = z + 2i

z

z

Gọi

.

.

P = z + 2 − z −i

Câu 2.

2 5

C.

z1 − 3i + 5 = 2
iz2 − 1 + 2i = 4
z1 z2
,
thỏa mãn
và
. Tìm giá trị lớn nhất của

T = 2iz1 + 3z2

313 + 16

A.

20

M

là giá trị lớn nhất của

và biểu thức
T

. Giá trị tích của

là
23


A.
Câu 3.

10 21

.

B.

Cho số phức

z

6 13

.

C.

( z + 2 ) i + 1 + ( z − 2 ) i − 1 = 10

thỏa mãn
z

và giá trị nhỏ nhất của
A.
Câu 4.

S =9

A.
Câu 5.

B.

Cho hai số phức
thức

. Tính tổng

.

5 21

S =8

S = M +m

.

.

D.
M

. Gọi

,

m

2 13

.

lần lượt là giá trị lớn nhất

.
C.

S = 2 21

.

D.

S = 2 21 − 1

.

z1 + 1 − i = 2
z1 z2
z2 = iz1
m
,
thỏa mãn
và
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu

z1 − z2

m=2 2+2
z

Cho số phức

.

B.

m = 2 +1

C.

z − 3 − 4i = 5
thoả mãn

. Gọi

2

P = z + 2 − z −i

M

m=2 2

và

m

. Tính môđun của số phức

w = 2315

w = 1258
.

B.

.

D.

C.

.

w = M + mi.

w = 3 137
.

m=2

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

2

của biểu thức
A.

.

w = 2 309
.

D.

PHẦN II: SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI TN THPT ĐẾN NĂM 2019.
Câu 1.

(Tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu

z 2 − 3z + 5 = 0
A.

2 5

.

. Giá trị của
B.

z1 + z2

5

z1 , z2

là hai nghiệm phức của phương trình

bằng
3

.

C. .

D.

10

.

5 + 6i

Câu 2.

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức
5
−5
A. .
B. .

Câu 3.

(Tham khảo THPTQG 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức
z = −1 + 2i

?

y
Q

2
1

N

−2 −1 O
−1

2 x
M

P

A.

N

.

có phần thực bằng
−6
6
C. .
D. .

B.

P

.

C.

M

.

D.

Q

.

24


Câu 4.

z

z = 2+i

(THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức
. Tính
z =3
z =5
z =2
A.
.
B.
.
C.
.

.
z = 5

D.

x, y
Câu 5.

(THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các số thực

A.

Câu 6.

x = 2, y = 2

.

B.

x = − 2, y = 2

.

C.

sao cho

x = 0, y = 2

(THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức

x2 − 1+ yi = −1+ 2i

.

z1 = 4 − 3i

.

D.
và

.

x = 2, y = −2

z2 = 7 + 3i

.

. Tìm số phức

z = z1 − z2

A.
Câu 7.

Câu 9.

Câu 10.

B.

z = 11
.

C.

z = −1− 10i

.

D.

z = −3− 6i

.

z = −2 + 3i

.

B.

z = 3i

.

C.

z = 3+ i

.

D.

z = −2

.

z = 3 − 2i
z
(Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức :
−3
−2i
−3
−2
A. Phần thực bằng
và Phần ảo bằng
.
B. Phần thực bằng
và Phần ảo bằng
.
3
2i
3
2
C. Phần thực bằng và Phần ảo bằng .
D. Phần thực bằng và Phần ảo bằng .

(Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu
a b
. Tìm , .

a = 3; b = 2
.

B.

Tìm số phức
w = 3 + 7i.
C.
.

a, b

D.

w = −7 − 7i

a = 3; b = 2 2

.

C.

z0

a = 3; b = 2

.

D.

.
3 − 2 2i

lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

(Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Kí hiệu
4 z − 16 z + 17 = 0

w = iz + z

z = 2 + 5i.

(Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức
w = 7 − 3i
w = −3 − 3i
A.
.
B.
.

A.

Câu 11.

.

Số phức nào dưới đây là số thuần ảo.
A.

Câu 8.

.
z = 3+ 6i

a = 3; b = −2 2

.

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương

2

trình
phức

A.
Câu 12.

w = iz0

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số

?

1 
M1  ; 2 ÷
2 

.

B.

 1 
M2  − ;2÷

 2 

.

C.

 1 
M 3  − ;1÷
 4 

.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực

( 2 x − 3 yi ) + ( 1 − 3i ) = x + 6i

D.

x

1 
M 4  ;1÷
4 

.

và

y

thỏa mãn

i
với là đơn vị ảo.
25