Đề thi HSG tỉnh năm học 2005 - 2006

Sở giáo dục và đào tạo
hà tĩnh
Đề thi chọn HọC SINH giỏi tỉnh LớP 9
Năm học 2005 - 2006
Môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1: a) Chứng minh rằng nếu các số không âm a, b, c thoả mãn:
cbacba
+=+
thì
2006200620062006
cbacba
+=+
;
b) Các số thực x, y, z thoả mãn đẳng thức:
2
3
111
222
=++
xzzyyx
. Chứng minh
rằng:
2
3
222
=++
zyx
.
Bài 2: Tìm nghiệm (x, y, z) với x > 0, y > 0, z > 0 của hệ phơng trình:

=++
=++
332
12
321
zyx
zyx
Bài 3: Cho tam giác ABC cố định. Hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho M, N thuộc đờng
thẳng BC; P, Q thứ tự thuộc các cạnh AC, AB.
a) Tìm vị trí của P, Q trên cạnh AC, AB để diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn
nhất.
b) Khi hình chữ nhật MNPQ thay đổi thì giao điểm I của 2 đờng chéo của nó chạy trên
đờng nào?
Bài 4: Trên nửa đờng tròn tâm O, đờng kính BC lấy điểm A. Vẽ AH vuông góc với BC (H
BC). Gọi M, N thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB, AC. Các dây BN, CM cắt nhau tại
K. Tia phân giác của các góc AHB, AHC lần lợt cắt BN, CM tại E, F. Chứng minh:
a) AK vuông góc với EF;
b) Tứ giác BEFC nội tiếp đờng tròn.
Bài 5: Các số dơng x, y thoả mãn x

xy + 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =
22
yx
xy
+

.