Xác định cực trị hàm phi tuyến bằng maple, ứng dụng xác định chế độ cắt tối ưu trong gia công thực nghiệm tiện thép hợp kim

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ HÀM PHI TUYẾN BẰNG MAPLE,
ỨNG DỤNG XÁC ĐỊNH CHẾ ĐỘ CẮT TỐI ƯU TRONG
GIA CÔNG THỰC NGHIỆM TIỆN THÉP HỢP KIM
DETERMINING THE EXTREME VALUE OF A NONLINEAR
FUNCTION BY MATHEMATICA, THE APPLICATIONS
DETERMINE OPTIMIZATION CUTTING CONDITIONS IN
EXPERIMENTAL PROCESSING OF ALLOY STEEL TURNING
Trần Ngọc Hải
Email:
Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp
Ngày nhận bài: 23/7/2017
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 20/9/2017
Ngày chấp nhận đăng: 26/9/2017

Tóm tắt

Bài báo trình bày phương pháp xác định cực trị hàm phi tuyến bằng Maple, ứng dụng xử lý số liệu thực
nghiệm để xác định chế độ cắt tối ưu khi dùng dao T15K6 tiện thép 9XC. Quá trình tính toán, thiết lập
hàm mục tiêu theo các biến công nghệ (s, v, t), xác định tối ưu (s, v, t) để hàm mục tiêu đạt cực trị rất
nhanh chóng bằng Maple, Math là các phần mềm toán thông dụng, được sử dụng trong phạm vi rộng.
Từ khóa: Cực trị hàm phi tuyến; tối ưu chế độ cắt; gia công thực nghiệm.
Abstract
This paper presents the method of determining the extreme value of a nonlinear function by Maple,
application processing practical data determines optimization cutting conditions when using cutting tool
T15K6 for turning 9XC steel. The calculation process, setting the objective function by the technological
variables (s, v, t), determines the optimal (s, v, t) for the objective function to be reached extreme quickly
by Maple, Math that is popular math software, use in wide range.
Keywords: Extreme value of a nonlinear function; optimization cutting; experimental processing.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Những nghiên cứu ảnh hưởng của chế độ cắt
máy CNC thường dừng ở việc thiết lập công
thức ảnh hưởng của (s, v, t) tới năng suất, độ
nhám… Từ các mục tiêu cụ thể người ta lựa
chọn độc lập hoặc phối hợp các thông số (s, v,
t) để hàm mục tiêu Q, Ra, hs đạt cực trị.

đến năng suất (Q), độ nhám bề mặt (Ra), độ
mòn dụng cụ cắt (hs) khi gia công chi tiết trên
(1)
a = ln a , a = b , X = ln x , → Y% = a + a X
0

1

0

từ (1) xác định được: a0, a1, X → y% = e

a=e

a0

1

Y%

,

X

, a1 = b , x = e .

Việc xác định cực trị hàm f(s,v,t) (thường là
hàm phi tuyến) theo phương pháp truyền thống
là phức tạp, khó khăn với người làm công
nghệ. Với cách tiếp cận khác, qua việc gia công
thép 9XC bằng dụng cụ cắt gắn mảnh T15K6,
bài báo trình bày phương pháp thiết lập hàm
mục tiêu theo các biến công nghệ (s, v, t), xác
định tối ưu (s, v, t) để hàm mục tiêu đạt cực trị
bằng các gói lệnh (Fit(data, funs, vars),
Optimization,… của Mathematica, Maple) là các
phần mềm toán mạnh, thông dụng.

x
- Hàm mũ với cơ số chưa biết [2]: y% = a.b

2. XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ HÀM PHI TUYẾN

Ở đây: Y = ln y , b0 = ln a0 , X j = ln x j ( j = 1...n )

2.1. Tuyến tính hóa một số hàm phi tuyến
- Hàm lũy thừa [1]: y% = a. x b
Logarit hai vế: ln y% = ln a + b ln x , đặt: Y% = ln y% ,

→ ln y% = ln a + x ln b , đặt: a0 = ln a , a1 = ln b ;

Y% = ln y% , X = x → Y% = a0 + a1 X
-

Hàm

b1

phi

b2

y = a0 x1 x2 ...xn

bn

tuyến

dạng

(2)
tích, [2] :

→ ln y = ln a0 + b1 ln x1 + b2 ln x2 + ... + bn ln xn ,
→ Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 + ... + bn X n

(3)

- Sau khi tuyến tính hóa hàm phi tuyến, có thể
xác định cực trị hàm biểu diễn bởi các phương
trình (1), (2), (3)… bằng phương pháp đơn
hình… ở đây bài toán được giải bằng Maple.

44 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(58).2017


LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC
Ví dụ 1 [4]: Cho f = -36x1+72x2 – 56x3

QPSolve(obj,cnsts);

2 x1 + x2 + 4 x3 ≤ 54; 4 x1 + 2 x3 ≤ 36

2 x1 + x2 ≥ 28; x j ≥ 0, j = 1, 3

Kết quả: fmin= -165, x1=7; x2=3

Xác định: xj(j=1,..3), f(min).

Dùng thuật toán nhánh cận [3] cho kết quả
bằng kết quả tính dùng Maple.
Ví dụ 4 [4]: Cho hàm:

Chương trình tính cực tiểu dùng Maple:

f(x)= -4x 1 – 5x 2 – 40x1x2 +50x1 – 80x2 →min

> restart;

điều kiện:

2

2

{x1 + 3x2 ≤ 15; 2 x1 + x2 ≤ 10; 2 x1 + 4 x2 ≥ 10; x1,2 ≥ 0

with(Optimization);
obj: = -36*x1+72*x2-56*x3;
cnsts: = [2*x1+x2+4*x3<=54, 4*x1+2*x3<=36,
2*x1+x2>=28,x1>=0, x2>=0, x3>=0];
NLPSolve(obj,cnsts);
Kết quả: fmin = 396 khi x1 = 9; x2 = 10; x3 = 0.
Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán, [4]
cho kết quả bằng kết quả tính dùng Maple.
Ví dụ 2 [4]: Cho f = x1+x2 +3x3 –x4

Xác định: xj(j=1,2) ,f(min).
Chương trình Maple tính cực tiểu:
> with(Optimization);
obj := -4*x1^2-5*x2^2-40*x1*x2+20*x1-80*x2;
cnsts := [x1+3*x2<=15,2*x1+x2<=10,2*x1+4*x2
>= 8,0<=x1,0<=x2];
Minimize(obj,cnsts);
Kết quả: fmin= -856, x1=3; x2=4
Dùng phương pháp xấp xỉ ngoài [4] cho kết quả
bằng kết quả tính dùng Maple.

Xác định: xj(j=1,..3), f(min).
Chương trình tính cực tiểu dùng Maple:
> with(Optimization);
obj := x1+x2+3*x3 -x4;
cnsts := [x1+2*x2-x3+x4=2,

2*x1-6*x2+3*x3+3*x4=9,
x1-x2+x3-x4=6,x1>=0, x2>=0,x3>=0,x4>=0];
Minimize(obj,cnsts);
Kết quả: fmin = 20 khi x1 = 3; x2 = 2; x3 = 5, x4 = 0.
Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu giải, [4]
cho kết quả bằng kết quả tính dùng Maple.
2.2. Xác định cực trị hàm phi tuyến có
ràng buộc
Các phương pháp thường được sử dụng:
phương pháp gradien, phương pháp các nhân
tử Lagrange... Dưới đây trình bày cách xác
định cực trị, sử dụng (Optimization - Maple).
Ví dụ 3 [3]: Giải bài toán quy hoạch lõm:

{

2

Cho f = −3 x1 − 2 x2

2

} , xác định: x

j(j=1,2) , fmin.

Điều kiện:

−2 x1 − 3 x2 + 6 ≤ 0; x1 + 5 x2 − 10 ≤ 0;
.


− x1 + 2 x2 − 8 ≤ 0; x1 − x2 − 4 ≤ 0, x1 , x2 ≥ 0
Chương trình Maple tính cực tiểu:

Nhận xét: Ở các ví dụ 1 - 4 việc xác định cực
trị hàm không theo cách thông thường, chúng
được tính bởi: (Optimization, NLPSolve,
QPSolve) là các gói lệnh của
Minimize,
Maple, đây là phương pháp tiên tiến, làm cơ sở
cho xử lý số liệu thực nghiệm sau đây.
3. THỰC NGHIỆM VÀ THIẾT LẬP PHƯƠNG
TRÌNH HỒI QUY ĐỂ TỐI ƯU HÓA (s,v,t)
BẰNG MATH, MAPLE
Thực nghiệm nhằm xác định bộ thông số (s, v,
t) tối ưu để Ramin khi tiện.
3.1. Điều kiện thực nghiệm
• Thiết bị: Máy tiện CNC–1440 (hình 1)

Hình 1. Máy tiện CNC - 1440
- Dao: Mảnh dao hợp kim cứng T15K6
- Phôi: thép 9XC, kích thước: φ30, dài l = 300 mm
- Dung dịch trơn nguội Emusil Mira EM40.
- Dụng cụ đo nhám SJ402-Mitutoyo (hình 2).

> with(Optimization);
Obj := -3*x1^2-2*x2^2;
cnsts := [-2*x1-3*x2+6<=0, x1+x2-10<=0,
-x1 +2*x2-8<=0,x1-x2-4<=0,0<=x1,0<=x2];

Hình 2. Dụng cụ đo độ nhám SJ402

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(58).2017 45


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
• Chọn dạng phương trình hồi quy

• Chế độ cắt

Ảnh hưởng của các thông số chế độ cắt (v, s, t)
tới nhám bề mặt biểu diễn dưới dạng hàm mũ:
a1 a2 a3
Ra = k.v .s .t

Vận tốc cắt: 90 ≤ v ≤ 150 m/ph;

Ở đây: k, a1, a2, a3 là các hệ số thực nghiệm.
→ln(Ra)=ln(k)+a1.ln(v)+a2.ln(s)+a3.ln(t)

(4)

Đặt ln(Ra)=y; ln(k)=a0; ln(v)=x1; ln(s)=x2; ln(t)=x3
Thay vào (4), ta có: y=a0+a1x1+a2 x2+a3x3

(5)

Quan tâm tới tuổi thọ kinh tế dao, chọn:
Lượng chạy dao: 0,08 ≤ s ≤ 0,29 mm/vg,
Chiều sâu cắt: 0,30 ≤ t ≤ 0,70 mm.

• Kết quả và xử lý số liệu
Tiến hành thực nghiệm, đo độ nhám bề mặt,
ghi lại kết quả như bảng 1.

3.2. Tiến hành thực nghiệm
Bảng 1. Các thông số thực nghiệm, kết quả đo nhám, tính các giá trị x1, x2, x3, y
TT

v (m/ph)

s (mm/vg)

t (mm)

1

150

0,0816

0,30

2

146

0,0999

3

134

4

Ra (mm)

x1. = (lnv)

x2.= (lns)

x3.= (lnt)

y = ln(Ra)

,00042

5,0106

-2,5059

-1,2039

-7,7752

0,35

,00049

4,8416

-2,3035

-1,0498

-7,6211

0,1300

0,40

,00084

4,8202

-2,0402

-0,9162

-7,0821

122

0,1600

0,45

,00092

4,8040

-1,8325

-0,7885

-6,9911

5

114

0,1899

0,50

,00138

4,7361

-1,6612

-0,6931

-6,5856

6

106

0,2297

0,55

,00264

4,6634

-1,4709

-0,5978

-5,9369

7

98

0,2602

0,60

,00400

4,5849

-1,3463

-0,5108

-5,5214

8

90

0,2893

0,70

,00643

4,4998

-1,2402

-0,3566

-5,0467

3.3. Thiết lập phương trình hồi quy tối ưu
Dùng: Fit(data,funs,vars)của Mathematica [5], ở
đây data: ma trận số liệu, funs: dạng hàm xấp
xỉ, vars: các biến số.
Chương trình tính dùng Mathematica:
sl={{5.0106, -2.5059, -1.2039, -7.7752},
{4.8416, -2.3035, -1.0498, -7.6211},
{4.8202, -2.0402, -0.9162, -7.0821},
{4.8040, -1.8325, -0.7885, -6.9911},
{4.7361, -1.6612, -0.6931, -6.5856},
{4.6634, -1.4709, -0.5978, -5.9369},
{4.5849, -1.3463, -0.5108, -5.5214},

3.4. Xác định cực tiểu phương trình hồi quy
Ra, xác định thông số (s, v, t)
Từ y% = ln(Ra)→Ra=e
Chương trình Maple tính cực tiểu:

(6.8079- 2.43436*x1+0.4545*x2+1.3189*x3)

> with(Optimization);
obj:=exp(6.8079-2.4343*x1+0.45457*x2+1.3189*x3);

cnsts:=[4.4998<=x1, x1<=5.0106, -2.5059<= x2,
x2 <= -1.2402, -1.2039<=x3, x3<= -0.3566];
NLPSolve(obj,cnsts);
Kết quả: Ra=0,0003; x1=5.0106; x2=-2.5059;
x3= -1.2039.
x1

5.0106

Từ x1 = ln(v)→ v = e = e
x2

-2.5059

x2 = ln(s) → s = e = e
x3

-1.2039

x3 = ln(t) → t = e = e

= 150 m/ph;

= 0,08 mm/vg;

= 0,3 mm.

{4.4998, -1.2402, -0.3566, -5.0467}}
y=Fit[sl,{1, x1, x2, x3}, { x1, x2, x3}]
Chop[%]
Kết quả phương trình hồi quy:

y% = 6.8079-2.4343*x1+0.4545*x2+1.3189*x3 (6)

Hình 3. Ảnh hưởng của s, t tới Ra (lnv= 5.0106)

46 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(58).2017


LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC
tuy nhiên do chọn (v, s, t) tại giá trị để Ramin nên
cả ba đồ thị đều có cùng giá trị cực tiểu Ramin.
Đồ thị (hình 6), chọn (ln(s)= -1.2402, khác với
ln(s) = -2.5059) để Ra cực tiểu nên Ra>Ramin, so
với đồ thị (hình 3) do cùng thông số cắt (v, t),
lượng chạy dao chọn lớn hơn nên Ra tăng, điều
này phù hợp về lý thuyết và thực tế gia công.

Hình 4. Ảnh hưởng của v, t tới Ra (lns=-2.5059)

Như vậy, khi gia công chọn bộ thông số (v, s, t)
tại giá trị để Ramin, ta có độ nhám Ramin với (v, s,
t) tối ưu.
3.6. Kết quả
-0.023
, dài l = 300 mm sau gia
Kích thước φ30
công đạt độ chính xác cao về biên dạng, độ
nhám bề mặt.
Phương trình (6) - phương trình hồi quy về ảnh
hưởng của (v, s, t) tới độ nhám bề mặt Ra phản
ánh đúng thực tế khi gia công.
Trong phương trình (6), các giá trị x2=ln(s),
x3=ln(t) mang giá trị âm nên khi giảm (lượng
chạy dao s, chiều sâu cắt t) thì y% giảm. Khi tăng
y%
vận tốc cắt, y% giảm hay Ra= e giảm.

Hình 5. Ảnh hưởng của v, s tới Ra (ln t =-1.2039)

Phương trình hồi quy (6) có tính tương đồng
cao với các nghiên cứu của các tác giả trước.
4. KẾT LUẬN
- Bài báo đã thiết lập được phương trình hồi
quy biểu thị mối quan hệ giữa chế độ cắt (v, s,
t) và độ nhám bề mặt Ra;
- Xác định được các thông số chế độ cắt (v, s,
t) tối ưu để đạt Ramin;
- Phương pháp tìm cực trị bằng các gói lệnh (Fit

(data, funs, vars), Optimization,…
của
Mathematica, Maple) cho phép ứng dụng rộng rãi.
tại các cơ sở sản xuất có nhiều máy CNC.

Hình 6. Ảnh hưởng của v, t tới Ra (ln s = -1.2402)

Trong phương trình (6), thường người ta cố
định một thông số để kiểm tra ảnh hưởng của
các thông số còn lại tới nhám bề mặt Ra. Đồ thị
(hình 3, 4, 5) lần lượt vẽ với (ln(v) = -5.0106,
ln(s)= -2.5059, ln(t)= -1.2039) là các giá trị để
Ra cực tiểu.
Đồ thị (hình 6) vẽ với lượng chạy dao (s) tùy
chọn (ln(s)= -1.2402), kết quả Ra > Ramin.
3.5. Nhận xét
Hình dáng đồ thị (hình 3, 4, 5) khác nhau nghĩa
là ảnh hưởng khác nhau của các yếu tố tới Ra,

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Doãn Ý (2006). Giáo trình quy
hoạch thực nghiệm. NXB Khoa học và Kỹ
thuật, Hà Nội.
[2]. Nguyễn Nhật Lệ (2001). Tối ưu hóa ứng
dụng. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[3]. Bùi Minh Trí (2005). Tối ưu hóa - tập II.
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[4]. Bùi Minh Trí (2008). Bài tập tối ưu hóa.
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[5]. Tôn Tích Ái (2005). Phần mềm toán cho kỹ

sư. NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(58).2017 47