Bài Giải Lý Thuyết Nhóm

Bài 1. Cho X là tập các số thực nằm trong [0,1]. Trên X xây dựng phép toán (*) sau:
a∗b=
ab
1ab
, ∀ a , b∈ X .
Chứng minh rằng (S,*) là vị nhóm giao hoán.
Giải
:,,, xéttaXcba
∈∀
( )
( )
bcacab
abccba
ab
ba
ccba
+++
+++
+
+
=∗=∗∗
11
( )
( )
bcacab
abccba
bc
cb
acba
+++
+++

+
+
=∗=∗∗
11
( ) ( )
.**** cbacba
=⇒
aa
cótaXa
a
a
==
∈∀
+
+
01
0
0*
:,
abba
cótaXba
ba
ab
ab
ba
**
:,,
11
===
∈∀

+
+
+
+
Từ đó ta suy ra (X,*) là vị nhóm giao hoán. (đpcm)
Do đó (X,*) có tính kết hợp.
0 là phần tử trung hòa của (X,*)
Do đó (X,*) giao hoán.
Bài 2. Trong tập
NNX
×=
, ta định nghĩa một phép toán (*) như sau:
(m,n)*(k,l)=(m+k,2
k
n+l).
Chứng minh rằng:
a) (X,*) là vị nhóm.
b) Phép toán (*) trong X là chính quy.
Giải
a) Giả sử (m,n), (k,l) và (p,q)
∈
X. Ta có:
[(m,n)*(k,l)]*(p,q) = (m+k,2
k
n+l)*(p,q)
= (m+k+p,2
p+k
n+2
p
l+q)

(m,n)*[(k,l)*(p,q)] = (m,n)*(k+p,2
p
l+q)
= (m+k+p,2
p+k
n+2
p
l+q)
Do đó (X,*) có tính kết hợp.
∀
(m,n)
∈
X, ta có:
(m,n)*(0,0) = (m+0,2
0
n+0)
= (m,n).
Do đó (0,0) là phần tử tung hòa của (X,*).
Từ trên suy ra (X,*) là một vị nhóm.
b) Giả sử (a
1
,a
2
), (b
1
,b
2
) và (c
1
,c

2
)
∈
X, ta xét:
(a
1
,a
2
)* (b
1
,b
2
) = (a
1
,a
2
)* (c
1
,c
2
)
⇔
( a
1+
b
1
,2
b
1
a

2+
b
2
) = (a
1+
c
1,
2
c
1
a
2+
c
2
)
Từ trên dễ dàng suy ra: (b
1
,b
2
) = (c
1
,c
2
)
Do đó (*) là chính quy.