Khái niệm xác suất trong dạy học toán ở trường phổ thông

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU...........................................................................................1
I..1 Lý do chọn đề tài........................................................................1
I..2 Mục đích nghiên cứu..................................................................1
I..3 Phương pháp nghiên cứu .........................................................1
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU............................................................1
II..1Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất........................1
II..2Các cách định nghĩa khái niệm xác suất..................................7
II..3Phân tích sách giáo khoa
thí điểm phân ban KHTN lớp 11.............................................9
II..4Thiết kế tình huống
dạy học định nghĩa thống kê của xác suất...............................14
1
KHÁI NIỆM XÁC SUẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG
I. MỞ ĐẦU
I.1.Lý do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất ngày nay đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm
một vị trí quan trọng cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Đặc biệt lý thuyết xác
suất cùng với khoa học thống kê đã trở thành một lĩnh vực quan trọng trong đời
sống
Ở nước ta, xác suất mới được đưa vào chương trình toán phân ban thí điểm
ở lớp 11(năm 2005-2006). Đây là phần khá mới mẻ lại rất thú vị vì liên quan đến
thực tế cuộc sống. Hơn nữa, sau một vài năm dạy thí điểm ở trường phổ thông,
một số giáo viên có ý kiến thắc mắc rằng “Tại sao phải dạy định nghĩa xác suất
bằng tần suất?”. Vì thế em chọn đề tài này để nghiên cứu chương trình phục vụ
cho công việc giảng dạy của em sau này và cũng là để trả lời cho thắc mắc trên.
I.2.Mục đích nghiên cứu
∗ Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất.
∗ Các cách định nghĩa xác suất. Điều kiện để sử dụng các định nghĩa
đó.

∗ Tìm hiểu ưu nhược điểm của mỗi cách định nghĩa khái niệm xác suất
ở góc độ toán học và thực tế dạy học. Từ đó giải thích tại sao sách
giáo khoa (thí điểm ban KHTN lớp 11 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh)
lại đưa hai cách định nghĩa xác suất vào dạy học.
∗ Phân tích cách trình bày định nghĩa xác suất của sách giáo khoa.
∗ Từ việc phân tích trên, thiết kế một tình huống dạy học khái niệm xác
suất.
I.3.Phương pháp nghiên cứu:
∗ Tham khảo luận văn thạc sỹ “Khái niệm xác suất trong dạy học ở
trường phổ thông” của Vũ Như Thư Hương.
∗ Tham khảo các giáo trình về lý thuyết xác suất.
∗ Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 dùng cho ban tự
nhiên do nhóm tác giả Đoàn Quỳnh làm chủ biên.
II. Nội dung nghiên cứu:
II.1.Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất:
Do không đủ thời gian và điều kiện để nghiên cứu về lịch sử hình thành
khái niệm xác suất, em đã tham khảo luận văn thạc sỹ của Vũ Như Thư Hương
và tóm tắt lại một số nội dung chính như sau:
Các giai đoạn nảy sinh và phát triển của khái niệm xác suất:
II.1.1.Giai đoạn đầu (từ thời Trung đại đến nửa đầu thế kỷ XVII):
Từ những trò chơi may rủi như cờ bạc hay tung súc sắc,… rất phổ biến ở
vùng Lưỡng hà từ thời Ai Cập cổ đại, mà các yếu tố đầu tiên về đại số tổ hợp đã
được khai thác.
 Điều này được minh chứng bởi bài thơ có tựa đề De Vetul (của
Richard de Fournival (1201-1260)), một tu sĩ người Pháp. Bài thơ đã
mô tả trò chơi “tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được”
(tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc).
2
Trong vài trích đoạn của bài thơ người ta nhận thấy “tác giả đã sử dụng
đến hoán vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng

với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có
đến 216 cách rơi 3 súc sắc.” (trích theo Vũ Như Thư Hương, trang 11) hay “một
trích đoạn khác cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với mỗi
một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau.” . Mặt khác, vấn đề đặt ra là
tại sao khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy ra tổng của 9
hay 12? (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.11).
Như vậy là ngay ở thế kỷ VIII, vấn đề về tính toán cơ hội đã được đặt ra
trong các trò chơi may rủi.
 Một bằng chứng nữa cho sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội là bài
toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445-1509) đưa ra vào năm
1494, trong tác phẩm Summa de arithmetica geometric proportioniet
proportionalita:
“Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được 60
điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng đu-ca. Một tai nạn
bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván đang chơi khi phe thứ nhất đã
được 50 điểm và phe thứ hai được 20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho
mỗi phe bao nhiêu phần của số tiền đặt cược?”
(Trích theo Henry, 2004, tr.5).”
“Giải pháp của Pacioli là chia tiền cược theo tỉ lệ thuận với số điểm của
hai phe. Nhưng về sau, trong tác phẩm Liber de lulo aleae, Jérôme Cardan đã
chứng tỏ rằng chia như vậy là sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể
được chơi nữa. Thế nhưng giải pháp mà Cardan đưa ra cũng bị Tartaglia
(1499-1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán của minh Cardan đã
chú ý đến vấn đề đồng khả năng”.
(Trích theo Vũ Như Thư Hương,2005, tr.12) .
 Trở lại với trò chơi tung súc sắc, có một bài toán được Grand de
Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620:
“Tại sao kinh nghiệm của người chơi lại chỉ ra rằng cá cược tổng bằng 10
hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so với 25) trong khi mỗi một
trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6)?” (trích theo Henry,2004, tr.5).”

(Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.13).
Galilée cũng đã sử dụng phép đếm đã được mô tả trong bài thơ De Vetula
để trả lời cho câu hỏi trên. Nghiên cứu của ông đã được M. Henry đánh giá
rằng: “bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” cơ hội chiến thắng của họ,
Galilée đã đến gần với xác suất trong gang tấc, nhưng tất nhiên là không diễn đạt
được nó”.
(Trích theo Vũ Như Thư Hương, tr.13)
Như vậy, trong giai đoạn này, từ những trò chơi may rủi đã làm nảy
sinh nhu cầu tính toán cơ hội. Và khái niệm xác suất lúc này xuất hiện
dưới dạng công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết vấn đề tính toán cơ hội
trong vài trò chơi may rủi đó. Trong giai đoạn này, một số yếu tố của Đại
số tổ hợp đã được khai thác trong tính toán các cơ hội. Lúc này, vẫn chưa
có một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra.
3
II.1.2.Giai đoạn thứ hai: (Nửa sau thế kỷ XVII ): vấn đề tính xác suất
của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng
Khái niệm xác suất nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia
tiền cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat.
 Năm1651, Chavalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về
vấn đề chia tiền cược như sau: có lần Méré cùng một người bạn gieo
đồng tiền sấp ngửa ăn tiền, họ góp mỗi người 32 đồng tiền vàng làm
tiền cược và quy ước nếu Méré gieo được 3 lần toàn mặt sấp thì ông
được toàn bộ tiền cược, còn nếu bạn ông gieo được 3 lần toàn mặt
ngửa thì tiền cược thuộc về người bạn ấy. Khi Méré gieo được 2 lần
mặt sấp và bạn ông mới được 1 lần mặt ngửa thì cuộc chơi phải ngừng
vì nhà vua gọi Méré. Vậy nên chia như thế nào?”
Chính bài toán này đã làm cho Pascal và Fermat phải suy nghĩ. Hai ông đã
trao đổi thư từ với nhau và vào năm 1654, họ đã đưa ra lời giải là Méré được 3/4
tiền cược. Cả hai ông đều đã giải đúng nhưng theo 2 cách khác nhau.
Pascal đã sử dụng tam giác số học các hệ số khai triển của nhị thức

n
ba )( +
để giải bài toán. Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654),
Pascal còn nói đến tổ hợp khi chỉ ra tỉ lệ chia tiền cược cho hai người chơi: “…
có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu cho
người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này…”
Trong khi đó, Fermat đã sử dụng một phương pháp khác: ông đã tưởng
tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác
định được người chiến thắng, rồi sử dụng các tổ hợp để liệt kê các kết quả thuận
lợi có thể có của mỗi người và ông chia tiền cược theo tỉ lệ đó. Cách làm đó
được ông giải thích như sau: “…việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số
ván nào đó chỉ nhằm làm cho qui luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến
cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các
phân số về cùng mẫu số”.
(trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.14)
Theo Henry, cả hai ông đều đã sử dụng đến đại số tổ hợp và đều thừa nhận
giả thiết “đồng khả năng” khi giải quyết bài toán trên. Mặc dù vậy, hai ông vẫn
chưa đưa ra được một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ dựa vào đó để chia tiền
cược (tỉ lệ đó là tiền thân của xác suất sau này).
 Do cả Pascal và Fermat đều không xuất bản cuốn sách nào nói về các
tính toán “xác suất” của mình nên đến năm 1657, khi Christian
Huygens xuất bản cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc, người ta mới
biết về phép tính mới này. Tuy vây, thuật ngữ “xác suất” vẫn chưa
xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ “cơ hội” để chỉ “xác suất”:
“Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc đi nữa
thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có giá trị xác định”
 Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và
Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ “xác suất” mới thật
sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay:
“… đừng chỉ cho từng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn là xác suất xảy

ra hay không xảy ra và phải chú ý chính xác vào tỉ lệ mà tất cả những cái này có
chung…” (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16)
4
Một định nghĩa tường minh nữa về xác suất còn được tìm thấy trong Thử
phân tích các trò chơi ngẫu nhiên của Pierre Raymond de Montmort, xuất bản
năm 1708:
“Sự rủi may của Pierre là tỉ số của tất cả các lần thuận lợi với số tât cả các
lần có thể,… Trong một trò chơi công bằng, số tiền đặt cược của hai người chơi
phải cùng tỉ số với độ xác suất khác nhau hay kỳ vọng chiến thắng của mỗi
người” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16)
Như vậy, trong vòng nửa sau thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cược
mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh, để tính xác suất người ta đã sử
dụng đại số tổ hợp và tất nhiên là phải thừa nhận tính đồng khả năng xảy
ra của các biến cố.
II.1.3.Giai đoạn thứ ba: (từ đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): Sự
nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” của xác suất và định nghĩa xác
suất theo Laplace
 Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” của xác suất phải kể đến công
lao to lớn của Jacques Bernoulli. Ông đã dành hai mươi năm để hoàn
thành tác phẩm Thuật suy đoán. (Tác phẩm này được người cháu của
ông là Nicolas Bernoulli xuất bản sau khi ông mất ).
Trong tác phẩm này Bernoulli đã đưa ra những kết quả quan trọng và đã
được Henry và Coutinho tổng hợp lại như sau:
− Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan đến xác suất:
“Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…”
“Dự đoán một điều gì đó là đo lường xác suất của nó…”
(trích theo Henry, 2004, tr.7)
− Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm của xác suất trong
các tình huống đồng khả năng:
“ Đặt b là trường hợp mà một đối số nào đó tồn tại, đặt c là số trường hợp

mà nó có thể không tồn tại, (…). Nhưng tôi cho là tất cả các trường hợp đều
có khả năng như nhau, hay chúng có thể bất chợt xảy ra như nhau; (…) sao
cho một đối số như vậy có thể chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của
sự việc”(trích theo Henry, 2004, tr.7)
(trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.17)
− Ông cũng chỉ rõ điểm hạn chế của cách xác định xác suất bằng
phương pháp đếm là không thể áp dụng vào các hiện tượng tự
nhiên phức tạp như: sự xuất hiện bệnh nhân, hay các hiện tượng
thời tiết,…
− Trong trường hợp đó, Bernoulli đã đề nghị xác định hậu nghiệm
xác suất của biến cố sau khi quan sát thực nghiệm một số lớn các
phép thử giống nhau qua sự ổn định tần suất:
“Nhưng thực ra ở đây, chúng ta còn một con đường khác để có được cái
mà chúng ta tìm kiếm. Điều gì không có được ở tiên nghiệm thì tối thiểu cũng
phải nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai thác nó bằng cách quan sát
các kết cục của nhiều ví dụ tương tự;…”
(Bernoulli, 1713, tr.42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39)
Như vậy, với “Thuật suy đoán” của Bernoulli, lần đầu tiên việc tính xác
suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang công
5
cụ giải tích. Điều này thực sự có ý nghĩa quan trọng bởi vì từ đây chúng ta có thể
áp dụng cách tính xác suất này vào những hiện tượng phức tạp trong tự nhiên
như đã nói ở trên.
 Song song với các nghiên cứu của Nicolas Bernoulli, còn có công
trình nghiên cứu của Abraham de Moivre được trình bày trong Học
thuyết về cơ hội, công bố vào năm 1718. “Tác phẩm này là một xử lý
thuần toán học, đã thực sự vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất”.
(trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19).
Với tác phẩm này, Moivre không những chỉ tu chỉnh định lý của Bernoulli
mà còn đưa ra một dạng mà ngày nay ta gọi là định lý giới hạn trung tâm. Hơn

nữa, ông còn đưa ra các khái niệm có liên quan như khái niệm hàm sinh, khái
niệm độc lập và khái niệm xác suất có điều kiện.
 Một vấn đề mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ được là việc tối ưu hoá số
thí nghiệm cần thiết để phỏng đoán xác suất. Moivre và sau này là
Laplace đã giải quyết được vấn đề đó. Henry ghi nhận lại kết quả của
hai ông như sau:
“Định lý Moivre-Laplace cho phép đưa ra một giá trị tương đương với xác
suất P(F-ε < p < F+ε) nên cũng cho phép tính được con số lý tưởng các thí
nghiệm cần thực hiện để có độ chính xác ε và độ tin cậy 1-α cho trước. Cũng
như với độ chính xác 3% và độ tin cậy 95% (α = 5%) thì các điều tra thông
thường hiện nay có thể phỏng đoán được xác suất với kích thước mẫu thử vào
khoảng 1000”(trích theo Henry, 2004, tr.8)
(trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19)
 Liên quan đến cách tiếp cận này, Buffon là một trong những người
đầu tiên tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần.
 Năm 1812, Pierre Simon Marquis de Laplace công bố Chuyên luận
giải tích về xác suất. Với chuyên luận này, Laplace đã chính thức đưa
ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất:
“Nguyên lý thứ nhất cũng là định nghĩa của xác suất, như đã biết, đó
là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”.
(trích theo Thư Hương, 2005, tr.20)
Ông còn nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên:
“Lý thuyết về sự ngẫu nhiên dựa trên việc rút gọn tất cả các biến cố
cùng loại về một số nào đó các trường hợp đồng khả năng… xác định số các
trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất.”
(trích theo Thư Hương, 2005, tr.20)
Tuy vậy, ông cũng nhận thấy hạn chế của định nghĩa này là không phải lúc
nào cũng đưa về các trường hợp đồng khả năng, nên trong nguyên lý thứ hai ông
viết:
“Nếu chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định các khả

năng riêng của chúng mà việc ước lượng đúng các khả năng này chính là một
trong những điểm khó nhất của lý thuyết ngẫu nhiên. Khi đó, xác suất sẽ là tổng
các xác suất của mỗi trường hợp thuận lợi”.
(trích theo Thư Hương, 2005, tr.20-21)
6
Định nghĩa trên được trình bày trong cùng cách tiếp cận của Pascal,
Fermat, Huygens và Monmort nên còn được gọi là định nghĩa cổ điển của xác
suất.
II.1.4.Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Vấn đề tiên đề hoá lý thuyết xác
suất.
Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích đã
đem lại cho lý thuyết xác suất nhiều màu sắc mới. Trong đó có phép biến đổi
Fourier, cho phép thay thế các hàm sinh bởi một hàm số đặc trưng. Đặc biệt là
sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel
và Lebesgue ở đầu thế kỷ XIX đã dẫn đến xu hướng xây dựng lý thuyết xác suất
theo phương phương pháp tiên đề của Hilbert.
Năm 1933, nhà toán học người Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một
hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại.
Theo lý thuyết này, Ω là một tập hợp biểu thị các kết quả của phép thử
ngẫu nhiên, trên Ω định nghĩa một độ đo bị chăn µ thoả các tiên đề:
Tiên đề 1 Với mọi biến cố A, 0 ≤ µ(A) ≤ 1
Tiên đề 2 µ(Ω) = 1
Tiên đề 3 Với mọi dãy biến cố đôi một rời nhau A
1
, A
2
,…, thì
µ(A
1
∪ A

2
∪…) = ∑ µ(A
i
)
Khi đó xác suất của một biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên là độ đo µ
của tập hợp mô tả biến cố đó. Đó là số thực, được ghi là µ(A).
“Hệ tiên đề này chấp nhận một cách hài hoà các khái niệm về biến ngẫu nhiên và
các qui luật (sự chuyển từ Ω và µ trong lĩnh vực số)”.
(Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.23)
Ý tưởng này đã được chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết xác suất
và thống kê đã trở thành một nghành toán được ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực: vật lí, cơ học, sinh học, y học kinh tế, địa lý, giáo dục xã hội học,…
II.2.Các cách định nghĩa khái niệm xác suất:
Từ tham khảo lịch sử nảy sinh và phát triển của khái niệm xác suất và các
giáo trình Lý thuyết xác suất ở bậc đại học, khái niệm xác suất có thể được tiếp
cận theo 4 cách sau:
• Cách tiếp cận cổ điển: Còn gọi là cách tiếp cận theo Laplace vì ở đây
khái niệm xác suất được định nghĩa theo Laplace: “xác suất của một
biến cố là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với tất cả các trường hợp có
thể xảy ra”.
Cách tiếp cận này có ưu điểm là đơn giản, trực quan và dễ sử dụng.
Điểm hạn chế của cách tiếp cận này chính là ở phạm vi áp dụng của nó. Nó chỉ
áp dụng cho một lớp các thí nghiệm có đặc trưng sau:
− Số các kết cục có thể xảy ra (hay không gian mẫu) là hữu hạn
− Khả năng xảy ra mỗi kết cục nếu ta tiến hành thí nghiệm là như
nhau (tính chất này gọi là tính đồng khả năng hay đồng xác suất).
Những thí nghiệm có đặc trưng trên thường là các trò chơi may rủi,
hoặc phép lấy ngẫu nhiên không tính toán,…
Theo cách tiếp cận này thì việc tính xác suất của một biến cố được đưa
về các phép đếm để tính số trường hợp thuận lợi và số trường hợp có thể xảy ra.

7